相似三角形及銳角三角函數(shù)問(wèn)題-2021年中考數(shù)學(xué)經(jīng)典題型講練案(解析版)【江蘇專用】

備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)經(jīng)典題型講練案（江蘇專用）

專題12相似三角形及銳角三角函數(shù)問(wèn)題

【方法指導(dǎo)】

1.判定三角形相似的思路：

①條件中若有平行線，可用平行線找出相等的角而判定；

②條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找夾這對(duì)等角的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例；

③條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例可找夾角相等；

④條件中若有一一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例；

⑤條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或找一對(duì)底角相等或找底、腰對(duì)應(yīng)成比例.

2.相似的基本模型

（1）熟悉利用利用相似求解問(wèn)題的基本圖形，可以迅速找.到解題思路，事半功倍.

（2）證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個(gè)三

角形的對(duì)應(yīng)邊.然后，通過(guò)證明這兩個(gè)三角形相似，從而得出結(jié)果.

AB//CD

Z.B=Z.D=90°LB=L\=LC

AELECABDEsLCVD

XACDsMBDsZUBC

3.銳角三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

(2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；

(3)選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；

(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解.

【題型剖析】

【考點(diǎn)11平行線分線段成比例定理

【例1】(2020秋?錫山區(qū)期中)如圖，ZXABC中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、BC上，DE//AC,若DB=4,AB

=6,BE=3,則的長(zhǎng)是()

A.4B.4.5C.2.5D.2

【分析】由中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、BC上，DE//AC,根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可.

【解析】,：DE//AC,

：.DB：AH=BE：BC,

9

：DB=4tA8=6,BE=3,

A4：6=3：BC,

：.BC=4.5,

故選：B.

AB

【變式1-1］（2019秋?新沂市期末）如圖,在△A8C中’點(diǎn)。、E分別在邊胡、C4的延長(zhǎng)線上，布=2,

那么下列條件中能判斷。E〃BC的是（）

1DE1EC

C.—=—D.-=2

2BC2AC

【分析】利用如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線

平行于三角形的第三邊進(jìn)行判斷.

ABAC

【解析】當(dāng)一=一時(shí)，BC//DE,

ADAE

即絲=2.

AE

故選：B.

【變式1-2］（2019秋?高新區(qū)模擬）如圖，在AABC中，。、E分別在AB、AC上，DE//BC,EFIICD

交A3于F,那么下列比例式中正確的是（）

AFDEDAFAD_DFAFEFDE

-------=D.=C.=

DFBCBDABDBDF

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)找準(zhǔn)線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利

用排除法求解.

【解析】A、-EFHCD.DE//BC.

AFAEAEDE

~DF~~EC'~^C~~BC

*:CEwAC，

AFDE

----*-----.故本答案錯(cuò)誤;

DFBC

B、,.?DE//BC，EFI/CD,

.AEADAEAF

,AC"'AC-AD'

.AF_AD

~AD~~AB'

:AD豐DF、

AFAD

----*-----故本答案錯(cuò)誤;

BDAB

C、\EF//CD,DEIIBC

.AFAEAEAD

而一耘‘~EC~~BD'

AFAD

.?_.___-_1?

DFBD

.?.史N竺，故本答案錯(cuò)誤;

DBDF

D、-DEIIBC.EFI/CD,

.DEAEEFAE

~BC~~AC''CD~~AC'

故本答案正確.

CDBC

故選：D.

【考點(diǎn)2】相似三角形的性質(zhì)

[例2]（2020春?相城區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在邊。C上，DE：EC=3：1,連接

AE交80于點(diǎn)F,則△￡>￡/的面積與△￡）”的面積之比為（）

C.9：4D.3：2

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到A8=C￡>,AB//CD,貝ljDE：AB=3：4,再證明凡

EF3

利用相似比得到不=然后根據(jù)三角形面積公式求AOE尸的面積與△04尸的面積之比.

AF4

【解析】???四邊形A8C。為平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

,:DE：EC=3：1,

：.DE：AB=DE：CC=3：4,

■:DEaAB,

：./\DEF^/\BAF,

EFDE3

...△OE尸的面積與尸的面積之比=EF：AF=3t4.

故選：B.

