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文檔簡(jiǎn)介
2.2.2圓的對(duì)稱性-圓心角
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、圓心角與弧的定義
1.圓心角定義:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.如圖所示,NAOB就是一個(gè)圓心角.
要點(diǎn):
⑴一個(gè)角要是圓心角,必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征;
(2)圓心角ZAOB所對(duì)的弦為線段AB,所對(duì)的弧為弧AB.
2.1°的弧的定義
1°的圓心角所對(duì)的弧叫做1°的弧.如下圖,
圓心角
要點(diǎn):
(1)圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.注意不是角與弧相等.即不能寫成圓心角NAOB=@.
(2)在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫等弧.等弧的長(zhǎng)度相等,所含度數(shù)相等(即彎曲程度相等).
二、圓心角定理及推論
1.圓心角定理:
在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等.
要點(diǎn):
(1)圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距.
(2)在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)兩條弦的弦心距相等.
(3)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.
2.圓心角定理的推論:
在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)
的其余各對(duì)應(yīng)量都相等.
要點(diǎn):
在同圓或等圓中,弦,弧,圓心角,弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的,即它們中間只要有一組量相等,
(例如圓心角相等),那么其它各組量也分別相等(即相對(duì)應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對(duì)的弧也分別相等).
*如果它們中間有一組量不相等,那么其它各組量也分別不等
【典例剖析】
【典例1].下列結(jié)論正確的是()
A.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧B.同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧
C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等D.等弧所對(duì)的圓心角相等
【答案】D
【解析】
試題分析:A、只有長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定能重合,所以不是等??;
B、直徑、弦的定義進(jìn)行分析;
C、根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行分析;
D、根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行分析.
解:A、在同圓或等圓中,能夠完全重合的兩段弧為等弧,不但長(zhǎng)度相等,彎曲程度也要相同,故本選項(xiàng)錯(cuò)
誤;
B、同一條弦所對(duì)的兩條弧不一定是等弧,除非這條弦為直徑,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、等弧所對(duì)的圓心角相等,故本選項(xiàng)正確.
故選D.
點(diǎn)評(píng):此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系;解題時(shí)要注意圓心角、弧、弦的關(guān)系是在同圓或等圓中才能成
【典例2].如圖,在。0中,AB=AC,/AOB=122。,則NAOC的度數(shù)為()
A
A.122°B.120°C.61°D.58°
【答案】A
【解析】
試題分析:直接根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求解.
解:AB=AC,
.,.ZZAOB=ZAOC=122°.
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組
量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.
【典例3].如圖,已知AB是。0的直徑,D,C是劣弧EB的三等分點(diǎn),NBOC=40。,那么/AOE=()
A.40°B.60°C.80°D.120°
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意先求出/BOE=120。,再利用鄰補(bǔ)角即可求出/AOE.
【解析】
VD,C是劣弧EB的三等分點(diǎn),
.".ZBOE=3ZBOC=120°,
NAOE=180°-NBOE=60°
選B.
【點(diǎn)睛】
此題主要考察圓的圓心角度數(shù)問題.
【典例4].如圖,在。。中,AB=2CD,則下列結(jié)論正確的是()
A.AB>2CD
B.AB=2CD
C.AB<2CD
D.以上都不正確
【答案】C
【解析】
試題分析:首先取的中點(diǎn)E,連接AE,BE,由在。O中,=2CD>可證得AE=BE=CO,即可
得AE=BE=CD,然后由三角形的三邊關(guān)系,求得答案.
解:取48的中點(diǎn)E,連接AE,BE,
?.?在。。中,AB=2C。,
AE~BE~CD,
,AE=BE=CD,
,在AABE中,AE+BE>AB,
.,.2CD>AB.
故選C.
【典例5】.如果兩個(gè)圓心角相等,那么()
A.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等B.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等
C.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等D.以上說法都不對(duì)
【答案】D
【解析】
因?yàn)樵谕瑘A或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦以及弦心距相等,本題中題設(shè)中缺少”同圓或等
圓”這一條件,故選D.
