高數(shù)2試題及答案

模擬試卷一注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。(本卷考試時(shí)間100分)一、單項(xiàng)選擇題(每題3分，共24分)TOC\o"1-5"\h\z1、已知平面兀：X-2y+z-4=0與直線L:丄J=上學(xué)=三斗的位置關(guān)系是( )3 1 —1(A)垂直 (B)平行但直線不在平面上(C)不平行也不垂直 (D)直線在平面上3xy2、lim =(2、xt0J2xy+1—1y-0(A)不存在B(A)不存在B)3C)6(D)gd2z d2z3、函數(shù)z=f(x，y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)麗及麗在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的( )條件.(B)充分條件(D)(B)充分條件(D)非充分且非必要條件(C)充分必要條件4、設(shè)口4、設(shè)口do=4兀，這里a0，x2+y2<a5、(A)45、(A)4(x+ay)dx+ydy已知( \ 為某函數(shù)的全微分，則a=x+y2B)2C)1D)0(A)-1(B)0(C)2(D)16、曲線積分卜——dS-一=([x2+y2+z2=10)，其中L: .Lx2+y2+z21z=1兀2兀撫4兀(A)(B)(C)(D)5555g7、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為a發(fā)散，n則級(jí)數(shù)蘭kan(k為常數(shù))( )n=1n=1(A)發(fā)散(B)可能收斂也可能發(fā)散(C)收斂(D)無界微分方程xy〃=y'的通解是)8、(A)y(A)y=C1x+C2B)(C)y=Cx2+C12D)二、填空題(每空4分，共20分)2、交換積分次序：J2dxj2e2、交換積分次序：J2dxj2e-y2dy=3、0x設(shè)L是任意一條光滑的閉曲線，貝』2xydx+x2dy=L4、5、設(shè)幕級(jí)數(shù)區(qū)1axn的收斂半徑為3,則幕級(jí)數(shù)區(qū)1nan nn=0 n=1若M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程，則函數(shù)M、N應(yīng)滿足三、計(jì)算題(每題8分，共40分)求函數(shù)z=ln(x+y2)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。計(jì)算JJxydb，其中D是由拋物線y2=x即直線y=x—2所圍成的閉區(qū)域。計(jì)算仇2x—y+4)dx+(5y+3x—6)dy,其中L為三頂點(diǎn)分別為6,0)60)62)的三角形1、2、3、L正向邊界。4、 將arctanx展開成x的幕級(jí)數(shù)。5、 求微分方程(x+y—1)dx+(y+xZy=0的通解。四：應(yīng)用題(16分)求由旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2和平面z=a2所圍成的空間區(qū)域。的體積。模擬試卷二注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。(本卷考試時(shí)間100分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共20分)1?點(diǎn)(4,-3,5)到Ox軸的距離d=().(A)<42+(—3)2+52 (B)￡(—3)2+52 (C)*(—3)2+42 (D)v'42+52.下列方程中所示曲面是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的是().(B)x2+y2=4z(A)x2(B)x2+y2=4zy2(C)x2— +z2=14gi—空=—i9 163?二元函數(shù)z=fnx2+y2+arcsm1 的定義域是().x2+y2(A)1<x2+y2<4；(B)1<x2+y2<4；(C)1<x2+y2<4；4.f(x,y)=().x0f(r+Ax,y)-f(JC,y)(A)limxto AxB)limfW+Ax，yo)-fCo,yo)AxtO(C)limfW5o)-fCy)Axt0 ^xD)limfW+Ax，y)-fSy)AxtO Ax5.已知二重積分Hdxdy=1，則圍成區(qū)域D的是D11(a)1x|=，1y|=3).(B)x軸，y軸及2x+y—2=0(C)x軸，x—2及y=x(D)|x+y=1,|x—y|=(B)(B)J2兀d?Jar2-rdr=兀a4