【變式2-1]（2018秋?興化市期末）己知AABCS&DEF,頂點(diǎn)A、B、C分別與。、E、F對(duì)應(yīng)，若

AB:DE=1:2,AABC的周長(zhǎng)是5cm,則ADEF的周長(zhǎng)是cm.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：周長(zhǎng)比=相似比，即可解決問(wèn)題.

【解析】?;\ABC^^DEF,AB:DE=\:2,

.?.AABC的周長(zhǎng)：的周長(zhǎng)=1:2,

?.?A4BC的周氏是5c,〃?，

.?.ADEF的周長(zhǎng)是lOczn.

故答案為：10.

【變式2-2]（2020?梁溪區(qū)一模）如圖，△A8C中，AB=8,AC=6,N4=90°,點(diǎn)。在△A8C內(nèi)，且

平分/ABC,0c平分NACB,過(guò)點(diǎn)￡＞作直線PQ,分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q,若△APQ與△ABC相似,

則線段PQ的長(zhǎng)為（）

66

【分析】當(dāng)PQ〃8c時(shí)，如圖1,根據(jù)角平分線的定義得到NP8O=NC8。，根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)得到P8=P。，同理，DQ^CQ,設(shè)AP=4x,AQ=3x,根據(jù)勾股定理得到PQ=5x,根據(jù)

題意列方程即可得到結(jié)論；當(dāng)NAPQ=NACB時(shí)，△APQs^ACB,由勾股定理得到BC=10,過(guò)。作

DEVABE,DFLACF,QGLBC于G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。E=。尸=QG,根據(jù)三角形的

面積公式得到QE=6+Q~10=2,四邊形AEQF是正方形，推出△PEQs△。尸Qs2\CAB,求得靠=,=

咚="得到FQ=根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

AB42?3

【解析】當(dāng)尸?！?。時(shí)，，/\APQ^/\ABC,如圖1,

???。8平分NABC,

???NPBD=NCBD,

■:PD〃BC,

：.NPDB=NDBC,

：./PBD=NPDB,

：?PB=PD,

同理，DQ=CQ,

,/ZAPQ=ZABC,

AC62

tanZAPQ=tanZABC=麗=g=4，

???設(shè)A尸=4JGAQ=3x,

：.PQ=5x,

VPB=PD=8-4x,PQ=CQ=6-3xf

.".8-4x+6-3x=5x,

?\x=k，

35

：.PQ=5x=~

當(dāng)NAPQ=NAC3時(shí)，AAPg^AACB,

VAB=8,AC=6,ZA=90°,

.\BC=10,

過(guò)。作OE_LA8于E,DFLACTF,DG_LBC于G,

YOB平分NA3C,OC平分NAC3,

：?DE=DF=DG,

VSAABC=^DE(AB+AC+BC)=%B?AC,

:.DE=。干廠=2,四邊形AEDF是正方形,

：.DF//AP,

：.ZEPD=ZFDQ,

同理NEQP=NFQ￡>,

:.叢PEDs叢DFQs叢CAB,

.PEDFAC3

?'DE~FQ~AB~4

oo

：.PE=^fFQ=I，

：.PD=y/PE2+DE2=J(1)2+22=1,DQ=yjDF2+FQ2=卜+陟=?

:.PQ=PD+DQ=|+學(xué)=率

35

綜上所述，若/XAP。與△A8C相似，則線段PQ的長(zhǎng)為二，

6

故選：B.

【變式2-3］（2019春?宿豫區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,。是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。

沿直線剪下一

個(gè)與AABC相似的小三角形紙板，則不同的剪法共有（）

A.1利?B.2和1C.3種D.4種

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法分別利用平行線以及垂直平分線的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等即可得出.

【解析】如圖所示：

當(dāng)。尸〃BC時(shí)，AADF^AACB；

當(dāng)OG〃A3時(shí)，△CQGs/\ABC；

當(dāng)￡>E_LA8時(shí)，AADE^AABC；

故過(guò)點(diǎn)P的△ABC的相似線最多有3條.

故選：C.

【考點(diǎn)3］位似變換

【例3】(2019?鎮(zhèn)江模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)。(-2,0)為位似中心，把圖形耳按相似比2:1放大得

到圖形邑(即所得圖形與原圖形的相似比為2:1),P(l,l)在圖形加上，則圖形邑上與點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)

為.

【分析】分兩種情形畫出點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P,產(chǎn)即可解決問(wèn)題.

【解析】有兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)在QP的延長(zhǎng)線上時(shí)，產(chǎn)(4,2).