點(diǎn)睛:本題主要考查圓心角與弧,弦,弦心距之間的關(guān)系,解決本題的關(guān)鍵要熟練掌握?qǐng)A心角,弧,弦,弦心距之間
的關(guān)系,并注意前提條件:“同圓或等圓中
【典例6].如圖,扇形OAB的圓心角為90。,點(diǎn)C、D是A6的三等分點(diǎn),半徑OC、OD分別與弦AB
交于點(diǎn)E、F,下列說法錯(cuò)誤的是()
A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB
C.EC=FDD.NDFB=75°
【答案】A
【解析】
試題分析:利用點(diǎn)C,D是A8的三等分點(diǎn),得出AC=CD=DB,ZAOC=ZCOD=ZBOD=-ZAOB=30°,
再求出/OBA的度數(shù),利用外角求出/BFD的度數(shù),通過證△AOE名ABOF,得出OE=OF,則EC=FD.
連接AC,在△ACE中,求證AE=AC,則可證CD=AE=BF,再根據(jù)CD>EF得AE、EF、FB關(guān)系.
解:?.,點(diǎn)C,D是AB的三等分點(diǎn),
/.AC=CD=DB,ZAOC=ZCOD=ZBOD=-ZAOB=30°,
3
選項(xiàng)B正確;
VOA=OB,NAOB=90°,,NOAB=NOBA=45°,
/AEC=/OAB+/AOC=45°+30°='75°,同理NDFB=75°,
故選項(xiàng)D正確.
ZAEO=ZBFO,
在AAOE和^BOF中,NAEO=NBFO,ZAOC=ZBOD,AO=BO,
.,.△AOE^ABOF,
/.OE=OF,
,EC=FD,故選項(xiàng)C正確.
在AAOC中,VOA=OC,.\ZACO=ZCAO=-(180°-30°)=75°,
2
.,.ZACO=ZAEC,
;.AC=AE,同理BF=BD,
又;AC=CD=BD,
/.CD=AE=BF,
?.?在AOCD中,OE=OF,OC=OD,
/.EF<CD,
,CD=AE=BF>EF,故A錯(cuò)誤.
故選A.
【典例7].如圖,AB是。。的直徑,CO是AO的垂直平分線,EF是。8的垂直平分線,則下列結(jié)論正確的
是()
A.AD=DF=FBB.AD>DF
C-DF<FBD.AD=FB力DF
【答案】A
【分析】
如圖,連接AD,OD,DF,OF,BF,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)易證DF=DF=BF,再根據(jù)“在同圓或等圓中,
所對(duì)的弦相等的兩段弧是等弧"即可判斷.
【解析】
如圖,連接AD,OD,DF,OF,BF,
,:CD是AO的垂直平分線,EF是OB的垂直平分線,
1
;.DF=CE=-AB,AD=OD,OF=BF,
2
,DF=DF=BF,
則AO=O尸二/8?
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查垂直平分線的性質(zhì),等弧的判定,解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).
【典例8].下列說法中,正確的是()
A.相等的圓心角所對(duì)的弧相等B.相等的圓心角所對(duì)的弦相等
C.相等的弧所對(duì)的弦相等D.相等的弦所對(duì)的弧相等
【答案】C
【分
首先要明確是否同圓或者等圓,其次還要明確優(yōu)弧還是劣弧.
【解析】
A、B選項(xiàng)中的結(jié)論必須要有“同圓或等圓”的前提,故均錯(cuò)誤:D選項(xiàng)除了要明確“同圓或等圓”外,還要明
確是優(yōu)弧還是劣弧,故也錯(cuò)誤;
故選擇C.
【點(diǎn)睛】
對(duì)于定理,一定不能忽略它的前提和一些限制條件.
【典例9].在。。中,AB,CD為兩條弦,下列說法:①若=則4?=8;②若A3=CD,
則AB=2CD;③若AB=2CD,則弧AB=2弧CD;④若NAO8=2NCOD,則AB=2CD.其中正確
的有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】A
【分析】
根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解答即可.
【解析】
①若A[B=C£>,則A3=8,正確;
②若A3=8,則49=CD,故不正確;
③由AB=2CD不能得到弧AB=2弧CD,故不正確;
④若ZAOB=2NCOD,則AB=2C£>,錯(cuò)誤.
