浙江省紹興市2021年中考數(shù)學(xué)試卷試題真題(含答案解析)

浙江省紹興市2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分.請選出每小題中一個最符合題意的選

項(xiàng)，不選、多選、錯選，均不給分）（共10題；共40分）

1.實(shí)數(shù)2,0,-3,V2中，最小的數(shù)是（）

A.2B.0C.-3D.V2

【答案】C

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小的比較

【解析】【解答】解：-3<0<V2<2,

.,?所給的實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是-3；

故答案為：C.

【分析】先把實(shí)數(shù)2,0,-3,夜按從小到大排序，則最左邊的數(shù)即是最小的數(shù).

2.第七次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，紹興市常住人口約為5270000人，這個數(shù)字5270000用科學(xué)記數(shù)法可

表示為（）

A.0.527X107B.5.27X106C.52.7x105D.5.27X107

【答案】B

【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法一表示絕對值較大的數(shù)

【解析】【解答】解：將5270000用科學(xué)記數(shù)法表示為：5.27X106.

故答案為：B.

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，一般表示為axlO。的形式，其中141al<10,n等于原數(shù)的

整數(shù)位數(shù)-1.

3.如圖的幾何體由五個相同的小正方體搭成，它的主視圖是（）

【答案】D

【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖

【解析】【解答】解：從正面看第一層是三個小正方形，第二層左邊一個小正方形，

故答案為：D.

【分析】主視圖是視線從前向后看在正面所得的視圖，從正面看第一層是三個小正方形，第二層左邊一

個小正方形，即可解答.

4.在一個不透明的袋中裝有6個只有顏色不同的球，其中3個紅球、2個黃球和1個白球.從袋中任意摸出

一個球，是白球的概率為（）

,1?1一1c2

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

【考點(diǎn)】概率公式，簡單事件概率的計算

【解析】【解答】解：從袋中任意摸出一個球，是白球的結(jié)果數(shù)為1個，總結(jié)果數(shù)為6個，因此袋中任意

摸出一個球，是白球的概率為:；

O

故答案為：A.

【分析】從袋中任意摸出一個球，有6種不同的結(jié)果數(shù)，其中是白球的有1種，然后根據(jù)概率公式計算

即可.

5.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。。，點(diǎn)P在披上，則夕的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接正多邊形

【解析】【解答】解：連接OB,OC,如圖，

正方形ABCD內(nèi)接于。。，

ZBOC=90°

ZBPC=-ZBOC=ix90°=45°

22

故答案為：B.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知NBOC為90。，然后根據(jù)同圓中圓周角和圓心角的關(guān)系求NP即可.

6.關(guān)于二次函數(shù)y=2。-4）2+6的最大值或最小值，下列說法正確的是（）

A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6

【答案】D

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值

【解析】【解答】解：???在二次函數(shù)y=2（x-4）2+6中，a=2>0,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,6）,

函數(shù)有最小值為6.

故答案為：D.

【分析】該二次函數(shù)表達(dá)式為頂點(diǎn)式，由于張口向上，即可得出函數(shù)有最小值，結(jié)合頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解答.

7.如圖，樹AB在路燈。的照射下形成投影AC,已知路燈高P0=5m，樹影4c=3m，樹AB與路燈。

的水平距離AP=4.5m，則樹的高度AB長是（）

A2C-D—

八?乙m2m3m

【答案】A

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題可知，ACABSACPO,

.AB_AC

-OP-CP'

.AB_3

■,V-3+4.5'

AB=2（m）,

故答案為：A.

【分析】由題可知，4CABFCP0,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，再代入數(shù)據(jù)計算即可.

8.如圖，菱形ABCD中，23=60°,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BC-CD方向移動，移動到點(diǎn)D停止.

在AABP形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（）

A.直角三角形好等邊三角形）等腰三角形分直角三角形

B.直角三角形玲等腰三角形玲直角三角形玲等邊三角形

C.直角三角形玲等邊三角形好直角三角形少等腰三角形

D.等腰三角形玲等邊三角形玲直角三角形玲等腰三角形

【答案】C

【考點(diǎn)】等邊三角形的判定，含30。角的直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，四邊形-動點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：連接AC,BD,如圖所示.

???四邊形ABCD是菱形，

.e.AB=BC=CD=DA,ZD=ZB.

,/ZB=60°,

ZD=ZB=60°.

?e.△ABC和^ADC都是等邊三角形.

