大一上高數(shù)期末考試題

大一上高數(shù)期末考試題大一上高數(shù)期末考試題

大一高數(shù)練習題

機械學院學習部編輯組

一.填空∶

1.x3112.由曲線y=

11x2dx=______________。

和x=所圍區(qū)域繞x軸旋轉一周，則旋轉體

2xsinx,y=0

的體積為___________。

43.

4x31cosxdx=_____________。

4.2tan3xsec2xdx=_____________。5.sin2x1cosxn2dx______________。

6、lim(x22x2x22x2)__________________。7、設f(x)arctan8、設f(x)9、lim(xox1x1,則dy________________。

=_____________xxx2，則f1

1x。

xxa1xa2...ann)________________)。

10、設

1ax0xsinf(x),則當(a0)時，f(x)在_____處連xx00續(xù)；當(a0)時，f(x)在________處可微。

11、過P(1,0)作曲線yx3的切線，則切線方程為______。12、設f(x)x3sinxcos3x,則13、設f(x)xn1x2f(201*)(0)=_________。

，則f(n)(0)_________。

二．單項選擇∶

1．以下積分中，收斂的是（）(A)(C)021dx1x2dxx12;

(B)dxp為常數(shù)；0xp;

(D)1xdx20ln1x.

2.以下廣義積分中，發(fā)散的為()(A)1dx01x;

(B)1dx0xtanx;

dx(C);

2x1.2(D)2dxxlnx2.

3.以下廣義積分中，收斂的是()(A)(C)11211xdx

exdx(B)21x101xln1xdx

1dx3x(D)三．計算以下極限∶

1．

limxx1cosx021arctanxsint2dt.

t2sinxeln1tdt2.limx0xtanx0

四．計算∶

t2xfuduad2y1、設f(u)可導，且f(u)≠0.令,求2.。

tdx2yfufudua2、設y1xey,求y,y。y=exey;

yyy=

ey1xey;

ye2y2y2yyyyyyyeexeey1xeeexeyye1xe=y=y21xey=y21xe1xed2ydx2=

2e2yxe3y1xey3，求

dydtdydx3、設{

dxdtxtcostytsint，。

dydxcosttsint;sinttcost;=

sinttcostcosttsint

d2yt22dsinttcost==3dx2dxcosttsintcosttsint4、設yy=

f(x),求

xdx1dy，

d2ydx2。

dydx=

11d2yfx12;2xxdxd11=fx12dxxx

=fx111212fx3xxxx

f(x)=2，求

(f(x)ax)=0，且lim5、設limxxa的值。

五.計算∶

1．1x110x83x42dx.

2．x1x2arctanxdx.

1ln1xdx.3．02x4．設

1xx1,f(x)=x,0,dxx1x0x1,,x0求ftdt.

5.6.42x2x24

arctanxx2dx

六.求由y2xx2,y0,yx所圍圖形的面積A，并求該圖形繞y軸所

得旋轉體的體積V.

七.設f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)f“x單調(diào)削減,證明:

abfxdxfafb2ba

bagxdx0.證明存在a,b使得

八.設f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且fgxdxg.。

b九.設f(x)在a,上連續(xù)，f(a)A,xlimf(x)Ba,求證：對

任意c(A,B),必存在a,，有f()c證：fx在a,連續(xù)，xlim

f(x)B

存在任意0，x，使x0x時

有f(x0)B即f(x0)B

取BC,則fx0c;又faA,

命題成立。

Acf(x0)

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大一上學期高數(shù)期末考試卷

一、單項選擇題(本大題有4小題,每題4分,共16分)1.設f(x)cosx(xsinx),則在x0處有().

（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不行導.

2.設(x)1x1x，(x)333x，則當x1時（）.

（A）(x)與(x)是同階無窮小，但不是等價無窮??；（B）(x)與(x)是等價無窮??；

（C）(x)是比(x)高階的無窮?。唬―）(x)是比(x)高階的無窮小.

x3.若

F(x)0(2tx)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(1,1)二階可導且

f(x)0，則（）.

