新教材2023版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.1坐標法學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第一冊

2.1坐標法[課標解讀]1.探索并掌握平面上兩點間的距離公式.2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據(jù)具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據(jù)幾何問題和圖形的特點，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題；根據(jù)對幾何問題(圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數(shù)方法得到結(jié)論；給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題．教材要點知識點一數(shù)軸上的基本公式1．數(shù)軸上兩點間的距離公式：已知數(shù)軸上兩點A(x1)，B(x2)，則AB＝________，d(A，B)＝________.2．數(shù)軸上兩點間的中點坐標公式：已知數(shù)軸上兩點A(x1)，B(x2)，設(shè)點M(x)是線段AB的中點，則有x＝________．知識點二平面直角坐標系中的兩點間距離公式及中點公式1.已知在平面直角坐標系中兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有d(A，B)＝|AB|＝________.2．已知平面直角坐標系中的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)點M(x，y)是線段AB的中點，則有x＝________，y＝________．知識點三坐標法通過建立平面直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過________得到結(jié)論；給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題．這種解決問題的方法稱為坐標法．基礎(chǔ)自測1．下列各組點中，點C位于點D的右側(cè)的是()A．C(－3)和D(－4)B．C(3)和D(4)C．C(－4)和D(3)D．C(－4)和D(－3)2．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，則a的值為()A．4B．－4或2C．－2D．－2或43．在數(shù)軸上存在一點P，它到點A(－9)的距離是它到點B(－3)的距離的2倍，則P的坐標為()A．2B．－3C．5D．3或－54．(1)如圖，若A(－1，1)，C(3，1)連線的中點為M1(x，y),則M1坐標為________；(2)若B(3，4)，那么BC的中點M2的坐標是________.題型1數(shù)軸上兩點間的距離【思考探究】1．如果兩點的位置不確定，如何求其距離？[提示]分類討論．2．向量的長度及數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系．[提示]|AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA.例1已知數(shù)軸上點A，B，P的坐標分別為－1，3，x.當點P與點B的距離是點P與點A的距離的3倍時，求點P的坐標x.狀元隨筆數(shù)軸上兩點間的距離?點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系?數(shù)軸上的基本公式．方法歸納數(shù)軸上的基本公式應(yīng)用思路與方法已知數(shù)軸上兩點間的距離時，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解．跟蹤訓(xùn)練1(改變問法)本例條件不變，若點P到點A和點B的距離都是2，求點P的坐標x，此時點P與線段AB有著怎樣的關(guān)系？題型2平面直角坐標系中兩點間的距離公式的應(yīng)用例2已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(－a，0)，B(a，0)，C(0,3a)．求證：△ABC是等邊三角形．方法歸納根據(jù)邊長判斷三角形形狀的結(jié)論主要有以下幾種：等腰、等邊、直角、等腰直角三角形等．在進行判斷時，一定要得出最終結(jié)果，比如一個三角形是等腰直角三角形，若我們只通過兩邊長相等判定它是等腰三角形則是不正確的．跟蹤訓(xùn)練2(變換條件)本例若改為：已知A(－1，－1)，B(3，5)，C(5，3)，試判斷△ABC的形狀．題型3平面直角坐標系中中點公式的應(yīng)用例3已知平行四邊形ABCD的兩個頂點坐標分別為A(4，2)，B(5，7)，對角線交點為E(－3，4)，求另外兩頂點C、D的坐標．狀元隨筆先分析點的關(guān)系，借助平行四邊形的性質(zhì)，嘗試運用中點公式列方程組求解．方法歸納1．本題是用平行四邊形對角線互相平分這一性質(zhì)，依據(jù)中點公式列方程組求點的坐標的．2．中點公式常用于求與線段中點、三角形的中線、平行四邊形的對角線等有關(guān)的問題，解題時一般先根據(jù)幾何概念，提煉出點之間的“中點關(guān)系”，然后用中點公式列方程或方程組求解．跟蹤訓(xùn)練3已知平行四邊形ABCD的三個頂點坐標分別為A(0，0)，B(2，0)，D(1，3)，求頂點C的坐標．題型4坐標法的應(yīng)用【思考探究】1．如何建立平面直角坐標系？[提示](1)要使盡可能多的已知點、直線落在坐標軸上；(2)如果圖形中有互相垂直的兩條直線，則考慮其作為坐標軸；(3)考慮圖形的對稱性：可將圖形的對稱中心作為原點、將圖形的對稱軸作為坐標軸．2．建立不同的直角坐標系，影響最終的結(jié)果嗎？[提示]不影響．3．解決問題的思路是什么？[提示]幾何證明問題?坐標法?借助代數(shù)運算證明例4△ABD和△BCE是在直線AC同側(cè)的兩個等邊三角形，用坐標法證明|AE|＝|CD|.方法歸納1．對于平面幾何中證明邊相等(或不等)、求最值等類型的題目，可以建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標法將幾何問題代數(shù)化，使復(fù)雜的邏輯思維轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算，從而將復(fù)雜問題簡單化．2．在建立平面直角坐標系時，要盡可能地將平面幾何圖形中的點、線放在坐標軸上，但不能把任意點作為特殊點．跟蹤訓(xùn)練4已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，證明：|AM|＝12|BC第二章平面解析幾何2．1坐標法新知初探·自主學(xué)習[教材要點]知識點一1．x2－x1|x2－x1|2.x知識點二1.x2.x1+知識點三代數(shù)運算[基礎(chǔ)自測]1．解析：由數(shù)軸上點的坐標可知A正確．答案：A2．解析：a-12+6-22答案：D3．解析：設(shè)所求點P的坐標為x，則|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，所以x＝3或x＝－5，所以P(3)或P(－5)．答案：D4．答案：(1)(1，1)(2)3課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：由題意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，則3(x＋1)＝x－3，①或3(x＋1)＝－(x－3)．②解①得x＝－3；解②得x＝0.所以點P的坐標為x＝－3或x＝0.跟蹤訓(xùn)練1解析：由題意知|PA|＝|PB|＝2，即x+1=2，x-此時點P的坐標為1，顯然此時P為線段AB的中點．例2證明：由兩點的距離公式得|AB|＝a+a2+0-0|BC|＝0-a2+3a|CA|＝-a-02∴|AB|＝|BC|＝|CA|，故△ABC是等邊三角形．跟蹤訓(xùn)練2解析：d(A，B)＝3＝42+62＝52d(A，C)＝5＝62+42＝52d(B，C)＝5＝22+22＝8所以|AB|＝|AC|≠|(zhì)BC|，且顯然三邊長不滿足勾股定理，所以△ABC為等腰三角形．例3解析：設(shè)C點坐標為(x1，y1)，則由E為AC的中點得：-3=4+設(shè)D點坐標為(x2，y2)，則由E為BD的中點得-3=5+故C點坐標為(－10，6)，D點坐標為(－11，1)．跟蹤訓(xùn)練3解析：∵平行四邊形的對角線互相平分，∴平行四邊形對角線的中點坐標相同．設(shè)C點坐標為C(x，y)，則0+x2=2+12=32，例4證明：如圖，以B為坐標原點，直線AC為x軸，建立平面直角坐標系，設(shè)△ABD和△BCE的邊長分別為a，c，則A(－a，0)，C(c，0)，D-a2，3則|AE|＝c＝a2|CD|