數(shù)學(xué)一歷年真題(2019-1987)年

2019年碩士研究生入學(xué)考試

數(shù)學(xué)一試題

一、選擇題1—8小題.每小題4分，共32分.

1.當(dāng)x-0時(shí)，若x—tanx與/是同階無(wú)窮小，則左=()

(A)1(B)2(C)3(D)4

xlxlX?0

2.設(shè)函數(shù)/(x)=｛〔I'一，則》=()是/(幻的()

xlnx,x>0

(A)可導(dǎo)點(diǎn)，極值點(diǎn)(B)不可導(dǎo)的點(diǎn)，極值點(diǎn)

(C)可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn)(D)不可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn)

3.設(shè)｛““｝是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是()

(A)￡%(B)￡(T)/(C)到(D)

n=\"〃=1憂nn=\(^n+\)?=1

X

4.設(shè)函數(shù)。(乂y)=f,如果對(duì)于上半平面(y>0)內(nèi)任意有向光滑封閉曲線。都有

一y

jcP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

那么函數(shù)P(x,y)可取為()

r21r2111

(A)y-(B)--------(C)-------(D)x——

yyy%yy

5.設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，七是三階單位矩陣，若A2+A=2E,且網(wǎng)=4，則二次型./Ar

的規(guī)范形是

()

(A)y：+貨+式(B)yf+y；-yj(C)y-；(D)-y-；

6.如圖所示，有三張平面兩兩相交，交線相互平行，它們的方程

%x+42y+%z=4(i=l，2,3)組成的線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別記為AM,

則()

(A)r(A)=2,r(A)=3(B)r(A)=2,z?(無(wú))=2

(C)r(A)=l,r(A)=2(D)*A)=l,y)=l

7設(shè)A,B為隨機(jī)事件，則P(A)=P(B)的充分必要條件是

)

(A)P(AB)=P(A)+P(B)(B)P(AB)=P(A)P(B)

(C)P{AB)=P(BA)(D)P(AB)=P(AB)

8.設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布N(〃,cr2).則P{|X—H<1}()

(A)與〃無(wú)關(guān)，而與b?有關(guān)(B)與〃有關(guān)，而與a?無(wú)關(guān)

(C)與〃,b?都有關(guān)(D)與〃，<7?都無(wú)關(guān)

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

I8z1dz

9.設(shè)函數(shù)/(〃)可導(dǎo)，z=/(siny-sinx)+xy，則--------+---------

cosxdxcosyOy

10.微分方程2R—產(chǎn)一2二0滿足條件y(0)=l的特解為丁=

11.幕級(jí)數(shù)￡上山-￡'在(0,+8)內(nèi)的和函數(shù)S(x)=

看不清楚題目是袋^還噂器，我哮|上給出解答.

12.設(shè)E為曲面￡+V+4z?=4(z20)的上側(cè)，則JJ74-x2-4z2dxdy=

13.設(shè)4=(,,。2，。3)為三階矩陣，若線性無(wú)關(guān)，且％=一。1+2%，則線性方程

組Ar=O的通解為.

X2

14.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=15'0(,尸(x)為其分布函數(shù)，E(X)其數(shù)

0,其他

學(xué)期望，則P｛尸(X)>E(X)-1｝=.

三、解答題

15.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)y(x)是微分方程y'+D=e-2滿足條件y(0)=0的特解.

(1)求武為;(2)求曲線y=y(x)的凸凹區(qū)間及拐點(diǎn).

16.(本題滿分10分)設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，函數(shù)2=2+?^+刀2在點(diǎn)(3,4)處的方向?qū)?shù)中，

沿方向/=-3i-47的方向?qū)?shù)最大，最大值為10.

(1)求常數(shù)之值；(2)求曲面2=2+4^+力2(zZ0)的面積.

17.(本題滿分10分)求曲線y=e-*sinx(xNO)與犬軸之間形成圖形的面積.

18.(本題滿分10分)設(shè)?！?(*''?=/公(〃=0,1,2,)

(1)證明：數(shù)列伍“｝單調(diào)減少，且25=2,3,);(2)求極限lim」工.

