圓的對(duì)稱性-圓心角

2.2.2圓的對(duì)稱性-圓心角

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一、圓心角與弧的定義

1.圓心角定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.如圖所示，NAOB就是一個(gè)圓心角.

要點(diǎn)：

⑴一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征;

(2)圓心角ZAOB所對(duì)的弦為線段AB,所對(duì)的弧為弧AB.

2.1°的弧的定義

1°的圓心角所對(duì)的弧叫做1°的弧.如下圖,

圓心角

要點(diǎn)：

(1)圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.注意不是角與弧相等.即不能寫成圓心角NAOB=@.

(2)在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧.等弧的長(zhǎng)度相等，所含度數(shù)相等(即彎曲程度相等).

二、圓心角定理及推論

1.圓心角定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

要點(diǎn)：

(1)圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距.

(2)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)兩條弦的弦心距相等.

(3)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.

2.圓心角定理的推論：

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)

的其余各對(duì)應(yīng)量都相等.

要點(diǎn)：

在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等,

(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對(duì)應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對(duì)的弧也分別相等).

*如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等

【典例剖析】

【典例1].下列結(jié)論正確的是（）

A.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧B.同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等D.等弧所對(duì)的圓心角相等

【答案】D

【解析】

試題分析：A、只有長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定能重合，所以不是等??；

B、直徑、弦的定義進(jìn)行分析；

C、根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行分析；

D、根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行分析.

解：A、在同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧為等弧，不但長(zhǎng)度相等，彎曲程度也要相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)

誤；

B、同一條弦所對(duì)的兩條弧不一定是等弧，除非這條弦為直徑，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、等弧所對(duì)的圓心角相等，故本選項(xiàng)正確.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系；解題時(shí)要注意圓心角、弧、弦的關(guān)系是在同圓或等圓中才能成

【典例2].如圖，在。0中，AB=AC，/AOB=122。，則NAOC的度數(shù)為（）

A

A.122°B.120°C.61°D.58°

【答案】A

【解析】

試題分析：直接根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求解.

解：AB=AC，

.,.ZZAOB=ZAOC=122°.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組

量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

【典例3].如圖，已知AB是。0的直徑,D,C是劣弧EB的三等分點(diǎn),NBOC=40。,那么/AOE=()

A.40°B.60°C.80°D.120°

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意先求出/BOE=120。，再利用鄰補(bǔ)角即可求出/AOE.

【解析】

VD,C是劣弧EB的三等分點(diǎn)，

.".ZBOE=3ZBOC=120°,

NAOE=180°-NBOE=60°

選B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考察圓的圓心角度數(shù)問題.

【典例4].如圖，在。。中，AB=2CD，則下列結(jié)論正確的是()

A.AB>2CD

B.AB=2CD

C.AB<2CD

D.以上都不正確

【答案】C

【解析】

試題分析：首先取的中點(diǎn)E,連接AE,BE,由在。O中，=2CD>可證得AE=BE=CO，即可

得AE=BE=CD,然后由三角形的三邊關(guān)系，求得答案.

解：取48的中點(diǎn)E，連接AE,BE,

?.?在。。中，AB=2C。，

AE~BE~CD，

，AE=BE=CD,

,在AABE中，AE+BE>AB,

.,.2CD>AB.

故選C.

【典例5】.如果兩個(gè)圓心角相等，那么（）

A.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等B.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等

C.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等D.以上說法都不對(duì)

【答案】D

【解析】

因?yàn)樵谕瑘A或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦以及弦心距相等，本題中題設(shè)中缺少”同圓或等

圓”這一條件，故選D.

點(diǎn)睛:本題主要考查圓心角與弧，弦，弦心距之間的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵要熟練掌握?qǐng)A心角，弧，弦，弦心距之間

的關(guān)系，并注意前提條件:“同圓或等圓中

【典例6].如圖，扇形OAB的圓心角為90。，點(diǎn)C、D是A6的三等分點(diǎn)，半徑OC、OD分別與弦AB

交于點(diǎn)E、F,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.NDFB=75°

【答案】A

【解析】

試題分析：利用點(diǎn)C,D是A8的三等分點(diǎn)，得出AC=CD=DB,ZAOC=ZCOD=ZBOD=-ZAOB=30°,

再求出/OBA的度數(shù)，利用外角求出/BFD的度數(shù)，通過證△AOE名ABOF,得出OE=OF,則EC=FD.

