微13 導(dǎo)數(shù)解答題之雙變量問題（解析版）-2023年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微提分

微專題13導(dǎo)數(shù)解答題之雙變量問題

【秒殺總結(jié)】

1、破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含

單參數(shù)的不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果；

四是主元法.

【典型例題】

例1.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=J+x2-2x-l(x>0),g(x)=(lnr)2,其中

e為自然對數(shù)的底數(shù)，約為2.71828.

⑴求函數(shù)“X)的極小值；

⑵若實(shí)數(shù)加，，滿足機(jī)且/(〃2)=g(〃)Ne-2,證明：mn>1.

f(尤)=---—+2x-2=(x-l)—+2

【解析】(1)由題意可知，*N<

令制x)=O,則解得x=l,

當(dāng)x>l時，

當(dāng)0<x<l時，照x)<0,

所以f(x)在(0,1)上遞減，在。,口)上遞增.

所以當(dāng)x=l時，函數(shù)/(x)取得極小值為〃1)=2+12_2xl-l=e-2.

(2)若則顯然成立；

若0cm<1,令工=”,€(0,1),因?yàn)間(〃)=g(〃').

n

當(dāng)x>l時，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)Ovxvl時，g(x)單調(diào)遞減；

g(x)=不

A

令/z(x)=f=-e---vx1-2x-l-(lnx)2(O<x<1),

,、_i7_i7

則"(x)=—r—ex+2x-2——lnx<—r—(x+l)+2x-2——\nx

——-+2x2-2x-21nxj.

r2_］

令刈不卜2----+2x2-2x-2\nx,

.1.,/x.i124x3—x2—2x4-1

則m=4x-l+-y--=-------2-------

令機(jī)(x)=4d—x2-2x4-1,則rrl(x)=12x2—2x-2=2(2x—l)(3x+l),

所以,77(X)2〃(；)=；_；=；>(),即^(x)>0,

所以z(x)在0<xVl時遞增，從而Mx)4⑴=°，即〃(x)40,

所以Mx)在0<xWl時遞減，所以Mx)N〃(l)=e-2>0,

從而〃x)>g(x)，

所以y(m)=g(")</(〃),

所以，">1,即"7〃>1.

n

例2.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)“到二以2-x-lnx(aeH).

⑴當(dāng)4=2時，求函數(shù)“X)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線方程；

⑵當(dāng)xe［l,2］,求函數(shù)/(X)的最大值；

(3)若函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點(diǎn)占,2，證明：〃%+%)>2-皿辦+七).

【解析】⑴當(dāng)。=2時/(%)=2/*1叫“3一41一［

.■.r(l)=2,=??.切線方程為：y^2x-1.

r,(\112or2-x-1

.f(x)=2oax-\——=---------(x>0)

(2)xx,

①當(dāng)aWO時，r(%)<0,\/(x)在［1,2］單調(diào)遞減,

?,"(%x=aT

②當(dāng)“21時-，f2/XT=(X1)(2X+1)4()

XX

\/(x)在［1,2］單調(diào)遞增，.?J(x)3=〃-2-ln2

③當(dāng)0<a<l時，〃x)=0nx=l+2+8a,

(i)當(dāng)上互電<2即:<"1時，

4a8

1+>j\+

\/（X）在1，單調(diào)遞減,上遞增

4a

l+ln2)

（8

l+ln2’.

4a-2-ln2-----<a<\

3

（ii）當(dāng)1+J1+8a22即0<“<3時,

^a8

\/（》）在［1，2］單調(diào)遞減，二〃同皿=。一1,

A1+1吟

綜上：/（Hmax

c(14-ln2

4〃-2-ln2a>-----

I3

(3)證明：要證/(A+N)>2-皿與+赴)，

只需證〃(百+”2/一(百+w)_ln(F4-x2)>2-ln(x,+x2),

2

只需證4(X+x2)-(Xj+x2)>2,

因?yàn)閍x^-x,-\nx}=0,ax\-x2-\nx2=0,

兩式相減得:。(才一,)-(5-工2)-(1nAi-瓜幻=。.

/、，Inx.-lnx

整理得。(司+W)=1+—!-----9-.