點(diǎn)P在移動過程中，依次共有四個特殊位置：

（1）當(dāng)點(diǎn)P移動到BC邊的中點(diǎn)時，記作Pi.

???&ABC是等邊三角形，Pi是BC的中點(diǎn)，

APi1BC.

ZAPyB=90°.

:?&ABPi是直角三角形.

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，記作P2.

此時，4ABP2是等邊三角形；

（3）當(dāng)點(diǎn)P移動到CD邊的中點(diǎn)時，記為P3.

,：aABC和4ADC都是等邊三角形，

/P3AB=30°+60°=90°.

△ABP3是直角三角形.

（4）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，記作P4.

AB=AP4,

...AABP4是等腰三角形.

綜上，△ABP形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是：

直角三角形玲等邊三角形玲直角三角形3等腰三角形.

故答案為：C

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合NB=60。，求得△ABC和△ADC都是等邊三角形，根據(jù)題意共經(jīng)過4個

特殊位置，（1）當(dāng)點(diǎn)P移動到BC邊的中點(diǎn)時，（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，（3）當(dāng)點(diǎn)P移動到CD邊的

中點(diǎn)時，（4）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，分別討論三角形的特殊形狀即可.

9.如圖，Rt^ABCZBAC=90",cosB=；，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作

4

等腰三角形ADE,使^ADE=/B,連結(jié)CE,則第的值為（）

E

C.叵D.2

2

【答案】D

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，三角形全等的判定（SAS）,直角三角形斜邊

上的中線

【解析】〔解答】】?在RtAABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),

?--AD=BD=CD=1BC,

ZBAD=/B=ZADE，

??.AB/JDE.

ZBAD=/B=ZADE=ZCDE,

ADCD

???在△ADE和ACDE中,{ZADE=/CDE,

DE=DE

??.△ADE=△COE(SAS),

AE-CE,

??1國ADE為等腰三角形,

...AE=CE=DE,ZBAD=/B=/ADE=ZDAE,

r.△ABD-△ADE,

DEADnnCEBD

----=------，即---=---

BDABADAB

cosB=^=i

AB_1

BD~~2

CE_BD_n

AD~~AB~?

故答案為：D.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)推出NADE=ZCDE,再利用邊角邊定理證明

△ADESACDE,得出AE=CE,然后證明△ABD”△ADE,列出比例式W=器，結(jié)合COsB=；,則知,=：

ADAB4BD2

從而得出結(jié)果.

10.數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從"中國結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如圖2,

用2個相同的菱形放置，得到3個菱形.下面說法正確的是（）

圖1圖2

A.用3個相同的菱形放置,最多能得到6個菱形

B.用4個相同的菱形放置,最多能得到15個菱形

C.用5個相同的菱形放置,最多能得到27個菱形

D.用6個相同的菱形放置,最多能得到41個菱形

【答案】B

【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)，探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】解：用2個相同的菱形放置，最多能得到3個菱形,

用3個相同的菱形放置，最多能得到8個菱形,

用4個相同的菱形放置，最多能得到15個菱形,

用6個相同的菱形放置，最多能得到29個菱形，

故答案為：B.

【分析】分別根據(jù)題意畫出圖形，求出用2個、3個、4個、5個和6個相同的菱形放置時，最多得到的

菱形的數(shù)量，即可解答.

二、填空題（本大題有6小題，每小題5分，共30分）（共6題；共30分）

11.分解因式：X2+2X+1=.

【答案】（x+1）2

【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法

【解析】【解答】解：x?+2x+l=（X+1）2.

故答案為：（x+1）2.

【分析】本題中沒有公因式，總共三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)能化為兩個數(shù)的平方和，第三項(xiàng)正好為這兩個數(shù)的積

的2倍，直接運(yùn)用完全平方和公式進(jìn)行因式分解.

12.我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每

人9兩，則差8兩，銀子共有兩.（注：明代時1斤=16兩）

【答案】46

【考點(diǎn)】一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-古代數(shù)學(xué)問題

【解析】【解答】解：設(shè)有x人一起分銀子，根據(jù)題意建立等式得，

7x+4=9%—8,

解得：x=6,

?，?銀子共有：6x7+4=46（兩）

故答案是：46.

【分析】設(shè)有x人一起分銀子，根據(jù)兩種分法銀子相等構(gòu)建方程求解即可.

