上海八年級期中數學復習2

上海八年級期中復習2

選擇題（共2小題）

1.如圖，NACB=NDFE,BC=EF,欲證aABC也△￡>￡￡則須補充一個條件是（）

A.AB=DEB.ZACE=ZDFBC.BF=ECD.ZABC=ZDEF.

2.下列各式計算錯誤的是（）

A-彩后=a-bb-q（g&）2=2版F

D.V6（V3+V2）=372-2V3

二.填空題（共4小題）

3.如果三角形的一個內角是另一個內角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形例如,

在△ABC中，如果N4=50°,ZB=100°,那么△ABC就是一個“倍角三角形”.如果

一個倍角三角形是一個等腰三角形，那么它的頂角的度數是.

4.函數打得x的圖象經過第象限.

5.已知方程2/-％-〃=0有一根為上叵，貝ij“=

2

6.如圖，在直角三角形ABC中，/C=90°,AC=6厘米，BC=8厘米，點P、Q同時由

A、C兩點出發(fā)，分別沿AC、CB方向勻速運動，它們的速度都是每秒1厘米，尸點運動

秒時，△PCQ面積為4平方厘米.

7.如圖，已知ACLAE,AD=AB,NC=NE,DC交AB于點0,交BE于點P,

AC交BE于點F.

c,已知〃=2,b、c是關于x的方程/-10x+〃?

=0的兩個根，求，”的值.

9.解方程：(4x-l)2-10(4x7)-24=0.

10.已知，點O到AABC的兩邊AB、AC所在的直線的距離相等，且OB=OC.

(1)如圖(1)所示，若點。在邊8c上，求證：4B=AC；

(2)如圖(2)所示，若點。在△A8C的內部，求證：AB=AC.

(3)若點。在△ABC的外部，結論“AB=4C”還成立嗎？(只要填“成立”

或“不成立”，不需證明過程.)

11.如圖，在△ABC中，4E平分NBAC,交BC于點E,。是8c邊上點，且。E=CE,點

產在AE上，聯結。凡滿足。尸=4C,

求證：DF//AB.

2

(2)已知x=—、==,求工Y時Z的值.

3+2V2x-3

13.已知：如圖，AB=AC,AO=AE,NBAE=NCAD,8。與CE相于點F.

求證：(1)NB=NC；(2)FB=FC.

14.已知：CP是等邊△ABC的外角NACE的平分線，點。在射線BC上，以。為頂點，

D4為一條邊作NAQF=60°,另一邊交射線CP于F.

（1）如圖，若點。在線段BC上，求證：①NBAO=NCDF,@AD=FD-,

（2）若點。在線段BC的延長線上，（1）中的兩個結論還一定成立嗎？若成立，請證明.

15.將一條長為20。”的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.

（1）要使這兩個正方形的面積之和等于170層，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是

多少？

（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cs2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度：若不能，

請說明理由.

2

16.在實數范圍內分解因式：2?-3xy-3-.

17.用20米長的籬笆圍成一個一邊靠墻的長方形倉庫（如圖所示），若要求圍成的長方形面

積為60米2,并且這堵墻長10米，在與墻平行的一邊，開一扇寬2米的門（門不占用籬

笆材料），問：該長方形相鄰兩邊長要取多少米？

/////////

18.如圖，已知CB_LA8,點E在A8上，且CE平分N8CZ),OE平分NAZJC,ZEDC+Z

￡>CE=90°,求證：DALAB.

19.已知：在AABC中，AC=BC,NACB=90°，點。是AB的中點，點E是A8邊上一

點.

(1)直線8尸垂直于直線CE于點凡交C￡>于點G(如圖1),求證：AE^CG,

(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點”，交CD的延長線于點M(如圖2),找出圖

中與BE相等的線段，并證明.

20.如圖，點。是等邊△ABC內一點，NAOB=UO°,NBOC=a.將△BOC繞點C按順

時針方向旋轉60°得△AOC,連接?！?gt;.

(1)求證：△C03是等邊三角形；

(2)當a=150°時，試判斷△AO。的形狀，并說明理由；

(3)探究：當a為多少度時，△40。是等腰三角形？

21.如圖，在等邊△ABC中，AM為BC邊上的中線，動點。在直線AM上時，以CQ為邊

在CD的下方作等邊△€1￡>￡,聯結8E.

(1)NCAM=度；

(2)當點O在線段4W上時，求證：△ADC四△BEC；

(3)當動點。在直線AM上時，設直線8E與直線AM的交點為0,試判斷NAOB的度

數是否會發(fā)生變化？請說明理由.