七一々

所以只需證『號詈）

(%+x2)-(xj+x2)>2,

<

lrixI-lnx2、

即證（內(nèi)+々）>2,

五+1

即土---In—>2,不妨設(shè)0<為<占，令，=%(0</<1),

A__JX2x2

x2

只需證—~?In/>2,

t-\

只需證(r+l)lnf_2(f_l)<0,

設(shè)〃⑺=(r+l)lnr_2(I),

只需證當(dāng)0<f<l時，〃(/)<0即可.

"⑺=Inf+；-1,/(r)=；-7=*<0(0<r<1),

⑺在(0,1)單調(diào)遞減，

.?.當(dāng)0<1<1時，〃'⑺>〃'⑴=0,

二”⑺在(0,1)單調(diào)遞增，當(dāng)0<.<1時⑴=0,

.?.原不等式得證.

例3.(2023?吉林長春?高三長春市第二中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)_/(0=(丁+1)10?《/-1).

(1)當(dāng)。=1時，求〃x)在x=l處的切線方程；

(2)當(dāng)時，〃x)20恒成立，求。的取值范圍；

(3)證明：當(dāng)機(jī)>〃>0時，++.

【解析】⑴當(dāng)a=l時，/(x)=(x2+l)liu-(x2-l),(x>0),

/,(x)=2xlnx+--x,x>0,?/,(l)=21nl+l-l=0,/(l)=0,

所以f(x)在x=l處的切線方程為y—0=0(x—l),即y=0.

(2)由題意得/(%)=2N2+工+,-2奴,》2:1,

由當(dāng)時，/(x)±0恒成立，而"1)=0,即x=l時函數(shù)取得最小值，

由于,>1,

XX

故/(x)=2xlnx+x+——2ax>2x\nx+2-2cix=2x(lnx+1-a),

當(dāng)1—時，/(%)>0,等號僅會在x=l時取得，貝iJaKl,

此時當(dāng)％31時，遞增，K/(x)>/(l)=0；

卜.面證明只有時，當(dāng)時，/(x)NO恒成立.

因?yàn)椋?1,所以(d+l)lar——1)2(f+])山_12_jj,

只需證明(/+1)12一(%2一1"0恒成立；

設(shè)g(x)=(f+l)]nx--1),=2xlnx+--x,

令ni(x)=2x\nx+--x,mr(x)=21nx+1--V20,僅在x=1時取得等號，

xx~

故g\x)=2x\nx+/一x,(xN1)單調(diào)遞增,則g'(x)2g'⑴=0,

X

故g(x)=(x2+l》iu-(x2-l),(x*l)單調(diào)遞增，

所以g(x)Ng⑴=0,即此時當(dāng)X21時，/(X)加恒成立.

當(dāng)a>1時，f(x)=(f+l)]nx-a^x2-1),

則f'(T)=2xinx+x+——2ax,令/i(x)=2xlnx+x+——2ax,

XX

則〃(x)=3+21nxy-2a,在□,+<?)上為增函數(shù)，

廠

且〃'(l)=2-2a<0,h'(ea)=3+2a--\--2a=3--^>0,

e~"e~"

故存在x0€(l,e")使得/?'(%)=0,

則人€。，式0)時，hr(x)<0,則/'(x)=2xlnx+x4----2dx遞減，

x

_arw<r(i)=2(i-a)<o,

即/(x)=(x2+l)lnx-a■2-1)在(1,%)上遞減,

而/⑴=0，則當(dāng)xe(l,x。)時，/(x)</(l)=o,與題設(shè)矛盾，

故當(dāng)時，不合題意，

綜合上述可知：a<\.

(3)當(dāng)/”>〃>0時，令/=生1>1,則⑵〃+〃)In>6〃,即皿上工〉一^―

nVm-n)r-12r+l

故要證明當(dāng)機(jī)>〃>0時，(2m+")ln["+2”)>6〃,

Im-n)

只需證明…罟

.f+2?.f+23

令〃=---,則〃=-----=1H----->1t,

r-1t-\t-\

故需證明…”誓匕"小

丫2_]

令〃=x\x>i,則需證：]nx>F—,(x>l)恒成立，

由(2)知(f+l)lnx-任一1)之0恒成立,即lnx>W1,a>l)恒成立,

故當(dāng)/%>〃>0時，(27W4-72)In["+2”]>6〃.

