新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.4數(shù)列的應(yīng)用學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第三冊

5．4數(shù)列的應(yīng)用在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過具體實(shí)例(如購房貸款、放射性物質(zhì)的衰變、人口增長等)，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)和應(yīng)用；引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)列中各個(gè)量之間的基本關(guān)系；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)1.分期還款與數(shù)列等額本金還款法是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率，即每期還款金額＝貸款本金還款期數(shù)＋(貸款本金－已還本金總額)×2．等額本息還款法是將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還．若貸款時(shí)的資金為A0元，每一期所還錢數(shù)為x元，則x＝A0r·1+狀元隨筆(1)解決數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是讀懂題意，從實(shí)際問題中提煉出問題的實(shí)質(zhì)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決．(2)價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖、利率、增長率等問題常歸結(jié)為數(shù)列建模，從而歸納轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題去解決．3．政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)與數(shù)列政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)問題，經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯認(rèn)為，政府支出的增加會(huì)引起國民收入成倍數(shù)的增加，這就是政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)．狀元隨筆政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)有關(guān)概念的理解(1)“乘數(shù)”效應(yīng)①“乘數(shù)”效應(yīng)是一種宏觀的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)，是指經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中某一變量的增減所引起的經(jīng)濟(jì)總量變化的連鎖反應(yīng)程度．②財(cái)政政策乘數(shù)是研究財(cái)政收支變化對(duì)國民經(jīng)濟(jì)的影響，其中包括財(cái)政支出乘數(shù)、稅收乘數(shù)和平衡預(yù)算乘數(shù)．(2)政府支出政府的財(cái)政支出(包括政府消費(fèi)支出和政府投資支出)是一種與居民投資十分類似的高效能支出．政府在商品與服務(wù)上的一項(xiàng)采購，將會(huì)引發(fā)一系列的再支出．因此任何一屆政府在選擇經(jīng)濟(jì)政策時(shí)，究竟是采取擴(kuò)張性政策還是緊縮性政策，在采取行動(dòng)前必須知道實(shí)際的乘數(shù)究竟有多大，否則將會(huì)對(duì)國民經(jīng)濟(jì)造成極大的傷害．基礎(chǔ)自測1．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”．其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”．則該人第五天走的路程為()A．6里B．12里C．24里D．48里2．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)．這個(gè)問題中，甲所得為()A．54錢B．4C．32錢D．53．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款200000元作為創(chuàng)業(yè)資金，貸款的年利率為5%，如果他按照“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款，則其第二年應(yīng)還________元；如果他按照“等額本息還款法”分10年進(jìn)行還款，則其每年還款約________元．(1.0510≈1.62889)4．一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲(chǔ)蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時(shí)存款(含利息)自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入，將所有存款(含利息)全部取回，則取回的錢的總數(shù)為________．課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性貸款還款與數(shù)列例1某人年初向銀行貸款10萬元用于購房．(1)如果他向建設(shè)銀行貸款，年利率為5%，且這筆借款分10次等額歸還(不計(jì)復(fù)利)，每年一次，并從借后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少元？(精確到1元)(2)如果他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復(fù)利計(jì)算(即本年的利息計(jì)入次年的本金生息)，仍分10次等額歸還，每年一次，每年應(yīng)還多少元？(精確到1元，1.0410≈1.4802),方法歸納解決此類問題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，(1)中的利率是單利(即當(dāng)年的利息不計(jì)入次年的本金)，故所用的公式是等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；(2)中的利率是復(fù)利(即利滾利)，所謂復(fù)利計(jì)息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式為S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．故所用公式是等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，導(dǎo)致這種區(qū)分的原因是付款形式不同．跟蹤訓(xùn)練1某職工年初向銀行貸款2萬元用于買車，銀行貸款的年利率為10%，按復(fù)利計(jì)算(即將本年的本金與利潤的總和計(jì)為次年的本金)，若這筆貸款要求10次等額還清，每年一次，10年還清，并且從貸款后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少元？(1.110≈2.5937)政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)與數(shù)列例22019年某市政府投資8千萬元啟動(dòng)鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目．