連接AC,在△ACE中，求證AE=AC,則可證CD=AE=BF,再根據(jù)CD>EF得AE、EF、FB關(guān)系.

解：?.,點(diǎn)C,D是AB的三等分點(diǎn)，

/.AC=CD=DB,ZAOC=ZCOD=ZBOD=-ZAOB=30°,

3

選項(xiàng)B正確；

VOA=OB,NAOB=90°,，NOAB=NOBA=45°,

/AEC=/OAB+/AOC=45°+30°='75°,同理NDFB=75°,

故選項(xiàng)D正確.

ZAEO=ZBFO,

在AAOE和^BOF中，NAEO=NBFO,ZAOC=ZBOD,AO=BO,

.,.△AOE^ABOF,

/.OE=OF,

，EC=FD,故選項(xiàng)C正確.

在AAOC中，VOA=OC,.\ZACO=ZCAO=-(180°-30°)=75°,

2

.,.ZACO=ZAEC,

；.AC=AE,同理BF=BD,

又；AC=CD=BD,

/.CD=AE=BF,

?.?在AOCD中，OE=OF,OC=OD,

/.EF<CD,

，CD=AE=BF>EF,故A錯(cuò)誤.

故選A.

【典例7].如圖,AB是。。的直徑,CO是AO的垂直平分線,EF是。8的垂直平分線，則下列結(jié)論正確的

是()

A.AD=DF=FBB.AD>DF

C-DF<FBD.AD=FB力DF

【答案】A

【分析】

如圖，連接AD,OD,DF,OF,BF,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)易證DF=DF=BF,再根據(jù)“在同圓或等圓中,

所對(duì)的弦相等的兩段弧是等弧"即可判斷.

【解析】

如圖，連接AD,OD,DF,OF,BF,

,:CD是AO的垂直平分線,EF是OB的垂直平分線，

1

；.DF=CE=-AB,AD=OD,OF=BF,

2

，DF=DF=BF,

則AO=O尸二/8?

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，等弧的判定，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).

【典例8].下列說法中，正確的是（）

A.相等的圓心角所對(duì)的弧相等B.相等的圓心角所對(duì)的弦相等

C.相等的弧所對(duì)的弦相等D.相等的弦所對(duì)的弧相等

【答案】C

【分

首先要明確是否同圓或者等圓，其次還要明確優(yōu)弧還是劣弧.

【解析】

A、B選項(xiàng)中的結(jié)論必須要有“同圓或等圓”的前提，故均錯(cuò)誤：D選項(xiàng)除了要明確“同圓或等圓”外，還要明

確是優(yōu)弧還是劣弧，故也錯(cuò)誤；

故選擇C.

【點(diǎn)睛】

對(duì)于定理，一定不能忽略它的前提和一些限制條件.

【典例9].在。。中，AB,CD為兩條弦，下列說法：①若=則4?=8；②若A3=CD，

則AB=2CD；③若AB=2CD,則弧AB=2弧CD；④若NAO8=2NCOD,則AB=2CD.其中正確

的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】

根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解答即可.

【解析】

①若A[B=C￡>，則A3=8，正確；

②若A3=8,則49=CD,故不正確；

③由AB=2CD不能得到弧AB=2弧CD,故不正確；

④若ZAOB=2NCOD,則AB=2C￡>,錯(cuò)誤.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量

相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

【典例10].如圖，MN是。O的直徑，MN=2,點(diǎn)A在。O上，ZAMN=30°,B為AN的中點(diǎn)，P是直

徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）

A.272B.72C.1D.2

【答案】B

【分析】

作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接MQ,然后根據(jù)圓周角定理、圓的對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【解析】

作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接MQ,BQ,BQ交MN于P,此時(shí)AP+PB=QP+PB=QB,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PB的最小值為QB的長(zhǎng)度，

連接AO,OB,OQ,

：B為AN中點(diǎn)，

.,.ZBON=ZAMN=30°,

ZQON=2ZQMN=2x30°=60°,

ZBOQ=30°+60o=90°.

???直徑MN=2,

.,.OB=1,

.-.BQ=7P77=V2.

則PA+PB的最小值為0.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理.解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，把題目的問題轉(zhuǎn)化

為兩點(diǎn)之間線段最短解答.