“+2-

19.(本題滿分10分)設(shè)。是由錐面F+(y—2)2=(1—Z)2(04241)與平面2=0圍成

的錐體，求。的形心坐標(biāo).

20(本題滿分11分)設(shè)向量組必為R空間的一組基，4=

在這組基下的坐標(biāo)為

(1)求a,b,c之值;

(2)證明：%,4,，也為2空間的一組基，并求a2,%*到的過(guò)渡矩陣.

‘-221、I0、

21.(本題滿分11分)已知矩陣4=2x-2與3=0-10相似.

、00—2,<00X

(1)求之值；(2)求可逆矩陣P，使得尸一”「=8.

22.(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，丫的概

率分布為：P{Y=-\}=p,P{Y=\}=\-p,(0<p<1).令z=xr.

(1)求2的概率密度;(2)p為何值時(shí)，X,Z不相關(guān)；(3)此時(shí)，X,Z是否相互獨(dú)立.

23.(本題滿分11分)設(shè)總體X的概率密度為/(x)=<『e2°其中〃是已知

0,x<〃

參數(shù)，b是未知參數(shù)，A是常數(shù)，X,,X2,,X“是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.

(1)求常數(shù)A的值；

(2)求cr?的最大似然估計(jì)量.

2018年碩士研究生入學(xué)考試

數(shù)學(xué)一試題

一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在管型繼指定位置上.

(1)下列函數(shù)不可導(dǎo)的是:

（力）y=|%|sinW

（B）y=Hsin7R

（。）y=cos

（〃）y=cos洞

(2)過(guò)點(diǎn)(1,0,0)與(0,1,0)且與z=x2+必相切的平面方程為

（4）z=0與x+y-z=1

（夕）z=0與2x+2y-z=2

（C）y=x與x+y-z=]

（〃）p=x與2c+2y-z=2

⑶》一,壬

⑷sin1+cos1

（5）2sin1+cos1

（C）sin1+cos1

（Z?）3sinl+2cos1

2（1+x）222

（4）MdxN=jK=|（1+y/cos

1+/）則M.N.K

22~~2

的大小關(guān)系為

（z）M>N>K

⑻M>K>N

（C）K>M>N

（D）N>M>K

口10、

(5)下列矩陣中，與矩陣011相似的為

、00L

'11-p’10-1、

A.011B.011

001,、001,

’11-1、"10-1、

C.010D.010

、00u、001,

(6).設(shè)A,8為〃階矩陣，記r(X)為矩陣X的秩，(XY)表示分塊矩陣，

則

A.r(AAB)=r(A)B.r(ABA)=r(A)

C.r(AB)=max{r(A),r(B)}D.r(A8)=r("Bl)

(7)設(shè)/(x)為某分部的概率密度函數(shù)，/(l+x)=/(1-x),f'/(x)dx=0.6,則

J0

p[X?0]=.

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

(8)給定總體XNO。?)，〃已知，給定樣本乂,乂2，,X“，對(duì)總體均值〃進(jìn)

行檢驗(yàn)，令"0：〃="[：〃X〃0,貝|J

A.若顯著性水平￡=0.05時(shí)拒絕/，則a=0.01時(shí)也拒絕兒.

B.若顯著性水平a=0.05時(shí)接受“0，則a=0.01時(shí)拒絕％.

C.若顯著性水平a=0.05時(shí)拒絕/，則&=0。時(shí)接受

D.若顯著性水平a=0.05時(shí)接受“0,則a=0.01時(shí)也接受兒?

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題里指定位置上.

]

(1—fanX\sinlv?.

(9)lim----------=e，貝(JA=

xToU+tanxJ

(10)y=/(x)的圖像過(guò)(0,0),且與y=a'相切與(1,2),求_

(11)F(x,y,z)=個(gè)￡-yz〃+xzA,求n?/E(l,l,())=

(12)曲線S由/+y2+z2=］與x+y+z=O相交而成，求［孫心=

(13)二階矩陣A有兩個(gè)不同特征值，%%是A的線性無(wú)關(guān)的特征向量，

A2(a,+%)=(%+%)，則|川=

(14)A,B獨(dú)立，A,C獨(dú)立，

8Cw0，P(A)=P(5)=g,P(AC\AB。)=!，則尸(。)=_

三、解答題：15-23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在管犁繼指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或演算步驟.

