清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)課件第19講定積分應(yīng)用一

清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)課件第19講定積分應(yīng)用一目錄CONTENCT定積分基本概念與性質(zhì)定積分在幾何學(xué)中應(yīng)用定積分在物理學(xué)中應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用定積分在工程學(xué)中應(yīng)用定積分計(jì)算方法與技巧01定積分基本概念與性質(zhì)定積分的定義定積分的幾何意義定積分定義及幾何意義定積分是函數(shù)在某一區(qū)間上的積分，表示函數(shù)圖像與x軸所圍成的面積。定積分的幾何意義可以理解為在平面直角坐標(biāo)系中，由函數(shù)圖像、x軸以及兩條垂直于x軸的直線所圍成的封閉圖形的面積。定積分性質(zhì)與運(yùn)算法則定積分的性質(zhì)定積分具有線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式性質(zhì)等。定積分的運(yùn)算法則定積分的運(yùn)算法則包括積分區(qū)間可加性、常數(shù)因子可提取性、積分和微分互逆性等。VS函數(shù)在某一區(qū)間上可積的充分必要條件是函數(shù)在該區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)?？煞e函數(shù)類連續(xù)函數(shù)、只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)、單調(diào)有界函數(shù)等都是可積的。可積條件可積條件與可積函數(shù)類02定積分在幾何學(xué)中應(yīng)用80%80%100%平面圖形面積計(jì)算通過定積分求解兩函數(shù)圍成的面積，轉(zhuǎn)化為求解被積函數(shù)的原函數(shù)在區(qū)間上的差值。利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將極坐標(biāo)下的面積計(jì)算轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的面積計(jì)算。通過參數(shù)方程將曲線表示為參數(shù)的函數(shù)，進(jìn)而利用定積分求解圍成的面積。直角坐標(biāo)系下面積計(jì)算極坐標(biāo)系下面積計(jì)算參數(shù)方程下面積計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算以平面圖形繞某一直線旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積，可通過定積分求解。平行截面面積為已知的立體體積若立體的平行截面面積可用某一函數(shù)表示，則可用定積分求解該立體體積。空間立體體積計(jì)算平面曲線弧長計(jì)算通過定積分求解曲線弧長，需要將弧長微元用直線段近似代替，進(jìn)而求解弧長?？臻g曲線弧長計(jì)算空間曲線的弧長計(jì)算與平面曲線類似，需要將弧長微元投影到某一平面上，然后利用定積分求解。曲線弧長計(jì)算03定積分在物理學(xué)中應(yīng)用變力做功的基本公式：$W=int_{a}^F(x)dx$，其中$F(x)$是變力函數(shù)，$a$和$b$是積分上下限，表示物體移動(dòng)的范圍。通過分析物體的受力情況，確定變力函數(shù)$F(x)$的表達(dá)式。根據(jù)物體的移動(dòng)路徑，確定積分上下限$a$和$b$。利用定積分計(jì)算變力在移動(dòng)路徑上所做的功。變力做功問題求解液體靜壓力的基本公式：$P=rhogh$，其中$rho$是液體密度，$g$是重力加速度，$h$是液體深度。對(duì)于平面壁受到的液體壓力，可以通過定積分計(jì)算壓力分布函數(shù)與壁面積的乘積得到總壓力。對(duì)于曲面壁受到的液體壓力，需要將曲面劃分為若干個(gè)小平面，分別計(jì)算每個(gè)小平面上的壓力，再利用定積分求和得到總壓力。液體靜壓力計(jì)算電荷量的計(jì)算磁通量的計(jì)算其他物理量的計(jì)算其他物理量如電荷量、磁通量等計(jì)算在磁場(chǎng)中，磁感線可以看作是空間中的一種向量場(chǎng)。通過定積分可以計(jì)算某個(gè)區(qū)域內(nèi)的總磁通量。定積分還可以應(yīng)用于計(jì)算其他物理量，如質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。需要根據(jù)具體問題的物理背景和數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和計(jì)算。