②當(dāng)點(diǎn)P"在PQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，片(-8,-2).

rr1ITrTnrir-rr一廠rTn

-I-Ht-+rrT-LF-+H-t-?"十T

U4.J-l.uA.J,-I-I-U..4L4u.uLJ」

LL」」_LL，」」_L…」」_LL」」」_L，」

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

rrinTriTrr,Ti-rrin-rrTn

rr-f-i-rr-r-i-i-r--t-i-rr-r-i-r-rT-i

卜?T4-4-I-I-JJ一

LL」」_LL?L」」一L一」」_LL」」一LL1」

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

m-i-rrT-i-nif-1一廠口?，一廠「T:

rrnn-rrTn-i-rn7nrT-i

L*TT-1>4TA1-H-H?-+H

L1」1L」」IL」L」」」1?

LilJ_il￡)_J

I11C-PT11111111111111

「T「m一廠「一1一1-「Ti「T1

rf不內(nèi)?Lrt-1-1-r--tt-l磨tr-t-1-1-1

i」一I-J44-I-I.k.-I-I-J4.4一一LJ一

LJL_1」_l_____l」_LL」」_LL_L」

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

FTTiTri-riTi-rrTi-i-rm

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)或(-8,-2).

故答案為(4,2)或(-8,—2).

【點(diǎn)睛】本題考查位似變換，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似變換的性質(zhì)，屬于中考

?？碱}型.

【變式3-11.(2019?興化市模擬)如圖，AABC與ADE尸位似，點(diǎn)。位似中心，3.-=-,則3迎=___.

°A2^MBC

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出答案.

【解析】???AABC與AD￡F位似，點(diǎn)。位似中心，H—=-,

OA2

.DEOD

一~AB~~OA~2"

?S、DEF_/JL\2_，

S-2-4

故答案為：—.

4

【變式3?2】（2019秋?建湖縣期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2,0）,B（0,1）,C（-3,2）,

以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABC縮小為△4'B'C,且aA'B'C與△ABC的相似比為1：2,則點(diǎn)

C.（-6,4）D.（-6,4）或（6,-4）

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答.

【解析】以原點(diǎn)O為位似中心，把△A3C縮小為B'C,且B'C與△ABC的相似比為1：

2,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-3,2）,

.?.點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，的坐標(biāo)為（-3x表2x分或（3x；,-2xa），即（-1.5,1）或（1.5,-1）,

故選：B.

【變式3.3］（2020春?吳中區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系，△

ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上.以原點(diǎn)O為位似中心，畫出△4/1C1，使它與△A8C的

相似比為2,且它與aABC在位似中心0的兩側(cè)，并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Bi的坐標(biāo)是

［分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置.

【解析】如圖所示：點(diǎn)B的對(duì)■應(yīng)點(diǎn)Bi的坐標(biāo)是(-4,-2).

【考點(diǎn)4］相似三角形的性質(zhì)與判定

【例4】(2020?如皋市一模)如圖，△ABC中，P'是邊48上一點(diǎn)，四邊形POMW是正方形，點(diǎn)。,，M

在邊BC上，點(diǎn)N'在△ABC內(nèi).連接BN',并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作NMLBC于點(diǎn)M,NPL

MN交AB于點(diǎn)P,PQLBC于點(diǎn)Q.

(1)求證：四邊形PQMN為正方形；

(2)若NA=90°,AC=］.5m,△ABC的面積=1.5機(jī)2.求PN的長(zhǎng).

P，NiBN，MiNi

【分析】(1)易得四邊形PQMN為矩形，再利用平行線分線段成比例得到弁=—=—,加上P'

N'=〃'N',所以PN=MN,從而可判斷四邊形PQMN為正方形；

(2)解：作AOLBC于。，AD交PN于E,如圖，利用三角形面積公式先計(jì)算出AB=2,再利用勾股

定理計(jì)算出8c=2.5,接著利用面積法求出AQ=《，設(shè)PN=x,則PQ=OE=x,AE=1-x,證明△APN

6

T~Xx

-△ABC,然后利用相似比得到'一=77,最后利用相似比求出x即可.

