學(xué)案直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

2.3.1兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)用解方程組的方法求兩條相交直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。

2.會(huì)根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判定兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系。

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：能用解方程組的方法求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。

難點(diǎn)：會(huì)根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判定兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系。

【知識(shí)梳理】

一、自主導(dǎo)學(xué)

兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)

1.已知兩條直線(xiàn)的方程是(Ax+B[y+C=O,/,：Ax+B2y+C1=0,設(shè)這兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)

為P,則點(diǎn)P既在直線(xiàn)(上，也在直線(xiàn)/，上。所以點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿(mǎn)足直線(xiàn)乙的方程Ax+B7+￡=O,

也滿(mǎn)足直線(xiàn)的方程&x+Bj+G=O,即點(diǎn)尸的坐標(biāo)就是方程組AiX+Biy+,1=?，的解。

2222

[A2X+B2y+C2=0

2.

方程組的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解

直線(xiàn)11和12公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)

直線(xiàn)h和12的位置關(guān)系相交重合平行

點(diǎn)睛：如果兩條直線(xiàn)相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)分別適合兩條直線(xiàn)的方程，即交點(diǎn)

坐標(biāo)是兩直線(xiàn)方程所組成方程組的解。

二、小試牛刀

1.直線(xiàn)x+y=5與直線(xiàn)x-y=3交點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1)

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

在平面幾何中，我們對(duì)直線(xiàn)做了定性研究，引入平面直角坐標(biāo)系后，我們用二元一次方程

表示直線(xiàn)，直線(xiàn)的方程就是相應(yīng)直線(xiàn)上每一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的一個(gè)關(guān)系式，這樣我們可以通過(guò)

方程把握直線(xiàn)上的點(diǎn)，進(jìn)而用代數(shù)方法對(duì)直線(xiàn)進(jìn)行定量研究，例如求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，坐標(biāo)平

面內(nèi)與點(diǎn)直線(xiàn)相關(guān)的距離問(wèn)題等。

二、典例解析

例1.直線(xiàn)/過(guò)直線(xiàn)x+y—2=0和直線(xiàn)x-y+4=0的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)3x~2y+4=0平行，

求直線(xiàn)/的方程。

求過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)方程的方法

(1)解本題有兩種方法：一是采用常規(guī)方法，先通過(guò)解方程組求出兩直線(xiàn)交點(diǎn)，再根據(jù)平

行關(guān)系求出斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程；二是設(shè)出過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的方程，再根據(jù)平行條件待

定系數(shù)求解。

(2)過(guò)兩條相交直線(xiàn)/i：Aix+Biy+Ci=0,Z2：42%+比丁+。2=0交點(diǎn)的直線(xiàn)方程可設(shè)為Aix

+8iy+Ci+2(A2x+&y+C2)=0(不含直線(xiàn)⑵。

跟蹤訓(xùn)練1.三條直線(xiàn)以+2y+7=0,4x+y=14和2x—3y=14相交于一點(diǎn)，求〃的值。

例2.分別判斷下列直線(xiàn)是否相交，若相交，求出它們的交點(diǎn)。

(1)/j2x-y=7和03x+2y-7=0；

(2)4：2x?6y+4=0和4：4x-12y+8=0；

(3)(：4x+2y+4=0和//y=-2x+3.

跟蹤訓(xùn)練2已知直線(xiàn)5x+4y=2a+l與直線(xiàn)2元+3廣。的交點(diǎn)位于第四象限，則。的取值范

圍是。

例3(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0)和兩直線(xiàn)々x+2y-2=0,/,：3x-2y+2=0交點(diǎn)的直線(xiàn)方程；

(2)無(wú)論實(shí)數(shù)。取何值，方程(如1)x-y+2a-l=0表示的直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，試求該定點(diǎn)。

利用直線(xiàn)系方程求直線(xiàn)的方程

經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)(A^+By+C=0,/,：4產(chǎn)約＞+。,=0交點(diǎn)的直線(xiàn)方程可寫(xiě)為Ay+Bp'+Q+a

(勺:+與＞。,)=0(它不能表示直線(xiàn)/,)。反之，當(dāng)直線(xiàn)的方程寫(xiě)為A]X+%y+q+MA,x+8y+q)

=0時(shí)，直線(xiàn)一定過(guò)直線(xiàn)4：A]X+B,+C]=0與直線(xiàn)/,：4)》+83+。2=0的交點(diǎn)。

跟蹤訓(xùn)練3已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)另兩條直線(xiàn)2x+3y+8=0,

x-y-l=0的交點(diǎn)，則直線(xiàn)/的方程為()