13.圖1是一種矩形時鐘，圖2是時鐘示意圖，時鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對角線BD上，時鐘中心

在矩形ABCD對角線的交點(diǎn)0上.若AB=30cm'則BC長為cm（結(jié)果保留根號）.

【答案】30V3

【考點(diǎn)】鐘面角、方位角，矩形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：1.時鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對角線BD上，時鐘中心在矩形ABCD對角線的

交點(diǎn)。，

ZMOD=2NNOD,

ZMOD+ZNOD=90°,

??.ZNOD=30°,

四邊形ABCD是矩形，

AD//BC,ZA=90°,AD=BC,

??.ZADB=ZNOD=30°,

.?.BC=AD=_30遮Qm)

tan3O0-tan30-'Cm，

故答案為：30V3.

【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)，結(jié)合鐘面角的大小求出NNOD,由矩形的性質(zhì)推出NNADB=NNOD,然后在

RtAADB中，利用三角函數(shù)的定義求出AD,即可得出BC的長.

14.如圖，在4ABC中，AB=AC,=70。，以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)

P,連結(jié)AP,則ZBAP的度數(shù)是.

【答案】15?；?5°

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時，如圖，

AB=AC,ZB=70°,

-?./B=ZACB=70°

ZCAB=40°

V以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P,

AC=PC

NP=ZCAP

■.ZACB=/P+NCAP=70°

NP=ZCAP=35°

ZBAP=ZBAC+/CAP=400+35°=75°

②當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時，如圖，

P4.....c

由①得NC=70°,ZCAB=40°

?1,AC=PC

?1./P=/CAP=55°

O

?1./BAP=ZCAP.ZBAC=55.40°=15。

故答案為：15。或75°

【分析】分兩種情況討論，即①當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時，②當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時，根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理求出NCAB,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出NCAP,最后根據(jù)角

的和差關(guān)系即可解答.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，頂點(diǎn)B,C在第一象限，頂點(diǎn)D

的坐標(biāo)（|,2）.反比例函數(shù)y=t（常數(shù)k>0,x>0）的圖象恰好經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)，

則k的值是.

【答案】5或22.5

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如圖所示，分別過B、D兩點(diǎn)向x軸作垂線，垂足分別為F、E點(diǎn),

并過C點(diǎn)向BF作垂線，垂足為點(diǎn)G：

,/正方形ABCD,

??,ZDAB=90°,AB=BC=CD=DA,

??.ZDAE+ZBAF=90°,

又?「ZDAE+ZADE=90°,ZBAF+ZABF=90°,

ZDAE=ZABF,ZADE=ZBAF,

/.△ADE2△BAF,

同理可證△ADEg△BAF2△CBG；

/.DE=AF=BG,AE=BF=CG；

設(shè)AE=m,

??,點(diǎn)D的坐標(biāo)(g，2),

OE=-,DE=AF=BG=2,

2

9g

B(-+m,m),C(-,m4-2),

22

-x2=5，

2

當(dāng)*m+2)=5時，m=-F<0,不符題意，舍去；

當(dāng)G+=5時，由m20解得m=更歲，符合題意；故該情況成立，此時k=5；

當(dāng)(|+m)m=|(m+2)時，由m20解得m=3,符合題意，故該情況成立，此時fc=|x(34-

2)=22.5;

故答案為：5或225

【分析】分別過B、D兩點(diǎn)向x軸作垂線，垂足分別為F、E點(diǎn)，并過C點(diǎn)向BF作垂線，垂足為點(diǎn)G,利

用角角邊定理證明△ADE2△BAF2△CBG,得出DE=AF=BG,AE=BF=CG,設(shè)AE=m,把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)用m

表示出來，然后根據(jù)反比例函數(shù)的坐標(biāo)特征分三種情況分別構(gòu)建方程求解并驗(yàn)證即可.

16.已知AABC與4ABD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C,D不重合，ZABC=ZABD=30°，AB=4,

AC=AD=2V2,則CD長為.

【答案】2百±2或4或2痣

【考點(diǎn)】三角形全等的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖1,滿足條件的△ABC與AABD的形狀為如下兩種情況，點(diǎn)C,

C(z>)

D不重合，則它們兩兩組合，形成了如圖2、圖3、圖4、圖5共四種情況:

如圖2,

LABC=AABD,此時，BC=BD,由題可知:

^CBD^ABC+^ABD30°

==+30=60"，

4BCD是等邊三角形，

CD=BC；

過A點(diǎn)作AEJLBC,垂足為E點(diǎn)，

在Rt4ABE中，AB=4,ZABC=30"，

AE=-AB=2,

2

BE=V42-22=2V3；

在Rt△ACE中，CE=yjAC2-AE2=J(2V2)2-22=2；

???BC=2y[3+2;

(同理可得到圖4和圖5中的BC=2V5+2,CF=2,BF=20)

CD

=BC=2V3+2.