【解析】（1）證明：：NM_L8C,NPA.MN,PQVBC,

四邊形PQMN為矩形，

?/四邊形PQ'MW是正方形，

：.PN//P'N1,

.P，N，BNf

,*PN-BN'

■:MN〃M'N',

.MNBNf

??MN-BN'

PfNrMiNi

PNMN

而P'N'="N',

???四邊形PQMN為正方形;

(2)解：作AD_LBC于。，AD交PN于E,如圖,

△ABC的面積=1.5,

???一AB?AC=L5,

2

：.BC=22+1.52=2.5,

1

-BCMD=1.5,

2

設(shè)PN=x,P>lJPQ=DE=x,AE=1-x,

,:PN〃BC,

XAPNsMBC,

6

些_空anlZl會(huì)解得廣羿

一，印

ADBC-6

5

30

即PN的長(zhǎng)為一m.

37

【變式4-1］（2020秋?南京期末）如圖，在等邊△ABC中，尸為8c上一點(diǎn),。為4c上一點(diǎn)，且/APO=

60°,2BP=3CD,BP=\.

(1)求證△ABPsapc。；

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,推出NBAP=NOPC,即可得

出結(jié)論;

（2）與相似：角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出48即可.

【解析】（1）證明：:△ABC是等邊三角形,

：.AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,

VZBPA+ZAPD+ZDPC=180°,且乙“。=60°,

：.ZBPA+ZDPC=1201,,

VZDPC+ZC+ZPDC=\S0°,

：.ZDPC+ZPDC=nO0,

：.ZBPA=ZPDC,

.?.△A8PS"CQ；

(2)解：“：2BP=3CD,且2P=1,

2

.\CD=1,

?.?△ABPsdPCD,

.BPAB

?.—,

CDPC

設(shè)則尸。=x-l,

.1___x

??"3"=，

-x-1

3

.\x=3.

即AB=3.

：.△4BC的邊長(zhǎng)為3.

【變式4-2］（2019秋?贛榆區(qū)期末）如圖1,RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=6cmfBC=Scm,動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)B出發(fā)，在84邊上以每秒3c機(jī)的速度向點(diǎn)4勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒

2c機(jī)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（0<f<2）,連接PQ.

（1）若△BPQ與AABC相似，求f的值；

（2）（如圖2）連接AQ,CP,若AQJ_CP,求f的值.

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB,分△BPQSABAC、△BPQsaBCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；

（2）過(guò)P作PA/_LBC于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)M則有尸B=5f,PM=3f,8Q=8-4f,根據(jù)△ACQs

△CMP,得出AC：CM=CQ-.A/P,代入計(jì)算即可.

【解析】（1）①當(dāng)△3PQSZ\8AC時(shí)，

BPBQ

'：-=—,BP=3t.QC=2t,AB=\0cm,BC=Scm,

BABC

.3t8-2t

??—,

108

.,,20

??C一五,

②當(dāng)時(shí),

、.BPBQ

*BC~BA

.8-2t_3t

108

?*32

'-t=23;

：.t=君或一時(shí)，ABPQ與△ABC相似；

11

(2)如圖所示，過(guò)戶作于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)、N,

o1217

則有PB=31,PM=(3BM=寺3MC=8一昔3

VZNAC+ZNCA=90°,NPCM+NNCA=90°,

???NNAC=NPCM且N4CQ=NPMC=90°,

???△ACQs/\cMP,

eACCQ

"CM-MP1

62t

解得：t=~

【變式4.3](2020?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)如圖，。是回A8CD對(duì)角線8。上的一點(diǎn)，且乙4OC=2NABC,OC=

OD,連接OA.

(1)求證：E1A8C。是菱形；

【分析】(1)連接AC,交BD與H,由角的數(shù)量關(guān)系可證OA=OC=OC,由等腰三角形的性質(zhì)可得OB

LAC,由菱形的判定可得結(jié)論；

CDOD

(2)通過(guò)證明△BOSABOG可得筋=方’可得結(jié)論.

【解析】證明：(1)連接AC,交BD與H,

?：OC=OD,

：.ZDCO=ZCDO,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

???ZABC=ZADC=NADO+NCDO,AH=CH,

ZAOB=ZADO+ZDAO,ZCOB=ZDCO+ZCDO=2ZCDO,ZAOC=2ZABC,

ZAOB+ZCOB=2ZADO+2ZCDO,

???ZAOB=2ZADO,

：.ZDAO=ZADO,

：.OA=OD,

：.OA=OC,

又YAH=CH,

：.OBVAC,

???平行四邊形A8CO是菱形；

(2)???四邊形ABC。是菱形，

:.BC=CD,

:.NBDC=NCBD.