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系,在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量
相等,那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì).
【典例10].如圖,MN是。O的直徑,MN=2,點(diǎn)A在。O上,ZAMN=30°,B為AN的中點(diǎn),P是直
徑MN上一動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為()
A.272B.72C.1D.2
【答案】B
【分析】
作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接MQ,然后根據(jù)圓周角定理、圓的對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理解答即可.
【解析】
作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接MQ,BQ,BQ交MN于P,此時(shí)AP+PB=QP+PB=QB,
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,PA+PB的最小值為QB的長(zhǎng)度,
連接AO,OB,OQ,
:B為AN中點(diǎn),
.,.ZBON=ZAMN=30°,
ZQON=2ZQMN=2x30°=60°,
ZBOQ=30°+60o=90°.
???直徑MN=2,
.,.OB=1,
.-.BQ=7P77=V2.
則PA+PB的最小值為0.
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理.解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),把題目的問題轉(zhuǎn)化
為兩點(diǎn)之間線段最短解答.
【典例11】.如圖,。。中,弦ABLCD,垂足為E,尸為CBD的中點(diǎn),連接A尸、BF、AC,A尸交CD于
M,過尸作FH±AC,垂足為G,以下結(jié)論:①CF=DF;②"C=8F:③MF=FC:?DF+AH=BF+AF'
其中成立的個(gè)數(shù)是()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】C
【分析】
根據(jù)弧,弦,圓心角之間的關(guān)系,圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可.
【解析】
解:;尸為CBO的中點(diǎn),
CF=DF,故①正確,
/.ZFCM-ZMC,
■:ZFCG=NACM+NFCM,/AME=NFMC=ZACM+ZFAC,
:.ZFMC=ZFCG>NFCM,
J.FOFM,故③錯(cuò)誤,
'JABVCD,FHLAC,
:.ZAEM=ZCGF=90°,
;.NCFH+NFCG=90。,NBAF+NAME=9Q°,
:.NCFH=NBAF,
CF=BF,
:.HC=BF,故②正確,
ZAGF=90°,
:.ZCAF+ZAFH=90°,
;?A”+CF=180°,
???C“+AF=180°,
AH+CF^AH+DF^CH+AF^AF+BF-故④正確,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查圓心角,弧,弦之間的關(guān)系,三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于
中考選擇題中的壓軸題.
【典例12].如圖,在RSABC中,NC=90°,NA=28°,以點(diǎn)C為圓心,BC為半徑的圓分別交AB、
AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E,則弧BD的度數(shù)為()
B
A.28。B.64°C.56D.124
【答案】C
【分析】
先利用直角三角形的兩銳角互余得出NB=62。,再利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)得到NCDB=/B=62。,
則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出/BCD,然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)求解即可.
【解析】
解:?.?/C=90。,NA=28。,
NB=62°,
?.CB=CD,
NCDB=NB=62°,
—BCD=180-62°-62°=56°,
BD的度數(shù)為56一.
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圓心角的性質(zhì),圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)
是解題的關(guān)鍵.
【過關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1.已知AB、CD是兩個(gè)不同圓的弦,如AB=CD,那么虛與廟的關(guān)系是()
A.AB=CDB.第》而C.靠〈而D.不能確定
【答案】D
【解析】
試題分析:根據(jù)在同圓和等圓中相等的弦所對(duì)的弧相等分析,從而得到答案.
解:在同圓和等圓中相等的弦所對(duì)的弧才會(huì)相等,要注意同圓和的條件,本題是兩個(gè)不同的圓,所以無法
判斷兩弦所對(duì)的弧的大小,故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查了在同圓和等圓中相等的弦所對(duì)的弧相等的理解及運(yùn)用.
2.如圖,在。0中,AB=AC,ZAOB=122°,則/AOC的度數(shù)為()
A.122°B.120°C.61°D.58°
【答案】A
【解析】
試題分析:直接根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求解.
解:V,AB=AC,
二ZZAOB=ZAOC=122°.
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組
量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.