002(D)J2兀d0Jaa2-adr=2兀a4006.設(shè)I=JJ(x2+y2)dxdy，其中D由x2+y2=a2所圍成，則I=( ).D(A)J2兀d0Jaa2rdr=兀a400(C)J2Kd0Jar2dr=—兀a30 0 3Ix二acost,若L是上半橢圓< 取順時(shí)針方向，則Iydx-xdy的值為().Iy二bsint, l(A)0 (B)ab (C)兀ab (D)兀ab2&設(shè)a為非零常數(shù)，則當(dāng)()時(shí)，級(jí)數(shù)蘭—收斂.rnn=1(A)IrI>IaI (B)IrI>IaI (C)IrI<1 (D)IrI>19.limunns=0是級(jí)數(shù)9.limunns=0是級(jí)數(shù)￡unn=1收斂的()條件.(A)充分 (B)必要(C)充分且必要(D)既非充分又非必要10?微分方程y"+y=0的通解為 (A)y=cosx+c(A)y=cosx+c(B)y=ccosx+c12(C)y=c+csinx

12(D)y=c1cosx+c2sinx二、填空題(每小題3分，共15分)1.已知平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A(2,-3,-5),B(—1,3,2)的及它的對(duì)角線的交點(diǎn)E(4,-1,7)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 2.設(shè)a=3i-j-2k,b=i+2j-k，則axb= 3.設(shè)z=arctan—,貝y其］= x cxcy4.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于P，則當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)必收斂.nn=15.x幕級(jí)數(shù)2+5.x幕級(jí)數(shù)2+x2+.…+2-4Xn2?4???八(2n)的收斂區(qū)間是 三、計(jì)算題(每小題10分，共50分)1.求函數(shù)f(x,y)=x3+y3-3(x2+y2)的極值點(diǎn)，并求極值.2.計(jì)算Ux2e-y2dxdy,其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點(diǎn)是三角形區(qū)域.

3.計(jì)算Jds3.計(jì)算Jds，其中r為曲線:x=etcost,y=etsintz=et(0<t<2).x3x5 x2n-14.利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)：x++ —.3 5 2n-15.求微分方程滿足已給初始條件的特解：y'=e2x-y，y|x=0=0四、應(yīng)用題與證明題（第1小題13分，第2小題12分，共25分）求球面x2+y2+z2=a2（a>o）被平面z=4與z=2所夾部分的面積。2?證明曲面xyz=m（m>0）上任一點(diǎn)處切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體的體積為常數(shù)模擬試卷三注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時(shí)間100分）一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分））.1.若才，寸為共線的單位向量，則它們的數(shù)量積方?方=（）.（A）1 （B）-1 （C）0 （D）cos（a，b）2.設(shè)平面方程為Bx+Cz+D=0，且B,C,D豐0，則平面（ ）.（A）平行于x軸（B）垂直于x軸 （C）平行于y軸（D）垂直于y軸?1（x2+y2）sin ,x2+y2豐0設(shè)f（x,y）=S x2+y2 ，則在原點(diǎn)（0,0）處f（x,y）（）.0,x2+y2=0（A）不連續(xù)（B）偏導(dǎo)數(shù)不存在 （C）連續(xù)但不可微 （D）可微4.元函數(shù)z=3（x+y）—x3—y3的極值點(diǎn)是（）.4.(A)(1，2)(B)(1，-2)(A)(1，2)(B)(1，-2)(C)(1，-1)(D)(-1，-1)5.設(shè)D為x2+y2<1,5.設(shè)D為x2+y2<1,則JJ dxdy=( ).DX：1-x2-y2(A)06.J1dxJ1-f(x,y)dy=(00(A)J1-xdyJ1f(x,y)dx00(C)J1dyJ1-yf(x,y)dx00(C)2兀(D) 4兀⑻J1dyJ1-xf(x,y)dx00(D)J1dyJ1f(x,y)dx00Ix=acost,7-若L是上半橢圓［y=bsint,取順時(shí)針方向，則Jydx-xdy的值為(L).(A)0兀,⑻込ab(C)兀ab(D)兀ab下列級(jí)數(shù)中,收斂的是( ).(A)n-1n=1(B)n-1n=1(c)y(-1)n-1((A)n-1n=1(B)n-1n=1(c)y(-1)n-1(4)n-1n=1(D)y/54、(+ )n-14 5n=19.若幕級(jí)數(shù)Eaxn的收斂半徑為RJnn=00<R1<+"'幕級(jí)數(shù)另bnXn的收斂半徑為R2：nn=00<R<+s，則幕級(jí)數(shù)另(a2n=0+bn)xn的收斂半徑至少為((A)Ri+R2⑻R1-R2(C)max(R,R}12(D)min(R,R}1210.方程10.方程xy'=x2+y2+y是().(A)齊次方程(B)一階線性方程(A)齊次方程(B)一階線性方程(C)伯努利方程(D)可分離變量方程二、填空題(每小題3分，共15分)TOC\o"1-5"\h\z平行四邊形二邊為向量3={1,—3,1}，方={2,-1,3}，則其面積S= .通過點(diǎn)(3,0,-1)且與平面3x—7y+5z—12=0平行的平面方程為 .,x Qz設(shè)z=Intan—，貝y亍= .y Qyt1+t曲線x= ,y= ,z=t2在對(duì)應(yīng)于t=1的點(diǎn)處切線方程為 1+tt

