新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.1函數(shù)的單調(diào)性課件新人教A版選擇性必修第二冊

5．3.1函數(shù)的單調(diào)性新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透【課標(biāo)解讀】1.通過數(shù)形結(jié)合感受導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．2．掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．3．能利用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．新知初探·課前預(yù)習(xí)【教

材

要

點(diǎn)】要點(diǎn)一函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間的關(guān)系在某個區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)>0?，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)________；在某個區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)<0?，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)________．批注?

f′(x)>0，即函數(shù)f(x)圖象的切線斜率為正，則切線的傾斜角為銳角，曲線呈上升趨勢．

批注?

f′(x)<0，即函數(shù)f(x)圖象的切線斜率為負(fù)，則切線的傾斜角為鈍角，曲線呈下降趨勢．遞增遞減要點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟第1步，確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．要點(diǎn)三函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)的絕對值的大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上：導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大?________比較“________”(向上或向下)越小?________比較“________”(向上或向下)較快陡峭較慢平緩批注?函數(shù)值增加得越來越快f′(x)>0越來越大；函數(shù)值減少得越來越快f′(x)<0越來越小．

批注?函數(shù)值增加得越來越慢f′(x)>0越來越??；函數(shù)值減少得越來越慢f′(x)<0越來越大．【夯

實

雙

基】1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減．(

)(2)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f′(x)>0.(

)(3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)的絕對值越大．(

)(4)判斷函數(shù)單調(diào)性時，在區(qū)間內(nèi)的個別點(diǎn)f′(x)＝0，不影響函數(shù)在此區(qū)間的單調(diào)性．(

)××√√2．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則(

)A.f′(3)>0 B．f′(3)<0C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符號不確定答案：B解析：由圖象可知，函數(shù)f(x)在(1，5)上單調(diào)遞減，則在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故選B.3．函數(shù)f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是(

)A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．先增后減 D．不確定答案：A解析：∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．故選A.

(－∞，0)，(0，＋∞)

題型探究·課堂解透題型1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系例1

[2022·廣東廣州高二期末]已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)圖象是(

)答案：A解析：設(shè)導(dǎo)函數(shù)與橫軸的交點(diǎn)為x1，x2，設(shè)－1<x1<0<x2<1，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)x∈(－∞，x1)時，f′(x)<0?f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(x1，x2)時，f′(x)>0?f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(x2，＋∞)時，f′(x)<0?f(x)單調(diào)遞減，由此可以確定選項A符合，故選A.【方法總結(jié)】判斷函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)系的方法要抓住各自的關(guān)鍵要素，對于原函數(shù)，要重點(diǎn)觀察其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)上升或下降，而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)觀察其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零、小于零，并且這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致．鞏固訓(xùn)練1

設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可能是(

)答案：B解析：由函數(shù)f(x)的圖象，知當(dāng)x<0時，f(x)是單調(diào)遞減的，所以f′(x)<0；當(dāng)x>0時，f(x)先減少，后增加，最后減少，所以f′(x)先負(fù)后正，最后為負(fù)．故選B.題型2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2

(1)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－x，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)eax，a∈R，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三點(diǎn)提醒

答案：A

(2)求函數(shù)f(x)＝alnx－4x－2(a∈R)的單調(diào)區(qū)間．

答案：A

解析：f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因為函數(shù)在區(qū)間(1，4)內(nèi)為減函數(shù)，所以當(dāng)x∈(1，4)時，f′(x)≤0.又函數(shù)在區(qū)間(6，＋∞)上為增函數(shù)，所以當(dāng)x∈(6，＋∞)時，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7.即實數(shù)a的取值范圍為[5，7].【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍的兩個策略鞏固訓(xùn)練3

(1)[2022·福建廈門外國語學(xué)校高二期末]若函數(shù)f(x)＝(x2－ax－a)ex在區(qū)間(－2，0)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．[1，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，1]答案：B解析：∵f(x)＝(x2－ax－a)ex，∴f′(x)＝ex·[x2＋(2－a)x－2a]＝ex(x－a)(x＋2)，∵x∈(－2，0)時，ex(x＋2)>0，∴若f(x)在(－2，0)內(nèi)單調(diào)遞減，則x－a≤0在(－2，0