3.下列命題正確的是()
A.相等的圓心角所對(duì)的弦相等B.等弦所對(duì)的弧相等
C.等弧所對(duì)的弦相等D.垂直于弦的直線平分弦
【答案】C
【解析】
試題分析:根據(jù)在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則另
外兩組量也對(duì)應(yīng)相等,分別對(duì)選項(xiàng)A,B,C進(jìn)行判斷;根據(jù)垂徑定理對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行判斷.
解:A、在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、在同圓或等圓中,等弦所對(duì)的弧對(duì)應(yīng)相等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、相等的弧所對(duì)的弦相等,正確;
D、垂直于弦的直徑平分弦,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則
另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等.也考查了垂徑定理.
4.如圖,已知。O的半徑等于1cm,AB是直徑,C,D是。O上的兩點(diǎn),且而=防=合,貝U四邊形ABCD
的周長(zhǎng)等于()
B
A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm
【答案】B
【解析】
試題分析:如圖,連接OD、0C.根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系證得AAOD、△OCD.△COB是等邊三角
形,然后由等邊三角形的性質(zhì)求得線段AD、DC、CB與已知線段0A間的數(shù)量關(guān)系.
解:如圖,連接OD、0C.
VAD=DC=CB(已知),
...NAOD=NDOC=/COB(在同圓中,等弧所對(duì)的圓心角相等);
VAB是直徑,
ZAOD+ZDOC+ZCOB=180°,
,ZAOD=ZDOC=ZCOB=60°;
VOA=OD(。0的半徑),
AAOD是等邊三角形,
.\AD=OD=OA;
同理,得
OC=OD=CD,OC=OB=BC,
.?.AD=CD=BC=OA,
.,.四邊形ABCD的周長(zhǎng)為:AD+CD+BC+AB=5OA=5xlcm=5cm;
故選:B.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓心角、弧、弦間的關(guān)系與等邊三角形的判定與性質(zhì).在同圓中,等弧所對(duì)的圓心角相
等.
5.如圖所示,在。0中,AB=AC,NA=30。,則NB=()
A.150°B.75°C.60°D.15°
【答案】B
【解析】
?.?在00中,AB=AC,
;.AB=AC,
.".△ABC是等腰三角形,
AZB=ZC;又ZA=30°,
?on°_on°
AZB=---------=75。(三角形內(nèi)角和定理).
2
故選B.
考點(diǎn):圓心角、弧、弦的關(guān)系.
6.是四邊形ABC。的外接圓,AC平分NEM),則正確結(jié)論是()
3A
c
A.AB=ADB.BC=CDC.AB=BDD.ZACB=ZACD
【答案】B
根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可.
【解析】
解:?.?NAC8與NACD的大小關(guān)系不確定,r.AB與AO不一定相等,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
故選項(xiàng)B正確;
???NAC3與NACD的大小關(guān)系不確定,二/與不一定相等,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
NBCA與ZDCA的大小關(guān)系不確定,選項(xiàng)D錯(cuò)誤;
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系,在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相
等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.
7.已知,如圖,ZAOB=/COD,下列結(jié)論不一定成立的是()
A.AB=CDB.AB^CDC.AAOBACODD.△AOB,Z\CO£>都是等邊三角形
【答案】D
由題意根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系,由NAOB=/COD,可得弦相等,弧相等以及三角形全等,以此進(jìn)
行分析判斷即可.
【解析】
解:?.?NAOB=NCW,
:.AB^CD,AB=CD?
OA=OB=OC=OD,
..^AOB^^OD,
:.A,B、C成立,D不成立.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查弧,弦,圓心角之間的關(guān)系,注意掌握三組量中,只要有一組相等,其余的都對(duì)應(yīng)相等.
8.如圖,AB是。。的直徑,C、O是半圓的三等分點(diǎn),則NC+NO+NE的度數(shù)是()
A.90
B.120°
C.105。
D.150°
【答案】B
由于舛E+BE是一個(gè)半圓,故/C+ND=;xl8()o=90。,再根據(jù)C、D是半圓的三等分點(diǎn)可知=
1*180。=60。,故NE=,CD=!x6()o=30。,故可求出答案.
322
【解析】
解::為E+8E是一個(gè)半圓,
.,.ZC+ZD=-xl80°=90°,
2
?據(jù)C、D是半圓的三等分點(diǎn),
CQ=;xl80°=60°,
I1
ZE=-CD=~x60°=30°,
22
,ZC+ZD+ZE=90°+30°=120°.