5.設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有JPdx+Qdy ；L三、計(jì)算題(每小題10分，共50分)1.設(shè)z=xln(xy),求求ex+ydb,其中d是由|x|+|y|<1所確定的閉區(qū)域.D計(jì)算J(x2-y)dx-(x+sin2y)dy，其中L是在圓周：y=P2x—x2上由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)L的一段弧.將函數(shù)y二(1+x)ln(1+x)展開成x的幕級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間.dy求下列微分方程的通解：cos2x -y=tanx.dx四、應(yīng)用題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)在平面xoy上求一點(diǎn),使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最小.求由曲面z二x2+2y2及z二6—2x2-y2所圍成的立體的體積.、模擬試卷四注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。(本卷考試時(shí)間100分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，10小題，共20分)向量a=(1,2,-2)在向量b二(6,2,3)上的投影等于()TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 4 7 3(A)4 (B)4 (C)7 (D)3\o"CurrentDocument"7 3 4 4曲線￡：：9y2=36繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是()(A)4x2+4y2+9z2=36 (B)4x2+9y2+9z2=16(C)4x(C)4x2+9y2+4z2=36(D)9x2+9y2+4z2=16已知f(x,y)二后,貝Vf(1,1)的值為()X1(A)0 (B)1 (C)— (D)不存在2若f(x,y)在(x,y)處可微，則f(x,y)在(x,y)處( )0000(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 (B)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)(C)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在(C)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在(D)不一定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不一定存在5.設(shè)I=JJex5.設(shè)I=JJex2+y2dxdy,I=JJex2+y2dxdy,其中區(qū)域D】DD12—1<x<1,—2<y<2,D2：0<x<1,0<y<2，則下列四式中正確的是()(A)I>41 (B)I=41 (C)I<41 (D)I=21121212126.設(shè)I=D(x2+y2)dxdy，其中D由x2+y2=a2所圍成，則I=( )(A)J2兀d0faa2pdp00(C)J271doJap2dp0037.設(shè)L為：x=2,0<y< ，2(A)4 (B)6(B)J271doJaa2-adp00(D)J2兀doJap2.pdp00則J4ds的值為( )L(C)8 (D)12下列級(jí)數(shù)中,收斂的是( )9.(A)nn=1(B)yon=9.(A)nn=1(B)yon=1(C)1,n、nn=1(D)y(—1)nn=1冪級(jí)數(shù)n=1二的收斂區(qū)間為(vn(A)(—1,1) (B)[—1,1](C)(—1,1](D)[—1,1)10.下列方程可分離變量的是()(A)sin(xy)dx(A)sin(xy)dx+eydy=0(B)xex+ydx+y2dy=0(C)(1(C)(1+xy)dx+y2dy=0(D)(x+y)dx+ex+ydy=0二、填空題（每小題3分，5小題，共15分）通過曲線『X2+y2+Z2=16，且母線平行于y軸的柱面方程是 [X2+z2-y2=0經(jīng)過點(diǎn)（1,0,-1）且平行于向量v={2,-1,1}的直線方程是 TOC\o"1-5"\h\zlim1-'xy+1= .XTO xyyt0將二次積分J2dxJxf（x,y）dy改換積分次序應(yīng)為 .0 x2設(shè)藝u、藝v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且藝u收斂，則當(dāng)n=1,2,…,都有 時(shí),n n nn=1n=1 n=n=1藝v也一定收斂.nn=1三、設(shè)函數(shù)z三、設(shè)函數(shù)z=蘭A，求xy10分）x=1y=2四、計(jì)算二重積分（x2+y2-x）db，其中D是由直線y=x、y=2x及x=2所D圍成的閉區(qū)域.（10分）五、計(jì)算曲線積分人（2y-x3）dx+（3x+2y2）dy，其中l(wèi)是由拋物線y=x2和Ly2=x所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線.（10分）六、.求冪級(jí)數(shù)rnxn+1的和函數(shù).（10分）n=1七、求下列微分方程的通解:（x2+2y2）dx-xydy=0.（10分）