【典例11】.如圖，。。中，弦ABLCD,垂足為E,尸為CBD的中點(diǎn)，連接A尸、BF、AC,A尸交CD于

M,過尸作FH±AC,垂足為G,以下結(jié)論：①CF=DF;②"C=8F：③MF=FC：?DF+AH=BF+AF'

其中成立的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】

根據(jù)弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可.

【解析】

解：；尸為CBO的中點(diǎn)，

CF=DF，故①正確，

/.ZFCM-ZMC,

■:ZFCG=NACM+NFCM,/AME=NFMC=ZACM+ZFAC,

：.ZFMC=ZFCG>NFCM,

J.FOFM,故③錯(cuò)誤，

'JABVCD,FHLAC,

：.ZAEM=ZCGF=90°,

；.NCFH+NFCG=90。,NBAF+NAME=9Q°,

:.NCFH=NBAF,

CF=BF，

：.HC=BF,故②正確，

ZAGF=90°,

：.ZCAF+ZAFH=90°,

；?A”+CF=180°,

???C“+AF=180°,

AH+CF^AH+DF^CH+AF^AF+BF-故④正確，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于

中考選擇題中的壓軸題.

【典例12].如圖，在RSABC中，NC=90°，NA=28°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、

AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E,則弧BD的度數(shù)為（）

B

A.28。B.64°C.56D.124

【答案】C

【分析】

先利用直角三角形的兩銳角互余得出NB=62。，再利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)得到NCDB=/B=62。,

則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出/BCD,然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)求解即可.

【解析】

解：?.?/C=90。，NA=28。，

NB=62°，

?.CB=CD,

NCDB=NB=62°，

—BCD=180-62°-62°=56°，

BD的度數(shù)為56一.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圓心角的性質(zhì)，圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)

是解題的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.已知AB、CD是兩個(gè)不同圓的弦，如AB=CD,那么虛與廟的關(guān)系是（）

A.AB=CDB.第》而C.靠〈而D.不能確定

【答案】D

【解析】

試題分析：根據(jù)在同圓和等圓中相等的弦所對(duì)的弧相等分析，從而得到答案.

解：在同圓和等圓中相等的弦所對(duì)的弧才會(huì)相等，要注意同圓和的條件，本題是兩個(gè)不同的圓，所以無法

判斷兩弦所對(duì)的弧的大小，故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在同圓和等圓中相等的弦所對(duì)的弧相等的理解及運(yùn)用.

2.如圖，在。0中，AB=AC，ZAOB=122°,則/AOC的度數(shù)為（）

A.122°B.120°C.61°D.58°

【答案】A

【解析】

試題分析：直接根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求解.

解：V,AB=AC，

二ZZAOB=ZAOC=122°.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組

量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

3.下列命題正確的是（）

A.相等的圓心角所對(duì)的弦相等B.等弦所對(duì)的弧相等

C.等弧所對(duì)的弦相等D.垂直于弦的直線平分弦

【答案】C

【解析】

試題分析：根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另

外兩組量也對(duì)應(yīng)相等，分別對(duì)選項(xiàng)A,B,C進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行判斷.

解：A、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的弧對(duì)應(yīng)相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、相等的弧所對(duì)的弦相等，正確；

D、垂直于弦的直徑平分弦，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則

另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等.也考查了垂徑定理.

4.如圖，已知。O的半徑等于1cm,AB是直徑，C,D是。O上的兩點(diǎn)，且而=防=合，貝U四邊形ABCD

的周長(zhǎng)等于（）

B

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】B

【解析】

試題分析：如圖，連接OD、0C.根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系證得AAOD、△OCD.△COB是等邊三角

形，然后由等邊三角形的性質(zhì)求得線段AD、DC、CB與已知線段0A間的數(shù)量關(guān)系.

解：如圖，連接OD、0C.

VAD=DC=CB（已知），

...NAOD=NDOC=/COB（在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等）；

VAB是直徑，

ZAOD+ZDOC+ZCOB=180°,

,ZAOD=ZDOC=ZCOB=60°；

VOA=OD（。0的半徑），

AAOD是等邊三角形，

.\AD=OD=OA；

同理，得

OC=OD=CD,OC=OB=BC,

.?.AD=CD=BC=OA,

.,.四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：AD+CD+BC+AB=5OA=5xlcm=5cm；

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦間的關(guān)系與等邊三角形的判定與性質(zhì).在同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相

等.