22.已知m———n———求m2-nm+n2的值.

2+V523

23.小惠到眼鏡店調查了近視眼鏡的度數和鏡片焦距的關系如表:

鏡片焦距x(cm)502512.5108…

眼鏡度數y(度)20040080010001250…

(1)根據上表體現出來的規(guī)律，請寫出眼鏡度數y(度)與鏡片焦距x(cm)之間的函

數關系式;

(2)若小惠所戴眼鏡度數為500度，求該鏡片的焦距.

24.如圖，直線y=“x(a>0)與雙曲線丫=上>(4>0)交于A、8兩點，且點A的坐標為(4,

x

2),點B的坐標為(〃，-2).

(1)求〃，n的值；

(2)若雙曲線y=y=K(k>0)的上點C的縱坐標為8,求△AOC的面積.

x

25.解不等式：y/Sx+\>2x+43

26.先化簡，再求值：.一魚其中

a+2a2_aV5+2

27.已知：如圖點4(6,8)在正比例函數圖象上，點8坐標為(12,0),聯結AB,AO=

AB=10,點C是線段AB的中點，點P在線段BO上以每秒2個單位的速度由點8向點

。運動，點。在線段AO上由點A向點O運動，P、。兩點同時運動，同時停止，運動

時間為f秒

(1)求該正比例函數的解析式：

(2)當f=l秒，且SAOPQ=6時，求點。的坐標：

(3)聯結CP,在點P、Q運動過程中，△OPQ與aBPC是否全等？如果全等，請求出

點。的運動速度；如果不全等，請說明理由

29.已知，如圖，在△A8C中，NA8c=90°,BO是斜邊AC上的中線，求證：BD=^AC.

2

30.如圖，在△ABC中，NABC=45°,在高A。上截取QH=￡>C,連結BH并延長交AC

于點E,求證：BHA.AC.

A

31.解不等式：V2X-3<A/3X.

32.解下列關于x的方程

(1)4(x-1)2=(x+2)2

(2)(%-5)2+4(x-5)=0

(3)/+8x-2=0

(4)2J?-3x-4=0.

33.在實數范圍內將關于x的二次三項式因式分解：2?-3xy-7y2.

34.已知：如圖，在aABC中，若A8=AC,點。是BC上一動點，點E,F分別在AC、

AB上，且C￡>=BRBD=CE,則NE￡)F與乙4在數量上有什么關系？請證明你的猜想.

A

BC

D

上海八年級期中復習2

參考答案與試題解析

選擇題（共2小題）

1.如圖，NACB=NDFE,BC=EF,欲證aABC段△￡>￡；下,則須補充一個條件是（）

A.AB=DEB.NACE=NDFBC.BF=ECD.NABC=/DEF.

【分析】根據全等三角形的判定方法逐項判斷即可.

【解答】解：

■:NACB=NDFE,BC=EF,

.?.當AB=OE時，滿足的是SSA,不能判定△ABC也△。砂，故A不可以；

當NACE=NDFB時，仍然得到的是NAC8=/OFE,只有兩組量對應相等，不能判定

△ABC且ADEF,故B不可以；

當BF=EC時，可求得BC=EF,同上也只有兩組量相等，無判定△A8C鄉(xiāng)△QEF,故C

不可以；

當N4BC=NDE尸時，滿足AS4,可以判定△ABCg△￡>￡「，故。可以，

故選：D.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解題的關

鍵，即SSS、SAS.ASA.AAS和HL.

2.下列各式計算錯誤的是（）

A.層后=jB.近近-2近）2=2a71

C.D.而子（炳+&）=W^-2點

【分析】利用二次根式的性質對4、B、C進行判斷；利用分母有理化對。進行判斷.

【解答】解：A、原式=|〃|-|旬，所以A選項的計算錯誤；

B、原式=|遙-2&=2&-泥，所以B選項的計算正確；

C、原式=J,所以c選項的計算正確；

D、原式=雁「二娓（V3-V2）=3&-2、e，所以。選項的計算正確.

V3+V2

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并

同類二次根式即可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式

的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍.

二.填空題（共4小題）

3.如果三角形的一個內角是另一個內角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形例如,

在△ABC中，如果N4=50°,ZB=100°,那么△ABC就是一個“倍角三角形”.如果

一個倍角三角形是一個等腰三角形，那么它的頂角的度數是90°或36°?