由(1)得/ODC=NOCD,

：.ZOCD=ZDBC.

在△CQ。和△5OC中，

?：NODC=/CDB,/OCD=NCBD

:.ACDOsABDC.

.CDOD

??--,

BDCD

即CD2=OD'BD.

【考點(diǎn)5］相似三角形的應(yīng)用

【例5】(2020?淮安模擬)在RtZXABC中，/C=90°,AC=20c〃?，BC^\5cm,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),

沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段C8也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)尸的速度是4cvn/s,

點(diǎn)Q的速度是2cm/s,它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

秒.求：

(1)當(dāng)f=3時(shí)，這時(shí)，P,Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？

(2)若△CP。的面積為5,求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)f為多少時(shí)，以點(diǎn)C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似?

【分析】(1)在Rtacp。中，當(dāng)1=3,可知CP、C。的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理可將的長(zhǎng)求出；

(2)由點(diǎn)P,點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，又知AC,BC的長(zhǎng)，可將CP、CQ用含f的表達(dá)式求出，代

入直角三角形面積公式S^CPQ=|CPXCQ求解;

CPCQ

(3)應(yīng)分兩種情況：當(dāng)RtACPQ^RtACAB時(shí)，根據(jù)一=一,可將時(shí)間/求出；當(dāng)RtACPQ^RtA

CACB

CPCQ

CBA時(shí),根據(jù)而=彳可求出時(shí)間八

【解析】由題意得AP=4r,CQ=2t,則CP=20-4r,

(I)當(dāng)f=3B■寸，CP=20-4z=8c7/nCQ=2t=6cm,

由勾股定理得PQ=y/CP2+CQ2=V82+62=10cm；

(2)由題意得AP=4r,CQ=2t,則CP=20-4f,

因此Rt/XCPQ的面積為S=1x(20-4t)X2t=(20t-4t2)cra2；

(3)分兩種情況:

CPCQ20—4t2t

①當(dāng)Rt^CPQsRtZ^CAB時(shí)，一=—,即-----=—,解得/=3；

CACB2015

八、,CPCQ?20-4t2t，…40

②當(dāng)RtACPQ^RtACBA時(shí)，—=—，即-----=—,解得t=-rr

CBCA1520口

因此f=3或U音時(shí)，以點(diǎn)C、P、。為頂點(diǎn)的三角形與△A8C相似.

【變式5-1]（2019秋?沐陽(yáng)縣期末）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形4BC,邊BC長(zhǎng)13cm,BC邊上的

高AD為6cm,把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在8C上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上.

（1）求證：XhEFsXABC；

（2）求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行得到BC//EF,利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他

兩邊的延長(zhǎng)線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可.

（2）設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為加加，則K￡>=EF=x,AK=6-x,根據(jù)EF〃8C,得至根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果.

【解析】（1）?.?正方形EG”F,

：.EF//BC,

：./\AEF^/\ABC,

（2）設(shè)EG=EF=x

'：XNEFS[\ABC

.EFAK

?.—>

BCAD

x6-x

?*?_—___,

136

?78

??戶西，

78

?,?正方形零件的邊長(zhǎng)為一cm.

19

【變式5?2】（2019?淮陰區(qū)一模）《鐵血紅安》在中央一臺(tái)熱播后，吸引了眾多游客前往影視基

地游玩.某天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時(shí)發(fā)現(xiàn)：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭

頂三點(diǎn)恰好在一條直線上（如圖）.已知小明的眼睛離地面1.65米，涼亭頂端離地面2米，小

明到?jīng)鐾さ木嚯x為2米，涼亭離城樓底部的距離為40米，小亮身高1.7米.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)

求出城樓的高度.

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出即可.

【解析】過(guò)點(diǎn)A作AM于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N,

由題意可得：AN=2m,=2-1.65=0.35(77/),MN=40m,

-,-CN//EM,

.-.AACTV^AAEM,

.CN_AN

20.35

"42"EM'

解得：EM=7.35,

AB-MF-1.65/n,

故城樓的高度為：7.35+1.65-1.7=7.3(米)，

答：城樓的高度為7.3m.