5.如圖所示，在。0中，AB=AC，NA=30。，則NB=()

A.150°B.75°C.60°D.15°

【答案】B

【解析】

?.?在00中，AB=AC，

；.AB=AC,

.".△ABC是等腰三角形，

AZB=ZC；又ZA=30°,

?on°_on°

AZB=---------=75。(三角形內(nèi)角和定理).

2

故選B.

考點(diǎn)：圓心角、弧、弦的關(guān)系.

6.是四邊形ABC。的外接圓，AC平分NEM),則正確結(jié)論是()

3A

c

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=BDD.ZACB=ZACD

【答案】B

根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可.

【解析】

解：?.?NAC8與NACD的大小關(guān)系不確定，r.AB與AO不一定相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

故選項(xiàng)B正確；

???NAC3與NACD的大小關(guān)系不確定，二/與不一定相等，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

NBCA與ZDCA的大小關(guān)系不確定，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相

等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

7.已知，如圖，ZAOB=/COD,下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.AB=CDB.AB^CDC.AAOBACODD.△AOB,Z\CO￡＞都是等邊三角形

【答案】D

由題意根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，由NAOB=/COD,可得弦相等，弧相等以及三角形全等，以此進(jìn)

行分析判斷即可.

【解析】

解：?.?NAOB=NCW,

：.AB^CD,AB=CD?

OA=OB=OC=OD,

..^AOB^^OD,

：.A,B、C成立，D不成立.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，注意掌握三組量中，只要有一組相等，其余的都對(duì)應(yīng)相等.

8.如圖，AB是。。的直徑，C、O是半圓的三等分點(diǎn)，則NC+NO+NE的度數(shù)是()

A.90

B.120°

C.105。

D.150°

【答案】B

由于舛E+BE是一個(gè)半圓，故/C+ND=；xl8()o=90。，再根據(jù)C、D是半圓的三等分點(diǎn)可知=

1*180。=60。，故NE=，CD=!x6()o=30。，故可求出答案.

322

【解析】

解：：為E+8E是一個(gè)半圓，

.,.ZC+ZD=-xl80°=90°,

2

?據(jù)C、D是半圓的三等分點(diǎn),

CQ=；xl80°=60°,

I1

ZE=-CD=~x60°=30°,

22

,ZC+ZD+ZE=90°+30°=120°.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓周角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，解答此題時(shí)要熟知弧的度數(shù)等于此弧所對(duì)圓心角的度

數(shù).

9.如圖，。0中，弦ABLCD,垂足為E,尸為CB0的中點(diǎn)，連接AF、BF、AC,A尸交CZ)于過尸

作垂足為G,以下結(jié)論：①CF=DF;②HC=BF：③MF=FC：?DF+AH=BF+AF>其

中成立的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

根據(jù)弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可.

【解析】

解：：尸為CBD的中點(diǎn)，

*<-CF=DF>故①正確，

：.ZFCM=ZFAC,

'：ZFCG=NACM+NFCM,ZAME=NFMC=ZACM+ZFAC,

：.NFMC=ZFCG>ZFCM,

：.FC>FM,故③錯(cuò)誤，

'：ABLCD,FHLAC,

，ZAEM=ZCGF=90°,

NCFH+NFCG=90。,NBAF+NAME=9Q°,

.'.ZCFH=ZBAF,

CF=BF>

:.HC=BF,故②正確，

ZAGF=90°,

，ZCAF+ZAFH=9Q0,

?*-A〃+C尸=180°,

?,?C“+AF=180°,

：,AH+CF=AH+DF=CH+AF=AF+BF>故④正確,

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】

本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于

中考選擇題中的壓軸題.

10.如圖，MN是。O的直徑，MN=2,點(diǎn)A在（DO上，ZAMN=30°,B為AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一

動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）

A.242B.0C.1D.2

【答案】B

作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接MQ,然后根據(jù)圓周角定理、圓的對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【解析】

作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接MQ,BQ,BQ交MN于P,此時(shí)AP+PB=QP+PB=QB,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PB的最小值為QB的長(zhǎng)度，

連接AO,OB,OQ,

YB為AN中點(diǎn)，

.\ZBON=ZAMN=30o,

，NQON=2NQMN=2x30°=60°,

二ZBOQ=30°+60°=90°.

???直徑MN=2,

.,.OB=1,

.?,BQ=#7F=V2.

