湘教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二單元測(cè)試卷含答案解析

第二章圓單元測(cè)試題

（時(shí)限：100分鐘總分：100分）

班級(jí)姓名.總分

一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

1.如圖，。。是△ABC的外接圓，若4403=100。，則NACB的度數(shù)是（

A.40°B.50°

C.60°D.80°

2.AABC中，ZC=90°,AB=5,BC=4,以A為圓心，以3為半徑，畫圓，

點(diǎn)8與。。的位置關(guān)系是（）

A.在OA外B.在上C.在OA內(nèi)D,不能確定

3.如圖，8c是。。的直徑，A,。是。。上兩點(diǎn)，若/。=35。，

則NOAC的度數(shù)是（）

A.35°B.55°C.65°D.70°

4.有下列四個(gè)命題：①直徑是弦；②經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；③三角形

的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；④半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧.其中正確的是

)

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)..D.1個(gè)

5.若正方形的邊長(zhǎng)為6,則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為（）

A.錯(cuò)誤!未找到引用源。，3B6,錯(cuò)誤!未找到引用源。C.6,3D.錯(cuò)誤!

未找到引用源。，3夜

6.P點(diǎn)是半徑為2的外一點(diǎn)，PA、PB分別與相切于點(diǎn)A,B,若N4尸B的度數(shù)

為60。，則OP的長(zhǎng)為（）

A..26B,2GC.3.D.4

3

7.如圖，正方形ABCD中，分別以8、。為圓心，以正方

形的邊長(zhǎng)。為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖

案，則樹葉形圖案的周長(zhǎng)為（）

A-”B.3a錯(cuò)誤!未找到引用

源。

c.naD.2兀a

錯(cuò)誤!未找到引用源。

8.如圖，四邊形48C。是菱形，Z^=60°,>48=2,扇形BEF的半徑為2,圓心角為60。,

則圖中陰影部分的面積是（）

2Kr2兀、

A.--A/3B.——-

33

G/-

C.71-----D.7t—y/3

2

二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分）

9“圓的對(duì)稱軸有條.

10.如圖，。。的直徑=C為。。上一點(diǎn)，

ZBAC=30。，則8C=cm.

11.如圖，A、B、C是。。上的點(diǎn)，若4408=100,

則ZACB=度.

12.如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,26）,直線A8

為的切線，8為切點(diǎn)，則8點(diǎn)的坐標(biāo)為.

13.如圖，AB與。。相切于點(diǎn)B,A0的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)C,

連接BC,若NABC=120°,0C=3,則8C的長(zhǎng)為

14.正三角形的內(nèi)切圓半徑為1,那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為

15.如圖，在。。中，直徑A8=2,。切。。于A,BC交

。。于D,若/C=45°,則8。的長(zhǎng)是,:陰影部分

的面積為.

16.如圖，在△A8c中，Z4=90°,A8=AC=2,點(diǎn)。是邊BC

的中點(diǎn)，半圓。與△ABC相切于點(diǎn)。、E,則陰影部分的面

積等于.

三、解答題（本題共6小題，共44分）

17.（本小題滿分7分）

如圖，己知AA6C是頂角為50°的等腰三角形，AB=AC,以AB為直徑

作圓交8c于。，交AC于E,求BD,DE,AE的度數(shù).

18.（本小題滿分7分）

已知：如圖，ZXABC內(nèi)接于。。，AD為。。的弦，

Z1=Z2,DE1AB-f-E,OF_1_AC于F.求證：BE=CF.

B

D

19.（本小題滿分7分）

如圖，AO是AA6C外接圓的直徑，AD±BC,垂足為

點(diǎn)F,NA3C的平分線交A。于點(diǎn)E,連接BD,CD.

（1）求證：BD=CD；

（2）請(qǐng)判斷8、E、C三點(diǎn)是否在以。為圓心，以。8為半徑的

圓上？并說明理由.

20.（本小題滿分7分）

如圖，AB是半圓的直徑，圖1中，點(diǎn)C在半圓外，圖2中，點(diǎn)C在半圓內(nèi)，請(qǐng)（僅

用不刻度的直尺畫線）按要求畫圖.

（1）在圖1中，畫出AMC的三條高的交點(diǎn)；

（2）在圖2中，畫出△ABC中AB邊上的高.

圖1

21.（本小題滿分8分）

在RtMCB中，NC=90。，點(diǎn)。在A8上，以。為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC,A8分

別交于點(diǎn)D,E,HZCBD=ZA.

（1）判斷直線BD與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

⑵若4。：4。=8：5,BC=3,求8。的長(zhǎng).

22.（本.小題滿分8分）

閱讀下面材料?：

定義：與圓的所有切線和割線都有公共點(diǎn)的幾何圖形叫做這個(gè)圓的關(guān)聯(lián)圖形.

問題：。。的半徑為1,畫一個(gè)。。的關(guān)聯(lián)圖形.