Im—n)

例4.(2023?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知〃x)=x2+2ax—2(ar+l)lnx,記/(x)的導(dǎo)函

數(shù)為g(x).

⑴討論g(x)的單調(diào)性;

⑵若g(x)有三個零點(diǎn)%，%，%，且辦<尤2<*3，證明：&+W+%>3(aT).

2

【解析】⑴由題意知：“X)定義域?yàn)?O,+8),r(x)=2x-2?lnx-p

,+1

即g(x)=2x-2alnx-Z(x>0),.-.g(x)=2--+^=~^)；

x''xX?X*

令9(x)=f-狽+1,則△=/一4；

①當(dāng)A40,即一24a42時，*(x)*0恒成立,即g'(x)20恒成立,

.?.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)△>(),即a<—2或。>2時，令0(x)=0,解得：x=a±4；-4；

當(dāng)"一2時，"Ja2-4〈”號~4<0,,(x)>o在(0,+助上恒成立，即g，(x)>0恒成

立，

；.g(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃>2時，0<竺近三a〈生五三a

22

.,.當(dāng)xe0,&-｛凸,+a>時，9(切>0,即g'(x)>0；當(dāng)

k)\?

a+\Ja2-4|1

——Z——時，Q(X)VO,即g[x)<0；

遞減；

綜上所述:當(dāng)a?F,2］時，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)/(2,+00)時,g(x)在

(a-yla2-4(〃+Ja=-4?L品、田、*(a-d。2-4a+\la2-41.品、田*、件

0,---,—--,內(nèi)上單調(diào)遞增，，在——-——,——-——上單倜遞減.

(2)若g(x)有三個零點(diǎn)，則由(1)知:a>2t

又g(l)=0,

22

/八a—yja-4a+yja—4

〉o,g<u,0<%<---------<x2=1<---------<x3;

21

=-+2a\nx-2x=-g(x),「.g—=-^(^)=0=^(^),

又?

要證司+W+&>3(a-l),只需證玉+“3>3〃-4,即證，+芻>3。-4；

,、11八七---

由g(玉)=0得：七-----6/Inx3=0,即—x3

XiCl=

Inw

3

即證1人、獨(dú)一五又In*?>。，；.只需證ln[>3(…-)；

:

—+x3>-...--4七+4%+1

X3lnx333

令〃3="-^￡^(工>1)‘則〃'")=2'+\+/<(,：4?+1)2

；.〃(x)在(1,+00)上單調(diào)遞增，.1/z(x)>"⑴=0,

即當(dāng)x>l時，lnx>:卜--1)-恒成立,

x-+4x+l

.X,>1,■?.lnx3>則原不等式得證.

例5.(2023?浙江?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(x)=eT-orlnr(a>；

(1)若〃x)43-2x,求a的值;

⑵證明:/(m)+/W+/W<3.

【解析】(1)設(shè)g(x)=/(x)+2x-3=ei-axlnX+2%—3,則g(l)=。,

g'("=-e——a(lnx+l)+2,令g<l)=]_Q=0,可得々=],

其中x>0,則/?加擊｛=13

令〃(x)=2-e”"—q(lnx+l)

令夕(》)=擊一。，其中X>。，則"(x)=^7^，

當(dāng)0<x<l時，p(x)>0,此時函數(shù)p(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>l時，p'(x)<0,此時函數(shù)p(x)單調(diào)遞減,

所以，，(旦皿=#1)=1-內(nèi)

①當(dāng)a=l時，p(x)<p(l)=0,則/(x)=1p(x)W0且"(X)不恒為零,

所以，函數(shù)g'(x)在(。,+8)上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)0<x<l時，g'(x)>g，⑴=0,則g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>l時，g'(x)<g'⑴=0,則g(x)單調(diào)遞減，

所以，g(x)4g⑴=0,Bp/(x)<3-2x；

②當(dāng)”>1時，p(x)<p(l)=l-a<0,則/i'(x)=，p(x)<0,

所以，函數(shù)g'(x)在(。,+8)上單調(diào)遞減，

因?yàn)間'(l)=l_a<0，g'(1)=2_e'°>0,

此時，存在為(，,1),使得g'a)=0,且當(dāng)g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以，g(xJ>g(l)=0,不合乎題意；

③當(dāng);<4<1時，=。⑴=1-4>0,

因?yàn)?-a=-alntz>0,

由于函數(shù)p(x)在0，”)上單調(diào)遞減，故存在工2=1一皿。，使得當(dāng)時，〃(%)>0,

此時，/7'(X)=Jp(X)>0,則函數(shù)g'(X)在(1,電)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)。￡(1,%)時,/(x)>gr(l)=l-a>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以，g(w)>g(i)=o,不合乎題意.