(15).求不定積分je?*arctanyje，-Idx

(16).一根繩長(zhǎng)2m,截成三段，分別折成圓、三角形、正方形，這三段分

別為多長(zhǎng)是所得的面積總和最小，并求該最小值。

(17).x=11一3丫2—3z?取正面,求Jj*Mydz+(y3+z)力Hz+z%xz加

(18)微分方程)，'+>=/(x)

(I)當(dāng)/(x)=x時(shí)，求微分方程的通解.

(II)當(dāng)/(x)為周期函數(shù)時(shí)，證微分方程有通解與其對(duì)應(yīng)，且該通解也為周

期函數(shù).

(19)數(shù)歹9%｝,玉>0，=e""_l.證：｛1｝收斂,并求limx”.

??—>QO

(20)設(shè)實(shí)二次型/(%],九2，%3)=(M-工2+工3『+(*2+%3)2+(X1+0X3)?，其中3是參

數(shù)，

(I)求f(X32，F(xiàn))=。的解

(ii)求/(/孫芻)的規(guī)范形

"12a'

(21)已知a是常數(shù)，且矩陣A=130可經(jīng)初等變換化為矩陣

27-a

■1a2

011

-111

(I)求a

(II)求滿足AP=3的可逆矩陣P

(22)X,F隨機(jī)變量相互獨(dú)立，P{X=l}=y,P{X=-1}=%,丫服從/I的泊

松分布.

Z=X}

(1)求cov(X,Z).

(2)求Z得概率分布.

1_w

(23)X,,X,,X“來(lái)自總體X的分布,f(x)=-e。。未知，田<x<+oo).

22(7

(1)求b得極大似然估計(jì).

(2)求E(J),D(CT).

2017年碩士研究生入學(xué)考試

數(shù)學(xué)一試題

一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在管啰繼指定位置上.

I-COS4x

(1)若函數(shù)/(?=r-G—在x=0處連續(xù)，貝IJ()

b,x<0

(A)ab=g=——

(C)a8=0(D)ab=2

(2)設(shè)函數(shù)/(x)可導(dǎo)，且/(x)/(x)>0,則()

(A)/(l)>/(-l)(fi)/(l)</(-l)

(C)|/(l)|>|/(-l)|(D)|/(l)|<|/(-l)|

(3)函數(shù)/(%,％2)=/〉+22在點(diǎn)(1,2,0)處沿向量〃=(1,2,2)的方向?qū)?shù)為()

(A)12(8)6(C)4(D)2

(4)甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，甲在乙前方10(單位：m)處，圖中實(shí)線表示甲的速度

曲線v=、Q)(單位：m/s)，虛線表示乙的速度曲線丫=彩。)，三塊陰影部分面積的數(shù)值

依次為10,20,3,計(jì)時(shí)開(kāi)始后乙追上甲的時(shí)刻記為功(單位：s),則()

v(m/s)

10:0

?1?ii；i

051015202530f(s)

(A)Zo=10(B)15<?0<20(C)f0=25(D)t0>25

(5)設(shè)。是〃維單位列向量，E為〃階單位矩陣，則()

(A)E-aa'不可逆(6)E+aa，不可逆

(C)E+2a/不可逆不可逆

2001「2Ioirioo-

(6)設(shè)矩陣A=021,B=020,C=020,則(

01J|_01J|_002

00

(A)4與。相似,5與。相似(3乂與。相似,8與C不相似

(C)A與C不相似,8與。相似(O)A與C不相似,8與C不相似

(7)設(shè)4,6為隨機(jī)概率，若0</?(4)<1,0</8)<1,則/>(49)>/?645的充分必要

條件是()

(A)P(B|A)>P(B|A)(8)「(B|A)<P(B|A)

(C)P聞A)>P(斗)(￡>)P(同A)<P(B|A)

_1〃

(8)設(shè)乂，X,…X“(〃N2)為來(lái)自總體N(〃,l)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記區(qū)=一?：,則下

〃方

列結(jié)論中不正確的是()

(④田(X,-4產(chǎn)服從/分布(8)2(X”-Xj服從/分布

/=1

(C)力(X,-又)2服從％2分布⑵〃(區(qū)-〃)2服從/分布

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在等圖紙指定位置上.