【考點(diǎn)6】解直角三角形

【例6】（2019?丹東模擬）如圖，在AADC中，NA=30。，NAC￡>=90。，點(diǎn)5在AC上ND8C=45。，點(diǎn)E

在3c的延長(zhǎng)線上，且43=2,CE=3,過(guò)E作EF_LAE于E,交皮）延長(zhǎng)線于尸.求的長(zhǎng).

BE

【分析】設(shè)8C=x.根據(jù)ianA=生，可得2+x=Gx,求出x即可解決問(wèn)題.

AC

【解析】設(shè)8C=x.

???ND5c=45。，EF上AE,

:.EF=BE,BC=DC，

二.AC=2+x,

AC

:.2+x=叢x,

x=G+1,

.-.EF=y/3+4.

1行

【變式6?1】（2019?楊浦區(qū)一模）如圖，AO是AABC的中線，tanB=-,cosC=—,AC=0,求：（1）

52

BC的長(zhǎng)；（2）NADC的正弦值.

【分析】（I）如圖，作AHJ_3c于”.在RtAACH中，求出AH=CH=1,在RtAABH中，求出8”即可

解決問(wèn)題;

（2）在RtAADH中，求出，AD即可解決問(wèn)題;

【解析】（1）如圖，作A//_L8C「〃.

2AC

:.CH=\,AH=y/AC2-CH2=1,

AJ-11

在RtAABH中，vtanB=——=-,

BH5

:.BC=BH+CH=6.

（2）?；BD=CD,

...8=3,DH=2,AD=dAH2+DH?=舊

在RtAADH中，sinZAD/7=—=—.

AD5

??.NADC的正弦值為且.

5

4

【變式6.2］（2020秋?太倉(cāng)市期中）如圖，在△ABC中，4。是BC邊上的高，8c=4,AD=\2,sinB=

求：（1）線段CZ）的長(zhǎng)；

【分析】（1）在Rt/\ABD中，由AD=\2,sinfi=可求出AB,再根據(jù)勾股定理求出HD,進(jìn)而求出

CD-.

（2）作高，構(gòu)造直角三角形，求出CE、AC即可，利用三角形的面積公式和勾股定理可求.

【解析】（1）是BC邊上的高，

?,.Z￡>=90°,

在Rt/\ABD中，

VsinB=

.AD4

??—―,

AB5

又?.?4。=12,

：.AB=\5f

:.BD=yjAB2-AD2=9,

又..皿二%

:.CD=BD-BC=9-4=5；

答：線段CO的長(zhǎng)為5；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CELA8,垂足為E,

』ABC=^BC-AD=^AB'CE

11

.,.-X4X12=4X15XC￡,

22

：.CE=^-,

在RtZVIEC中，

??CE_」_16

【考點(diǎn)7】銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

【例7】（2020?泰興市校級(jí)二模）現(xiàn)有一架家用可調(diào)節(jié)式腳踏人字梯，其中踏板、撐桿、地面都是水平的，

梯子的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖所示，左右支撐架A。、4c長(zhǎng)度相等，BD=\,n.設(shè)梯子一邊A。與地面的夾角為a,

且a可調(diào)節(jié)的范圍為60°WaW75°,當(dāng)a=60°時(shí)，撐桿BE的長(zhǎng)度為1.20,"（8E平行于地面，其長(zhǎng)

短隨著角度的變化可調(diào)節(jié)）.

（1）當(dāng)a=60°時(shí);求撐桿BE離地面的高度（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）調(diào)節(jié)角度，人字梯的頂端A到地面的高度能否達(dá)到2.13優(yōu)，并說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin75°g0.966,

cos750-0.259,tan750弋3.732)

【分析】(1)由sin60。=轉(zhuǎn)，即可求出踏板8E離地面的高度BH；

(2)當(dāng)a=60°時(shí)，證得△ABE和△AOC都是等邊三角形，得到A8=AE=8D=1.2,進(jìn)而可得AD,當(dāng)

a=75°時(shí)，A到地面的高度最大，過(guò)A作AFLQC,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得AF,即可得到.

【解析】(1),:BHLCD,

/.ZBHD=90",

；NBDH=a=60°,

BHy[3BH

；.sin60°=，即以

BD1

:.BH=空〃?；

(2)人字梯的頂端A到地面的高度不能達(dá)到2.13孫

理由：

當(dāng)a=60°時(shí)，BE=1.2m,

"：AD=AC,

：.AD=AC=DC,

：.ZC=60°

\'DE//DC,

...NA8E=Na=60°,ZAEB=60°,

.?.△ABE是等邊三角形，

：.AB=AE=BE=1.2,

：.AD=AB+BD=1.2+1=2.2,

：.DC=2.2,

當(dāng)a=75°時(shí)，A到地面的高度最大，

過(guò)A作于尸，

4尸=43?sin75°=2.2X0.966=2.1252<2.13Cm),

故人字梯的頂端A到地面的高度不能達(dá)到2.13m.

