小學數(shù)學5年級培優(yōu)奧數(shù)講義 第11講-盈虧問題（含解析）

第11講盈虧問題

學習目標

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京了解盈虧問題是什么，能夠分辨出是屬于盈虧問題類型

:掌握盈虧問題的幾種基本情況，以及基本的解題方法

下熟悉復雜的盈虧問題，能用方法巧妙轉(zhuǎn)化為基本盈虧問題

f知識梅里

一、基本方法

盈虧問題知識點說明：盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況.分配不

足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分

給一定數(shù)量的人時，如果每人少分，則物品就有余（也就是盈），如果每人多分，則物品就不足

（也就是虧），凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題”。

可以得出盈虧問題的基本關系式：

（盈+虧）+兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

（盈一盈）?兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

（虧一虧）+兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出.也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種情況,

都是屬于按兩個數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問題”。

二、方法技巧

注意1.條件轉(zhuǎn)換2.關系互換

封0典鼻例分析?*

考點一：直接計算型盈虧問題

例1、三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動.如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5

塊，則少2塊磚.這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？

例2、明明過生日，同學們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就

多出了4元.那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？

例3、老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出

2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？

例4、猴王帶領一群猴子去摘桃.下午收工后，猴王開始分配.若大猴分5個，小猴分3個，

猴王可留10個.若大、小猴都分4個，猴王能留下20個.在這群猴子中，大猴（不包括猴王）

比小猴多少只？

考點二：條件關系轉(zhuǎn)換型盈虧問題

例1、一位老師給學生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問：有

多少位學生？共多少粒糖果？

例2、貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分

完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？

例3、實驗小學學生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐

5人，恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學生？

考點三：復雜的盈虧問題

例1、國慶節(jié)快到了，學校的少先隊員去擺花盆.如果每人擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果

其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完.問有多少少先隊員參加擺花盆活

動，一共擺多少花盆？

例2、媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；

如果其中一人分6個，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個?全家共有多少

人？

例3、堂采購員小李到集貿(mào)市場去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克,

則多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價8角.問牛肉、豬肉各多少錢一千克？

例4、四⑵班舉行“六一”聯(lián)歡晚會，輔導員老師帶著一筆錢去買糖果.如果買芒果13千克，

還差4元；如果買奶糖15千克，則還剩2元.已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導員

老師帶了多少元錢？

不實戰(zhàn)演練區(qū)

》￡課堂狙擊

1、有一批練習本發(fā)給學生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這

個班有多少學生，多少練習本呢？

2、王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還

多30元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？

3、工人運青瓷花瓶250個，規(guī)定完整運到目的地一個給運費20元，損壞一個倒賠100元.運

完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個？

4、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個。

如全部分給小班的小朋友，每人分到8個，則缺2個。已知大班比小班多3人，問：這筐蘋果

共有多少個？

5、有一些糖，每人分5塊則多10塊，如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的1.5倍，那么每人4塊

就少兩塊，這些糖共有多少塊？

6、臥龍自然保護區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓,每只大熊貓分5個還多余10棵竹子,

如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問有大熊貓

多少只，竹子多少棵？

7、小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元.已

知每千克牛肉比豬肉貴3元，問：小明媽媽帶了多少錢？

8、小強由家里到學校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就

可以比上課時間提前2分鐘到校。小強家到學校的路程是多少米？

＞課后反擊

1、某校安排學生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個床

位，問宿舍幾間?住宿生幾人？

2、秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個，要

多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則又少8個蘿卜.那么小白兔買回的蘿卜有多少個？計劃

吃多少天?