則PA+PB的最小值為逝.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理.解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，把題目的問題轉(zhuǎn)化

為兩點(diǎn)之間線段最短解答.

11.如圖，AB是。。的直徑，C、。是。。上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧的中點(diǎn)，連接CD、CB、OD,CD

與A8交于點(diǎn)凡若/4。。=100。，則/48C的度數(shù)為()

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

先根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出NB。。，再根據(jù)點(diǎn)C為弧的中點(diǎn)，求出NBOC的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)即可求出/ABC的度數(shù).

【解析】

乙4。。=100。，

ZBOD=180°-ZAOD^SO0,

???點(diǎn)C為弧54。的中點(diǎn)

：.ZBOC=ZDOC=—(360°-80°)=140°

2

OC=OB

：.ZABC^ZBCO=—(180°-140°)=20°

2

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查圓內(nèi)角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知圓心角、弧的關(guān)系.

12.如圖，半徑為R的。。的弦AC=B。，AC.BD交于E,尸為BC上一點(diǎn)，連片F(xiàn)、BF、AB、AD,下列

結(jié)論：①AE=BE；②若AC_LB。，則AO=血R；③在②的條件下，若"=?D，AB=丘,則8尸+CE

1.其中正確的是（）

B.@@C.②③D.①②③

【答案】D

①由弦AC=BD,可得AC=BD，進(jìn)而可得BC=AD，然后由圓周角定理，證得NABD=/BAC,即可判定

AE=BE；②連接OA,0D,由AE=BE,AC±BD,可求得/ABD=45。，進(jìn)而可得△AOD是等腰直角三角

形，則可求得AD=&R：③設(shè)AF與BD相交于點(diǎn)G,連接CG,易證得△BGF是等腰三角形，CE=DE=EG,

即可判斷.

【解析】

?V弦AC=BD,

：?AC=BD,

:，BC=AD，

，NABD=NBAC,

.??AE=BE,故①正確;

②連接OA,OD,

VAC1BD,AE=BE,

AZABE=ZBAE=45o,

，ZAOD=2ZABE=90o,

VOA=OD,

???AD二拉R,故②正確；

③設(shè)AF與BD相交于點(diǎn)G,連接CG,

;CF=CD，

/.ZFAC=ZDAC,

VAC±BD,

??,在△AGE和4ADE中，

VZAEG=ZAED=90°,AE=AE,ZEAG=ZDAE,

???AAGE^AADE(ASA),

JAG二AD,EG=DE,

AZAGD=ZADG,

VZBGF=ZAGD,ZF=ZADG,

???ZBGF=ZF,

ABG=BF,

VAC=BD,AE=BE,

ADE=CE,

AEG=CE,

?'BE二BG+EG=BF+CE,

???AB=0，

ABE=AB-cos45°=l,

???BF+CE=1.

其中正確的是：①②③，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的綜合問題，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.120。的圓心角是360。的分之一，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的分之一.

【答案】三三

根據(jù)題意可知由于圓周角為360。，則圓心角是120。的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的120°^360°=1,所以所對(duì)

的弧長(zhǎng)是相應(yīng)的圓的周長(zhǎng)的1,據(jù)此解答即可.

3

【解析】

解：120°4-360°=-,

3

它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的,，

3

答：120。的圓心角是360。的三分之一，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的三分之一.

故答案為：三；三.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的弧長(zhǎng)和圓心角，注意掌握在同一個(gè)圓中，扇形的圓心角與360度的比等于弧長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)的

比.

1后4.如圖，在兩個(gè)同心圓中，AB為60°,則CO的度數(shù)為________.

【答案】60°

根據(jù)圓心角定理可得/AOB=60。，即ZCOD=60。，則的度數(shù)為60。.

【解析】

：A8為60°，

NAOB=60°,

二ZCOD=60°,

則CD的度數(shù)為60。.

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓心角定理：圓心角的度數(shù)和它們對(duì)的弧的度數(shù)相等.

15.如圖，OA,OB,OC,OD是。。的半徑，

(1)如果NAOB=/COD,那么,=,ZAOCZBOD；

(2)如果AB=CD,那么=,；

(3)如果A8=CO，那么，，ACBD-

【答案】AB=CD,AB,CD，=AB'CD，/AOB=NCOO,AB=CD,

ZAOB^ZCOD,=

根據(jù)在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其

余二項(xiàng)皆相等進(jìn)行解答.