在解決這個(gè)問題時(shí)，小明以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy進(jìn)行探究，他發(fā)現(xiàn)能畫

出很多。。的關(guān)聯(lián)圖形，例如：。。本身和圖1中的AABC（它們都是封閉的圖形），以及

圖2中以。為圓心的石/（它是非封閉的圖形），它們都是。。的關(guān)聯(lián)圖形.而圖2中以

P,Q為端點(diǎn)的一條曲線就不是。。的關(guān)聯(lián)圖形.

參考小明的發(fā)現(xiàn)，解決問題：

（1）在下列幾何圖形中，。。的關(guān)聯(lián)圖形是（填序號(hào)）；

①。。的外切正多邊形

②。。的內(nèi)接正多邊形

③Q0的一個(gè)半徑大于1的同心圓

（2）若圖形G是。。的關(guān)聯(lián)圖形，并且它是封閉的，則圖形G的周長(zhǎng)的最小值是一；

（3）在圖2中，當(dāng)O。的關(guān)聯(lián)圖形力贏的弧長(zhǎng)最小時(shí)，經(jīng)過兩點(diǎn)的直線為v=.

（4）請(qǐng)你在備用圖中畫出一個(gè)。。的關(guān)聯(lián)圖形，所畫圖形的長(zhǎng)度/小于（2）中圖形G周

長(zhǎng)的最小值，并寫出/的值（直接畫出圖形，不寫作法）.

九年級(jí)數(shù)學(xué)第二章圓測(cè)試題參考答案

一、選擇題：l.B；2.A；3.B；4.B；5.A；6.D：7.C;8.A

二、填空題：9.無(wú)數(shù)；10.4：11.130；12.(-1,73)；

13.2萬(wàn)；14.2A/3；15.V2,1；

三、解答題:

17.BD為50°,DE為50。，AE為80°.

18.連結(jié)BD,CD.

vZ1=Z2.BD=CD.

:,BD=CD.

?/Z1-Z2,BD±AB,DFLAC,

:.DE=DF.:.Rt\BDE=Rt\CDF.

：.BE=CF.

19.(1)是AABC外接圓的直徑，.?.NABO=NACD=90°.

又?.?AOL3C,垂足為點(diǎn)F,

：.ZDAC=ZBCD.

?：NBAD=NBCD.

：.ZBAD^ZCAD.

：.BD=CD.

(2)B、E、C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上，理由如下.

???BD=CD,NDBC=NDCB.

???ZABC的平分線交AD于點(diǎn)E,ZABE=NEBC.

?：ZBAE=NBCD,ZDBC=ZDCB=ZBAE.

又/BED=NEBA+NBAEZDBE=ZDBC+ZFBE

NBAE=ZDBC,ZEBA=ZFBE

：.ZBED=NDBE.DB=DE.

?；DB=DC,DB=DE=DC.

20.(1)如圖1,點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn);

(2)如圖2,CO為AB邊上的高.

C

圖1圖2

21.解：(1)直線BD與。。的位置關(guān)系是相切.

證明：連結(jié)。D,DE.

VZC=90°,

：.ZCBD+ZCDB=90°.

,/NA=NCBD,

：.ZA+ZCDB=90°.

"：OD,=OA,

：.ZA=ZADO.

：.ZADO+/CDB=90°.

.,.ZOD8=180°-90.°=90°.

AOD,±BD.

為半徑，

是。。的切線.

(2)'：AD:AO=8:5,

.一。_8

??AE-10.

???由勾股定理得AD:DE:AE=3:6:10.

VZC=90°,ZCBD=ZA.

:.MBCDSAADE.

：.DC:BC:BD=DE:AD:AE=6:8:10.

VBC=3,

,15

：.BD=—.

4

22.解：（1）①③；（2）2兀；（3）-x-y/2；

（4）答案不唯一，所畫圖形是非封閉的，長(zhǎng)度/滿足兀+2W/V2兀.

例如：在圖1中/=冗+2,在圖2中/=6.

圖1圖2

附贈(zèng)

圓

24.1圓

定義：（1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。

（2）平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°,留下的軌跡叫圓。

圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心

（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。

（3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。

（4）垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。

注：圓心一般用字母0表示

直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。

在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或廠二分之d。

圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。

圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示.

圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。

圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

（無(wú)理數(shù)），用字母”表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，n心3.14。

直徑所對(duì)的圓周角是直角。90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。nr2,用字母S表示。

一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所

對(duì)的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所

對(duì)的弦心距也相等。

周長(zhǎng)計(jì)算公式

1.、已知直徑：C=nd2、已知半徑：C=2nr3、已知周長(zhǎng)：D=c\Jt

4、圓周長(zhǎng)的一半：1\2周長(zhǎng)(曲線)5、半圓的長(zhǎng)：1\2周長(zhǎng)+直徑

面積計(jì)算公式：

1、已知半徑：S=nr平方2、己知直徑：S=n(d\2)平方3、己知周長(zhǎng)：S=n

(c\2n)平方

24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

①點(diǎn)在圓內(nèi)0點(diǎn)到圓心的距離小于半徑②點(diǎn)在圓上o點(diǎn)到圓心的距離等于半徑

③點(diǎn)在圓外O點(diǎn)到圓心的距離大于半徑

2.過三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

3.外接圓和外心

經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。

4.直線和圓的位置關(guān)系

相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。

相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做

切點(diǎn)。

相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。

5.直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定

如果。0的半徑為r,圓心0到直線/的距離為d,那么

①直線/和。0相交=d<J②直線］和。。相切O4=J③直線/和。0相離

圓和圓

定義：

兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。

兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩

個(gè)圓的外切。

兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交。

兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩

個(gè)圓的內(nèi)切。

兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。

原理：

圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：

兩圓外離<=>d>R+r兩圓外切<=>d=R+r

兩圓相交<=>R-r<d<R+r(R>=r)兩圓內(nèi)切<=>d=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含<=>d<R-r(R>r)