3、甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用2張信紙，乙每封信用

3張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下20張信紙，乙用完所有信紙還剩下10個

信封，則他們每人各買了多少張信紙？

4、王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍.桔子每人分3個，多4個；蘋果每

人分7個，少5個.問有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？

5、李明的媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價分別為8元和10元，李媽媽帶的錢買雕牌

洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒有剩余的錢.問：李媽媽帶了多少錢？

6、王老師由家里到學校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600

米，就可以比上課時間提前2分鐘到校.王老師家到學校的路程是多少米？

重點回顧

盈虧問題知識點說明：盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況.分配不

足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分

給一定數(shù)量的人時，如果每人少分，則物品就有余（也就是盈），如果每人多分，則物品就不足

（也就是虧），凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題”。

承［名師點撥匕

1.奈什轉(zhuǎn)父，大不二班翳種典型例題的常見類型以及復雜問題轉(zhuǎn)化為基本盈虧問題。

軟學霸經(jīng)驗

A“本節(jié)課我學到

＞我需要努力的地方是

第11講盈虧問題

教學目標

、了解盈虧問題是什么，能夠分辨出是屬于盈虧問題類型

:掌握盈虧問題的幾種基本情況，以及基本的解題方法

:熟悉復雜的盈虧問題，能用方法巧妙轉(zhuǎn)化為基本盈虧問題

?知識梳理

一、基本方法

盈虧問題知識點說明：盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況.分配不

足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分

給一定數(shù)量的人時，如果每人少分，則物品就有余（也就是盈），如果每人多分，則物品就不足

（也就是虧），凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題”。

可以得出盈虧問題的基本關系式：

（盈+虧）?兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

（盈一盈）+兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

（虧一虧）+兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)

物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出.也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種情況,

都是屬于按兩個數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問題”。

二、方法技巧

注意1?條件轉(zhuǎn)換2.關系互換

典例分析

考點一：直接計算型盈虧問題

例1、三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動.如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5

塊，則少2塊磚.這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？

【解析】比較兩種搬磚法中各個量之間的關系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少

2塊.這兩次搬磚，每人相差5-4=1（塊）。第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次

總共相差磚數(shù)：7+2=9（塊），每人相差1塊，結(jié)果總數(shù)就相差9塊，所以有少先隊員9+1=9（人）.共

有破：4x9+7=43（塊）

例2、明明過生日，同學們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就

多出了4元.那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？

【解析】“多8元”與“多4元”兩者相差8-4=4（元），每個人要多出8-7=1（元）,因此就知道,

共有47=4（人），蛋糕價錢是8x4-8=24（元）

例3、老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出

2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？

【解析】老猴子的第一種方案盈9個桃子，第二種方案盈2個，所以盈虧總和是9-2=7（個），

兩次分配之差是11-10=1（個），由盈虧問題公式得，有小猴子：77=7=（只），老猴子有

7x10+9=79（個）桃子

例4、猴王帶領一群猴子去摘桃.下午收工后，猴王開始分配.若大猴分5個，小猴分3個，

猴王可留10個.若大、小猴都分4個，猴王能留下20個.在這群猴子中，大猴（不包括猴王）

比小猴多少只？

【解析】當大猴分5個，小猴分3個時，猴王可留10個.若大、小猴都分4個，猴王能留下

20個.也就是盈虧問題說在大猴分5個，小猴分3個后，每只大猴都拿出1個，分給每只小

猴1個后，還剩下20-10=10個，所以大猴比小猴多10只

考點二：條件關系轉(zhuǎn)換型盈虧問題

例1、一位老師給學生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問：有

多少位學生？共多少粒糖果？

【解析】第一種分配方案盈9粒糖，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是9粒，兩次分配之

差是5-4=1（粒），由盈虧問題公式得，參與分糖的同學有：9X=9（人），有糖果9x5=45（粒）

例2、貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分

完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？

【解析】貓媽媽的第一種方案盈8條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分

配之差是11-10=1（條）,由盈虧問題公式得，有小貓:8+1=8（只），貓媽媽有8x10+8=88（條）魚

例3、實驗小學學生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐

5人，恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學生？

【解析】每輛車坐60人，則多余15人，每輛車坐60+5=65人，則多出一輛車，也就是差65

人。此車輛數(shù)目為：（65+15）+5=80+5=16（輛）。學生人數(shù)為：60X（16-1）+數(shù)=60義

15+15=900+15=915（A）

考點三：復雜的盈虧問題

例1、國慶節(jié)快到了，學校的少先隊員去擺花盆.如果每人擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果

其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完.問有多少少先隊員參加擺花盆活

動，一共擺多少花盆？

【解析】這是一道有難度的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各

擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完，這組條件中包含著兩種擺花盆的情況一一2

人各擺4盆，其余的人各擺6盆.如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都擺6盆，那么，就

么還差6X2-2X4=4（盆）.因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各擺5盆花，還有3盆沒人擺；