如圖3,

圖3

△ABC三△ABD,此時，BC=BD,由題可知:

/CBDJABC+4BD=30°+30=60"，

△BCD是等邊三角形，

CD=BC；

過A點(diǎn)作AMJ_BC,垂足為M,

在Rt△ABM中，AB=4,ZABC=30*,

AM=-AB=2,

2

BM=V42-22=2V3；

在Rt△ACM中，CM=>/AC2-AM2=J(2V2)2-22=2；

(同理可得到圖4和圖5中的BD=2舊一2,DF=2,BF=25/3.)

CD=BC=BM-CM=2於-2;

如圖4,

圖4

由上可知：CD=CF+FD=CF+BF-BD=2+2\[3-(2A/3-2)=4;

如圖5,過D點(diǎn)作DN_LBC,垂足為N點(diǎn)，

ZCBD=ZABC+^ABD=30+30'=60，

^BDN=3O°，

.,.在RtABDN中，F(xiàn)N=|FD=|(2V3-2)=V3-1,

DNBN-tan60"=V3(V3-1)=3-V3:

C/V=CB-B/V=2V3+2-(V3-1)=V3+3

在Rt△DCN中，CD=V/VC2+DN2==2>/6；

綜上可得：CD的長為2次±2,4,2V6.

故答案為：2百±2或4或2傷.

【分析】首先確定滿足題意的兩個三角形的形狀，再通過組合得到四種不同的結(jié)果，分別作圖，其中圖

2、圖3、圖4均可通過過A點(diǎn)向BC作垂線，分別構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，結(jié)合特殊三角形的

性質(zhì)求出相關(guān)線段的長，然后與CD聯(lián)系即可求出CD的長；而圖5過D作DNLBN,構(gòu)造直角三角形，解

直角三角形，結(jié)合運(yùn)用勾股定理即可求解.

三、解答題（本大題有8小題，第17~20小題每小題8分，第21小題10分，第22,23小

題每小題12分，第24小題14分，共80分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過

程）（共8題；共80分）

17.

（1）計算：4sin600-V12+（2-V3）°.

（2）解不等式：5x4-3>2（%+3）.

【答案】（1）解：原式=2V3-2V3+1

=1

（2）解：5%+3>2%4-6,

5x—2x》6—3,

3%>3,

x>1

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元一次不等式，特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【分析】（1）先代入特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行二次根式的化簡和0次塞的運(yùn)算，再進(jìn)行合并

同類二次根式即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后系數(shù)化為1即可求出不等式的解集.

18.紹興蓮花落，又稱"蓮花樂"，"蓮花鬧"，是紹興一帶的曲藝.為了解學(xué)生對該曲種的熟悉度，某校設(shè)置

T：非常了解、了解、了解很少、不了解四個選項(xiàng)，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，要求每名學(xué)生

只選其中的一項(xiàng)，并將抽查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.

某校部分學(xué)生對“蓮花落”了解程度

條形統(tǒng)計圖

圖1圖2

根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）本次接受問卷調(diào)查的學(xué)生有多少人？并求圖2中"了解”的扇形圓心角的度數(shù).

（2）全校共有1200名學(xué)生，請你估計全校學(xué)生中“非常了解"、"了解"蓮花落的學(xué)生共有多少人.

【答案】（1）解：90+45%=200,

■-?本次接受問卷調(diào)查的學(xué)生有200人.

豪360。=126。，

???"了解”的扇形圓心角的度數(shù)是126。.

⑵解："了解"：券=35%

"非常了解"與"了解"的百分比和為35%+15%=50%,

1200x50%=600,

.??估計全校學(xué)生中“非常了解"、"了解"蓮花落的學(xué)生共有600人.

【考點(diǎn)】用樣本估計總體，扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖

【解析】【分析】(1)先根據(jù)了解很少的人數(shù)和比例求出被調(diào)查的人數(shù)，再用360。乘以"了解”的百分比

即可求出結(jié)果；

(2)先求出"了解"的百分比，然后求出"非常了解"與"了解"的百分比之和，最后利用樣本估計總體的方

法解答即可.