在電場(chǎng)中，電荷分布可以看作是空間中的一種密度分布。通過定積分可以計(jì)算某個(gè)區(qū)域內(nèi)的總電荷量。04定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用總收益計(jì)算通過定積分計(jì)算在一定時(shí)間或產(chǎn)量范圍內(nèi)，產(chǎn)品銷售所得的總收益?？偝杀居?jì)算利用定積分計(jì)算在一定時(shí)間或產(chǎn)量范圍內(nèi)，企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營所耗費(fèi)的總成本。利潤最大化結(jié)合總收益與總成本，分析企業(yè)如何實(shí)現(xiàn)利潤最大化?？偸找媾c總成本計(jì)算邊際收益表示在某一產(chǎn)量水平上，每增加一個(gè)單位產(chǎn)量所帶來的總收益的增加量。邊際成本表示在某一產(chǎn)量水平上，每增加一個(gè)單位產(chǎn)量所帶來的總成本的增加量。邊際分析通過比較邊際收益與邊際成本，判斷企業(yè)是否應(yīng)該繼續(xù)擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模。邊際收益與邊際成本分析030201消費(fèi)者在購買商品時(shí)愿意支付的最高價(jià)格與實(shí)際支付價(jià)格之間的差額。消費(fèi)者剩余生產(chǎn)者在銷售商品時(shí)實(shí)際收到的價(jià)格與愿意接受的最低價(jià)格之間的差額。生產(chǎn)者剩余通過計(jì)算消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余，評(píng)估市場(chǎng)交易的公平性和社會(huì)福利水平。社會(huì)福利分析消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余計(jì)算05定積分在工程學(xué)中應(yīng)用慣性矩定義反映曲線形構(gòu)件截面形狀對(duì)彎曲剛度影響的物理量，是截面各微元面積與其到指定軸距離平方的乘積之和。慣性積定義反映曲線形構(gòu)件截面中任意兩點(diǎn)間微元面積對(duì)指定點(diǎn)力矩之和的物理量，用于計(jì)算截面的主慣性軸和主慣性矩。計(jì)算方法通過定積分求解曲線形構(gòu)件截面的慣性矩和慣性積，需要確定截面的形狀函數(shù)和密度函數(shù)，并根據(jù)定義進(jìn)行相應(yīng)的積分運(yùn)算。曲線形構(gòu)件慣性矩和慣性積計(jì)算通過定積分求解曲線形構(gòu)件截面的面積，需要將截面劃分為若干個(gè)微元，并求出每個(gè)微元的面積，然后對(duì)所有微元面積進(jìn)行求和。截面面積計(jì)算根據(jù)截面面積的定積分結(jié)果，可以進(jìn)一步求出曲線形構(gòu)件截面的重心位置。重心位置的坐標(biāo)可以通過分別求出截面面積對(duì)指定軸的靜矩，再除以截面面積得到。重心位置確定曲線形構(gòu)件截面面積和重心位置確定其他工程問題如材料力學(xué)、流體力學(xué)等中應(yīng)用在材料力學(xué)中，定積分可以用于計(jì)算桿件的彎曲變形、扭轉(zhuǎn)角等。通過求解桿件截面的慣性矩和慣性積，可以得到桿件的剛度矩陣和柔度矩陣，進(jìn)而分析桿件的受力變形情況。材料力學(xué)應(yīng)用在流體力學(xué)中，定積分可以用于計(jì)算流體在管道中的流量、壓力損失等。通過求解管道截面的速度分布和壓力分布，可以得到流體的流量和管道的壓力損失，為管道設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供依據(jù)。流體力學(xué)應(yīng)用06定積分計(jì)算方法與技巧該公式是定積分計(jì)算的基礎(chǔ)，通過找到被積函數(shù)的原函數(shù)，并利用區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于某些復(fù)雜函數(shù)，可以通過變量替換或分部積分等方法，將其轉(zhuǎn)化為可應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式的形式。牛頓-萊布尼茲公式推廣牛頓-萊布尼茲公式及其推廣換元法通過變量替換簡化被積函數(shù)，使其更易于求解。常見的換元法有三角換元、根式換元等。分部積分法適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)乘積的形式，通過分部積分公式將其轉(zhuǎn)化為更簡單的形式進(jìn)行求解。換元法和分部積分法應(yīng)用矩形法梯形法辛普森法將定積分區(qū)間劃分為若干個(gè)