(9)已知函數(shù)f(x)=—^,則/⑶(0)=

1+x

(10)微分方程y"+2y'+3y=0的通解為丁=

(11)若曲線積分［簽拳專在區(qū)域D={(x,y)|f+y2<i}內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，貝|J

(12)幕級(jí)數(shù)在區(qū)間(—1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(X)=

〃=1

’101、

(13)設(shè)矩陣A=112,4,為線性無(wú)關(guān)的3維列向量組，則向量組

、01b

Aay,Aa2,Aay的秩為

Y—4

(14)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=0.5①(尤)+0.5①(亍)，其中①(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

分布函數(shù)，則砍=

三、解答題：15-23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(〃#)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=f(ex,cosx),求半

ax

(16)(本題滿分10分)求lim￡與ln(1+-|

…為〃In)

(17)(本題滿分10分)

已知函數(shù)y(x)由方程Y+y3—3x+3y—2=()確定，求y(x)的極值

(18)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/'(x)在區(qū)間［0,1］上具有2階導(dǎo)數(shù)，且了⑴〉0,lim/@<0,證明：

10+X

(I)方程/(%)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根；

(n)方程/(X)/(X)+(/(X))2=()在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根。

(19)(本題滿分10分)

設(shè)薄片型物體S是圓錐面2=后了了被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一點(diǎn)的密度

為

^^9ylx2+y2+z2o記圓錐面與柱面的交線為。

(I)求。在X。)，平面上的投影曲線的方程；

(口)求S的M質(zhì)量。

(20)(本題滿分11分)設(shè)3階矩陣A=(%,a2,QJ有3個(gè)不同的特征值，且

a、—a1+2a)o

⑴證明r(A)=2.

(II)若/?=a1+%+4,求方程組Ax=p的通解。

（21）（本題滿分11分）設(shè)二次型/（斗，蒞，*3）=一%;+ax^+2X/2-8否占+2x2x3

在正交變換X=QY下的標(biāo)準(zhǔn)型4y：+%￡,求〃的值及一個(gè)正交矩陣。

（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X；相互獨(dú)立，且X的概率分布為

p(X=0)=P(X=2)=；,丫的概率密度為/(y)=<2y,0<y<1

0,其他

（I）求p（r<EY）

（口）求2=乂+丫的概率密度。

（23）（本題滿分11分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做〃次

測(cè)量，該物體的質(zhì)量〃是已知的，設(shè)〃次測(cè)量結(jié)果X1,X2…X“相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分

布該工程師記錄的是“次測(cè)量的絕對(duì)誤差Z,.=|Xj-“(i=l,2,…〃)，利用

Z,,Z2Zn估計(jì)cro

⑴求Z,的概率密度；

(n)利用一階矩求。的矩估計(jì)量

2016考研真題完整版

數(shù)學(xué)(一)

一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在管圖紙指定位置上.