八、應(yīng)用題(15分)求旋轉(zhuǎn)拋物面z二x2+y2被平面z二a(a>0)所截得的有限部分的面積.模擬試卷五注意：答案請(qǐng)寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。(本卷考試時(shí)間100分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，10小題，共20分)1.a+b<a-b充分必要條件是()(A)axb(A)axb=0(B)a-b=0(C)a-b>0(D)2.兩平面x-4y+z+5=0與2x-2y-z-3=0的夾角是2.3.4.5.(B)- (C)-3 4若f(a,b)=1，則limfCb+Ay)-fCb-Ay)=(y Ayt0Ay(D)(A)2(B)1(C)4(D)若f(x0,y0)和f(x0,y0)都存在，則f(x，y)在(x0,y0)處((A)連續(xù)且可微(C)可微但不一定連續(xù)下列不等式正確的是()(A)ff(x3+y3)db>0(B)(D)(B)連續(xù)但不一定可微不一定連續(xù)且不一定可微ff(x2+y2)da>0xx2+y2<1ff(x-y)db>0x2+y2<1(D)(C)ff(x+y)db>0(D)x2+y2<1f1dxf1-xf(x,y)dy=( )00(A)f1-xdyf1f(x,y)dx00x2+y2<1(B)J1dyf1-xf(x,y)dx00(C)f1dyf1-yf(x,y)dx00(D)f1dyf1f(x,y)dx00設(shè)區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，A為區(qū)域D的面積，貝9()(A)(C)A二2Jydx-(A)(C)A二2Jydx-xdyL(B)-ydxLA=2Jxdy+ydxL(D)A二Jxdy—ydxLnn=1(B)必要條件設(shè)￡a是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，前n項(xiàng)和為s=￡a，則數(shù)列Is｝有界是乞a收斂的()nnn=nn=1(B)必要條件(A)充分條件(C)充分必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，也非必要條件以下級(jí)數(shù)中，條件收斂的級(jí)數(shù)是()(A)為(JN為N=1(B)￡(—1)(A)為(JN為N=1(B)￡(—1)n—1 [n=1x-n3(C) (—1)n+1()n2n=110.下列方程為線性微分方程的是()(D)無(-1)n=1—i—=、：n(A)y'=(sinx)y+ex(B)y'=xsiny+ex(C)y'=sinx+ey(D)xy'=cosy+1二、填空題(每小題3分，5小題，共15分)TOC\o"1-5"\h\z曲線|x2+Z2—2y—2=0在xoy平面上的投影方程是 .[y—z+1=0經(jīng)過點(diǎn)(2,0,-1)且垂直于直線 □=注1=三的平面方程1—14是 .3 limsin(x2y2)=xt0 2x2yt2設(shè)區(qū)域D是由x軸及半圓周x2+y2=a2(y>0)所圍成的閉區(qū)域，將二重積分JJf(x2+y2)db化為極坐標(biāo)形式的二次積分應(yīng)為 .D設(shè)藝u、藝v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且藝u發(fā)散，則當(dāng)n=1,2,,都有 時(shí),n n nn=1 n=1 n=1￡v也一定發(fā)散.nn=1三'設(shè)函數(shù)z=e：，求釜x=2.（10分）y=1四、 計(jì)算二重積分Kex2+y2dG，其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域{（x,y）11<x2+y2<4}.D（10分）五、 計(jì)算k（x2-xy3）dx+（y2-2xy）dy,其中l(wèi)是三個(gè)頂點(diǎn)分別為（0,0）、（2,0）LTOC\o"1-5"\h\z和（2,2）的三角形區(qū)域的正向邊界. （10分）六、 求冪級(jí)數(shù)￡「的和函數(shù).（10分）2nn=1七、 求下列微分方程的通解：（xcos—-ysin—）dx+xsin—dy=0. （10分）xx x八、 應(yīng)用題（15分）計(jì)算半球面z=；.a2-x2-y2被圍在柱面x2+y2=ax內(nèi)的部分曲面的面積.參考答案（模擬試卷一）：單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共24分）1、 D； 2、 B； 3、 B； 4、 A； 5、 C； 6、 C； 7、 B； 8、 C.二、填空題（每空4分，共20分）1、esinxy1、esinxycosxy(ydx+xdy)；2、J2e-y2dyJydx；3、0；004、(-2,4)；5、dM_dN