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓周角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系,解答此題時(shí)要熟知弧的度數(shù)等于此弧所對(duì)圓心角的度
數(shù).
9.如圖,。0中,弦ABLCD,垂足為E,尸為CB0的中點(diǎn),連接AF、BF、AC,A尸交CZ)于過尸
作垂足為G,以下結(jié)論:①CF=DF;②HC=BF:③MF=FC:?DF+AH=BF+AF>其
中成立的個(gè)數(shù)是()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】C
根據(jù)弧,弦,圓心角之間的關(guān)系,圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可.
【解析】
解::尸為CBD的中點(diǎn),
*<-CF=DF>故①正確,
:.ZFCM=ZFAC,
':ZFCG=NACM+NFCM,ZAME=NFMC=ZACM+ZFAC,
:.NFMC=ZFCG>ZFCM,
:.FC>FM,故③錯(cuò)誤,
':ABLCD,FHLAC,
,ZAEM=ZCGF=90°,
NCFH+NFCG=90。,NBAF+NAME=9Q°,
.'.ZCFH=ZBAF,
CF=BF>
:.HC=BF,故②正確,
ZAGF=90°,
,ZCAF+ZAFH=9Q0,
?*-A〃+C尸=180°,
?,?C“+AF=180°,
:,AH+CF=AH+DF=CH+AF=AF+BF>故④正確,
故選:c.
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查圓心角,弧,弦之間的關(guān)系,三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于
中考選擇題中的壓軸題.
10.如圖,MN是。O的直徑,MN=2,點(diǎn)A在(DO上,ZAMN=30°,B為AN的中點(diǎn),P是直徑MN上一
動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為()
A.242B.0C.1D.2
【答案】B
作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接MQ,然后根據(jù)圓周角定理、圓的對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理解答即可.
【解析】
作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接MQ,BQ,BQ交MN于P,此時(shí)AP+PB=QP+PB=QB,
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,PA+PB的最小值為QB的長(zhǎng)度,
連接AO,OB,OQ,
YB為AN中點(diǎn),
.\ZBON=ZAMN=30o,
,NQON=2NQMN=2x30°=60°,
二ZBOQ=30°+60°=90°.
???直徑MN=2,
.,.OB=1,
.?,BQ=#7F=V2.
則PA+PB的最小值為逝.
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理.解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),把題目的問題轉(zhuǎn)化
為兩點(diǎn)之間線段最短解答.
11.如圖,AB是。。的直徑,C、。是。。上的兩點(diǎn),且點(diǎn)C為弧的中點(diǎn),連接CD、CB、OD,CD
與A8交于點(diǎn)凡若/4。。=100。,則/48C的度數(shù)為()
A.15°B.20°C.25°D.30°
【答案】B
先根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出NB。。,再根據(jù)點(diǎn)C為弧的中點(diǎn),求出NBOC的度數(shù),再根據(jù)等腰三角形的
性質(zhì)即可求出/ABC的度數(shù).
【解析】
乙4。。=100。,
ZBOD=180°-ZAOD^SO0,
???點(diǎn)C為弧54。的中點(diǎn)
:.ZBOC=ZDOC=—(360°-80°)=140°
2
OC=OB
:.ZABC^ZBCO=—(180°-140°)=20°
2
故選B.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查圓內(nèi)角度求解,解題的關(guān)鍵是熟知圓心角、弧的關(guān)系.
12.如圖,半徑為R的。。的弦AC=B。,AC.BD交于E,尸為BC上一點(diǎn),連片F(xiàn)、BF、AB、AD,下列
結(jié)論:①AE=BE;②若AC_LB。,則AO=血R;③在②的條件下,若"=?D,AB=丘,則8尸+CE
1.其中正確的是()
B.@@C.②③D.①②③
【答案】D
①由弦AC=BD,可得AC=BD,進(jìn)而可得BC=AD,然后由圓周角定理,證得NABD=/BAC,即可判定
AE=BE;②連接OA,0D,由AE=BE,AC±BD,可求得/ABD=45。,進(jìn)而可得△AOD是等腰直角三角
形,則可求得AD=&R:③設(shè)AF與BD相交于點(diǎn)G,連接CG,易證得△BGF是等腰三角形,CE=DE=EG,
即可判斷.
