江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)五校聯(lián)考2023屆九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

;2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)五校聯(lián)考九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）1．tan45°的值等于（）A． B． C．1 D．2．已知二次函數(shù)y＝2（x﹣3）2+1，下列說法錯誤的是（）A．開口向上 B．頂點坐標(biāo)為（3，1） C．最小值為1 D．與y軸交點為（0，1）3．下列關(guān)于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情況說法正確的是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根4．拋物線y＝﹣x2+2x﹣c過A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）三點．則將y1，y2，y3，從小到大順序排列是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y15．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝，E為AC的中點，那么sin∠EDC的值為（）A． B． C． D．6．在同一坐標(biāo)系下，一次函數(shù)y＝ax+b與二次函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象大致可能是（）A． B． C． D．7．定義符合min{a，b}的含義為：當(dāng)a＞b時，min{a，b}＝b；當(dāng)a＜b，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．則min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．0 B．1 C． D．8．對于一個函數(shù)，自變量x取c時，函數(shù)值y等于0，則稱c為這個函數(shù)的零點．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有兩個不相等的零點x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有兩個不相等的非零實數(shù)根x3，x4（x3＜x4），則下列關(guān)系式一定正確的是（）A．＞1 B．0＜＜1 C．＞1 D．0＜＜1二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9．拋物線y＝5（x﹣4）2+3的頂點坐標(biāo)是．10．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則9m﹣6m2+1的值為．11．2022年，北京成功舉辦第24屆冬季奧運會后，很多學(xué)校都開展了冰雪項目的學(xué)習(xí)活動如．圖，一位同學(xué)乘滑雪板沿坡度為i＝1：2的斜坡滑行30米，則他下降的高度為米．12．已知實數(shù)a，b，c滿足a≠0，且a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，則拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為．13．如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為．14．一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故．一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援．海警船大約需小時到達(dá)事故船C處，（sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，P是AB邊上一動點，PD⊥AC于點D，點E在P的右側(cè)，且PE＝5，連接CE，P從點A出發(fā)，沿AB方向運動，當(dāng)E到達(dá)點B時，P停止運動，在整個運動過程中，陰影部分面積S1+S2的最小值為．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點為A，與y軸交于點C，線段CB∥x軸，交該拋物線于另一點B．平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，使其頂點始終在直線AC上移動，當(dāng)平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點時，設(shè)此時拋物線的頂點的橫坐標(biāo)為n，n的取值范圍是．三、解答題（本大題共10小題，共82分）17．解方程：（1）（x﹣1）2＝3x﹣3（2）4x2﹣3x＝1．18．計算：2sin60°+cos45°﹣tan30°．19．已知二次函數(shù)y＝x2+6x+k﹣1（k是常數(shù)）．（1）如果該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，求k的值；（2）如果該二次函數(shù)的圖象頂點在x軸上，求k的值．20．已知關(guān)于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．（1）求證：不論k取何值，方程必有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的一個根為x＝﹣2，求k的值及方程另一個根．21．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么我們稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如：方程x2﹣x＝0的兩個根是x1＝0，x2＝1，則方程x2﹣x＝0是“鄰根方程”．（1）請通過計算，判斷方程x2﹣x+1＝0是否是“鄰根方程”；（2）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，求m的值．22．若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如表：x﹣10123y03430（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式：（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖像上有兩點P（m，yP），Q（n，yQ），①已知yP＝y(tǒng)Q，當(dāng)x＝m+n時，求y的值；②當(dāng)n＝4時，yP＜yQ，求m的取值范圍．