dy dx三、計(jì)算題（每題8分，共三、計(jì)算題（每題8分，共40分）1、解：zx2分ffzxxffz=yyff

zffzxxffz=yyff

zxyff=zyx6分2、解：畫出積分區(qū)域1分JJxyd2、解：畫出積分區(qū)域1分JJxydb_J2dyfy+2xydx-1 y2=J2](y+2)2-y5ly_5—2-1 84分3分4、解：arctanx_4、解：arctanx_Jx0dx1+x2n=0x2xdx=藝Jx(—dx2ndx3n=0x2xdx=藝Jx(—dx2ndx3分n=0(—2n+1n=0xGI—1,1]3分5、解：原方程即為(ydx+xdy)+(x-1)dx+eydy=02分原方程的通解為四、應(yīng)用題（16分）d(xy)+d丄(x-1)2+dey=02dxy+丄(x-1)2+ey2=02+ey2分2分2分8分解一：用二重積分計(jì)算。所求體積可視為圓柱體：x2+y2<a2,0<z<a28分曲面z=x2+y2為頂、以仏為底的曲頂柱體體積之差’其體積為V=Ka2-aV=Ka2-a2JJ(x2+y2=Ka4Dxy K—J2Kd0Jar3dr=—a4

0 0 28分……4分……4分…12分V=JJJdV=J2—doJardrJa2dzG 0 0 r2=2—JaC2r—r3)7r=—a40 2答案（模擬試卷二）一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案BCADBBCDBD二、填空題（每小題3分，共15分）

1.(9,-5,12) 2. 5亍+j+7k3.y2-x24.P<15. (一8,+8)(x2+y2)2三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)1.求函數(shù)f(x,y)二x3+y3-3(x2+y2)的極值點(diǎn),并求極值.解：???f(X,y)=3x2-6x,f(x,y)=3y2-6yf(f(x,y)=0Ix=0,x=2令彳\ n*1 2f(x,y)二0Iyi二0,y2二2yTOC\o"1-5"\h\z???駐點(diǎn)為：(0,0),(0,2),(2,0),(2,2) 4分又:f =6x-6,f=0,f=6y-6 6分xx xy yy對(duì)于駐點(diǎn)(0,0)有A=一6,B=0,C=-6,A=AC-B2=36>0且A<0?f(0,0)=0為極大值 7分對(duì)于駐點(diǎn)(0,2)有A=-6,B=0,C=6,A=AC-B2=-36<0?f(0,2)不是極值 8分對(duì)于駐點(diǎn)(2,0)有A=6,B=0,C=-6,A=AC-B2=-36<0?f(2,0)不是極值 9分對(duì)于駐點(diǎn)(2,2)有A=6,B=0,C=6,A=AC-B2=36>0且A>010分2.計(jì)算?f(2,2)=-10分2.計(jì)算其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點(diǎn)是三角形區(qū)域.D解：JJx2e-y2dxdy=J1[Jyx2e-y2dx]dy00

解：=-J1=-J1y3e-y2dy30=-J1y3de-y26o=-—[y3e-y267分1-J1e-y2dy2]0o1「121=——[—+e-y2]6e010分