【分析】分頂角是底角的2倍、底角是頂角的2倍兩種情況，根據三角形內角和定理列

方程計算即可.

【解答】解：當頂角是底角的2倍時，

設頂角為尤，則底角為

2

由題意得，jc+—x=180°，

22

解得，x=90°,

當底角是頂角的2倍時，

設頂角為x，則底角為2x,

由題意得，x+2x+2x=180”,

解得，x=36°,

故答案為：90°或36°.

【點評】本題考查的是三角形內角和定理，掌握三角形的內角和等于180°是解題的關鍵,

解答時，注意分情況討論思想的應用.

4.函數尸_Zx的圖象經過第二、四象限.

【分析】根據正比例函數中/=-2進行判斷即可.

5

【解答】解：?.?函數行上K中*=-2<°，

55

...此函數的圖象經過二、四象限.

故答案為：二、四.

【點評】本題考查的是正比例函數的性質，即正比例函數)，=履中，當4<0時，函數圖

象經過二、四象限.

5.已知方程27-X-4=0有一根為12^1,則〃=.

2―2-

【分析】將、=上叵代入方程2/-x-a=0可得關于。的方程，解之即可.

2

【解答】解：根據題意，將》=上近代入方程2，-》-。=0,

2

得：2X4-2^-lZ^--a=0,

42

解得：〃=三叵

2

故答案為：殳返.

2

【點評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數

的值.

6.如圖，在直角三角形A8C中，ZC=90°,AC=6厘米，BC=8厘米，點P、。同時由

A、C兩點出發(fā)，分別沿AC、CB方向勻速運動，它們的速度都是每秒1厘米，P點運動

2或4秒時,△PCQ面積為4平方厘米.

【分析】設P點運動x秒時，△PCQ面積為4平方厘米，則AP=xa〃，PC=(6-x)cm,

CQ^xcm,根據△PCQ的面積為4平方厘米列出方程，求出符合題意的值即可.

【解答】解：設P點運動x秒時，△PC。面積為4平方厘米.

由題意得：—X(6-x)*x=4,

2

x2-6x+8=0,

解得xi=2,X2=4.

所以，尸點運動2或4秒時，△PC。面積為4平方厘米.

故答案為2或4.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵在于表示出三角形面積進而得出等

量關系求解.

三.解答題(共28小題)

7.如圖，已知AO_LA2,ACLAE,AD=AB,NC=NE,DC交AB于點O,交BE于點尸,

AC交BE于點F.

【分析】根據全等三角形的判定證明即可.

【解答】證明：?.?ADLAB,ACLAE,

：.ZDAB=ZEAC,

，ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,

即ND4C=NE48,

在△D4C與△E4B中，

'/C=NE

"AD=AC，

ZDAC=ZEAB

.?.△D4C絲△EAB(ASA),

:.ND=NB,

VZD+ZAOD=90°,ZAOD=ZBOP,

NB+/BOP=90°,

：.DC1.BE.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質，在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰

當的判定條件.

8.設等腰三角形的三條邊長分別為a、b、c,已知a=2,仄c是關于x的方程7-10x+m

=0的兩個根，求〃?的值.

【分析】根據等腰三角形的性質知①方程/-10x+m=0有一個根為2,將x=2代入可

得m的值，再解方程，由三角形三邊關系判斷是否符合題意;②若h=c,則方程x2-\Qx+m

=0有兩個相等的實數根，由根的判別式可得，"的值，檢驗此時方程的根是否符合題意.

【解答】解：根據題意知①若》=2或c=2,則方程x2-10x+〃?=0有一個根為2,

將x=2代入得4-20+/?=0,

解得：，〃=16,

此時方程為7-10x+16=0,即(x-2)(x-8)=0,

解得：x=2或x=8,

V2+2<8,不能構成三角形舍去；

若b=c,則方程10x+〃?=0有兩個相等的實數根，

(-10)2-4m=0,

解得：機=25,

此時方程為10x+25=0,即(x-5)2=0,

解得：x=5,

V2+5>5,

可以構成三角形，

故m—25.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質、三角形三邊的關系、根的判別式及解方程的

能力，根據題意分類討論思想的運用是解題的關鍵.

9.解方程：(4x7)2-10(4x7)-24=0.

【分析】先令4x-l=y,得V-lOy-24=0,求得y再得出x即可.