A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=QD.x-2y=Q

例4光線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)A(2,3)在直線(xiàn)/：x+y+l=0上反射，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(1,1),試求

入射光線(xiàn)和反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程。

點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的求法

僅山+B?也+C=0,

2

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線(xiàn)Ar+冷+C=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Po(xo,yo),滿(mǎn)足關(guān)系,小。：B

\X-XQA，

解方程組可得點(diǎn)Po的坐標(biāo)。

跟蹤訓(xùn)練4直線(xiàn)y=2x是△A3C的一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)，若A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

別為A(-4,2),B(3,1),求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

金題典例過(guò)點(diǎn)尸(3,0)作一直線(xiàn)分別交直線(xiàn)2x-y-2=0和x+y+3=0于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)產(chǎn)

恰好為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求此直線(xiàn)的方程。

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.直線(xiàn)2x+y+8=0和直線(xiàn)x+y-l=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-9,-10)B.(-9,10)C.(9,10)D.(9,-10)

2.直線(xiàn)2x+3y-A=0和直線(xiàn)x-由+12=0的交點(diǎn)在x軸上，則攵的值為()

A.-24B.24C.6D.+6

3.已知直線(xiàn)(：ax+y-6=0與4：x+(a-2)y+a-1=0相交于點(diǎn)產(chǎn)，若/J/,,則點(diǎn)尸的坐

標(biāo)為。

4.求證：不論相為何值，直線(xiàn)(機(jī)-1)x+(Im-1)y=〃z-5者B通過(guò)一定點(diǎn)。

5.已知兩直線(xiàn)/i：x+8y+7=0和，2：2x+y—1=0.

(1)求人與/2的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求過(guò)人與/2交點(diǎn)且與直線(xiàn)尤+>+1=0平行的直線(xiàn)方程。

課堂小結(jié)

________1求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)|

兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)-__________________________

1-判斷兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系

參考答案：

知識(shí)梳理

二、小試牛刀

1.解析：解方程組『+丫=5，得『=4,因此交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1)。

、x-y=3,ly=1.

答案：B

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

x+y-2=0,-1,

例1.［解］法一：聯(lián)立方程\c解得.即直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(一1,3)0

［x—y+4=0,ly=3,

3

因?yàn)橹本€(xiàn)/的斜率為

3

所以直線(xiàn)/的方程為y—3=］(x+1),即3x—2y+9=0.

法二：因?yàn)橹本€(xiàn)龍十丁一2=0不與3x-2y+4=0平行，

所以可設(shè)直線(xiàn)/的方程為x-y+4+A(x+y—2)=0,

整理得(1+2)x+(A-l)y+4—22=0,

因?yàn)橹本€(xiàn)I與直線(xiàn)3x-2y+4=0平行，

1+2A—14—2A1

所以一盧丁，解得見(jiàn)=亍

32

所以直線(xiàn)I的方程為/一$十個(gè)=0,即3x—2y+9=0.

跟蹤訓(xùn)練1.［解］解方程組

4x+y=14,(x=4,

,得，

2x—3y=14,［y=12,

所以?xún)蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-2)。

由題意知點(diǎn)(4,-2)在直線(xiàn)ox+2y+7=0上，將(4,-2)代入，

3

得ax4+2x(—2)+7=0,解得4=一心

例2.思路分析：直接將兩直線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判斷兩直線(xiàn)是否相

交。

解：⑴方程組2%-y-7=0,的解為“，

+2y-7=0(y=-1.

因此直線(xiàn)/i和/2相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1)。

(2)方程組伊-6y+4=0,有無(wú)數(shù)個(gè)解，

[4%-12y+8=0

這表明直線(xiàn)1\和/2重合。

⑶方程組(X/丁。無(wú)解，

這表明直線(xiàn)和/2沒(méi)有公共點(diǎn)，故

2a+3

跟蹤訓(xùn)練2解析：由產(chǎn)+4y=2a+l,得X二--------

U

\2x+3y=a,yr，

答案：(-|，2)

例3思路分析：(1)設(shè)所求直線(xiàn)方程為x+2y-2+A(3x-2y+2)=0,再將x=l,產(chǎn)0代入求

出九即得所求直線(xiàn)方程。

(2)將直線(xiàn)方程改寫(xiě)為-x-y?l+a(x+2)=0.