規(guī)劃從2020年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項(xiàng)目.2019年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的時(shí)間里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記2019年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n∈N＋)年的累計(jì)利潤(注：含第n年，累計(jì)利潤＝累計(jì)凈收入－累計(jì)投入，單位：千萬元)，且當(dāng)f(n)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利．(1)試求f(n)的表達(dá)式．(2)根據(jù)預(yù)測，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由．跟蹤訓(xùn)練2假設(shè)政府增加某項(xiàng)支出200億元，每個(gè)受惠的居民會(huì)將60%的額外收入用于國內(nèi)消費(fèi)，則經(jīng)過20輪影響之后，最后的國內(nèi)消費(fèi)總額為________億元．(最初政府支出也算是國內(nèi)消費(fèi)，結(jié)果精確到1億元，0.621≈0.000022，0.620≈0.000037)數(shù)列遞推公式的實(shí)際應(yīng)用例3某企業(yè)投資1千萬元用于一個(gè)高科技項(xiàng)目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年底需要從利潤中取出資金200萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，問經(jīng)過多少年后，該項(xiàng)目的資金可以達(dá)到或超過翻兩番(4倍)的目標(biāo)？(lg2＝0.3)方法歸納理解題意，建立數(shù)列中an與an＋1或an與an－1之間的關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．跟蹤訓(xùn)練3某城市2010年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？教材反思1．本節(jié)課的重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問題，難點(diǎn)是如何化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是明確題設(shè)信息，利用遞推關(guān)系式與方程思想建立等量關(guān)系．2．明確分期付款中的2種常見方式等額本金還款法和等額本息還款法，前者為等差數(shù)列模型，后者為等比數(shù)列模型．3．以數(shù)列知識(shí)為背景的應(yīng)用題是高中應(yīng)用題中的常見題型，要正確快速地解決此類問題，需要在理解題意的基礎(chǔ)上，正確處理數(shù)列中的遞推關(guān)系．

5．4數(shù)列的應(yīng)用新知初探·自主學(xué)習(xí)[基礎(chǔ)自測]1．解析：記每天走的路程里數(shù)為{an}，由題意知{an}是公比為12的等比數(shù)列，由S6＝378，得S6＝a11-1261-12＝378，解得a1＝192，∴a答案：B2．解析：設(shè)所成等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則依題意，有5a1+5×答案：B3．解析：如果采用“等額本金還款法”，第二年應(yīng)還20000＋(200000－20000)×5%＝29000(元)．如果采用“等額本息還款法”每年應(yīng)還200000×5%1+5%101+5%答案：29000259014．解析：根據(jù)題意，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)，孩子在一周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1＋r)17，同理，孩子在2周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1＋r)16，孩子在3周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1＋r)15，……孩子在17周歲生日時(shí)存入的a元產(chǎn)生的本利合計(jì)為a(1＋r)，可以看成是以a(1＋r)為首項(xiàng)，(1＋r)為公比的等比數(shù)列的前17項(xiàng)的和，此時(shí)將存款(含利息)全部取回，則取回的錢的總數(shù)S＝a(1＋r)17＋a(1＋r)16＋…＋a(1＋r)＝a1+r1+r17-11+r-1＝ar[(1答案：ar[(1＋r)18－(1＋r課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)設(shè)每年還款x元，依題意得x＋x(1＋5%)＋x(1＋2×5%)＋…＋x(1＋9×5%)＝100000×(1＋10×5%)，∴x＝105×1.512.25≈(2)設(shè)每年還款x元，依題意得x＋x(1＋4%)＋x(1＋4%)2＋…＋x(1＋4%)9＝100000(1＋4%)10，即105×1.0410＝1.0410-11.04-1×x，x≈跟蹤訓(xùn)練1解析：設(shè)貸款數(shù)額為a0元，貸款年利率為α，每年等額歸還x元，第n年還清，則一年后的欠款數(shù)為a1＝(1＋α)a0－x，二年后的欠款數(shù)為a2＝(1＋α)a1－x＝(1＋α)2a0－x[(1＋α)＋1]，三年后的欠款數(shù)為a3＝(1＋α)a2－x＝(1＋α)3a0－x[(1＋α)2＋(1＋α)＋1]，……，n年后的欠款數(shù)為an＝(1＋α)an－1－x＝(1＋α)na0－x[(1＋α)n－1＋(1＋α)n－2＋…＋(1＋α)＋1]，由于an＝0，貸款還清，∴(1＋α)na0＝x·1-∴x＝α1+將α＝0.1，a0＝20000，n＝10代入，得x＝20000×0.1×1.1101.110∴每年還款3255元．例2【解析】(1)由題意知，第1年至此后第n(n∈N＋)年的累計(jì)投入為8＋2(n－1)＝(2n＋6)(千萬元)．第1年至此后第n(n∈N＋)年的累計(jì)凈收入為12+12×3＝121-32n1則f(n)＝32n－1－(2n＋6)＝32n－(2)該項(xiàng)目將從2026年開始并持續(xù)贏利．理由：f(n＋1)－f(n)＝[32n+1－2(n＋1)－7]－[32n－2n－7]＝當(dāng)n≤3時(shí)，f(n＋1)－f(n)<0，故當(dāng)n≤3時(shí)，f(n)遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，f(n＋1)－f(n)>0，故當(dāng)n≥4時(shí)，f(n)遞增．又f(1)＝－152<0，f(7)＝327－21≈f(8)＝328－23≈所以該項(xiàng)目將從第8年即2026年開始并持續(xù)贏利．跟蹤訓(xùn)練2解析：根據(jù)題意可知，經(jīng)過20輪影響之后，最后的國內(nèi)消費(fèi)總額為200＋200×60%＋200×(60%)2＋…＋200×(60%)20＝200-200×60%21答案：500例3【解析】設(shè)經(jīng)過n年后，該項(xiàng)目的資金為an萬元．由題，an＝an－1(1＋25%)－200(n≥2)，整理可得an－800＝54(an－1－800)即{an－800}成一個(gè)等比數(shù)列，a1＝1000(1＋25%)－200＝1050，a1－800＝250，∴an－800＝25054n-1，an＝250令an≥4000，得54n≥16，解得n≥即至少要過12年才能達(dá)到或超過翻兩番的目標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練3解析：設(shè)每年新增汽車為b萬輛，該城市第n年末的汽車保有量為an，則容易得到an和an－1的遞推關(guān)系：an＝(1－6%)an－1＋b＝0.94an－1＋b(n≥2)，即an－503b＝0.94(