（A）函數(shù)F(x)必在x0處取得極大值；（B）函數(shù)F(x)必在x0處取得微小值；

（C）函數(shù)F(x)在x0處沒有極值，但點(0,F(0))為曲線yF(x)的拐點；（D）函數(shù)F(x)在x0處沒有極值，點(0,F(0))也不是曲線yF(x)的拐點。4.

設f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)x210f(t)dt,則f(x)(x2x2（A）2（B）22（C）x1（D）x2.

二、填空題（本大題有4小題，每題4分，共16分）25.lim(13x)sinxx0.

6.已知cosxx是f(x)的一個原函數(shù),則f(x)cosx.xdx7.

nlimn(cos2ncos22ncos2n1n).

12x2arcsinx1－11x2dx8.2.

三、解答題（本大題有5小題，每題8分，共40分）

9.設函數(shù)yy(x)由方程

exysin(xy)1確定，求y(x)以及y(0).

)

1x7求dx.7x(1x)10.

xxe，x01設f(x)求f(x)dx．322xx，0x111.

1012.設函數(shù)f(x)連續(xù)，，且x0g(x)并爭論g(x)在x0處的連續(xù)性.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A為常數(shù).求

1y(1)xy2yxlnx9的解.13.求微分方程滿意

四、解答題（本大題10分）

14.已知上半平面內(nèi)一曲線yy(x)(x0)，過點(0,1)，且曲線上任一點

M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xx0所圍成面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題10分）

15.過坐標原點作曲線ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍

成平面圖形D.

(1)求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉一周所得旋轉體的體積

V.六、證明題（本大題有2小題，每題4分，共8分）

16.設函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q[0,1]，

q1f(x)dxqf(x)dx00.

17.設函數(shù)f(x)在0,上連續(xù)，且0xf(x)dx0，0f(x)cosxdx0.

證明：在0,內(nèi)至少存在兩個不同的點1,2，使f(1)f(2)0.（提

F(x)示：設

0f(x)dx）

解答

一、單項選擇題(本大題有4小題,每題4分,共16分)1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每題4分，共16分）

1cosx2()c6e35..6.2x.7.2.8..

三、解答題（本大題有5小題，每題8分，共40分）9.解：方程兩邊求導

xy)coxys(xy)(y)e(1yexyycos(xy)y(x)xyexcos(xy)

x0,y0，y(0)177x6dxdu10.解：ux1(1u)112原式du()du7u(1u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7|ln|1x7|C77

11.解：130f(x)dxxedx3x100x102xx2dx

xd(e)3031(x1)2dx02xx2(令x1sin)xeecosd

412.解：由f(0)0，知g(0)0。

x1xtu2e31

g(x)f(xt)dt0xf(u)du0x(x0)

g(x)xf(x)f(u)duxx002(x0)

g(0)limx0f(u)dux2limx0xf(x)A2x2

AAA22，g(x)在x0處連續(xù)。

limg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02dy2ylnx13.解：dxx

yexdx2(exdx2lnxdxC)

11xlnxxCx293

111y(1)C,0yxlnxx399，

四、解答題（本大題10分）

14.解：由已知且，

將此方程關于x求導得y2yy

02特征方程：rr20

y2ydxyx

解出特征根：r11,r22.

其通解為

yC1exC2e2x

代入初始條件y(0)y(0)1，得

21yexe2x33故所求曲線方程為：

五、解答題（本大題10分）

C121,C233

1ylnx0(xx0)x015.解：（1）依據(jù)題意，先設切點為(x0,lnx0)，切線方程：

1yxxe0e由于切線過原點，解出，從而切線方程為：

1則平面圖形面積

A(eyey)dy01e12

（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為V1，則

曲線ylnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉體體積為V2

1V11e23

V2(eey)2dy0

6D繞直線x=e旋轉一周所得旋轉體的體積

六、證明題（本大題有2小題，每題4分，共12分）

q1VV1V2(5e212e3)

116.證明：0qf(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx0

f(1)f(2)1[0,q]2[q,1]q(1q)f(1)q(1q)f(2)1故有：

q0f(x)dxqf(x)dx00證畢。

x17.

F(x)f(t)dt,0x0證：構造幫助函數(shù)：。其滿意在[0,]上連續(xù)，在(0,)上可導。F(x)f(x)，且F(0)F()0

0由題設，有

f(x)cos