(1)若反常積分廠——?一必收斂，則()

J。Z(l+x)

(A)Q<1且Z?>1(3">1且b>l(?！?lt;1且〃+匕>1(￡)”>1且4+/?>1

(2)已知函數(shù)=117，則/(尢)的一個(gè)原函數(shù)是()

Inx,x>1

“2(2

/\\(九一1),X<1/\

(A)F(x)={?⑻&”三八.x..

r2r2

(C"(x)=:，,,、|(。/(”=八?

x(lnx+l)+l,x>1lx(lnx-lj+l,x>l

(3^.V=(l+x2)2—Jl+x2,y=(l+x2)2+J[+x2是微分方程y，+〃(*)y=儀％)的兩

個(gè)解，則"(x)=()

(A)3x(l+x2)(B)-3x(l+x2)XX

⑹1+x21+x2

x,x<0

（4）已知函數(shù)/（力=111「，則（）

.7177+1n

(A)x=0是/(x)的第一類間斷點(diǎn)(B)尤=0是“X)的第二類間斷點(diǎn)

(C)“X)在％=0處連續(xù)但不可導(dǎo)(D)/(x)在％=0處可導(dǎo)

(5)設(shè)A,B是可逆矩陣，且A與B相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

(A)與"相似(B)*與B'相似

(C)A+A，與8+8'相似(D)A+A-i與8+8-相似

(6)設(shè)二次型/(%],赴,壬3)=%；+%2+%32+4%1%+4%壬,+4%2毛，則/(小蘇3)2在

空間直角坐標(biāo)下表示的二次曲面為()

(A)單葉雙曲面(B)雙葉雙曲面(C)橢球面(C)柱面

(7)設(shè)隨機(jī)變量乂~%(〃02)((7>0),記〃=p{xv〃+b2}，貝|J()

(A)p隨著〃的增加而增加(B)P隨著b的增加而增加

(C)P隨著M的增加而減少(D)P隨著CT的增加而減少

(8)隨機(jī)試驗(yàn)后有三種兩兩不相容的結(jié)果A1,A?,A3，且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為g，將

試驗(yàn)￡獨(dú)立重復(fù)做2次，X表示2次試驗(yàn)中結(jié)果A1發(fā)生的次數(shù)?表示2次試驗(yàn)中結(jié)果A?

發(fā)生的次數(shù)，則X與丫的相關(guān)系數(shù)為()

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在笞型紙指定位置上.

9）同3

x->0J—,cosx2

(10)向量場(chǎng)4(%,%2)=(*+丁+2》+砧/+2%的旋度-。滔=

(11)設(shè)函數(shù)/("M可微，z=z(x,y)由方程(x+l)z—y2=x2/(x—z,y)確定,則

得(0,1)=----------

(12)設(shè)函數(shù),f(x)=arctanx——二，且/'(0)=1,則。=

\+ax

2-100

0Z-10

(13)行列式=

002-1

4322+1

(14)設(shè)玉,X2，...,x,,為來(lái)自總體N(〃,b2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值嚏=9.5,參數(shù)〃的

置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間的置信上限為10.8,則〃的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為

三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在穹號(hào)里指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或演算步狼.

■JTJT

(15)(本題滿分10分)已知平面區(qū)域。=《什力)2工r<2(l+cose),—5<e<5卜計(jì)

算二重積分JjMx力.

D

(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)y(x)滿足方程y*+2y+矽=0,其中0<左<1.

(I)證明：反常積分「'y(x)公收斂；

(II)若v(0)=1,y(0)=1,求y(x)dx的值.

(17)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)/(x,y)滿足包3=(2x+l)e2”,且f(0,y)=y+l,L,

dx

是從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,。的光滑曲線，計(jì)算曲線積分/(f)=f辦,并

dxdy

求/(f)的最小值

(18)設(shè)有界區(qū)域Q由平面2尤+y+2z=2與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成，2為Q整個(gè)表面的外側(cè)，

計(jì)算曲面積分/="(》2+\jdydz-2ydzdx+32dxdy

（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)/（%）可導(dǎo)，且，（0）=1,0</'（x）<|，設(shè)數(shù)列｛當(dāng)｝滿

足加=/G,）（〃=l，2…），證明：

00

（I）級(jí)數(shù)Z（X,川一X”）絕對(duì)收斂；

n=\

（H）limx〃存在,且Oclimx”<2.

