新教材2023版高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程2.2直線的方程2.2.3直線的一般式方程學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

2.2.3直線的一般式方程[課標(biāo)解讀]1.掌握直線的一般式方程.2.理解關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)都表示直線.3.會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化．教材要點(diǎn)要點(diǎn)一直線方程的一般式1．定義：關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全為0)都表示一條直線，把它叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式．2．適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示．3．系數(shù)的幾何意義：當(dāng)B≠0時(shí)，則－AB＝k(斜率)，－CB＝b(y軸上的截距當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，則－CA＝a(x軸上的截距)狀元隨筆①x的系數(shù)為正；②x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；③按含x項(xiàng)，含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列．要點(diǎn)二直線各種形式方程的互化狀元隨筆解題時(shí)，若無(wú)特殊說(shuō)明，應(yīng)把求得的直線方程化為一般式．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)任何直線方程都能表示為一般式．()(2)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化．()(3)對(duì)于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，當(dāng)A＝0，B≠0時(shí)，方程表示斜率不存在的直線．()(4)當(dāng)A，B同時(shí)為零時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線．()2．直線3x＋4y＋12＝0的斜率為()A．43B．C．－43D．－3．直線x－y－1＝0的傾斜角α為()A．30°B．45°C．60°D．90°4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為()A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠05．斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)的直線的一般式方程為_(kāi)_______．題型1直線方程的一般式例1根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－12，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，－2)(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4，2)，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是32、－3(4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(3，－2)，P2(5，－4)．方法歸納求直線的一般式方程的策略鞏固訓(xùn)練1(1)過(guò)點(diǎn)P(－2，3)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0C．x－y－5＝0D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0(2)過(guò)點(diǎn)A(－2，1)，且傾斜角的余弦值為－55的直線的一般式方程為_(kāi)_______題型2一般式下直線的平行與垂直的問(wèn)題例2(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求實(shí)數(shù)m的值；(2)已知直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求實(shí)數(shù)a的值．方法歸納一般式在直線平行、垂直中的應(yīng)用直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)平行：①A2，B2，C2均不為0，l1∥l2?A1A2＝B②A2，B2中有一個(gè)為0，則根據(jù)A1，B1是否為0判斷位置關(guān)系；③若C2為0，則根據(jù)①只需判斷A1，B1與A2，B2的關(guān)系．(2)垂直：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.鞏固訓(xùn)練2(1)已知直線l1：(m＋2)x－(m－2)y＋2＝0，直線l2：3x＋(m＋2)y－5＝0，若l1⊥l2，則m＝()A．2或－5B．－2或－5C．2或5D．－2或5(2)若過(guò)點(diǎn)O(0，0)和M(1，3)的直線與直線ax－y－2＝0平行，則a＝________．題型3含參數(shù)的一般式方程例3已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過(guò)第一象限；(2)為使直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求a的取值范圍．方法歸納已知含參數(shù)的直線的一般式方程求參數(shù)的值或取值范圍的步驟鞏固訓(xùn)練3若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直線．(1)求實(shí)數(shù)m的范圍；(2)若該直線的斜率k＝1，求實(shí)數(shù)m的值．易錯(cuò)辨析忽視特殊情形，轉(zhuǎn)化不等價(jià)致錯(cuò)例4已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)l1∥l2時(shí)，求m的值．解析：由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.當(dāng)m＝－1時(shí)，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.兩直線顯然不重合，即l1∥l2.當(dāng)m＝3時(shí)，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.兩直線重合．故m的值為－1.易錯(cuò)警示出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得易忽略檢驗(yàn)截距是否相等已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則A1B2－A2B1＝0?l1∥l2或l1與l2重合．所以，由A1B2－A2B1＝0求出參數(shù)值后，需檢驗(yàn)兩直線是否重合．2.2.3直線的一般式方程新知初探·課前預(yù)習(xí)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：直線方程的斜截式為：y＝－34x－3，斜率為－3答案：D3．解析：根據(jù)題意，易知直線x－y－1＝0的斜率k＝1，由tanα＝k＝1，得α＝45°.答案：B4．解析：根據(jù)直線方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B不能同時(shí)為零，即A2＋B2≠0.答案：D5．解析：由直線點(diǎn)斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化為一般式為：2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0題型探究·課堂解透例1解析：選擇合適的直線方程形式．(1)由點(diǎn)斜式得y－(－2)＝－12(x－8)即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得x32+y-3＝1，即2x(4)由兩點(diǎn)式得y--2-4--2＝x鞏固訓(xùn)練1解析：(1)若直線在坐標(biāo)軸上的截距為0，設(shè)直線方程為y＝kx(k≠0)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)P(－2，3)，所以3＝－2k，即k＝－32所以直線方程為y＝－32x，即3x＋2y＝0若直線在坐標(biāo)軸上的截距不為0，設(shè)直線方程為xa+y-a＝因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)P(－2，3)，所以-2a+3-a＝所以直線方程為x-5+y5＝1，即x－故所求直線方程為x－y＋5＝0或3x＋2y＝0.(2)設(shè)直線的傾斜角為θ，則θ∈[0，π)，因?yàn)閏osθ＝－55，所以sinθ＝1-cos2θ所以直線的斜率k＝tanθ＝sinθcosθ＝2所以直線的方程為：y－1＝－2(x＋2)，所以直線的一般式方程為：2x＋y＋3＝0.答案：(1)D(2)2x＋y＋3＝0例2解析：(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2.當(dāng)m＝－3時(shí)，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.同理，當(dāng)m＝2時(shí)，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1與l2不重合，l1∥l2，故m的值為2或－3.(2)由直線l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.故當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，直線l1⊥l2.鞏固訓(xùn)練2解析：(1)根據(jù)題意，由l1⊥l2，則有：3(m＋2)－(m－2)(m＋2)＝0，解得：m＝－2或m＝5.(2)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)O(0，0)和M(1，3)的直線與直線ax－y－2＝0平行，所以k＝3-01解得a＝3.答案：(1)D(2)3例3解析：(1)方法一將直線l的方程整理為y－35＝a(x－15∴直線l的斜率為a，且過(guò)定點(diǎn)A(15，而點(diǎn)A(15，35)在第一象限內(nèi)，故不論方法二直線l的方程可化為(5x－1)a－(5y－