24.3正多邊形和圓

1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n23)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)

圓的內(nèi)接正多邊形。

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。

3、正多邊形的有關(guān)概念：

(1)正多邊形的中心一一正多邊形的外接圓的圓心。

(2)正多邊形的半徑一一正多邊形的外接圓的半徑。

(3)正多邊形的邊心距一一正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。

(4)正多邊形的中心角一一正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。

4、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。

D

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形,0Z^\引又是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的

對(duì)稱軸有n條。\/7\3c

(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。大於1/

重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

知識(shí)講解

1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，

那么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。

再如：矩形不是正多邊形，因?yàn)樗痪哂懈鹘窍嗟?，而各邊不一定相等；菱形不是?/p>

多邊形，因?yàn)椋痪哂懈鬟呄嗟?，而各角不一定相等?/p>

2、正多邊形與圓的關(guān)系。

正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n23)等份，依次連結(jié)分點(diǎn)所得的多邊形是這

個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。

相鄰分點(diǎn)間的弧相等，則所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形

的每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，

從而這個(gè)多邊形就是正多邊形。

如：將圓6等分，即翁=軌=而=加=笛肅，則AB=BC=CD=DE=EF=FA。

觀察NA、ZB,ZC,ND、ZE./F所對(duì)的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，NA=

ZB=ZC=ZD=ZE=NF。

所以，將一個(gè)圓6等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的是00的內(nèi)接正六邊形。

3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心0,正多邊形的半徑

R“一一就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距r“，正多邊形的中心角a“，正多邊形的邊

ka”。

(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角

360°

就是正n邊形的中心角都等于一?。蝗绻僮鞒稣齨邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把

這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。

如圖：是一個(gè)正n邊形ABCD……根據(jù)以上講解，我們來(lái)分析RtAAOM的基本元素：

斜邊0A一一正n邊形的半徑R,,；

一條直角邊0M——正n邊形的邊心距r?；

一條直角邊AM---正n邊形的邊長(zhǎng)a“的一半即AM=2a?；

_1a=_1_8_0_°

銳角NAOM——正n邊形的中心角&?的一半即NAOM=2"?；

1

銳角NOAM——正n邊形內(nèi)角的一半即N0AM=癰［(n-2)?180°］；

可以看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。

因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問題。

4、正多邊形的有關(guān)作圖。

(1)使用量角器來(lái)等分圓。

由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓

心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)

的正n邊形。

(2)用尺規(guī)來(lái)等分圓。

對(duì)于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。

①正四、八邊形。

BB

⑴(2)

在。0中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份,從而作出正四邊形。再

逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作/AOB的平分線交@于E)就可作出正八邊形、正十六邊形

等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在。0中，任畫一條

直徑AB,分別以A、B為圓心，以。。的半徑為半徑畫弧與00相交于C、D和E、F,則A、

C、E、B、F、D是。0的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是。0的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把0012等分……。

5、正多邊形的對(duì)稱性。

正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊

形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中

心。

如：正三角形、正方形。

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積

知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式

因?yàn)?60。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2"R,所以1。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是

2%R艮0兀R]_n兀R

而’而，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)1的計(jì)算公式：一面,

說明：(1)在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”,

/=J_X20°X10>7

例如，圓的半彳:揖成運(yùn)0

(2)在一求出第三個(gè)量。

知識(shí)點(diǎn)2、

如圖所示,陰影部分的面積就是半徑為R,圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面

積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360。的扇形面積等于圓面積成2,所以圓

加2

心角為1°的扇形面積是360,由此得圓心角為n。的扇形面積的計(jì)算公式是

.=—

周超360

可以寫成L也E?R

又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)建0,扇形面積3602130,所以又得到扇形面

積的另一個(gè)計(jì)算公式：S鎰麻齡恭——2IR

知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積

(1)弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧(包括劣弧、優(yōu)弧、半圓)組成的圖形叫做弓

形。

(2)弓形的周長(zhǎng)=弦長(zhǎng)+弧長(zhǎng)

(3)弓形的面積

如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積HKlrbnTIJ^-m口3g

把扇形OAmB的面積和aAOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形,

當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí),如圖1所示,

當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示,Sq冷=5兩羚OAmB+

近簿=彳鼻因

當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示,

注意：(1)圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。

圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積

S=—兀R?

公

C=2JIR360

S=—S=nR2

式360

C=7id