【解答】解：令4x-l=y,得10),-24=0,

(y-12)(y+2)=0,

12=0或)，+2=0,

—y2—-2,

當y=12時，4x-l=^2,x=坦；

4

當y--2時，4x-1=-2,x--—,

4

方程的解為xi=1員，

44

【點評】本題考查了用換元法解一元二次方程，找到整體是解題的關鍵.

10.己知，點O到△ABC的兩邊AB、AC所在的直線的距離相等，且O8=OC.

(1)如圖(1)所示，若點。在邊8c上，求證：AB=AC；

(2)如圖(2)所示，若點。在△4BC的內部，求證：AB=AC.

(3)若點。在△ABC的外部，結論“AB=AC”還成立嗎？成立(只要填“成立”

或“不成立”，不需證明過程.)

【分析】(1)如圖1中，作OE_LAB于E,OF_LAC于F,連接A0.只要證明RtZ\OEB

絲RtZXOFC,推出8E=CF,RtAAOE^RtAAOF,推出AE=4E即可證明.

(2)結論仍然成立.作。E_LAB于E,OF_L4C于F,連接A0.方法類似(1).

(3)結論仍然成立.作0ELA8于E,OFLAC于F,連接A0.方法類似(1).

【解答】(1)證明：如圖1中，作OE_LAB于E,OF1ACTF,連接A0.

VOEA.AB,OF1AC,OE=OF,

：.ZOEB=ZOFC=9Qa,

在RtAOEB和RtAOFC中，

[0E=0F,

IBO=OC'

.,.RtAOFB^RtAOFC(HL),

：.BE=CF,

在RtAAOE和RtAAOF中，

[0A=0A,

idE=0F'

.?.RtAAOE^RtAAOF(HL),

：.AE=AF,

：.BE+AE=CF+AF,即AB=AC.

(2)證明：如圖2中，作OE_LAB于E,OF_LAC于F,連接A0.

圖2

VOELAB,0F1AC,OE=OF,

.?./OE8=NOFC=90°,

在RtAOEB和RtAOFC中，

[OE=OF,

1BO=OC'

ARtAOEB^RtAOFC(HL),

：.BE=CF,

在RtAAOE和RtAAOF中，

[0A=0A,

idE=OF'

ARtAAOE^RtA/lOF(HL),

：.AE=AF,

：.BE+AE=CF+AF,BPAB=AC.

(3)解：結論不一定成立.如圖3中.AB^AC'

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、線段的和差定義等知識，解題的關鍵是利

用於判定兩個三角形全等，屬于中考?？碱}型.

11.如圖，在△ABC中，4E平分NBAC,交BC于點E,。是8c邊上點，且。E=CE,點

F在AE上，聯結。F,滿足。F=AC,

求證：DF//AB.

【分析】延長FE到G,使EG=EF.連接CG,由于已知條件通過SAS證得△DE/g4

CEG得至IJ。尸=6(7,NDFE=NG,由。尸=4C得到NG=NC4E,繼而由角平分線的性

質可求得NBAEn/DEF,可證明OF〃A8.

【解答】證明：

如圖，延長尸E到G,使EG=EF,連接CG.

在△￡>￡：尸和ACEG中

'DE=EC

'NDEF=NCEG，

.FE=EG

/.△DEF^ACEG(SAS).

：.DF=GC,ZDFE=ZG.

"：DF=AC,

，NG=/C4E,

平分/B4C

:.NBAE=NCAE.

J.ZG^ZBAE,

:.NBAE=NDFE,

：.DF//AB.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質，通過作輔助線，構造全等三角形進行

求解是正確解決本題的關鍵.

12.(1)計算：(岳_4陌1)+邑

V2V2W3V3

2

(2)已知x=—1；=,求三一62+2的值.

3+2&x-3

【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式和除法運算化為乘法運算，然后把括號

內合并后進行二次根式的乘法運算：

（2）先分母用理化得到x=3-2a,則x-3=-2近，兩邊平方可得/-6x=-1,然

后利用整體代入的方法計算原式的值.

【解答】解：⑴原式=Ga-2&-加-?）??

--V3-73

=-3；

(2)?.”=—

3+2加

；.x=3-2&,

??x-3=-2y1"2.

(x-3)2=8,即f-6x=-l,

.,.原式=-1+2-一返

-2V24

【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次

根式的乘除運算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特

點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍.

13.已知：如圖，AB=AC,AD-AE,NBAE=NCAD,8。與CE相于點尺

求證：(1)NB=NC；(2)FB=FC.

【分析】（1）由已知條件證得絲Z\ACE,從而證得.