3.計(jì)算J-ds，其中r為曲線：x=etcost,y=etsint,z=et(0<t<2).x2+y2+z2r解：原式=J2 (etcost)'+(etsint)'+(et)'dt 3分o(etcost)2+(etsint)2+(et)2??8分10分=￥e??8分10分=空(1-e-2)2利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分,求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù):x3 x5 x2n-1x+—+—+.…+ +.…3 5 2n-1 ?解：?/1+X解：?/1+X2+X4kl<13分TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x3x5 x2n-1 x16分x+ + +?…+ +?…=J 6分3 5 2n-1 01-x2=丄[Jx dx+Jx dx]201-x 01+x\o"CurrentDocument"1+x=-ln (-1<x<1) 10分\o"CurrentDocument"1-x求微分方程滿足已給初始條件的特解：y'=e2x-y，y| =x=dy解：一=e2xe-ydx/.y'=e2x-y，y| =x=dy解：一=e2xe-ydx/.eydy-e2xdx3分兩邊積分得：ey7分又???yI二ox=o1?C=—29分2x+1)=1=2四、應(yīng)用題與證明題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)???特解為：ey10分1-求球面x2+y2+z2=a2(a>o)被平面z=4與z=2所夾部分的面積。315解：?z=yja2-x2-y2且D={(x,y)—a2<x2+y2<一a2}162分???所求的面積為：S=JJ；1+(z')2+(z')2dxdyx yD4分=aJJ dxdyDv'a2-x2-y28分=aJJ. dpd0DV，a2-P29分=aJ2兀[J「 dp]d0o亍?-p213分2?證明曲面xyz=m(m>0)上任一點(diǎn)處切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體的體積為常數(shù)3分解：曲面xyz二m上任一點(diǎn)%%)處的法向量為：n-(yozo,xozo,xo3分???P(xo,yo)處的切平面方程為：yo/一xo)+xozo(y一yo)+xoyo(z一zo)二°9分9分即：+ + =1且有xyz=m3x 3y3z000???所圍立體的體積為：V=2xyz=2m22

答案（模擬試卷三）一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案DCDDCCCBDA二、填空題（每小題3分，共15分）3.1.3、10 2. 3x一7y+5z一4=03.4.5.4.5.一12-y-2_z—1dQdP.r7口(一 )dxdydx dyD…3…3分6分10分…1分…7分…9分三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）1.設(shè)z_xln(xy),求解：_Inxy+1dxd2z_1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dxdy yd2z 1? ??dxdy2 y22.求Aex+ydb,其中d是由|x|+|y|<1所確定的閉區(qū)域.解：Kex+ydb=ffex+ydxdy+ffex+ydxdy解：D1 D2=f0[fx+1exeydy]dx+f —4 8~[f1—xexeydy]dx —4 8~\o"CurrentDocument"—1—x—1 0x—1=f0(e2x+1—e—1)dx+f1(e—e2x—1)dx10分—1 0

10分3.計(jì)算J(x2-y)dx-(x+sin2y)dy，其中L是在圓周：y=\'2x—x2上由點(diǎn)(o,o)到點(diǎn)(1,1)L的一段?。竫二cost+1 兀解：設(shè)L的參數(shù)方程為:2分{ . ,解：設(shè)L的參數(shù)方程為:2分〔y二sint 2?.J(x2-y)dx-(x+sin2y)dyL6分=J2f(1+cost)2-sint]-(-sint)-[(1+cost)+sin2(sint)]-cost^6分=J兀[sint+sin2t+sintcos21+cos2t_cost+costsin2(sint)]dta.27,1.210分=-+—10分6 44.將函數(shù)y二(1+x)ln(1+x)展開成x的幕級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間.=ln(1+x)+1=1+x-—+ +?…+(-1)nxn+1n+14分.?=ln(1+x)+1=1+x-—+ +?…+(-1)nxn+1n+14分.?.y二(1+x)ln(1+x)x2x3 x4 xn+2=x+ — + +.…+(-1)n +.…2 6 12 (n+1)(n+2)=x^冊(cè)xn+1，(-1<x<1)n=110分5.求下列微分方程的通解：dycos2x -y=tanx.dx解：?y'—sec2x-y=tanx-sec2xP(x)=一sec2x,Q(x)=tanx-sec2x2分.y=e-JP(x)dx[JQ(x)eJP(x)dxdx+C]3分=eJsec2xdx[Jtanxsec2x-e」sec2xdxdx+C]=etanx[Jtanxsec2x-e一tanxdx+C]6分=etanx[Jtanx-e一tanxdtanx+C]=-etanx[Jtanxde-tanx+C]8分=—etanx[tanx-e-tanx—fe—tanxdtanx+C]=y=cetanx—tanx—1 10分四、應(yīng)用題（第1小題13分，第2小題12分，共25分）1.在平面xo；y上求一點(diǎn),使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最小.解：設(shè)所求的點(diǎn)為P（x,y），則依據(jù)題意有：(x+(x+2y一16)2