19.1號無人機(jī)從海拔10m處出發(fā)，以10m/min的速度勻速上升，II號無人機(jī)從海拔30m處同時出發(fā)，以a

(m/min)的速度勻速上升，經(jīng)過5min兩架無人機(jī)位于同一海拔高度b(m).無人機(jī)海拔高度y(m)與

時間x(min)的關(guān)系如圖.兩架無人機(jī)都上升了15min.

(1)求b的值及II號無人機(jī)海拔高度y(m)與時間x(min)的關(guān)系式.

(2)問無人機(jī)上升了多少時間，I號無人機(jī)比II號無人機(jī)高28米.

【答案】(1)解：b=10+10x5=60.

設(shè)y=kx+b，

將(0,30),(5,60)代入得:

y=6x+30(04x415),

b=60；

y=6x+30(0<x<15)

(2)解：令(lOx+10)-(6x+30)=28,

解得x=12<15,滿足題意；

無人機(jī)上升12min,I號無人機(jī)比II號無人機(jī)高28米

【考點(diǎn)】一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)I號無人機(jī)的初始海拔和經(jīng)過5min上升的高度可求b值，利用待定系數(shù)法求

函數(shù)表達(dá)式即可；

（2）由題意得I號無人機(jī)的函數(shù)表達(dá)式為y=10x+10,由（1）II號無人機(jī)函數(shù)表達(dá)式為y=6x+30,結(jié)

合高度差為28米構(gòu)建方程求解即可.

20.拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1,水平操作臺為I,底座AB固定，高AB為50cm,連桿BC長

度為70cm,手臂CD長度為60cm.點(diǎn)B,C是轉(zhuǎn)動點(diǎn)，且AB,BC與CD始終在同一平面內(nèi)，

圖1圖2

（1）轉(zhuǎn)動連桿BC,手臂CD,使ZABC=143°,CD//1,如圖2,求手臂端點(diǎn)D離操作臺I的高度

DE的長（精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,cos53°?0.6）.

（2）物品在操作臺/上，距離底座A端110cm的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動連桿BC,手臂CD,手臂端點(diǎn)D能否碰到

點(diǎn)M?請說明理由.

【答案】（1）解：過點(diǎn)C作CPLAE于點(diǎn)P,

過點(diǎn)B作BQ1CP于點(diǎn)Q,如圖1,

???/ABC=143°,

???/CBQ=53°,

在丑△BCQ中，CQ=BC-sin53°?70x0.8=56(cm)>PQ=AB=50(cm).

???CD//I,

DE=CP=CQ+PQ=56+50=106(cm).

???手臂端點(diǎn)D離操作臺I的高度DE的長為106cm.

（2）解：能.

理由：當(dāng)點(diǎn)B,C,D共線時，如圖2,

B

圖2

BD=604-70=130v*riiim，4B=50mrim,

222

在Rt△ABD中，AB-[-AD=BD,

-AD=120mrim>110m「mi.

手臂端點(diǎn)D能碰到點(diǎn)M

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)過點(diǎn)C作CP1AE于點(diǎn)P,先求出NCBQ的度數(shù)，在RtZSBCQ中，利用三角

函數(shù)定義求出CQ,然后根據(jù)線段間的關(guān)系求出DE即可；

(2)當(dāng)點(diǎn)B,C,D共線時，手臂達(dá)到最長，在RtZkABD中，利用勾股定理求出AD,然后比較即

可判斷.

21.如圖，在△力BC中，4=40。，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC±,BD=BC=CE,連結(jié)CD,BE.

（1）若ZABC=80°，求ZBDC，/ABE的度數(shù).

（2）寫出ZBEC與NBDC之間的關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）解：vZABC=80°,BD=BC,

ZBDC=/BCD=50°.

在A4BC中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

???4=40°,

ZACB=60°,

???CE=BC,

ZEBC=60°.

???/ABE=NABC-NEBC=20°.

（2）解：ZBEC,ZBDC的關(guān)系：ZBEC+ZBDC=11013

理由如下：設(shè)/BEC=a，/BDC=B.

在△ABE中，a=4+ZABE=40°+ZABE,

VCE=BC,

ZCBE=/BEC=a.

/ABC=ZABE+/CBE=ZA+24BE=40°+2/ABE,

,:在△BDC中，BD=BC,

/BDC+/BCD+/DBC=2￡+40°+24BE=180°.