（2）連接BC,要證/8=FC,可利用等式性質來證得.

【解答】證明：（1）,：ZBAE^ZCAD（已知），

.?.NBAE+/EAD=NCA￡?+NZME（等式性質），即N8A￡>=NCAE.（1分）

'AB=AC（已知）

在AAB。和△ACE中，，ZBAD=ZCAE（已證）

AD二AE（已知）

...△A8。之△ACE（SAS）.（1分）

...NA8O=/4CE（全等三角形對應角相等）.（1分）

（2）連接BC.（1分）

'：AB=AC（已知），

.../48C=N4C8（等邊對等角）.（1分）

NAB￡）=ZACE（已證），

；.NABC-N4BO=NACB-NACE（等式性質），即/PBCn/FCB.（1分）

:.FB=FC（等角對等邊）.（1分）

【點評】本題主要考查了兩個三角形的判定和性質，（1）從證得△ABO絲Z\ACE而得到

所證.（2）由等式性質來求證.難度一般.

14.已知：CP是等邊△ABC的外角N4CE的平分線，點。在射線BC上，以。為頂點，

D4為一條邊作NAQF=60°,另一邊交射線CP于F.

（1）如圖，若點。在線段8c上，求證：?ZBAD=ZCDF,@AD=FD；

（2）若點。在線段BC的延長線上，（1）中的兩個結論還一定成立嗎？若成立，請證明.

p

AOE=NB+NBAD,并由/4OE在圖形中分成的兩角和得出NCDF；

②利用外角平分線得：/ACP=NPCE=60°,證明A、D、C、尸四點共圓，從而得出

△AOF是等邊三角形，所以A￡>=F￡>；

(2)第一個結論不一定正確，第二個結論一定正確，理由是：如圖2,同理連接AF,根

據角的和差得：NBA￡)=60°+ZCAD,NCDF=60°+ZADC,而且而。是射線BC上

任意一點；CO與AC不一定相等，只有相等時兩角才相等；第二個結論與②同理得：A、

C、。、尸四點共圓，則△4。尸是等邊三角形，所以AQ=FQ.

【解答】證明：(1)如圖1,①;△ABC是等邊三角形，

：./B=NACB=NBAC=60°,

"：ZADE=ZB+ZBAD,ZADE=ZCDF+ZADF,

：.NB+NBAD=ZCDF+ZADF,

\"ZADF=6QQ,

:.NB=NADF,

:.NBAD=NCDF；

②連接AF,

\'ZACB=60°,

：.ZACE=\20°,

平分/4CE,

AZACP=ZPCE=60°,

/ACP=60°,

.?.4、D、C、尸四點共圓，

：.ZAFD=ZACB=60°,

AZADF=ZAFD=60°,

.,.ZDAF=60°,

???ZVI。尸是等邊三角形，

：.AD=FD；

（2）若點。在線段8C的延長線上，（1）中的第一個結論不一定正確，第二個結論一定

正確，理由是：

如圖2,連接AF,

VZBAD=ZBAC+ZCAD,ZBAC=60°,

：.ZBAD=60°+NC4。，

ZCDF=ZADC+ZADF,ZADF=60°,

：.ZCDF=60°+ZADC,

只有當NC4O=NADC時，第一個結論正確，即/班O=NCDF,而只有CO=AC時兩

角才相等；而。是射線8c上任意一點；

同（1）得：ZADF=ZACF=60°,

，A、C、D、F四點共圓，

：.ZFAD=ZFCD=60°,

ZAFD=60°,

**.AA￡）F是等邊三角形，

：.AD=FD.

B

D

圖2

圖1

【點評】本題考查了等邊三角形的性質和判定及三角形的外角定理，知道等邊三角形的

三邊相等，且各角為60°；本題多次運用了外角定理和角的和差關系得出角的大小關系;

同時本題利用了四點共圓，若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，則四點共圓；

本題也可以過。作OG〃AC,得出結論.

I5.將一條長為2051的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.

(1)要使這兩個正方形的面積之和等于We*/,那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是

多少？

(2)兩個正方形的面積之和可能等于12c/嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，

請說明理由.

【分析】(1)這段鐵絲被分成兩段后，圍成正方形.其中一個正方形的邊長為xcm,則

另一個正方形的邊長為絲絲=(5-x),根據“兩個正方形的面積之和等于17cH2”作

4

為相等關系列方程，解方程即可求解；

(2)設兩個正方形的面積和為》可得二次函數)=/+(5-x)2=2(x-旦)2+空，

22

利用二次函數的最值的求法可求得y的最小值是12.5,所以可判斷兩個正方形的面積之

和不可能等于12C/?2.