綜上所述，若〃%)K3—2x,a=l.

(2)證明：設(shè)9(x)=/(x)_>llnjv=ei_arlnx_41nx,則夕(1)=],

^/(x)=-e,~'v-tz(lnx+l)--,令夕'(1)=一1一〃-4=0,可得九=_々_1.

當(dāng)幾=—4—1時，設(shè)〃(x)="(X)=-C1'—tz(lnX+1)H----,

則/(x)=-----'——』—,

v(^)=x2e,-A—1,則vz(x)=(2x-x2)e,-x,

當(dāng)0cx<2時，v(x)>0,此時函數(shù)y(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>2時，vz(x)<0,此時函數(shù)u(x)單調(diào)遞減.

4

所以,當(dāng)％>0時,v(x)<v(2)=一一1,

e

因?yàn)楫?dāng)0<x<l時，v(x)<v(l)=0Ji?>7-此時+

4r

當(dāng)xzi時，但<0=2__L<_L<“，此時也有“(x)<o,

x+l2e24

所以，當(dāng)x>0時，*'(%)=〃(力單調(diào)遞減，

當(dāng)Ovxvl時,^(x)=?(x)>M(l)=0,多工)單調(diào)遞增,

當(dāng)太>1時，°'(x)=〃(x)v〃⑴=0,°(x)單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)a>；時，(p{x)<(p(\)=\,所以，/(x)<l-(a+l)lnx,

所以，/(/?)+/^+/^<3-(a+l)ln^.l.^=3,故原不等式得證.

例6.(2023?湖北?宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知直線/與曲線>=1/犬相切于點(diǎn)

2

(x0,lnx0)(x0>e).證明：

(1)/與曲線y=li?x恰存在兩個公共點(diǎn)(知1112%),(%,1112%)(兀<%)；

(2)2x0+x0>3e.

【解析】(1)y=—,所以在(xslYx。)處的切線方程為y=2aS(x-x°)+ln2x”,

X“0

令/(x)=ln2x-網(wǎng)*(》-%)-111飛，則原問題轉(zhuǎn)化為/(X)存在2個零點(diǎn)：X。/。，并且

xo

x'o<xo,

a,、2\nx21nx°一(、、21nx21nx,，/、2(1-Inx}

fM=----------令/?(x)=/(x)=-------------01,則萬(司=衛(wèi)佇1，

x玉)]玉)X

顯然以X)在(O，e)遞增，(e,”)遞減，,/>e，,/z(e)>//(xo)=O,ft(D=——^<0,

“0

故存在唯一的玉e(l,e),

使得/G)=Mx)=O/(x)在(o,xj遞減，使,土)遞增,(%<),+<?)遞減，

121nx[1.等(4-1)>。

并且f-=ln2------0----玉)Tnx20=

22

/(x,)=lnxl-^^-(xl-x0)-lnx0,

X。

/(%)=---=0,，皿=嶼當(dāng)=心ln^

%x0Xi/In%

\A、

“xj=It?%_而X。nx

%?-----%0=In-In-XQ_2InX1+2In

玉)In/J

=(lnx,一ln%))(lnx+In/一2),

,X|VXo，「.lnX|—lnXoVO,下面證明In%+ln%>2：

令匹，則fVl,則,由于”=竺，即氐=興,

4=lnr0=lnx0,%>1

考察函數(shù)2。)=二，貝iJp'(r)=7，當(dāng)Al時單調(diào)遞減，0?1時單調(diào)遞增，p(l)」，

eee

并且當(dāng)t>o時，p(f)>o,的圖像大致如下圖:

