用空間向量研究距離夾角問題

人教2019A版選擇性必修第一冊1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(1)

距離問題

第一章空間向量與立體幾何成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854學習目標

能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.(直觀想象、數(shù)學運算)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路,某人要在點A處，修建一個蔬菜存儲庫。如何在公路上選擇一個點,修一條公路到達A點,要想使這個路線長度理論上最短,應該如何設計？問題：空間中包括哪些距離?求解空間距離常用的方法有哪些?答案：點到直線、點到平面、兩條平行線及兩個平行平面的距離;傳統(tǒng)方法和向量法.情境導學成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854一、點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離1.點到直線的距離2.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點P,則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.點睛：點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度,由于直線與直線外一點確定一個平面,所以空間點到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個平面內(nèi)點到直線的距離問題.探究新知成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群4831228541.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C1C,D1A1的中點,則點A到直線EF的距離為

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小試牛刀成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854二、點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離

點到平面的距離

已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則點P到平面α的距離為2.如果一條直線l與一個平面α平行,可在直線l上任取一點P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點P到平面α的距離求解.3.兩個平行平面之間的距離如果兩個平面α,β互相平行,在其中一個平面α內(nèi)任取一點P,可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點P到平面β的距離求解.探究新知成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群4831228542.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為4,則點B1到平面AD1C的距離為

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解析:以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),小試牛刀成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求點B到直線A1C1的距離.解:以B為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量典例解析成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854

用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點:(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點,但一般選較易求得坐標的特殊點;(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計算正確.歸納總結成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854延伸探究1例1中的條件不變,若M,N分別是A1B1,AC的中點,試求點C1到直線MN的距離.解:如例1解中建立空間直角坐標系(圖略).成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854延伸探究2將條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱,求點B到A1C1的距離.解:以B為坐標原點,分別以BA,過B垂直于BA的直線,BB1為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(0,0,0),A1(2,0,2),成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854例2在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.思路分析

借助平面SAC⊥平面ABC的性質(zhì),建立空間直角坐標系,先求平面CMN的法向量,再求距離.典例解析成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854解:取AC的中點O,連接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC,∴SO⊥BO.如圖所示,分別以OA,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Oxyz,成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854

求點到平面的距離的主要方法(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離.(2)在三棱錐中用等體積法求解.歸納總結成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854跟蹤訓練1在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點.(1)求證:B1C∥平面A1BD;(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.跟蹤訓練成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854(2)解:因為B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距離就等于點B1到平面A1BD的距離.如圖建立坐標系,成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854金題典例

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,點E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點,EF與B1D相交于點H.(1)求證:B1D⊥平面ABD;(2)求證:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF與平面ABD的距離.思路分析：

根據(jù)兩個平行平面間距離的定義,可將平面與平面間的距離轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)一點到另一個平面的距離,即點面距.金題典例成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854(1)證明:如圖所示建立空間直角坐標系,設AB=a,則A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF∥平面ABD.成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854總結：求兩個平行平面的距離,先在其中一個平面上找到一點,然后轉(zhuǎn)化為該點到另一個平面的距離求解.注意:這個點要選取適當,以方便求解為主.歸納總結成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群4831228541.兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量

n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是(

)答案:B

當堂檢測成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群4831228542.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是(

)答案:D

解析:分別以PA,PB,PC所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系(圖略),則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群4831228543.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是平面A1B1C1D1的中心,則O到平面ABC1D1的距離是(

)答案:B

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854答案:3解析:以點C為坐標原點,CA,CB,CP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(4,0,0),B(0,3,0),成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群4831228545.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是線段BB1,B1C1的中點,則直線MN到平面ACD1的距離為

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解析:如圖,以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