???。=70°-/ABE.

???a+夕=40°+/ABE+70°—NABE=110°.

/BEC+/BDC=110°

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】⑴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得NBDC=ZBCD=5O。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角定理求出

NACB=6O。，結(jié)合BC=CE得出△BCE是等邊三角形，則知NEBC=60。；

(2)設(shè)NBEC=a,ZBDC=3根據(jù)統(tǒng)一量的方法把a(bǔ)和B用含NABE的代數(shù)式表示，由三角形的外角和定

理得a=40。+ZABE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NCBE=ZBEC=a,求得NABC=ZABE+ZCBE=ZA十

2ZABE=40°+2ZABE,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得p=7O°-ZABE,則可得出結(jié)論.

22.小聰設(shè)計獎杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖1,杯體ACB是

拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，杯口直徑AB=4,且點(diǎn)A,B關(guān)于y軸對稱，杯腳高CO=

4,杯高DO=8,杯底MN在x軸上.

(1)求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式(不必寫出x的取值范圍).

(2)為使獎杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2,杯體4'CB'所在拋物線形狀不變，杯口直徑

A,B,//AB，杯腳高CO不變，杯深CD'與杯高0D'之比為0.6,求小8’的長.

【答案】(1)解：設(shè)y=ax2+4,

?.?杯口直徑AB=4,杯高DO=8,

5(2,8)

將％=2,y=8代入，得a=1,

y=x2+4

（2）解："-=0.6,

CD0.6，

4+CD

???CD=6>OD=10>

當(dāng)y=10時，10=X2+4,

xx—V6或&=-'V6>

AB=2>/6，

即杯口直徑4'B'的長為2遍

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的其他應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)杯高和杯口直徑的長得到B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)"杯深CD'與杯高OC'之比為0.6"列式求出CD，，則可得出OD，的長度，把y=10代入函數(shù)式

求解，根據(jù)對稱的性質(zhì)即可求出AB的長.

23.問題：如圖，在oABCD中，AB=8,AD=5,/DAB,/ABC的平分線AE,BF分別與直

線CD交于點(diǎn)E,F,求EF的長.

答案：EF=2.

（1）探究：把"問題"中的條件"AB=8"去掉，其余條件不變.

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時，求AB的長；

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，求EF的長.

（2）把"問題"中的條件"4B=8,4。=5"去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C,D,E,F相鄰兩點(diǎn)間的距離

相等時，求喘的值.

AB

【答案】（1）解：①如圖1,四邊形ABCD是平行四邊形，

圖1

/.AB//CD,

???ZDEA=ZEAB.

-AE平分ZDAB,

???ZDAE=/EAB.

???ZDAE=ZDEA.

DE=AD=5.

同理可得：BC=CF=5.

???點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，

.??AB=CD=10.

②如圖2,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,

同理可證DE=DC=AD=5,

°ABCD是菱形，

CF=BC=5,

二點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，

???EF=DC=5

圖3

可得AD=DE=EF=CF,

AD1

AB~3,

同理可得，AD=DE,BC=CF,

又vDF=FE=CE,

AD_DE_2

AB~AB~3'

圖5

由上，同理可以得到AD=DE,CB=CF，

又FD=DC=CE,

ADDE-

—=—=2.

ABCD

綜上：曙的值可以是；，9，2

AB33

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，角平分線的定義

【解析】【分析】(1)①根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合平行線的性質(zhì)得出NDAE=NDEA,則知DE=AD=5,

同理求出BC=CF=5,從而求出DC的長，即可解答；

②根據(jù)①的方法求得力BCD的四條邊相等，得出oABCD是菱形，則知點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，即可解

答；

(2)由于E、F點(diǎn)的位置不可確定，則應(yīng)分情況討論，根據(jù)每種情況，利用AD=DE,CF=CB,結(jié)合點(diǎn)C,

D,E,F相鄰兩點(diǎn)間的距離相等分別構(gòu)建等式求解即可.

24.如圖，矩形ABCD中，4B=4,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是對角線BD上一動點(diǎn)，4DB=30°.

連結(jié)EF,作點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P.

(1)若EFA.BD,求DF的長.

(2)若PE1BD,求DF的長.

(3)直線PE交BD于點(diǎn)Q,若4DEQ是銳角三角形，求DF長的取值范圍.

【答案】(1)解：如圖1,矩形ABCD中，