如果每人擺6盆花，還缺4盆.問有多少少先隊員，一共擺多少花盆？人數(shù)：（3+4）9（6-5）=7（人）,

盆數(shù)：5x7+3=38（盆）或6x74=38（盆）

例2、媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；

如果其中一人分6個，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個?全家共有多少

人？

【解析】由''其中兩人分4個，其余每人分2個，則多出4個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分2個，這

分4個的兩人每人都拿出2個，共拿出4個，結(jié)果就多了4+4=8個；由“一人分6個，其余每

人分4個，則缺少12個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分4個，分6個的人拿出2個，結(jié)果就缺12-2=10

個，轉(zhuǎn)變成了盈虧問題的一般類型，則：全家的人數(shù)：（8+10）+（4-2）=9（人）,橘子的個數(shù)：2x9+8=26

（個）

例3、堂采購員小李到集貿(mào)市場去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克，

則多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價8角.問牛肉、豬肉各多少錢一千克？

【解析】這里有兩種肉，思考起來比較困難，能否化為一種肉的問題呢？仔細分析一下已知條

件，買牛肉18千克差4元，而買豬肉20千克還多2元，說明牛肉貴一些.每千克貴8角，如

果18千克牛肉換成18千克豬肉，就要少花8X18=144（角）=14元4角.這樣就會多出14元4

角-4元=10元4角。因此問題就可變?yōu)椋骸靶±钯I豬肉18千克多余10元4角，買20千克多

余2元，求豬肉單價和錢數(shù).”雖然兩次都是盈余，仍屬盈虧問題，不過豬肉單價=兩次錢的差

?兩次千克量差。

解：由已知條件知牛肉比豬肉貴，每千克貴8角.18千克牛肉比18千克豬肉貴8義

18=144（角）=14元4角.因此小李若買18千克豬肉就會多余14元4角-4元=10元4角。由已

知小李買20干克豬肉多余2元，所以豬肉每千克價格為（104-20）+（20-18）=84+2=42（角）=4元

2角.所以牛肉每千克價格為：4元2角+8角=5元.小李帶的錢為：4.2X20+2=86（元）

例4、四⑵班舉行“六一”聯(lián)歡晚會，輔導員老師帶著一筆錢去買糖果.如果買芒果13千克，

還差4元；如果買奶糖15千克，則還剩2元.已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導員

老師帶了多少元錢？

【解析】這筆錢買13千克芒果還差4元，若把這13千克芒果換成奶糖就會多出13x2=26元,

所以這筆錢買13千克奶糖會多出26-4=22元。而這筆錢買15千克奶糖會多出2元，所以每千

克奶糖的價格為：（22-2）*15-13）=10（元）.輔導老師共帶了10x15+2=152元

瞋實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、有一批練習本發(fā)給學生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這

個班有多少學生，多少練習本呢？

【解析】由題意知：第一種方案：每人發(fā)5本多出70本；第二種方案：每人發(fā)7本多出10本;

兩種方案分配結(jié)果相差：70-10=60（本），這是因為兩次分配中每人所發(fā)的本數(shù)相差：7-5=2（本）,

相差60本的學生有：60+2=30（人）。練習本有：30x5+70=220（本）或（30x7+10=220）

2、王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還

多30元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？

【解析】本題購物的兩個方案，第一個方案：買7把差110元，第二個方案：買5把還多30

元，從買7把變成買5把，少買了7-5=2（把），而錢的差額為：110+30=140（元），即140元可

以買2把小提琴，可見小提琴的單價是每把70元，王老師一共帶了70x7-110=380（元）

3、工人運青瓷花瓶250個，規(guī)定完整運到目的地一個給運費20元，損壞一個倒賠100元.運

完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個？

【解析】本題中“損壞一個倒賠100元”的意思是運一個完好的花瓶與損壞1個花瓶相差

100+20=120（元），即損1個花瓶不但得不到20元的運費，而且要付出120元.本例可假設250

個花瓶都完好，這樣可得運費20x250=5000元）。這樣比實際多得5000-4400=600（元），就是因

為有損壞的瓶子，損壞1個花瓶相差120元.現(xiàn)共相差600元，從而求出共損壞多少個花瓶。

根據(jù)以上分析，可得損壞了（20x250-4400）+（100+20）=5（個）

4、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個。

如全部分給小班的小朋友，每人分到8個，則缺2個。已知大班比小班多3人，問：這筐蘋果

共有多少個？

【解析】先把大班人數(shù)和小班人數(shù)轉(zhuǎn)化為一樣。大班減少3人，則蘋果又收回3x5=15個蘋果，

人數(shù)一樣，根據(jù)盈虧問題公式，小班人數(shù)為：（15+10+2）+（8-5）=9人，蘋果總數(shù)是8x9-2=70個。

5、有一些糖，每人分5塊則多10塊，如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的1.5倍，那么每人4塊