解方程組產(chǎn),-1二°'得直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)。

、%+2=0,

解：⑴設(shè)所求直線(xiàn)方程為x+2y-2+2(3x-2y+2)=0.

丁點(diǎn)尸(1,0)在直線(xiàn)上，二1?2+2(3+2)=0.

.：2=巳。,：所求方程為x+2y-2+,(3x-2y+2)=0,

即x+y-l=0.

(2)由(。-1)x-y+2a-l=0,得-x?y?l+。(x+2)=0.

所以，已知直線(xiàn)恒過(guò)直線(xiàn)*廣1=0與直線(xiàn)x+2=0的交點(diǎn)。

解方程組廣="得產(chǎn)2

、%+2=0,(y=1.

所以方程(6Z-1)x-y+2〃-l=0表示的直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)(21)。

2%+3y+8=0,

跟蹤訓(xùn)練3解析：(方法1)解方程組得交點(diǎn)為(-1,-2)。又直線(xiàn)/

.x-y-1=0,

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得其方程為陰=黑，即2x-y=0.

-2-0-1-0

(方法2)設(shè)直線(xiàn)/的方程為2x+3y+8+2(x-y-1)=0,因其過(guò)原點(diǎn)，

所以8+(-A)=0,2=8,直線(xiàn)/的方程為2x-y=0.

答案：B

例4思路分析：求點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4一求反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程一求入射光線(xiàn)

與反射光線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)一求入射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程

解：設(shè)點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線(xiàn)/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為4(xo,*),

‘2+工。+3+yo+1=0,

2

則加

3_1,

“0-2

解之，得4(-4,-3)。

由于反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-4,-3)和8(1,1),

所以反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為廣1=哥?(x-1),

即4x-5y+l=0.

解方程組=得反射點(diǎn)p(g9

U+y+1=0,33

3+-

所以入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為廣3=-4(九-2),即5x-4y+2=0.

跟蹤訓(xùn)練4解：把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=2x知，A、B不在直線(xiàn)y=2x上，因此y=2%為角

。的平分線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)A(-4,2)關(guān)于y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為“(a,b),則

—=三,線(xiàn)段AA，的中點(diǎn)坐標(biāo)為（拶，萼），

a+42，

b-2

---2=-1,Q4

則〈a+4解得）一’?:A，（4,-2）,

b+2Q-4

--=L---、b=-2,

I22

:'y=2x是角。平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程，

.：4在直線(xiàn)BC上，

.：直線(xiàn)3C的方程為空=￥，即3x+y-10=0,由［y=2%‘解得/一（2,

1+23"+y-10=0,ly=4,

4）。

金題典例解：分析一：設(shè)出直線(xiàn)的方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

解法一：若直線(xiàn)斜率不存在，則方程為x=3.

由f一3，得A(3.4)。

(2x-y-2=0,

Y=2

由?得B(3,-6)。

、久+y+3=0,

由于"言=-屏0,.：P不為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)。

若直線(xiàn)斜率存在，設(shè)為我,則方程為y“（x-3）。

由［"A（%-3）,得A（鬻，涉

\2x-y-2=0,k-2k-2

y=k(x-3),

由得B署，備。

、％+y+3=0,

:P（3,0）為線(xiàn)段A8的中點(diǎn),

，3k-2,3k-3,

------1------=6,

k-2k+1?12kl6=0,

4k6k八2

—-----=0.[k-8k=0.

\k-2k+1

?:&二8.

?:所求直線(xiàn)方程為y=8（x?3）,即8x-y-24=0.

分析二：設(shè)出A（乙,不），由尸（3,0）為A3的中點(diǎn)，易求出3的坐標(biāo)，而點(diǎn)3在另一

直線(xiàn)上，從而求出入、的值，再由兩點(diǎn)式求直線(xiàn)的方程。

解法二：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(入，3),則由P(3,0)為線(xiàn)段A8的中點(diǎn)，得B點(diǎn)坐標(biāo)為(6

“)。

:,點(diǎn)A,8分別在已知兩直線(xiàn)上,

?:A揩，祟。丁點(diǎn)A,P都在直線(xiàn)AB上,

.：直線(xiàn)A8的方程為泮=舒，

---0--3

即8x-y-24=0.

分析三：由于P(3,0)為線(xiàn)段A8的中點(diǎn)，可對(duì)稱(chēng)地將A,8坐標(biāo)設(shè)為(3+a,b),(3-a,

-h),

代入已知方程。

,(2

(2(3+a)-b-2=0,a=->

.：(3

(3-a+(-b)+3=0.?b=—a

13

.：直線(xiàn)AB的斜率即直線(xiàn)AP的斜率，值為*_=2=8.