【解析】

(1)VZAOB=ZCOD,

/.AB=CD,AB二CD，NAOC二NBOD；

(2)VAB=CD,

:.A5=CD.ZAOB=ZCOD；

⑶vAB=CD>

；.AB=CD,ZAOB=ZCOD,AC=BD-

故答案為：AB=CD,AB，CD，=，AB，CD，ZAOB=ZCOD,AB=CD,ZAOB=ZCOD,=

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，

三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.

16.如圖，AB為。。的直徑，AaiB的邊以，PB與。。的交點(diǎn)分別為C、D.若我C=BD=?B，則

的大小為度.

o

f3

【答案】60

連接OC、OD,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得至叱AOC=/COD=NDOB=60。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答.

【解析】

連接OC、OD,

:AC=CD=DB'

二ZAOC=ZCOD=ZDOB=60°,

VOA=OC,OB=OD,

.,.△AOC和4BOD都是等邊三角形，

AZA=60°,NB=60。，

，NP=60°,

故答案為60.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相

等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

17.如圖,D、E分別是。。的半徑OA、OB上的點(diǎn),CD，OA,CEJ_OB,CD=CE,則弧AC與弧CB弧長(zhǎng)的大

小關(guān)系是.

【答案】相等

根據(jù)直角三角形的判定定理HL,可得出ACOD絲△COE,則NCOD=/COE,再根據(jù)在同圓中，相等的圓

心角所對(duì)的弧也相等得出結(jié)論.

【解析】

'：CD1OA,CE±OB,

：.ZCDO=ZCEO=90?,

,:CD=CE,CO=CO,

.,.△COD^ACOE,

ZCOD=ZCOE,

AC=BC-

故答案為相等.

【點(diǎn)睛】

考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，已知點(diǎn)C是。。的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦。E,使CO=CO.若A。的度數(shù)為35。，則臺(tái)七

的度數(shù)是.

【答案】105°.

連接OD、OE,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出NAOD=35。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和

定理計(jì)算即可.

【解析】

解：連接0。、OE,

D,

B

E

???AO的度數(shù)為35。，

:.ZAOD=35°f

?：CD=CO,

：.NOOC=NAOQ=35。，

?/OD=OE,

：?NODC=/E=35。,

：.ZDOE=180°-ZODC-ZE=180°-35°-35°=110°,

???ZAOE=ZDOE-ZAOD=\W0-35°=15°,

：.ZBOE=180°-ZAOE=180°-75°=105°,

/.BE的度數(shù)是105°.

故答案為105。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

19.已知，如圖以AB為直徑的。O,BC1AB,AC交。O于點(diǎn)D,點(diǎn)E在。O上，若NDEB=25。，則

NO.

【答案】65°

【解析】

試題分析：因?yàn)?0=30,所以NDEB二NDAB=25。，因?yàn)锽CLAB,所以NABC=90。，所以

ZC+ZDAB=90°,0ilUZC=9Oo-ZDAB=9Oo-25o=65o.

考點(diǎn)：1.圓周角定理及其推論、2.直角三角形的性質(zhì).

20.如圖所示，已知C為A8的中點(diǎn)，于M,CNLOB于N,若OA=r,ON=a,則CD=

【解析】

根據(jù)圓心角、弧、弦之間關(guān)系求出NAOC=NBOC,根據(jù)角平分線性質(zhì)得出OM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算

CM的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理得出CD=2CM,代入求出即可.

【解析】

為A8的中點(diǎn)，

AC=，

，NAOC=NBOC,

?:CNLOB,CDLOA,ON=a,

：.OM=ON=n,

；?CM=yl0C2-0M2=，＜-02，

'：CMLOA,

即OM_LC￡),

由垂徑定理得：CD=2CM=2g-a1，

故答案為：2五2_片.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓心角、弧、弦之間關(guān)系、垂徑定理，角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是求出CM的長(zhǎng)和得出

CD=2CM.

21.如圖，已知A,B,C,D是。。上的點(diǎn)，N1=N2,則下列結(jié)論中正確的有個(gè).

①AB=C￡>；?DB=CA<③AC=BD；④NBOD=NAOC.

根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系即可解決問題;

【解析】

解：VZ1=Z2,

*'?AB=CD'/BOD=NAOC,

???DB=CA，

，BD=AC,

.??正確的有：①②③④;

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考

基礎(chǔ)題.