〃一><?n—>co

ri-i-n（2

（20）（本題滿分11分）設(shè)矩陣A=2a\,B=1

、一11a）a-l

當(dāng)。為何值時(shí)，方程AX=8無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？

,0-1r

（21）（本題滿分11分）已知矩陣人=2-30

、00°y

(I)求T

（II）設(shè)3階矩陣B=滿足B2=BA,記B"10=（四血血）將無(wú)尸2,凡分別表

示為的線性組合。

（22X本題滿分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,y）在區(qū)域￡>=｛（%,y）|0<x<l,x2<y<4｝

上服從均勻分布，令

1,x<y

u="

o,x>y

（i）寫(xiě)出（x,y）的概率密度；

（n）問(wèn)。與x是否相互獨(dú)立？并說(shuō)明理由；

（III）求2=。+乂的分布函數(shù)尸（z）.

（23）設(shè)總體X的概率密度為/（*,。）=<萬(wàn)丁'°<“<”,其中。€（0,+oo）為未知參數(shù)，

0,其他

X1,X2，X3為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令7=皿*（*1,乂2，乂3）。

(1)求T的概率密度

(2)確定4，使得。丁為。的無(wú)偏估計(jì)

2015年考研真

數(shù)學(xué)一試

一、選擇題

(1)設(shè)函數(shù)/(X)在(-8,+8)連續(xù)，其2階導(dǎo)函數(shù)/'"(X)的圖形如下圖所示，則曲線

y=/(x)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(2)設(shè)y=六是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y'+0+勿=ce'的一個(gè)特解,

則：

(A)Q=—3,b=—l,c=—1.

(B)〃=3,/?=2,c=—1.

(C)a=—3,b=2,c=l.

(D)a=3,/?=2,c=1.

⑶若級(jí)數(shù)￡a”條件收斂，貝H=6與x=3依次為基級(jí)數(shù)f〃勺(x-1)"的：

n=l?=1

(A)收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn).

(B)收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn).

(C)發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn).

(D)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn).

(4)設(shè)D是第一象限中曲線2孫=1,4沖=1與直線丁=羽曠=瓜圍成的平面區(qū)域，函數(shù)

f(x,y)在D上連續(xù)，則y^dxdy=

D

兀1zr]

(A)d6\^0/(rcos0,rsin&)rdrB)jjd6^/(rcosrsin0)rdr

42sin2。4缶in2?

]Jt

(C)Jj/(rcos0,rsinO)dr{D)P/(rcos^,rsin0)dr

42sin26>4,2sin2。

(IIIA(IA

(5)設(shè)矩陣A=12a,b=d，若集合。={1,2},則線性方程組Ax=)有無(wú)

J4a2)[d\

窮多個(gè)解的充分必要條件為

(A)a隹QL、d色。(B)a史dd(C)(D)awdds。

(6)設(shè)二次型/(占,々,七)在正交變換x=P)'下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y；+y”y；,其中

2=(4〃2,4)，若。=(4，一%,02)，則/(西,々，芻)在正交變換x=Q>'下的標(biāo)準(zhǔn)形為

(A)2y："+y；(B)2y：+￡-y；(C)2y-；(D)2y；+y；+y；

(7)若A,8為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則

(A)P(AB)<尸(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)

(C)P(陰J咒尸⑻(D)P(.)「(A)；P(B)

⑻設(shè)隨機(jī)變量X,Y不相關(guān)，且EX=2,EY=1,DX=3,則E[X(X+Y-2)]=

(A)-3(B)3(C)-5(D)5

二、填空題

(9)

(in).(+|極=

V)J-耳14-COSX--------------

(11)若函數(shù)由方程e*+盯z+x+cosx=2確定，則必［電］)=.

(12)設(shè)Q是由平面x+y+zd與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，則

jjj(x+2y+3z)dxdydz

a

2002

-1202

0022

(13)n階行列式00-12

(14)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則.

三、解答題

(15)設(shè)函數(shù)/(x)=x+aln(l+x)+/?x-sinx,g(x)=kx3，若/(x)與g(x)在x—>()是

等價(jià)無(wú)窮小，求。，h,%值。

(16)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域/上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的/C/，曲線y=/(x)在點(diǎn)

(Xo，/(X。))處的切線與直線x=x0及x軸所圍成的區(qū)域的面積為4,且/。2求/(%)

的表達(dá)式。

(17)已知函數(shù)f(x,y)=x+y+xy,曲線C：/+/+初=3,求/(x,y)在曲線C上

的最大方向?qū)?shù).