下面證明極值點(diǎn)偏移問題：令Mf)=p(2T)-p(r)=|^-，(f>l),

(e'-e2T、

F(f)=(l-f)——,f>l,.」>2-f,e-e2T>0,K(r)<0,

%(f)是減函數(shù)，左")<%(1)=0,，％+%>2,即ln±+lnx°>2,

山于/(%)=0，/(x)的大致圖像如下圖:

故存在,并且只有當(dāng)。時，當(dāng)時；

—,x0,/(xo)=OxVx/(x)>0,x>//(x)40

\x0/

3

,3e

(2)先證明XQXG>e,即不>—,

XQ

佇33

由(1)的結(jié)論知，只需證明f1二221nxfe)

即XQ0

>0,ln~---In———-x0>0,

lxo.%與(蒞J

,3,3\33(3y

,整理,只

H|]IIn―-+Inx()—In~x()-2Inx0——1=ln~―-+2Inx()?ln---21nx01—--1>0

X。

需1-4>-Nl吸(3一'),

xG21nxo

令f=lnx0>l,即證3?二1世-3)*_3，_],即°")=曖-3

2t

.⑴=箜鏟>0.)在(*)遞增以…⑴=1,得證.

由均值不等式：2x()+Xo=X0+/+%>3也京7>3€>故2與+x。'>3e.

A

例7.(2023?浙江麗水?高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末)已知函數(shù)f(x)=耳.

⑴求函數(shù)/(x)在點(diǎn)處的切線方程;

(2)若小電為方程/(x)=&的兩個不相等的實(shí)根，證明:

(i)/(x)>-x+-；

V722

..fe42|9

(ii)歸一引4-+-k--.

<2e74

廠e‘1-

【解析】(1),.")=e.一而二二.二)e',.../，(；)=^!_=-21，又/]￡|=2?,

x2/4

二所求切線方程為：y-2?=-2e|x-￡|,即y=_2?x+|e；

⑵⑴令8(加/5對則g")定義域?yàn)?。，+孫，(上(震(：：『

.,.當(dāng)xe(O,l)時，g,(x)<0；當(dāng)xw(l,+co)時，g[x)>0；

；.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(I,”)上單調(diào)遞增；，g(x)*=g6=],

即??卡亨+會即/⑴號+1

x15-,.f-11->1-

(ii)令/z(x)=—e^=+2e?！猠4,貝!J〃(x)=x2——x2eA+2e4,

Jx2I2J

i_5

令夕(x)=//(x),則°1力=^^2(4x2-4x+3)eA>0,

〃'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又"(；)=0,

,

.,.當(dāng)xe(o,；)時，/(x)<0：當(dāng)xe(；,+8)時，/J(x)>0；

.?/(x)在(0,；)上單調(diào)遞減，在(；,+℃)上單調(diào)遞增；

e*151

即-^=>-2e4x+-e4

五2

不妨設(shè)不<%，

sP42k

由圖象可知：>-----k,x><------1；

142-e

?布-止艾-1羋-

11e42

例8.（2023?河北邯鄲?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f（x）=elx-2x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

⑴求曲線y=〃x)在x=l處的切線方程；

(2)已知%是g(x)=f(x)-*2的極大值點(diǎn),若g(xj=g(xj,且W<0.證明:

In(內(nèi)+x2+2)>2x0+In2.