22.如圖，正方形ABCD中，AB=5cm,以B為圓心，2cm長(zhǎng)為半徑畫。B,點(diǎn)P在。B上移動(dòng)，連接AP,

并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AP，，連接BP，.在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，BP，長(zhǎng)度的最小值為cm.

【答案】572-2

連接BP、DP\BD,根據(jù)題意易得點(diǎn)P，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2cm長(zhǎng)為半徑的圓，進(jìn)而可知當(dāng)點(diǎn)B、

D、P，三點(diǎn)共線時(shí)，BP，長(zhǎng)度的為最小，然后利用勾股定理求解即可.

【解析】

解：連接BP、DP\BD,如圖所示：

,四邊形ABCD是正方形，AB=5cm,

AB=AD=5cm,ZDAB=90°,

BD=\lAD2+AB2=5>/2-

???將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至API

/.AP=APf,ZP,AP=90°,

???/DAP為NP，AP與NDAB的公共角，

"AD=NPAB,

A△P'AD^APAB,

,/PB=2cm,

DP'=2cm,

???點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2cm長(zhǎng)為半徑的圓，如圖所示:

當(dāng)點(diǎn)B、D、P，三點(diǎn)共線時(shí)，BP，長(zhǎng)度的為最小,

BP'=BD-DP'=56-2；

故答案為5拒一2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后利用圓

的最短路徑問題求解即可.

三、解答題

23.如圖，在。。中，弦A8與弦CO相交于點(diǎn)且A8=C￡),求證：BM=DM.

【答案】詳見解析

連接82根據(jù)AB=C。得到AB=CO,再根據(jù)公共弧4c得到BC=AD，再得到NQ=NB,再利用等

腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【解析】

證明：連接8D.

,:AB=CD

AB=CD

AB-ACCD-AC即BC=AD

：.ND=NB

:.BM=DM

【點(diǎn)睛】

此題主要考查圓周角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓的基本性質(zhì).

24.如圖，在OO中，弦AD與BC交于點(diǎn)E,且AD=BC,連接AB、CD.

求證：（1）AB=CD；

（2）AE=CE.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

（1）欲證明AB=CD,只需證得AB=C￡＞；（2）連接AC,由AB=CO得出NACB=/CAD,再由等角

對(duì)等邊即可證的AE=CE.

【解析】

證明：（1）；AD=BC

AD=BC

AD-AC=BC-AC

即AB=CD

AAB=CD

(2)連接AC

':AB=CD

AZACB=ZDAC

.*.AE=CE

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角、弧、弦間的關(guān)系，注意（2）中輔助線的作法是求解（2）的關(guān)鍵.

25.已知：如圖，在。。中，弦AB與半徑OE、OF交于點(diǎn)C、D,AC=BD,求證：

(1)OC=OD：

(2)AE=BF-

【答案】(1)見解析；(2)見解析

(1)證明：連接OA,0B,證明△OACgaOBD(SAS)即可得到結(jié)論:

(2)根據(jù)△OAC絲△OBD,得到NAOC=NBOD,即可得到結(jié)論.

【解析】

(1)證明：連接OA,OB,

?；OA=OB,

AZOAC=ZOBD.

在^OAC與4OBD中，

OA=OB

?.JZOAC=ZOBD,

AC=BD

.,.△OAC^AOBD(SAS).

；.OC=OD.

(2)VAOAC^AOBD,

.*.ZAOC=ZBOD,

【點(diǎn)睛】

此題考查同圓的半徑相等的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，相等的圓心

角所對(duì)的弧相等的性質(zhì)，正確引出輔助線證明△OAC絲aOBD是解題的關(guān)鍵.

26.已知：如圖，。。中，AB弧等于BC弧等于CD弧，OB、OC分別交AC、8。于點(diǎn)E、F.試比較NOEF

與/OFE的大小，并證明你的結(jié)論.

【答案】ZOEF=ZOFE.

【解析】

連接BC,由等弧所對(duì)圓周角相等可得NECB=NFBC,則可得NOBF=NOCE,再證明△OBFg^OCE得

OE=OF即可.

【解析】

解：ZOEF=ZOFE

證明：連接BC,

?AB=CD，

AZACB=ZDBC,

VOB=OC,

AZOBC=ZOCB,

AZOBF=ZOCE,

VOB=OC,ZO=ZO,

AAOBF^AOCE,

.*.OE=OF,