(18)(本題滿分10分)

(I)設(shè)函數(shù)“(X),V(%)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明

[w(x)v(x)]'-u'(x)v(x)+w(x)v(x)

(II)設(shè)函數(shù)”](%),〃2(%)…〃"(尤)可導(dǎo)，/(%)=〃[(%)〃2(%)一"”(%)，寫(xiě)出了(工)的

求導(dǎo)公式.

(19)(本題滿分10分)

已知曲線L的方程為，Z="3『三，起點(diǎn)為40,后,0)，終點(diǎn)為B(0,—J5,0)，計(jì)算曲

Z-X,

線積分/=[(丁+*dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dz

(20)(本題滿分11分)

設(shè)向量組必,見(jiàn)，。：是3維向量空間''的一個(gè)基，B\=2aI+2hz?,/32=2a2,

1=a,+(k+l)a3o

(I)證明向量組片,色,凡是：'的一個(gè)基；

(II)當(dāng)卜為何值時(shí)，存在非零向量J在基與基笈，魚(yú)，自下的坐標(biāo)相同，并求出

所有的4。

(21)(本題滿分11分)

’02-3、"1-20、

設(shè)矩陣A=-13-3相似于矩陣8=0b0

J一2a)、°3

(I)求的值.

(II)求可逆矩陣P,使得pTA尸為對(duì)角陣.

(22)(本題滿分11分)

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

，/、2'In2%>0

/(%)=〈

0x<0

對(duì)x進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，直到第2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)時(shí)停止，記y為觀測(cè)次數(shù).

(I)求丫的概率分布；

(II)求EV.

(23)(本題滿分11分)

設(shè)總體X的概率密度為

0其他

其中夕為未知參數(shù)，X],X,…X“為來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.

(I)求。的矩估計(jì).

(II)求。的最大似然估計(jì).

2014年碩士研究生入學(xué)考試

數(shù)學(xué)一試題

一、選擇題1—8小題.每小題4分，共32分.

,下列曲線有漸近線的是(

(A)j=x+sinx(B)y=x~2+sinx(C)j=x+sin—1(D)y=x2+sin—|

XX

2.設(shè)函數(shù)/(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)=/(0)(l-x)+/(l)x，則在［0,1］上()

(A)當(dāng)八》)20時(shí)，f(x)>g(x)(B)當(dāng)/(*)之0時(shí)，f(x)<g(x)

(C)當(dāng)f"(x)M0時(shí),/(x)Ng(x)(D)當(dāng)/"(x)<0時(shí),/(x)4g(x)

3,設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，則心=()

(A)+f(x,y)dy

(B)JdxJo/(x,y)dy+Jrfxj/(x,y)dy

K]]

(C)^Jcos^+sin^y(rcos^,rsin0)Jr+/(rcos^,rsin^)Jr

2

X[]

(D)『de卜，外如。/(rcosg,rsin6)rdr+j：d6卜8+sin6/&cose,rsinJ)rdr

4.若函數(shù)J：(x_qcosx_4sinx)2dx=嗯尤(x—acosx—6sinx)2,貝U

alcosx+blsinx=()

(A)2sinx(B)2cosx(C)2%sinx(D)2萬(wàn)cosx

0ab0

5.行列式000b等于()

0cd0

00

2222222222

(A)(ad-be)(B)^(ad-bc)(C)ad-bc(D)^ad+bc

6.設(shè)區(qū),%，。3是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù),向量四+A%，。2+1出線性無(wú)關(guān)是向

量四,心，。3線性無(wú)關(guān)的()

(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件(C)充分必要條件(D)非充

分非必要條件

7.設(shè)事件A,B想至！I獨(dú)立，尸(3)=0.5,尸(4-3)=0.3則尸(3—4)=()

(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4

8.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X"X?相互獨(dú)立且方差均存在，占/?的概率密度分別為/t(x),/2(x),

隨機(jī)變量匕的概率密度為/y.(J)=l(/1(J)+/2(J))，隨機(jī)變量八=；(盡+/)，則()

(A)EX>EY^DY,>DY2(B)EY1=EY2,DY]=DY2

(C)EX=EY29DY1<DY2(D)EY1=EY2,DY1>DY2

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

9.曲面z=，(1—siny)+y2(l-sinx)在點(diǎn)(1Q1)處的切平面方程為.