【變式7-1】（2020?亭湖區(qū)校級(jí)三模）有一種升降熨燙臺(tái)如圖1所示，其原理是通過(guò)改變兩根支撐桿夾角的

度數(shù)來(lái)調(diào)整熨燙臺(tái)的高度.圖2是這種升降熨燙臺(tái)的平面示意圖.AB和CD是兩根相同長(zhǎng)度的活動(dòng)支撐

桿，點(diǎn)。是它們的連接點(diǎn)，OA=OC,h（cm）表示熨燙臺(tái)的高度.

（1）如圖2.若AO=CO=80c,mNAOC=120°,求AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）愛動(dòng)腦筋的小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)家里這種升降熨燙臺(tái)的高度/?為128c〃?時(shí)，兩根支撐桿的夾角/AOC是

74°

（如圖3）.求該熨燙臺(tái)支撐桿4A的長(zhǎng)度.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?=0.6,cos37°?=0.8,sin53°七0.8,cos53°

比0.6）

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作OEJ_AC,垂足為E,利用等腰三角形的三線合一可得出/AOE的度數(shù)及4C=

2AE,在RtzMEO中，通過(guò)解直角三角形可求出4E的長(zhǎng)，再結(jié)合4c=2AE即可求出AC的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BFLAC,垂足為尸，則8尸=128a”，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出

NOAC的度數(shù)，在RtzXAB/中，通過(guò)解直角三角形即可求出的長(zhǎng).

【解析】（I）如圖2,過(guò)點(diǎn)。作0EL4C,垂足為E,

'：AO=CO,

1-I

.?./AOE=//AOC=/120。=60°,AC=2AE.

/q

在RtAAEO中,AE=AO-sinZAOE=80x%=40A/3,

."C=2AE=80V5.

答：AC的長(zhǎng)為80Wa”.

（2）如圖3,過(guò)點(diǎn)B作BFJ_AC,垂足為尸，則BF=128c?n.

U：AO=CO,N4OC=74°,

180°—74°

AZOAC=ZOCA=2=53°.

Dr-1OQ

在RtZXABF中，AB=.=4^=160cm.

sinZ-BAC0.8

答：支撐桿AB長(zhǎng)160C〃7.

圖3

圖2

【變式7-2］（2019?南京一模）如圖是小莉在一次放風(fēng)箏活動(dòng)中某時(shí)段的示意圖，她在A處時(shí)的風(fēng)箏線（整

個(gè)過(guò)程中風(fēng)箏線近似地看作直線）與水平線構(gòu)成37。角，線段明表示小紅身高1.5米.當(dāng)她從點(diǎn)A跑動(dòng)4

米到達(dá)點(diǎn)3處時(shí).，風(fēng)箏線與水平線構(gòu)成60。角，此時(shí)風(fēng)箏到達(dá)點(diǎn)E處，風(fēng)箏的水平移動(dòng)距離C尸為8米，這

一過(guò)程中風(fēng)箏線的長(zhǎng)度保持不變，求風(fēng)箏原來(lái)的高度弓力.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,8s37°a0.8,tan37°?0.75.）

RCA_iY

【分析】設(shè)AF=x,則8尸=旬+詼=4+*,在RtABEF中，BE=-------------=----------=8+2x,CF=8,

cosZ.EBFcos60°

AC=AF+FC=8+x,在RtADAC中，AD=-------------=----------=10+1.25x可建立關(guān)于x的方程，解之求

cosADACcos37°

得X的值，即可得出C￡＞的長(zhǎng)，繼而得出答案.

【解析】設(shè)AF=x,則BF=4?+AF=4+x,

DpAly

在RtABEF中，BE=-------------=———=8+2x,

cosZ.EBFcos60°

???CF=8,

/.AC=AF+FC=8+x,

ACg+V

在RtADAC中，AD=-------------=----------=10+1.25A:,

cosZDACcos37°

由題意知：AD=BE

Q

.?.8+2x=10+L25x,解得：x=-，

3

Q

:.CD=ACtanZG4D=（8+-）xO.75=8,

則Gr>=CO+GC=8+L5=9.5,

答：風(fēng)箏原來(lái)的高度a。為9.5米.