5(xeR,yeR)5分9分TOC\o"1-5"\h\zS'=2x+—(x+2y-16)=0x 59分4S'=2y+—(x+2y一16)=0、y 5816???駐點(diǎn)為（g,?。? ii分由此題的實(shí)際意義可知，唯一的駐點(diǎn)一定是極小值點(diǎn)，也一定是最小值點(diǎn)。816???所求的點(diǎn)為P（5，?。? 13分2.求由曲面z=x2+2y2及z=6—2x2—y2所圍成的立體的體積.解：-x,y)x2+y解：-x,y)x2+y2<2ff[(6—2x2—y2)—(x2+2y2)]dxdy2分6分ff(63x2—3y2)dxdy3ff(2—x2—y2)dxdy9分9分12分=3ff(2—p2)pdpd0D3丿2作『2(2—p2)pdpdO003f2兀d0 =6兀模擬試卷四一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，10小題，共20分)1.向量a=(1,2,-2)在向量b=(6,2,3)上的投影等于()(A)4(B)I7(A)4(B)I(C)742.曲線￥〔：9y2=36繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是()(A)4x2+4y2+9z2=36(B)4x2+9y2+9z2=16(C)4x2+9y2+4z2=36(D)9x2+9y2+4z2=163-已知f(兀y)卞，則fxd'D的值為( )1(C)124.若f(x,y)在(x,y)處可微，則f(x,y)在(x,y)處( )0000(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 (B)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)(A)0(B)1(D)不存在(D)不一定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不一定存在(C)(D)不一定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不一定存在5.設(shè)I=JJex2+y2dxdy,I=JJex2+y2dxdy,其中區(qū)域D】：一1<x<1,一2<y<2,D1D2D2：0<x<1,0<y<2，則下列四式中正確的是()(A)I>41 (B)I=4(A)I>41 (B)I=41 (C)I<41121212設(shè)I=JJ(x2+y2)dxdy，其中D由x2+y2=a2所圍成，則I=((A)J2兀deJaa2pdp00(c)J271deJap2dp(D)I=2I120003設(shè)L為：x=2,0<y< ,貝打4ds的值為(2(B)6(A)4(B)J271defaa2-adp00(D)J2兀defap2.pdp0)(C)8(D)128.下列級(jí)數(shù)中,收斂的是( )(A)蘭1n(A)蘭1nn=1(C)藝4n^nn=1(D)乞(-1)nn=19.冪級(jí)數(shù)￡xl的收斂區(qū)間為（）n3(A)(-1,1) (B)[-1,1](C)(-1,1] (D)[-1,1)10.下列方程可分離變量的是（）(A)sin(xy)dx+eydy=0(B)xex+ydx+y2dy=0(C)(1+xy)dx+y2dy=0(D)(x+y)dx+ex+ydy=0二、填空題（每小題3分，5小題，共15分）通過曲線fX2+y2+Z2=16，且母線平行于y軸的柱面方程是 [x2+z2-y2=0經(jīng)過點(diǎn)（1,0,-1）且平行于向量v={2,-1,1}的直線方程是 TOC\o"1-5"\h\zlim1-'xy+1= .xto xyyt0將二次積分J2dxfxf（x,y）dy改換積分次序應(yīng)為 .0 x2設(shè)藝u、藝v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且藝u收斂，則當(dāng)n=1,2,…,都有 時(shí),