求二次型形方法及

二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.2．用矩陣表示

定義合同矩陣有一下性質(zhì)：（1）自反性（2）對(duì)稱性(3)傳遞性定理

設(shè)是一個(gè)可逆矩陣,若為對(duì)稱矩陣,

則也為對(duì)稱矩陣,且三、矩陣的合同

1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過可逆的線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;

2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.四、配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形五、用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形由上節(jié)內(nèi)容知道任何一個(gè)二次型都可以表示成矩陣形式然后，經(jīng)過某個(gè)坐標(biāo)變換可以將它的二次型矩陣變成對(duì)角矩陣。其中矩陣A是對(duì)稱矩陣，即AT=A。我們知道，任何一個(gè)可逆矩陣都等于一系列的初等矩陣的乘積一系列的合同運(yùn)算經(jīng)過一系列的合同運(yùn)算使矩陣A變成對(duì)角矩陣D也就是說，我們可以通過以下步驟得到變換矩陣C以及A的對(duì)角化矩陣Λ

（二次型的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣）。解：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為坐標(biāo)變換矩陣為

在原理上，我們也可以設(shè)計(jì)初等行變換來求二次型矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及其變換矩陣。D為對(duì)角矩陣二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：坐標(biāo)變換矩陣為必須說明：不同的初等變換過程，可以獲得不同的二次型例如：例3中的二次型，可以繼續(xù)進(jìn)行合同運(yùn)算其標(biāo)準(zhǔn)形為坐標(biāo)變換矩陣為以上過程告訴我們，二次型可以通過坐標(biāo)變換化成標(biāo)準(zhǔn)形。其中D是對(duì)角矩陣，主對(duì)角線上各元為d1,d2,…,dn,n個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)一步進(jìn)行合同變換，可以將二次型化成如下形式：該式稱為二次型的規(guī)范形。r是矩陣A的秩，即二次型的秩。注意：規(guī)范型中“+”號(hào)的個(gè)數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)型中di>0的個(gè)數(shù)相同。同樣，規(guī)范型中“-”號(hào)的個(gè)數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)型中di<0的個(gè)數(shù)相同。定義：二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為二次型的正慣性系數(shù)，負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性系數(shù)證明：因?yàn)閞就是二次型矩陣A的秩，所以r是確定的?，F(xiàn)在我們來證明正慣性系數(shù)p也是唯一的。假設(shè)二次型可以化成兩個(gè)規(guī)范形(1)(2)由(1)(2)我們有：如果我們證明p=q，那么二次型的正慣性系數(shù)是唯一的。(4)反證法，假設(shè)q不等于p，不妨假設(shè)p>q如果找到不全為零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假設(shè)不成立問題：y1,y2,…,yn取怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，(4)式左端大于0，同時(shí)相應(yīng)的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于0？(4)方程組的未知量個(gè)數(shù)為n，方程的個(gè)數(shù)為n-p+q<n個(gè)。因此有非零解。即存在不全為零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于p>q造成的。同樣，p<q亦會(huì)產(chǎn)生類似的矛盾。由此得到p=q.慣性定理成立。

第二節(jié)正定二次型

正(負(fù))定二次型的概念

正(負(fù))定二次型的判別為正定二次型為負(fù)定二次型一、正(負(fù))定二次型的概念例如證明充分性故二、正(負(fù))定二次型的判別必要性故推論1.實(shí)二次型正定的充要條件是其正慣性系數(shù)為n推論2.實(shí)二次型正定的充要條件是其矩陣與n階單位合同推論3.正定矩陣的行列式大于零證明：設(shè)A為正定矩陣，則CTAC=E,兩端求行列式得：這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理．定理2對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即對(duì)稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階順序主子式為正，即A的各階主子式亦為正。例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，例3

判別二次型的正定性.解二次型正定性的判斷方法一般的二次型的判斷都可以利用它的標(biāo)準(zhǔn)型或者規(guī)范性完成。設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為：如果di>(<)0(i=1,2,…,n),那么二次型是正定(負(fù)定)的。如果di≥(≤)0(i=1,2,…,n),那么二次型是半正定(半負(fù)定)的。如果di中既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)