【解析】
?V弦AC=BD,
:?AC=BD,
:,BC=AD,
,NABD=NBAC,
.??AE=BE,故①正確;
②連接OA,OD,
VAC1BD,AE=BE,
AZABE=ZBAE=45o,
,ZAOD=2ZABE=90o,
VOA=OD,
???AD二拉R,故②正確;
③設(shè)AF與BD相交于點(diǎn)G,連接CG,
;CF=CD,
/.ZFAC=ZDAC,
VAC±BD,
??,在△AGE和4ADE中,
VZAEG=ZAED=90°,AE=AE,ZEAG=ZDAE,
???AAGE^AADE(ASA),
JAG二AD,EG=DE,
AZAGD=ZADG,
VZBGF=ZAGD,ZF=ZADG,
???ZBGF=ZF,
ABG=BF,
VAC=BD,AE=BE,
ADE=CE,
AEG=CE,
?'BE二BG+EG=BF+CE,
???AB=0,
ABE=AB-cos45°=l,
???BF+CE=1.
其中正確的是:①②③,故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查圓的綜合問題,熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
二、填空題
13.120。的圓心角是360。的分之一,它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的分之一.
【答案】三三
根據(jù)題意可知由于圓周角為360。,則圓心角是120。的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的120°^360°=1,所以所對(duì)
的弧長(zhǎng)是相應(yīng)的圓的周長(zhǎng)的1,據(jù)此解答即可.
3
【解析】
解:120°4-360°=-,
3
它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的,,
3
答:120。的圓心角是360。的三分之一,它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的三分之一.
故答案為:三;三.
【點(diǎn)睛】
本題考查圓的弧長(zhǎng)和圓心角,注意掌握在同一個(gè)圓中,扇形的圓心角與360度的比等于弧長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)的
比.
1后4.如圖,在兩個(gè)同心圓中,AB為60°,則CO的度數(shù)為________.
【答案】60°
根據(jù)圓心角定理可得/AOB=60。,即ZCOD=60。,則的度數(shù)為60。.
【解析】
:A8為60°,
NAOB=60°,
二ZCOD=60°,
則CD的度數(shù)為60。.
故答案為:60°.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查圓心角定理:圓心角的度數(shù)和它們對(duì)的弧的度數(shù)相等.
15.如圖,OA,OB,OC,OD是。。的半徑,
(1)如果NAOB=/COD,那么,=,ZAOCZBOD;
(2)如果AB=CD,那么=,;
(3)如果A8=CO,那么,,ACBD-
【答案】AB=CD,AB,CD,=AB'CD,/AOB=NCOO,AB=CD,
ZAOB^ZCOD,=
根據(jù)在同圓或等圓中,①圓心角相等,②所對(duì)的弧相等,③所對(duì)的弦相等,三項(xiàng)“知一推二”,一項(xiàng)相等,其
余二項(xiàng)皆相等進(jìn)行解答.
【解析】
(1)VZAOB=ZCOD,
/.AB=CD,AB二CD,NAOC二NBOD;
(2)VAB=CD,
:.A5=CD.ZAOB=ZCOD;
⑶vAB=CD>
;.AB=CD,ZAOB=ZCOD,AC=BD-
故答案為:AB=CD,AB,CD,=,AB,CD,ZAOB=ZCOD,AB=CD,ZAOB=ZCOD,=
【點(diǎn)睛】
此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,在同圓或等圓中,①圓心角相等,②所對(duì)的弧相等,③所對(duì)的弦相等,
三項(xiàng)“知一推二”,一項(xiàng)相等,其余二項(xiàng)皆相等.
16.如圖,AB為。。的直徑,AaiB的邊以,PB與。。的交點(diǎn)分別為C、D.若我C=BD=?B,則
的大小為度.
o
f3
【答案】60
連接OC、OD,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得至叱AOC=/COD=NDOB=60。,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答.