23．圖1是某型號挖掘機(jī)，該挖掘機(jī)是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成．圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN為0.5米，主臂MP長為3米，主臂伸展角α的范圍是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范圍是：45°≤β≤135°．當(dāng)α＝45°時（如圖3），伸展臂PQ恰好垂直并接觸地面．求：（1）伸展臂PQ長為多少米？（2）挖掘機(jī)能挖的最遠(yuǎn)處距點N的距離為多少米？24．某電商銷售一款秋季時裝，進(jìn)價40元/件，售價110元/件，每天銷售20件．為了慶祝二十大的勝利召開，未來30天，這款時裝將開展“喜迎二十大，每天降1元”的促銷活動，即從第1天起每天的單價均比前一天降1元．通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該時裝單價每降1元，每天銷量增加4件．（1）這30天內(nèi)該電商第幾天的利潤最大？最大利潤是多少？（2）為了回饋社會，在這30天內(nèi)，該電商決定每銷售一件時裝，向希望工程捐a元（a＞0）．要使每天捐款后的利潤隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，求a的取值范圍．25．如圖，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝3，（1）若AD＝1，AB＝m，在AB邊上存在唯一的P點使得∠DPC＝90°，①求m的值；②PC的垂直平分線交CD于Q點，求DQ的長；（2）延長BA、CD交于點E，點F在BE上，且∠BCF＝∠E，若tan∠ECF＝，求BF的長．26．已知拋物線y＝ax2﹣2ax+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸正半軸交于C點，頂點為M，直線MD⊥x軸于點D．（1）當(dāng)a＞0時，知OC＝MD，求AB的長；（2）當(dāng)a＜0時，若OC＝OB，tan∠ACB＝2，求拋物線的解析式；

參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）1．解：tan45°＝1，故選：C．2．解：拋物線y＝2（x﹣3）2+1中a＞0，∴拋物線開口向上，頂點坐標(biāo)為（3，1），∴當(dāng)x＝3時，y有最小值1，把x＝0時，y＝19，∴拋物線與y軸交點為（0，19），故D錯誤；故選：D．3．解：2x2﹣5x﹣2＝0，因為Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．4．解：∵y＝﹣x2+2x﹣c＝﹣（x﹣1）2+1﹣c，∴圖象的開口向下，對稱軸是直線x＝1，∴當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，∵A（﹣1，y1）關(guān)于直線x＝1的對稱點是（3，y1），且1＜2＜3＜5，∴y2＞y1＞y3，即y3＜y1＜y2．故選：C．5．解：在Rt△ABD中，cosB＝＝，BD＝9，∴AB＝BD＝15，由勾股定理得AD＝＝＝12，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝13，∵E為AC中點，∴ED＝EC＝AC＝，∴sin∠EDC＝sinC＝＝．故選：C．6．解：A、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項正確；B、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直線可知，a＜0，b＞0，故本選項錯誤；C、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，故本選項錯誤；D、由拋物線可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項錯誤．故選：A．7．解：聯(lián)立，解得，，所以，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故選：D．8．解：由題意關(guān)于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有兩個不相等的非零實數(shù)根x3，x4（x3＜x4），就是關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）與直線y＝﹣2的交點的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)的圖象草圖如下：∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣5，∴x3＜x1＜﹣5，由圖象可知：0＜＜1一定成立，故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9．解：∵y＝5（x﹣4）2+3是拋物線解析式的頂點式，∴頂點坐標(biāo)為（4，3）．故答案為（4，3）．10．解：由題意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴9m﹣6m2+1＝﹣3（2m2﹣3m）+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案為：﹣2．11．解：設(shè)他下降的高度AC為x米，∵斜坡的坡度為i＝1：2，∴這位同學(xué)滑行的是水平距離BC為2x米，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（2x）2＝302，解得：x＝±6（負(fù)值舍去），∴他下降的高度為6米，故答案為：6．12．解：∵a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，∴拋物線經(jīng)過點（﹣1，0）和（3，0），∴對稱軸為直線x＝＝1．故答案為：直線x＝1．13．解：如圖：連接DE，由題意得：AB∥DE，∴∠APC＝∠EDC，在△DCE中，CD2＝22+42＝20，CE2＝12+22＝5，DE2＝32+42＝25，∴CD2+CE2＝DE2，∴△DCE是直角三角形，∴∠DCE＝90°，∴cos∠CDE＝＝，∴cos∠APC＝cos∠CDE＝，故答案為：．14．解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80，∴CD＝AC＝40，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，∴BC＝≈＝50（海里），∴海警船到達(dá)事故船C處所需的時間大約為：50÷40＝（小時）．故答案為：．15．