10.設(shè)/(X)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且/,(x)=2(x-l),xe[0,2],則

/(7)=.

11.微分方程Ay+y(lnx-lny)=0滿足y(l)=/的解為.

12.設(shè)L是柱面，+y2=i和平面y+”o的交線，從z軸正方向往負(fù)方向看是逆時(shí)針?lè)较颍?/p>

則曲線積分￡zdx+ydz=-

2

13.設(shè)二次型/(xpx2,x3)=X1-x；+2ax1x3+4x2x3的負(fù)慣性指數(shù)是1,則Q的取值范圍

是.

'2x

,e<x<2e

■.設(shè)總體x的概率密度為f(x,e)=\^，其中。是未知參數(shù)，…,x“

o,其它

是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本，若c力X；是外的無(wú)偏估計(jì)，則常數(shù)C=.

<=|

三、解答題

15.(本題滿分10分)

求極限「一i-——

Xf+8、)

x2ln(l+)

X

16.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)y=/(x)由方程/+*/+*23;+6=0確定，求y(x)的極值.

17.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(“)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=/(e、cosy)滿足生+。'=(4z+e*cosy)e2,.若

dx-dy

/(0)=0,/'(0)=0,求/(")的表達(dá)式.

18.(本題滿分10分)

設(shè)曲面S：z=x2+j2(z^l)的上側(cè)，計(jì)算曲面積分：

jj(x-l))dydz+(y-l)'dzdx+(z-l)dxdy

E

(1)證明lima”=0;

H—>00

(2)證明級(jí)數(shù)宜M收斂.

〃=lbn

19.(本題滿分10分)

設(shè)數(shù)列｛%｝,也｝滿足0<a?〈生,0〈勿<9,cos%—%=cosb“且級(jí)數(shù)次0“收斂.

22“T

20.(本題滿分11分)

‘1-23—4、

設(shè)4=01.11,E為三階單位矩陣.

J203,

(3)求方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系；

(4)求滿足A3=E的所有矩陣.

21.(本題滿分n分)

‘111A僅…o1、

證明〃階矩陣11…1與0…02相似.

J1…1,、?！?”,

22.(本題滿分n分)

設(shè)隨機(jī)變量X的分布為p(x=l)=尸(X=2)=；，在給定X=i的條件下，隨機(jī)變量y服從

均勻分布。(0,i),i=l,2.

(5)求y的分布函數(shù)；

(6)求期望E(y).

23.(本題滿分11分)

設(shè)總體X的分布函數(shù)為尸(x,e)=,l-e十,xN(),其中6為未知的大于零的參數(shù)，

0,x<0

X1,X2,…,X”是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，

(1)求6(%),々*2);(2)求。的極大似然估計(jì)量.

(3)是否存在常數(shù)a,使得對(duì)任意的￡>0,都有l(wèi)imP?［夕,-Q^^1=0.

2013碩士研究生入學(xué)考試

數(shù)學(xué)一試題

1.已知極限lim王普吧=c，其中k,c為常數(shù)，且cwO，則()

k

XTOX

A.k=2,c=—B.k=2,c=—C.k=3,c=—D.k=3,c=—

2233

2.曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在點(diǎn)(0,1,-1)處的切平面方程為()

A.x-y+z=-2B.%+y+z=0C.%-2y+z=-3D.x-y-z=0

3.設(shè)/(x)=x--,b-2Jf(x)sinnjrxdx{n-1,2,)，令S(x)=Esinx,

2