【解析】
連接OC、OD,
:AC=CD=DB'
二ZAOC=ZCOD=ZDOB=60°,
VOA=OC,OB=OD,
.,.△AOC和4BOD都是等邊三角形,
AZA=60°,NB=60。,
,NP=60°,
故答案為60.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系,在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相
等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.
17.如圖,D、E分別是。。的半徑OA、OB上的點(diǎn),CD,OA,CEJ_OB,CD=CE,則弧AC與弧CB弧長(zhǎng)的大
小關(guān)系是.
【答案】相等
根據(jù)直角三角形的判定定理HL,可得出ACOD絲△COE,則NCOD=/COE,再根據(jù)在同圓中,相等的圓
心角所對(duì)的弧也相等得出結(jié)論.
【解析】
':CD1OA,CE±OB,
:.ZCDO=ZCEO=90?,
,:CD=CE,CO=CO,
.,.△COD^ACOE,
ZCOD=ZCOE,
AC=BC-
故答案為相等.
【點(diǎn)睛】
考查圓心角、弧、弦的關(guān)系,全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
18.如圖,已知點(diǎn)C是。。的直徑AB上的一點(diǎn),過點(diǎn)C作弦。E,使CO=CO.若A。的度數(shù)為35。,則臺(tái)七
的度數(shù)是.
【答案】105°.
連接OD、OE,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出NAOD=35。,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和
定理計(jì)算即可.
【解析】
解:連接0。、OE,
D,
B
E
???AO的度數(shù)為35。,
:.ZAOD=35°f
?:CD=CO,
:.NOOC=NAOQ=35。,
?/OD=OE,
:?NODC=/E=35。,
:.ZDOE=180°-ZODC-ZE=180°-35°-35°=110°,
???ZAOE=ZDOE-ZAOD=\W0-35°=15°,
:.ZBOE=180°-ZAOE=180°-75°=105°,
/.BE的度數(shù)是105°.
故答案為105。.
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理:在同圓和等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等.
19.已知,如圖以AB為直徑的。O,BC1AB,AC交。O于點(diǎn)D,點(diǎn)E在。O上,若NDEB=25。,則
NO.
【答案】65°
【解析】
試題分析:因?yàn)?0=30,所以NDEB二NDAB=25。,因?yàn)锽CLAB,所以NABC=90。,所以
ZC+ZDAB=90°,0ilUZC=9Oo-ZDAB=9Oo-25o=65o.
考點(diǎn):1.圓周角定理及其推論、2.直角三角形的性質(zhì).
20.如圖所示,已知C為A8的中點(diǎn),于M,CNLOB于N,若OA=r,ON=a,則CD=
【解析】
根據(jù)圓心角、弧、弦之間關(guān)系求出NAOC=NBOC,根據(jù)角平分線性質(zhì)得出OM的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理計(jì)算
CM的長(zhǎng),根據(jù)垂徑定理得出CD=2CM,代入求出即可.
【解析】
為A8的中點(diǎn),
AC=,
,NAOC=NBOC,
?:CNLOB,CDLOA,ON=a,
:.OM=ON=n,
;?CM=yl0C2-0M2=,<-02,
':CMLOA,
即OM_LC£),
由垂徑定理得:CD=2CM=2g-a1,
故答案為:2五2_片.
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓心角、弧、弦之間關(guān)系、垂徑定理,角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),關(guān)鍵是求出CM的長(zhǎng)和得出
CD=2CM.
21.如圖,已知A,B,C,D是。。上的點(diǎn),N1=N2,則下列結(jié)論中正確的有個(gè).
①AB=C£>;?DB=CA<③AC=BD;④NBOD=NAOC.
根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系即可解決問題;
【解析】
解:VZ1=Z2,
*'?AB=CD'/BOD=NAOC,
???DB=CA,
,BD=AC,
.??正確的有:①②③④;
故答案為:4.
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考
基礎(chǔ)題.
22.如圖,正方形ABCD中,AB=5cm,以B為圓心,2cm長(zhǎng)為半徑畫。B,點(diǎn)P在。B上移動(dòng),連接AP,
并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AP,,連接BP,.在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中,BP,長(zhǎng)度的最小值為cm.