就少兩塊，這些糖共有多少塊？

【解析】第一次每人分5塊，第二次每人分4塊，可以認為原有的人每人拿出5-4=1塊糖分給

新增加的人，而新增加的人剛好是原來的一半，這樣新增加的人每人可分到2塊糖果，這些人

每人還差4-2=2塊，一共差了10+2=12塊，所以新增加了12+2=6人，原有6x2=12人.糖果

數(shù)為：12x5+10=70（塊）

6、臥龍自然保護區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓,每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，

如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問有大熊貓

多少只，竹子多少棵？

【解析】使同學們感到困難的是條件“3倍還少5只大熊貓”。先要轉(zhuǎn)化這一條件，假設還有

10棵竹子，10-2=5,就可以多有5個大熊貓，把“少5只大熊貓”這一條件暫時擱置一邊，

只考慮3倍大熊貓數(shù)，也相當于按原大熊貓數(shù)每只大熊貓給2x3=6（棵）竹子，每只大熊貓給5

棵與給6棵，總數(shù)相差10+10+8=28（棵），所以原有大熊貓數(shù)28+（6-5）=28（只），竹子總數(shù)是

5x28+10=150（棵）

7、小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元.已

知每千克牛肉比豬肉貴3元，問：小明媽媽帶了多少錢？

【解析】因為“每千克牛肉比豬肉貴3元”，所以同樣買10千克豬肉的話，就剩了3X10—6

=24（元），這樣化成普通的盈虧問題，豬肉的價錢是：（24—4）+（12—10）=10（元），所以小明

媽媽帶的錢數(shù)是：12X10+4=124（元）

8、小強由家里到學校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就

可以比上課時間提前2分鐘到校。小強家到學校的路程是多少米？

【解析】遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：50x3=150（米），提前2分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：60x2=120（米），

距離上課時間為：（150+120）+（60-50）=27（分鐘），家到學校的路程為：50x（27+3）=1500（米）

＞課后反擊

1、某校安排學生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個床

位，問宿舍幾間?住宿生幾人？

【解析】由已知條件每間5人，少14個床位，每間7人，多4個床位。比較兩次分配的方案，可

以看出，由于第二種方案比第一種每間多7-5=2人，一共要多出14+4=18個床位，根據(jù)兩種方

案每間住的人數(shù)的差和床位差，可以求出宿舍間數(shù)，然后根據(jù)已知條件可求出住宿生人數(shù)。

解：（4+14）+（7-5）=9（間），5x9+14=59（人）或7x9-4=59（人）

2、秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個，要

多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則又少8個蘿卜.那么小白兔買回的蘿卜有多少個？計劃

吃多少天？

【解析】題中告訴我們每天吃4個，多出48個蘿卜；每天吃6個，少8個蘿卜.觀察每天吃

的個數(shù)與蘿卜剩余個數(shù)的變化就能看出，由每天吃4個變?yōu)槊刻斐?個，也就是每天多吃2個

時，蘿卜從多出48個到少8個，也就是所需的蘿卜總數(shù)要相差48+8=56（個）.從這個對應的

變化中可以看出，只要求56里面含有多少個2,就是所求的計劃吃的天數(shù)；有了計劃吃的天

數(shù)，就不難求出共有多少個蘿卜了.吃的天數(shù)：（48+8）+（6—4）=56+2=28（天），蘿卜數(shù)：6

X28—8=160（個）或4X28+48=160（個）

3、甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用2張信紙，乙每封信用

3張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下20張信紙，乙用完所有信紙還剩下10個

信封，則他們每人各買了多少張信紙？

【解析】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30張信紙.這是盈虧問題，盈虧總額為（20

+30）張信紙，兩次分配的差為（3—2）張信紙，所以有信封（20+30）+（3—2）=50（個），有信紙2

X50+20=120（張）

4、王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2