【解答】解：(1)設其中一個正方形的邊長為XC”則另一個正方形的邊長為(5-X)C/M,

依題意列方程得了+(5-%)2=17,

整理得：?-5x+4=0,

(x-4)(x-1)=0,

解方程得冗1=1,X2=4,

1X4=4C〃7,20-4=16cm；

或4X4=1657,20-16=4cwz.

因此這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm、16cm；

（2）兩個正方形的面積之和不可能等于12C,"2.

理由：

設兩個正方形的面積和為y,則

y=/+（5-x）2=2（x-—）2+^-,

22

：。=2>0,

.?.當欠=”時，y的最小值=12.5>12,

2'

兩個正方形的面積之和不可能等于12c〃P；

（另解：由（1）可知7+（5-x）2=12,

化簡后得2?-10_r+13=0,

:△=（-10）2-4X2X13=-4<0,

...方程無實數解；

所以兩個正方形的面積之和不可能等于12c）

【點評】此題等量關系是：兩個正方形的面積之和=17或12.讀懂題意，找到等量關系

準確的列出方程是解題的關鍵.

16.在實數范圍內分解因式：2?-3--y2.

【分析】將原式配方成2（x-Wy）2_烏2,再利用平方差公式分解即可得.

4-8

【解答】解：原式=2（/-2。+旦/_且2）2

2'16'16'

=2（X-Wy）2-IL/

4-8

=（揚+叵溫）（小一叵曲“.

44

【點評】本題主要考查因式分解的能力，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的

關鍵.

17.用20米長的籬笆圍成一個一邊靠墻的長方形倉庫（如圖所示），若要求圍成的長方形面

積為60米2,并且這堵墻長10米，在與墻平行的一邊，開一扇寬2米的門（門不占用籬

笆材料），問：該長方形相鄰兩邊長要取多少米？

【分析】設倉庫的垂直于墻的一邊長為X米，而與墻平行的一邊開一道2米寬的門，現

有能圍成20米長的籬笆，那么平行于墻的一邊長為(20-2X+2)米，而倉庫的面積為

60米2,由此即可列出方程，解方程就可以解決問題.

【解答】解：設倉庫的垂直于墻的一邊長為x米，

依題意得(20-2x+2)x=60,

x2-llx+30=0,

(x-6)(x-5)=0,

.".xi=6或X2=5,

當XI=6時，20-2%+2=10；

當X2=5時，20-2%+2=12>10,不合題意舍去.

答：該長方形相鄰兩邊長要取10米，6米.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是弄懂題意，找出題目中的等量關

系，要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

18.如圖，已知CB_L43,點E在上，且CE平分N8CD,QE平分NAOC,ZEDC+Z

【分析】根據角平分線的定義可得/AOC=2/EZ)C,ZBCD=2ZDCE,然后求出/AOC+

ZBCD=180°,根據同旁內角互補，兩直線平行可得AO〃BC,再根據兩直線平行，同

旁內角互補證明即可.

【解答】證明：CE分別平分NAOC、/BCD,

：.ZADC^2ZEDC,NBCD=2NDCE,

VZEDC+ZDCE=90°,

AZADC+ZBCD=2X90°=180°,

J.AD//BC,

又

；.NB=90°,

.*.ZA=180°-90°=90°,

：.AB±DA.

【點評】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定與性質，以及垂直的定義，熟記性

質并準確識圖是解題的關鍵.

19.已知：在△ABC中，AC=BC,NACB=90°,點。是AB的中點，點E是AB邊上一

點.

(1)直線B尸垂直于直線CE于點F,交CD于點、G(如圖1),求證：AE=CG；

(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點H,交C￡＞的延長線于點M(如圖2),找出圖

中與BE相等的線段，并證明.

【分析】(1)首先根據點。是AB中點，ZACB=90Q,可得出/4C￡>=N8CZ)=45°,

判斷出△AECg^CGB,即可得出AE=CG,

(2)根據垂直的定義得出NCM4+NMCH=90°,ZBEC+ZMCH=90c，,再根據AC

=BC,ZACM=ZCBE=45°,得出△BCE絲ZkCAM,進而證明出BE=CM.