【解析】(1)/(x)=e2x-2x,

則/'(x)=2e”-2,

則曲線丁=/(x)在x=1處的切線的斜率為k="1)=2e?-2,

/(D=e2-2,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(he?-2),

則曲線y=〃x)在x=l處的切線方程為y—卜2-2)=(2/-2)(了一1),

整理得:y=(2e2-2)x-e2；

(2)g(x)=f(x)-x2=e2x-2x-x2,

貝iJg〈x)=2e2x-2x-2,

設(shè)=g'(x)=2e2v-2x-2,

則”⑺=4e2-2,

則當(dāng)x>—竽時，〃'(x)>0,當(dāng)x<—竽時，〃'(x)<0,

In2

h,+8上單調(diào)遞增，在-00,―--上單調(diào)遞減,

則MM.=ln2-l,

則g'(")min=g'=ln2-l,

In2

^(-l)=2e-2>0,g'=ln2-1<0,

2x

，使得g'(%)=。,BPe0=x()+1,

^(0)=2e°-0-2=0,則當(dāng)x?%0)時，

則g(?在(與,。)上單調(diào)遞減，

in(xj++2)>2x0+In2,則In(%十二十？]〉2%,

2

則要證明ln&+々+2)>2/+In2,即證明受士產(chǎn)>e^=毛+1,

即苔>2%-三,

.g(x)在(玉,0)上單調(diào)遞減,且&(內(nèi))=8(W)，且芻<百<°，

x2<x0<x,<0,

0),6(X,O),

二為€(%,2XQ-X2O

則要證明內(nèi)>2%-%,即證明5(^)<g(2x0-x2),

g(xJ=g(W)，

；?證明g(芻)<g(2七一%)即可，

令F(x)=g(x)-g(2x()-x),xey，M),

2t2(2

貝ljF'(x)=g，(x)—g，(2x。-x)=(2e-2A-2)+[2e^-2(2x0-x)-2],

=2(-53,-2)=2卜-丁)2+2☆，-2獷斗

2Ab

.e=x0+\,

F\x)=2(ex-e2^-x)i>0,

則網(wǎng)x)在xe(T>,x。)單調(diào)遞增，

則尸(x)4尸(x0)=g(x)-g(2x°—毛)=0,

則名㈤"①-七)，

即證得In。]+x?+2)>2%+In2.

例9.(2023?江蘇無錫?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(司=6'-衣.

⑴若有兩個零點(diǎn)，求〃的取值范圍；

(2)若方程xe'=ox+“l(fā)nx有兩個實(shí)數(shù)根芭，三，且犬產(chǎn)々，證明：%+々+111(%毛)<21na.

【解析】(1),f(x)=ev-4z.

當(dāng)aW0時，制*)>0,“X)在R上單調(diào)遞增，“X)不可能有兩個零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時，令/''(x)=0nx=lna且/(X)在(-oo,lna)上單調(diào)遞減，在(Ina,”)上單調(diào)遞增,

要使f(x)有兩個零點(diǎn)，首先必有/(力,廝=/(lna)=a-alna<O=a>e,

當(dāng)〃>e時，注意到/(0)=1>0,/(lna)<0,/(a)=e"_/>0,

，在(O,lna)和(ln4,a)上各有?個零點(diǎn)與，匕符合條件.

綜上：實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(e,+8).

(2)由xe*=ca+alnx=>e**s*=a(x+lnx)有兩個實(shí)根演,三，不妨設(shè)西〉巧,

.,.令x+lnx=r,

有兩個實(shí)根:=再故“明

，e'=af+lnX1,t2=x2+ln%2,

要證：

x,+x2+ln(x1x2)<21n?,

只需證：

tt+t2<2\na,

,[e6=at“人「一、》上?=lna+lnf1,①

由<?t,結(jié)合①知a>en?J

2

[e=at2&=Ina+1%,②

①+②得：4+q=21na+ln(不2)，

要證：21na+ln(4f2)<21na,即證：<1,

而由=芍-1114可得：I

、in/1—inr),

下證：>麻，乙>’2，

In4—Int2

令磯m)=m-------2In">1,

m

夕，(加)=1+口—2=至二學(xué)里="?>0在加>1上恒成立,

nrmnrm

故9(，〃)=〃7-■^-21n〃?在加>1上單調(diào)遞增，

故⑴=0,

所以1=」'一，，>屈，解得：°〈巾2<1,證畢?

Inf]—In弓

【過關(guān)測試】

1.(2023?浙江紹興?高三期末)已知函數(shù)/。)=皿"-111思4>0.

,2

(1)右。=1,記/(X)的最小值為用，求證：m>—+ln2.

⑵方程/(幻="+。/eR有兩個不同的實(shí)根冷電，且％+為=2,求證：

a~e

【解析】(1)若。=1，f(x)=xex-\nx,(x>0),f\x)=(x+l)ev--,

x

設(shè)—x)=(x4-l)ev--(x>0),k'(x)=(x+2)e'+4>0,

在(0,+oo)上單調(diào)遞增，即/(x)在(0,”)上單調(diào)遞增，又/(g)=ge3-3<0,

xe(O,x0)時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，工式內(nèi)用)時,f'(x)>0,Ax)單調(diào)遞增.

