分析力學五二

§1.5.2剛體的運動方程剛體：6個自由度自由度數目減少例子：繞固定點的轉動——3個自由度；定軸轉動——1個自由度。在有約束的情況下：關心剛體本身的運動+約束反力但：由拉格朗日方程不容易得到約束反力

(以前僅討論理想約束)辦法：回到牛頓表述

一、動量定理定點轉動角動量定理剛體：特殊的質點組考察剛體整體運動R0：質心在靜止系中的矢徑。

對第a個質點：其中

ra

：以質心為原點的運動坐標系的矢徑。因為所以作和

其中

——對固定點o的總角動量

——對固定點o的總力矩

——對固定點的角動量定理以質心為坐標原點時(仍在慣性系中)，有對上式作和又則

令則——對質心的角動量定理

描述剛體的運動方程組為

二、剛體的靜平衡平衡時

——平衡方程例題：見p88

[例1]三、剛體的動平衡

(見p88，略)四、剛體繞定點的自由運動剛體繞定點的自由運動：不受外力或外力通過固定點

(例子：地球的公轉、分子的轉動)

此時有(外力為零時。質心：勻速運動)

(繞質心的轉動，且角動量守恒)

設e1、

e2、

e3為三個慣量主軸方向，I1、

I2、

I3為沿這三個主軸的轉動慣量，則討論：1.I1=I2=I3——球對稱陀螺(任意選取三個相互垂直的軸作慣量主軸)此時：2.I1=I2=I

，I3=0——轉子即：L在x1x2平面內，⊥ox3

。3.I1=I2

≠I3——對稱陀螺

(I1

≠

I2

≠I3

：不對稱陀螺)(例：扁平均勻球體的地球就是一個對稱陀螺)此時：平面x1x2

內的任一軸都是主軸。選ox3

軸在屏幕所在平面(ox3垂直x1x2平面)，同時取L

也在屏幕平面。

將分解到x3和L的方向上，分別稱為和，并設它們之間的夾角為，顯然有在同一平面ox1x3另取ox2⊥LL2

=0L在ox1x3平面內，L與ox3的夾角：

L與ox1的夾角：L在ox1軸的投影：由圖：在ox1上的分量相等

(

在ox1軸無分量)則

又不變(對做自由運動的對稱陀螺，可由后面的歐拉動力學方程證明此結果，見PPT：p29)L與ox3

軸的夾角不變規(guī)則進動：對于對稱陀螺自由轉動，有繞ox3轉動+ox3

軸繞空間固定軸(L軸)進動，且ox3與L之間的夾角保持不變(見前面圖3)。五、歐勒運動學方程對稱陀螺的基本運動有

(1)剛體繞對稱軸的自轉；

(2)自轉軸繞空間固定軸的進動(precession)；

(3)自轉軸和固定軸間夾角的章動(nutation)。用歐勒角描述這三種運動：設：o——固定點；oz：固定軸：剛體繞固定軸oz轉過的角度——進動角；：進動角速度——沿oz方向；：剛體繞ox3

轉過的角度——自轉角；：自轉角速度——沿ox3方向；：ox3和oz間的夾角——章動角；：章動角速度——沿oN方向。當時，當時，所以oM、oM'、oz、ox3

在同一平面，且有

oM

在水平面，oM'在平面1．在x1x2平面，它在x1、x2

、x3的分量。由圖4，有2．在ox3上的投影為：在oM'上的投影為：而ox1、ox2、oM'又在同一平面，再把沿oM'上的

在ox1、ox2軸上進行分解，有這樣在ox1、ox2的分量為3．沿ox3

方向。于是在動坐標系ox1、ox2、ox3

的分量為若：已知則：可計算六、歐勒動力學方程剛體的運動方程為

而中不是常數，這樣要得到M與的關系很困難。辦法：建立運動坐標系——坐標軸沿三個慣量主軸方向此時：

設：矢量A，：相對靜止坐標系的改變量若：A相對于運動坐標系不變，則僅僅是由于運動坐標系轉動而引起的，故一般情況：A相對于運動坐標系改變，說明如下。設：K'、K分別為靜止坐標系和運動坐標系，如圖?，F在K'、K系中分別求矢量

A(t)隨時間的變化率。i、j、k

：K系中的單位常矢量i、j、k

：對K'系不是常矢量，即在K'中對矢量

A(t)=Ax(t)i(t)

+

Ay(t)j(t)+

Az(t)k(t)

求導，得：A在運動坐標系中的改變令A=L

，得

又

所以

對運動坐標系，有而

——歐勒動力學方程應用歐勒動力學方程的例子：對稱陀螺的自由運動當對稱陀螺做自由運動時，根據歐勒動力學方程，有得到于是，有§1.5.3非慣性系中的運動若：將參考系固連在剛體上，只要剛體不是作勻速直線運動，這一參考系為非慣性系。設：K0系——慣性系，K'系—相對K0系的速度為V(t)

K系——相對K'系的角速度為則：K系——非慣性系要做的事：在K系中建立運動方程設：矢量A，——A在K'系中的導數，則

令V0：質點對K0系的速度；

v'

：質點對K'系的速度；

v：質點對K系的速度；

V：K'系對K0系的速度。則

上式右邊各項再對時間求導，有其中慣性系中，有

——非慣性系中的運動方程

f

：外力：平動加速度產生的慣性力

：角加速度產生的慣性力

：科里奧利力

：慣性離心力

:北半球上的科里奧利力：無論物體向哪個方向運動，科里奧利力總是指向物體行進方向的右側，這可以解釋為什么在北半球河流右岸被沖刷得比較嚴重。

赤道附近的信風(tradewind)

：在赤道兩邊的低層大氣中，北半球吹東北風，南半球吹東南風，這種風的方向很少改變，它們年年如此，穩(wěn)定出現，很講信用。

1851年傅科在巴黎（北半球）的一個大廳里懸掛擺長67米的擺。發(fā)現擺動平面每小時沿順時針方向轉過11

15’角度,直接證明了地球在自轉。

東西南北在地面系看：地球不轉，擺面轉;在恒星系看：地球轉，擺面不轉。

傅科擺實驗是第一次用地球上的現象證實了地球自轉的存在。在一個作勻速直線運動系統(tǒng)中的觀察者，不能通過內部實驗證明自身是否有速度存在。但在勻角速度