【解答】(1)證明：：點。是AB中點，AC=BC,

N4C8=90°,

J.CDLAB,NACO=NBC￡)=45°,

：.ZCAD=ZCBD=45°,

：.ZCAE^ZBCG,

XVBF1CE,

：.ZCBG+ZBCF=90°,

XVZACE+ZBCF=90°,

NACE=ZCBG,

在△AEC和ACGB中,

'/CAE=/BCG

<AC=BC

,ZACE=ZCBG

:.4AEC必CGBCASA),

：.AE=CG,

(2)解：BE=CM.

證明：'JCHLHM,CDLED,

：.ZCMA+ZMCH=90°,NBEC+NMCH=90°,

：.ZCMA=ZBEC,

又：NACM=NCBE=45°,

fZBEC=ZCMA

在ABCE和△CAM中，，ZACM=ZCBE?

,BC=AC

：./\BCE^ACAM(44S),

：.BE=CM.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形對應邊相等的性質，難

度適中.

20.如圖，點O是等邊△ABC內一點，/AOB=UO°,NBOC=a.將△BOC繞點C按順

時針方向旋轉60°得△4OC,連接OD

(1)求證：△CO。是等邊三角形；

(2)當a=150°時，試判斷△A。。的形狀，并說明理由；

(3)探究：當a為多少度時，△AOO是等腰三角形？

A

D

B匕--------------------

【分析】（1）根據旋轉的性質可得出oc=。。，結合題意即可證得結論；

（2）結合（1）的結論可作出判斷；

（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉及全等的性質即可做出解答.

【解答】（1）證明：???將△80C繞點C按順時針方向旋轉60°得AADC,

：.CO=CD,ZOCD=60°,

.?.△COZ）是等邊三角形.

(2)解：當a=150°時，△A。。是直角三角形.

理由是：?.?將△80C繞點C按順時針方向旋轉60°得△AQC,

.,.△BOC^AADC,

.?.NAZ)C=N2OC=150°,

又???△COD是等邊三角形，

：.ZODC=60°,

ZADO=ZADC-NOZ)C=90°,

；/a=150°/AOB=UO°,/COZ)=60°,

...NAOO=360°-/a-/AO8-NCO￡)=360°-150°-110°-60°=40°,

.?.△AOO不是等腰直角三角形，即△A。。是直角三角形.

(3)解：①要使AO=A￡>,需/AO￡)=NA。。，

VZAOD=360°-110°-60°-a=190°-a,ZAD(?=a-60°,

.?.190°-a=a-60°,

/.a=125°；

②要使OA=OD,需NO4O=NA。。.

?.?/OA￡>=180°-(ZAOD+/AOO)=180°-(190°-a+a-60°)=50°,

；.a-60°=50°,

.,.a=110°；

③要使。。=4。，需NOA￡>=/A。。.

VZAOD=36QQ-1100-60°-a=190°-a,

NOAD=]40。_（口―60。）=]20。,

22

A1900-a=120。,

2

解得a=140°.

綜上所述：當a的度數為125°或110°或140°時，△A。。是等腰三角形.

【點評】本題以“空間與圖形”中的核心知識（如等邊三角形的性質、全等三角形的性

質與證明、直角三角形的判定、多邊形內角和等）為載體，內容由淺入深，層層遞進.試

題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊含著豐富的思想方法（如運動變化、數形結合、分類

討論、方程思想等），能較好地考查學生的推理、探究及解決問題的能力.

21.如圖，在等邊△ABC中，AM為8C邊上的中線，動點。在直線AM上時，以CO為邊

在CD的下方作等邊△€1￡>￡,聯結8E.

（1）/C4M=30度;

（2）當點。在線段4M上時，求證：AADC注ABEC；

（3）當動點。在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為。，試判斷/4OB的度

數是否會發(fā)生變化？請說明理由.

E

備用圖備用圖

【分析】（1）根據等邊三角形的性質可以直接得出結論.

（2）根據等邊三角形的性質就可以得出AC=AC,DC=EC,NACB=/OCE=60°,

由等式的性質就可以NBCE=NACD,根據SAS就可以得出

（3）分情況討論：當點。在線段AM上時，如圖1,由（2）可知△ACQgZkBCE,就

可以求出結論；當點。在線段AM的延長線上時，如圖2,可以得出△ACD四△B"而

有NC8E=NC4O=30°而得出結論；當點。在線段M4的延長線上時，如圖3,通過

得出△ACO烏ABCE同樣可以得出結論.

【解答】解：（1）如圖1中，???△ABC是等邊三角形，

：.ZBAC=60°.