加=/(%)=x(>e'--In與=%-i\+])一Inx0=([])一山飛,

函數(shù)"x)=giy-m”在(a；)上單調(diào)遞減,|+In2.

av+,nav

(2)設(shè)°<玉<々，當(dāng)公-lnx=ar+〃，We=\nax+ax+b-\na,

%=OX]+In町

設(shè)"dx+lnox,則e'=/+b-Ina存在兩個不相等的實(shí)根％,J，且

Z2=ar2+Inax2

%+t2=a(x+與)+21113+111內(nèi)工2=2a+2\na+\nx{x2,

要證中,<」V，只要證：lnx多<-21n〃-2a,只要證：/,+/2<0

e"=t+b-\na

]1

=>e'2—e'=z2-f,

e'2=t2+h-\na

要證：。，只要證：西鎮(zhèn)=/--用<只要證：2w,w2w

4+%2<1,e-2e+l>Ane

e/n-le^-l

/2\

設(shè)g(㈤=e2'"_2e"+l—/e",貝1禽'("2)=2已2〃'—(濟(jì)+2帆+2,〃'=26'〃,

/%2

設(shè)h("i)=e?---------m—1,/?'(，〃)=em-m—\,h"(rri)=em—1,

2

/n>0,;.〃"(,”)>On力'(機(jī))單調(diào)遞增，h'(m)>h\O)-0,.,.力(㈤在(O,+<?)上單調(diào)遞增,

h(m)>/?(O)=0,g'(7n)=2e?(%)>0,，g(m)在(0,+oo)上單調(diào)遞增

g(%)>g(O)=0=e2ra-2em+1>〃?%"',得證.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中

要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3..證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問

題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

2.(2023?浙江?高三期末)已知函數(shù)/(x)=sinx-(x+2)eT.

(1)證明：函數(shù)fM在區(qū)間［0,汨上有2個零點(diǎn)；

⑵若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)：且玉<馬.求證：

g(x)="+sinx-/(x)(aeR)x,,x2,

0<%+々<上?(其中e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)).

a

【解析】(1)記函數(shù)［x)=f(x)=cosx+(x+l)eT,由%?0,兀］,

則/?x)=_sinx-xeT?O,所以函數(shù)網(wǎng)力在區(qū)間［0,可上單調(diào)遞減，

又/7(］］>0,〃(兀)=一1+誓<0.根據(jù)零點(diǎn)存在定理，

存在ae(1,"時，h(a)=f'(a)=0,

即函數(shù)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(a,兀)上單調(diào)遞減.

,、一一儼+2)

而/(0)=-2<0,〃0>叱)=_{2_2>oj⑺<(p

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,a)上有一個零點(diǎn)一，在區(qū)間(a,%)上有一個零點(diǎn)/,

故函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,可上有2個零點(diǎn).

(2)由函數(shù)g(x)=ox+(x+2)e-x有兩個極值點(diǎn),

Y+1X4-1Y

則g'(x)=0時,方程有兩個不等實(shí)根.記P(X)=裳,則P，(x)=_/

所以函數(shù)p(x)在區(qū)間(70,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,+o))上單調(diào)遞減.

因此p(x)有極大值p(0)=l,且X>-1時，p(x)>0,x-?+<?時，p(x)->0,

于是且

先證明%+%>0，只要證了2>-玉，即證P(X1)=P(X2)<P(-X1)，

設(shè)q(x)=p(x)-p(-x)(-l<x<0),

則<7’(幻=0’(幻+夕'(70=*卜*-6-*),因?yàn)橐?cx<0,所以g'(x)>0,

即函數(shù)q(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增，于是虱x)<鼠0)=0,

所以玉+々>0.

再證明%+%〈出

先證當(dāng)x>0時，cx>l+x+-x2當(dāng)xvO時，ev<\+x+-x2.