【變式7.3］（2020?秦淮區(qū)二模）如圖，某野外生態(tài)考察小組早晨7點(diǎn)整從A營(yíng)地出發(fā)，準(zhǔn)備前往正東方向

的8營(yíng)地，由于一條南北向河流的阻擋（圖中陰影部分），他們需要從C處過(guò)橋，經(jīng)過(guò)測(cè)量得知，4、8

之間的距離為13切?，ZA和的度數(shù)分別是37。和53°,橋CD的長(zhǎng)度是0.5km,圖中的區(qū)域CDFE

近似看做一個(gè)矩形區(qū)域.

（1）求CE的長(zhǎng)；

（2）該考察小組希望到達(dá)8營(yíng)地的時(shí)間不遲于中午12點(diǎn)，則他們的行進(jìn)速度至少是多少？（結(jié)果保留

1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin370-0.60,cos37°~0.80,tan37°40.75）.

【分析】（1）設(shè)CE=OF=x,由題意可知：CD=EF=0.5,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.

（2）根據(jù)路程、速度以及時(shí)間之間的等量關(guān)系即可求出答案.

【解析】（1）設(shè)CE=OF=x,

由題意可知：CO=EF=0.5,

在RtAACE中，

rp

；.tan37°=第，

在RtADBF中,

er。BF

tan37=

：.BF=DF^an310,

x

：.——+0.5+0.75x=13,

0.75

解得：x=6,

即CE=6.

（2）由題意可知：行進(jìn)時(shí)間最多5小時(shí),

.sin37=庶，cos37=亦，

?MC"得=1。，BDx耗=7.5

AC+CD+BD=10+0.5+7.5=18

，行進(jìn)速度至少為18+5=3.6初小

答：他們的行進(jìn)速度至少是3.6hM〃

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.（2020?姑蘇區(qū)一模）如圖，在平行四邊形A8CO中，點(diǎn)后在邊。。上，DE：EC=3：1,連接AE交3。

于點(diǎn)R則尸的面積與△RAb的面積之比為（）

DEC

AB

A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1

【分析】可證明根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案.

【解析】???四邊形為平行四邊形，

：.DC//AB,

:./XDFEsABFA,

?:DE：EC=3：1,

：.DE：DC=3：4,

：.DE：AB=3：4,

SADFE：5ABM=9：16.

2.（2020?如皋市二模）如圖，函數(shù)y=—］（xV0）的圖象經(jīng)過(guò)RtaAB。斜邊。3的中點(diǎn)O,與直角邊43

相交于C,連結(jié)若40=3,則AABO的周長(zhǎng)為（）

C.6+2V10D.6+2V11

由直角三角形的性質(zhì)可得8。=6,由平行線分線段成比例可得AB=

IDE,A0=20E,由勾股定理可求OA+48,即可求解.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作于E,

：.AD=BD=DO=3f

???5O=6,

*：DEI.AO,AB±AO,

J.AB//DE,

DODEEO1

BO~AB~AO~2

：.AB=2DE,A0=2E0,

1I

VSAD￡O=*EXEO=W，

：.S^ABO=^ABXAO=2,

"."AB2+AO2=OB2=36,

：.(AB+AO)2=36+8,

：.AB+A0=2y/ll,

：./XABO的周長(zhǎng)=4O+8O+A8=6+2“r,

故選：D.

3.(2020?宿遷二模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,4),P(1,0),B為)，軸上的動(dòng)點(diǎn)，以A8為邊構(gòu)

造△ABC,使點(diǎn)C在x軸上，NBAC=90°,M為的中點(diǎn)，則PM的最小值為()

【分析】作軸，CE1AH,證明△A，8s4CE4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE=28”,求出點(diǎn)

例的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式用x表示出nW,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸于H,過(guò)點(diǎn)C作CEL4H于E,

則四邊形CEHO是矩形，

：.OH=CE=4,

'：ZBAC^NAHB=NAEC=90°,

ZABH+ZHAB=90Q,ZHAB+ZEAC=90°,

ZABH=ZEAC

:.△AHBsXCEA,

AHBH2BH

—,即一=—

EC