【答案】572-2
連接BP、DP\BD,根據(jù)題意易得點(diǎn)P,的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心,2cm長(zhǎng)為半徑的圓,進(jìn)而可知當(dāng)點(diǎn)B、
D、P,三點(diǎn)共線時(shí),BP,長(zhǎng)度的為最小,然后利用勾股定理求解即可.
【解析】
解:連接BP、DP\BD,如圖所示:
,四邊形ABCD是正方形,AB=5cm,
AB=AD=5cm,ZDAB=90°,
BD=\lAD2+AB2=5>/2-
???將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至API
/.AP=APf,ZP,AP=90°,
???/DAP為NP,AP與NDAB的公共角,
"AD=NPAB,
A△P'AD^APAB,
,/PB=2cm,
DP'=2cm,
???點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心,2cm長(zhǎng)為半徑的圓,如圖所示:
當(dāng)點(diǎn)B、D、P,三點(diǎn)共線時(shí),BP,長(zhǎng)度的為最小,
BP'=BD-DP'=56-2;
故答案為5拒一2.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正方形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì),關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,然后利用圓
的最短路徑問題求解即可.
三、解答題
23.如圖,在。。中,弦A8與弦CO相交于點(diǎn)且A8=C£),求證:BM=DM.
【答案】詳見解析
連接82根據(jù)AB=C。得到AB=CO,再根據(jù)公共弧4c得到BC=AD,再得到NQ=NB,再利用等
腰三角形的性質(zhì)即可求解.
【解析】
證明:連接8D.
,:AB=CD
AB=CD
AB-ACCD-AC即BC=AD
:.ND=NB
:.BM=DM
【點(diǎn)睛】
此題主要考查圓周角的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知圓的基本性質(zhì).
24.如圖,在OO中,弦AD與BC交于點(diǎn)E,且AD=BC,連接AB、CD.
求證:(1)AB=CD;
(2)AE=CE.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
(1)欲證明AB=CD,只需證得AB=C£>;(2)連接AC,由AB=CO得出NACB=/CAD,再由等角
對(duì)等邊即可證的AE=CE.
【解析】
證明:(1);AD=BC
AD=BC
AD-AC=BC-AC
即AB=CD
AAB=CD
(2)連接AC
':AB=CD
AZACB=ZDAC
.*.AE=CE
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角、弧、弦間的關(guān)系,注意(2)中輔助線的作法是求解(2)的關(guān)鍵.
25.已知:如圖,在。。中,弦AB與半徑OE、OF交于點(diǎn)C、D,AC=BD,求證:
(1)OC=OD:
(2)AE=BF-
【答案】(1)見解析;(2)見解析
(1)證明:連接OA,0B,證明△OACgaOBD(SAS)即可得到結(jié)論:
(2)根據(jù)△OAC絲△OBD,得到NAOC=NBOD,即可得到結(jié)論.
【解析】
(1)證明:連接OA,OB,
?;OA=OB,
AZOAC=ZOBD.
在^OAC與4OBD中,
OA=OB
?.JZOAC=ZOBD,
AC=BD
.,.△OAC^AOBD(SAS).
;.OC=OD.
(2)VAOAC^AOBD,
.*.ZAOC=ZBOD,
【點(diǎn)睛】
此題考查同圓的半徑相等的性質(zhì),全等三角形的判定及性質(zhì),等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì),相等的圓心
角所對(duì)的弧相等的性質(zhì),正確引出輔助線證明△OAC絲aOBD是解題的關(guān)鍵.
26.已知:如圖,。。中,AB弧等于BC弧等于CD弧,OB、OC分別交AC、8。于點(diǎn)E、F.試比較NOEF
與/OFE的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】ZOEF=ZOFE.
【解析】
連接BC,由等弧所對(duì)圓周角相等可得NECB=NFBC,則可得NOBF=NOCE,再證明△OBFg^OCE得
OE=OF即可.
【解析】
解:ZOEF=ZOFE
證明:連接BC,
?AB=CD,
AZACB=ZDBC,
VOB=OC,
AZOBC=ZOCB,
AZOBF=ZOCE,
VOB=OC,ZO=ZO,
AAOBF^AOCE,
.*.OE=OF,
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