:線段AM為8c邊上的中線

ZCAM^^-ZBAC,

2

.../C4M=30°.

故答案為：30；

(2):△ABC與△QEC都是等邊三角形

：.AC=BC,CD=CE,ZACB^ZDCE=60Q

：.ZACD+ZDCB^ZDCB+ZBCE

：.ZACD=/BCE.

在△AOC和△BEC中

'AC=BC

■ZACD=ZBCE

,CD=CE

AAACD^ABCE(SAS).

(3)/AO8是定值，ZAOB=60°,

理由如下：

①當點。在線段4M上時，如圖1,由(2)可知△ACQ絲△BCE,則/CBE=/C4Z)=

30°,

又NA8C=60°

：.ZCBE+ZABC=60°+30°=90°,

「△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線

平分NBAC,即NBAM=L/8AC=LX60°=30°

22

:.NBOA=90°-30°=60°.

②當點。在線段AM的延長線上時，如圖2中，

缸ABC與△OEC都是等邊三角形

；.4C=BC,CD=CE,NAC8=/DCE=60°

ZACB+ZDCB=ZDCB+ZDCE

：.ZACD^ZBCE

在△ACQ和△BCE中，

'AC=BC

'NACD=/BCE，

,CD=CE

AAACD^AfiCE(SAS)

：.ZCBE=ZCAD=30°,

同理可得：NZMM=30°,

AZBOA=90°-30°=60°.

③當點D在線段MA的延長線上時，

,/XABC與△￡>EC都是等邊三角形

：.AC=BC,CD=CE,/ACB=/OCE=60°

ZACD+ZACE=ZBCE+ZACE=60a

：.ZACD=ABCE

在△ACQ和△BCE中，

'AC=BC

-ZACD=ZBCE)

,CD=CE

AAACD^ABCE(SAS)

：.ZCBE=ZCAD

同理可得：NCAM=30°

ZCBE=ZC4D=150°

...NCBO=30°,NB4M=30°,

AZBOA=90°-30°=60°.

綜上，當動點。在直線AM上時，/AOB是定值，/4OB=60°.

圖3

圖1

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質的運用，直角三角形的性質

的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等

是關鍵.

22.己知機=—n——求的值.

2+遍2^5

【分析】先將機2-變形為2+mn,然后將〃?和〃的值代入求解即可.

【解答】解：?.“

2+V5

n=—-2-辰,

2y

?\m-mn+n

=(m-n)2+mn

=(-2+V5+2+V5)2+(-2+V5)(-2-V5)

=20-1

=19.

【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，解答本題的關鍵在于先將由2〃+〃2變形為

(m-n)2+mn,然后將相和"的值代入求解.

23.小惠到眼鏡店調查了近視眼鏡的度數和鏡片焦距的關系如表：

鏡片焦距x(cw)502512.5108…

眼鏡度數y(度)20040080010001250…

(1)根據上表體現出來的規(guī)律，請寫出眼鏡度數y(度)與鏡片焦距x(cm)之間的函

數關系式；

(2)若小惠所戴眼鏡度數為500度，求該鏡片的焦距.

【分析】(1)觀察表格中的數據可知肛=10000,由此即可解決問題.

(2)把)，=200代入，函數關系式中求出x的值即可.

【解答】解：(1)由題意可知：孫=10000,

.?*10000(x>0).

X

(2)當y=500時,x=20.

答：若小惠所戴眼鏡度數為500度，則該鏡片的焦距為20°〃?.

【點評】本題考查反比例函數的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決

問題.

24.如圖，直線y=or(a>0)與雙曲線y=k(&>0)交于A、B兩點,且點A的坐標為(4,

x

2),點8的坐標為(小-2).

(I)求a,〃的值；

(2)若雙曲線y=y=k(k>0)的上點C的縱坐標為8,求△AOC的面積.

x

【分析】(1)根據待定系數法即可求得a的值，根據一次函數圖象上點的坐標特征即可

求得〃；

(2)由條件(1)知I,k=8,點C的縱坐標為8,求出C的坐標為(1,8),然后根據S

MOC=S^COD+S^.mACDE-SMOE=S棒形ACDE即可求得.

【解答】解：(1)?.?直線y=ar(a>0)與雙曲線)，=K(k>0)交于A、8兩點，

X

.平a=2,

lan=-2

解得a=—,n=-4；

2

(2)?.?雙曲線y=k(%>0)經過A點，

x

.?#=4X2=8,

?雙曲線y=y=K(k>0)的上點C的縱坐標為8,

x