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，∴AB＝＝25，設(shè)PD＝x，AB邊上的高為h，則h＝＝12，∵PD⊥AC，∴PD∥BC，∴△ADP∽△ACB，∴，即，∴AD＝x，PA＝x，∴S1+S2＝×x?x+×（25﹣5﹣x）×12＝x2﹣10x+120＝（x﹣）2+，∴x＝，S1+S2的值最小為＝82.5，故答案為：82.5．16．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴頂點A（1，﹣4），令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣3，①如圖1，當(dāng)拋物線向左平移h個單位，則向上平移h個單位，∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，設(shè)直線BA的解析式為y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣5，聯(lián)立方程組，整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，當(dāng)Δ＝0時，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，解得h＝，此時拋物線的頂點為（，﹣），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點；②如圖2，當(dāng)拋物線向右平移k個單位，則向下平移k個單位，∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，解得k＝0（舍）或k＝3，此時拋物線的頂點坐標(biāo)為（4，﹣7），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點，當(dāng)拋物線的頂點為（1，﹣4）時，平移后的拋物線與射線BA有兩個公共點，∴綜上所述：1＜n≤4或n＝．故答案為：1＜n≤4或n＝．三、解答題（本大題共10小題，共82分）17．解：（1）（x﹣1）2＝3x﹣3，（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0．（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，x﹣1＝0或x﹣4＝0，解得x1＝1，x2＝4；（2）4x2﹣3x＝1，4x2﹣3x﹣1＝0，（4x+1）（x﹣1）＝0，4x+1＝0或x﹣1＝0，解得，x2＝1．18．解：原式＝2×+×﹣＝+1．19．解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+6x+k﹣1的圖象經(jīng)過原點，∴k﹣1＝0，解得k＝1；（2）根據(jù)題意得：＝＝0，解得k＝10．20．【解答】（1）證明：Δ＝k2﹣4（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4．∵（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴不論k取何值，方程必有兩個不相等的實數(shù)根；（2）將x＝﹣2代入原方程得4﹣2k+k﹣2＝0，解得：k＝2，∴方程的另一個根為﹣k﹣（﹣2）＝﹣2﹣（﹣2）＝0．答：k的值為2，方程的另一個根為0．21．解：（1）解方程x2﹣x+1＝0得：x＝或x＝，∵﹣＝1，∴方程x2﹣x+1＝0是“鄰根方程”；（2）由方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0解得：x＝m或x＝﹣1，由于關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，則m﹣（﹣1）＝1或﹣1﹣m＝1，解得m＝0或﹣2．22．解：（1）∵x＝﹣1，y＝0；x＝3，y＝0，∴拋物線解析式可設(shè)為y＝a（x+1）（x﹣3），∵x＝0，y＝3，∴a×（0+1）×（0﹣3）＝3，解得a＝﹣1，∴拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵當(dāng)x＝m和x＝n時函數(shù)y的值相等，而拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣1，∴m+n＝﹣2，當(dāng)x＝m+n時，y＝﹣（﹣2+1）（﹣2﹣3）＝﹣5．②∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，∴Q（4，yQ）關(guān)于對稱軸的對稱點為（﹣6，yQ），∵yP＜yQ，∴m的取值范圍是m＜﹣6或m＞4．23．解：（1）過點M作MH⊥PQ，垂足為Q，則HQ＝MN＝0.5米，在Rt△PHM中，∠PMH＝45°，PM＝3米，∴PH＝PM?sin45°＝3×＝3（米），∴PQ＝PH+HQ＝3+0.5＝3.5（米），∴伸展臂PQ長為3.5米；（2）當(dāng)∠QPM＝135°時，過點Q作QA⊥PM，交MP的延長線于點A，連接QM，∴∠APQ＝180°﹣∠QPM＝45°，在Rt△APQ中，PQ＝3.5米，∴AQ＝PQ?sin45°＝3.5×＝（米），AP＝PQ?cos45°＝3.5×＝（米），∵PM＝3米，∴AM＝AP+PM＝（米），在Rt△AQM中，QM＝＝＝（米），在Rt△QMN中，QN＝＝＝（米），∴挖掘機(jī)能挖的最遠(yuǎn)處距點N的距離為米，24．解：（1）設(shè)銷售利潤為w元，銷售時間為x天，由題意可知，w＝（110﹣x﹣40）（4x+20），＝﹣4x2+260x+1400，＝﹣4（x﹣32.5）2+5625，∵a＝﹣5＜0，∴函數(shù)有最大值，∴當(dāng)x＝30時，w取最大值為w＝﹣4×302+260×30+1400＝5600元，∴第30天的利潤最大，最大利潤是5600元；（2）設(shè)未來30天每天獲得的利潤為y，時間為t天，根據(jù)題意，得y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a，化簡，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a，每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，∴﹣＞29.5，解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范圍是：0＜a＜6．25．解：（1）①如圖1中，∵在AB邊上存在唯一的P點使得∠DPC＝90°，∴以CD為直徑的⊙O與AB相切于點P，連接OP．∴OP⊥AB，∵∠A＝∠B＝90°，∴DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥OP∥CB，∵OD＝OC，∴AP＝PB，∴OP＝（AD+BC）＝2，∵∠DPC＝90°，OD＝OC，∴CD＝2OP＝4，過點D作DT⊥CB于點T，則四邊形ABTD是矩形，∴AB＝DT，AD＝B