22

1z

設(shè)H(x)=e—\—x——t貝ljH(x)—e'-1-x,H"(x)=e'—1,

于是，“'(x)在區(qū)間(F,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,”)上單調(diào)遞增，

因此“'(%)>"'(0)=0,所以函數(shù)”(%)在區(qū)間(f,y)上單調(diào)遞增，而"(0)=0,

即當(dāng)x>0時，ev>1+x+—x2；當(dāng)x<0時，ev<1+x+—x2,

22

、x+lx+\

p(zx)=——<

于是，當(dāng)x>0時,e'T7

1+X4-X

2

/\_X+1、X+1

當(dāng)一l<x<0時，，㈤=h>]…].2,

1+XH-----A

2

x+1

設(shè)方程，，,12一"的兩個根為內(nèi)，王(凡<Z),貝|JT<西<毛<0<工2，

1+XH----X

2

即方程+2(。-1)%+2(。-1)=0的兩個根為天,工4，

于是X1+X,<工3+Z=-----

-a

,,八2—2a

故0<%+馬<-----.

a

3.(2023?河南三門峽?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=x-ln(x+l)與函數(shù)g(x)=aei-x+匕

有相同的極值點(diǎn)與極值.

⑴求mb；

⑵若方程〃x)="與g(x)=M分別有兩個解p,q(P〈q)和r，s(YS).

①分別用p,9表示出「，s；

②求證：er+e￥>2.

1V*

【解析】(1)由“x)=x-ln(x+l)的定義域?yàn)?T,y),==

尸(x)=0得x=0,用勾>0得了>0,r(x)<0得—l<x<0,

所以〃力在(TO)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，故〃x)在x=0處取得極小值，且

〃力極小=0,

由g'(x)=ae'T-1,由題意可得,?e-'-l=0.g(0)=ae-'+b=0,解得a=e,b=-\.

(2)①由(1)知，g(x)=er-x-l,且g(x)在(—,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，

rJ

所以p-ln(p+l)=m,g-ln(q+l)=/n,e-r-l=/-,e-.v-l=r

且q>0,r<0,5>0,

ln(p+l)

又p-ln(p+l)=，〃可化為p+1—ln(p+l)-l=，"，e-ln(p+l)-l=w,

即ln(p+l)是^一萬一1=機(jī)的解，同理ln(q+l)也是它的解，所以r=ln(p+l),s=ln(q+l).

②由①知，證明e7e*>2即證。+4>0，

令h(x)=f(x)-f(-x),則h(x)=2x+ln(l-x)-ln(l+x),A(0)=0,

則〃(x)=2--?----!_=二1wo,所以人(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

1-x1+x1-x

因?yàn)?l<p<o,所以〃(p)>〃(o)=o,即“p)-/(-p)>0,因?yàn)?(p)=<(g),

所以/①)>f(-P),由“X)在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以4>一〃，p+q>o,

即e，+e'>2.

4.(2023?河北石家莊?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=sinx.

⑴設(shè)尸(x)=/(x)-儂，若F(x)40在［。,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍；

⑵設(shè)G(x)=§/(x)+x—：alnx+2,若存在正實(shí)數(shù)百,&(百，滿足G(N)=G^),證

明：X1+x2>2a.

【解析】(1)F(x)=sinx-/?tr,/.F(0)=0,P(x)=COSX-/TI；

①當(dāng)〃亞/時，尸(x)40恒成立，；.F(x)在［0,+司上單調(diào)遞減，

.-.F(x)<F(0)=0,滿足題意：

②當(dāng)加4-1時，尸'(司20恒成立，.?.尸(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

.-.F(x)>F(O)=O,不合題意;

③當(dāng)時，當(dāng)xe[O,可時，F(xiàn)'(x)單調(diào)遞減，又F'(O)=l-機(jī)>0,尸'(兀)=一1-機(jī)<0,

.?F(x)在(0㈤上存在唯一零點(diǎn)%,使得產(chǎn)，(%)=0,

則當(dāng)xw(O,x。)時，F(xiàn)(x)>0,

.?.尸(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，此時尸(x)>F(0)=0,不合題意;

綜上所述：實(shí)數(shù)加的取值范圍為口,口).

,、25

(2)山題意知：G(x)=-sinx+x--t71nx+2,

2525

則§sinX]+X_§olnX]+2=—sinx2+x2--a\nx2+2,

52

整理可得：^(lnx2-ln^)=j(sinx2-sinx()+(x2-x,),

不妨設(shè),

由(1)