3+a-3a

.：所求直線(xiàn)的方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.

點(diǎn)睛：解法三這種對(duì)稱(chēng)的設(shè)法需要在平常學(xué)習(xí)中加以積累，以上三種解法各有特點(diǎn)，要善

于總結(jié)，學(xué)習(xí)其簡(jiǎn)捷解法，以提高解題速度。

解法三：:P(3,0)為線(xiàn)段48的中點(diǎn)，.：可設(shè)A(3+a,b),B(3-a,/)。

7點(diǎn)A,8分別在已知直線(xiàn)上，

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.解析：解方程組產(chǎn)+y+8=0,得，=9即交點(diǎn)坐標(biāo)是(.9,10)。

lx+y-1=0,ly=10,

答案：B

2.解析：7直線(xiàn)2x+3y/=0和直線(xiàn)x-切+12=0的交點(diǎn)在x軸上，可設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),

2a-k—0,.CL--12,3

解得故選A.

+12=0,=-24,

答案：A

3.解析：：,直線(xiàn)（：ox+y?6=0與/,：x+（a-2）y+〃-l=O相交于點(diǎn)尸，且/J/）,

?：〃xl+lx(a-2)=0,解得。=1,

聯(lián)立方程尸六6=°，易得x=3,y=3,

\x-y—0,

,:點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,3）。

答案：（3,3）

4.證明：將原方程按旭的降幕排列,整理得（x+2y-l）m-（x+y-5）=0,

此式對(duì)于機(jī)的任意實(shí)數(shù)值都成立，根據(jù)恒等式的要求，加的一次項(xiàng)系

數(shù)與常數(shù)項(xiàng)均等于零，故有尸2丫-1=0,解得『=9，

.：加為任意實(shí)數(shù)時(shí)，所給直線(xiàn)必通過(guò)定點(diǎn)（9,-4）。

[x+8y+7=0,

5.解析：（1）聯(lián)立兩條直線(xiàn)的方程：°J解得尤=1,y=-l.

l2x+>—1=10,n

所以/i與/2的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-Do

（2）設(shè)與直線(xiàn)x+y+1=0平行的直線(xiàn)I方程為x+y+c=0,

因?yàn)橹本€(xiàn)/過(guò)人與/2的交點(diǎn)（1,-1）,所以c=0.

所以直線(xiàn)/的方程為x+y=0.

2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式。

2.會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題。

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：平面上兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。

難點(diǎn)：運(yùn)用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題。

知識(shí)梳理

一、自主導(dǎo)學(xué)

問(wèn)題1.在數(shù)軸上已知兩點(diǎn)A、B,如何求4、8兩點(diǎn)間的距離？

‘3圖「練

問(wèn)題2：在平面直角坐標(biāo)系中能否利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求出任意兩點(diǎn)間距離？

y

%

o

探究：當(dāng)干紋，分，時(shí)，*p,l=?請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由。

兩點(diǎn)間距離公式的理解

（1）此公式與兩點(diǎn)的先后順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)公式也可寫(xiě)成|PlP2尸^3一》）2+&2—y1）2。

（2）當(dāng)直線(xiàn)PP2平行于X軸時(shí)，|PlP2|=|X2-Xl|o

當(dāng)直線(xiàn)P1P2平行于>軸時(shí)，|P1P2|=|}'2—Jl|o

兩點(diǎn)間的距離公式

（1）公式：點(diǎn)P]（x/）；），P,（&，丫2）間的距離公式|P]PJ=d（X2—Xl）2+&2-yi）2。

（2）文字?jǐn)⑹觯浩矫鎯?nèi)兩點(diǎn)的距離等于這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差與縱坐標(biāo)之差的平方和的算

術(shù)平方根。

二、小試牛刀

1.已知點(diǎn)P|（4,2）,P,（2,-2）,則|P/,|=。

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、情境導(dǎo)學(xué)

在一條筆直的公路同側(cè)有兩個(gè)大型小區(qū)，現(xiàn)在計(jì)劃在公路上某處建一個(gè)公交站點(diǎn)C,以方

便居住在兩個(gè)小區(qū)住戶(hù)的出行。如何選址能使站點(diǎn)到兩個(gè)小區(qū)的距離之和最小？

二、典例解析

例1.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△

ABC的形狀。

兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

兩點(diǎn)間的距離公式是解析幾何的重要公式之一，它主要解決線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用。

跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(-3,4),B(2,V3),在x軸上找一點(diǎn)P,使|網(wǎng)=|PB|,并求|網(wǎng)

的值。

例2如圖，在aABC中，|A8|=|AC|,。是邊上異于C的任意一點(diǎn),

22

求證：\AB\=\AD\+\BD\-\DC\o

坐標(biāo)法及其應(yīng)用

1.坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要結(jié)合圖形的特征，建立平面直角坐標(biāo)系。坐標(biāo)系建立

的是否合適，會(huì)直接影響問(wèn)題能否方便解決。建系的原則主要有兩點(diǎn):

(1)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣便于運(yùn)算；

(2)如果條件中有互相垂直的兩條線(xiàn)，要考慮將它們作為坐標(biāo)軸；如果圖形為中心對(duì)稱(chēng)

圖形，可考慮將中心作為原點(diǎn)；如果有軸對(duì)稱(chēng)性，可考慮將對(duì)稱(chēng)軸作為坐標(biāo)軸。

2.利用坐標(biāo)法解平面幾何問(wèn)題常見(jiàn)的步驟：

(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；

(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；

(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；

(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

222

跟蹤訓(xùn)練2已知正三角形A3C的邊長(zhǎng)為a,在平面ABC上求一點(diǎn)P,使照|+\PB\+\PC\

最小，并求此最小值。

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.點(diǎn)A(1,-2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為4,則|A4，|為()

A.2V5B.5C.5V2D.2百

2.設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線(xiàn)段A3的中點(diǎn)P(2,-1),則|4?|=()

A.2V5B.4V2C.5D.2V10

3.函數(shù)y=yW+1+八/一4x+8的最小值是()

A.0B.C.13D.不存在

4.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)為頂點(diǎn)的三角形是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

5.已知點(diǎn)A(3,6),在x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離等于10,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為o

6.已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(—1,5),B(-2,-1),C(2,3),則8C邊上的中線(xiàn)

長(zhǎng)為O

7?點(diǎn)A在第四象限，A點(diǎn)到x軸的距離為3,到原點(diǎn)的距離為5,求點(diǎn)A的坐標(biāo)。

8.正方形A8CO的邊長(zhǎng)為6,若E是8C的中點(diǎn)，F(xiàn)是C。的中點(diǎn)，試建立直角坐標(biāo)系，

證明：BFLAE.

課堂小結(jié)

1.兩點(diǎn)間的距離公式可用來(lái)解決一些有關(guān)距離的問(wèn)題（如根據(jù)各邊長(zhǎng)度判斷三角形或四

邊形的形狀），根據(jù)條件直接套用公式即可，要注意公式的變形應(yīng)用，公式中兩點(diǎn)的位置沒(méi)有

先后之分。

2.應(yīng)用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的一般步驟是：

第一步：建立坐標(biāo)系，建系時(shí)應(yīng)使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，并且充分利用圖形的對(duì)稱(chēng)

性，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量。

第二步：進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算；

第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

參考答案：

知識(shí)梳理

問(wèn)題1.提示：|A陰=%—%1。

問(wèn)題2：提示：可以，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解。

222

探究。答案：如圖，在RtAPQP中，|PP|=|PQ\+\QP\,

I21212

梨2坦。(的ji)

y\又

、巳(%2?2)

PX

所以|Pl尸2|="\/(X2—XI)2+。2—丁1>o

即兩點(diǎn)Pl(XI,y1),ft(必X)間的距離『iP4(及一Xl)2+(y2—)|)2。

二、小試牛刀

I22

1.解析：|PiP2|=1(4-2)+(2+2)=2后。

答案：2V5

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

例L思路分析：可求出三條邊的長(zhǎng)，根據(jù)所求長(zhǎng)度判斷三角形的形狀。

/22

解：(方法1):,|AB|=1(3+3)+(-3-1)=V52,

/22

|AC|=J(1+3)+(7-1)=V52,

I22

|BC|=J(1-3)+(7+3)=V104,

/.\AB\=\AC\,且H8|2+|AC|2=|3CF

?△ABC是等腰直角三角形。

(方法2):“AC=———=kAB=31.：AA(?&AB=-1..".ACJLAB.

1-(-3)23-(-3)3

I22/22

又|AC|=1(1+3)+(7-1)=博，|AB|=1(3+3)+(-3-1)二辰,

.：|AC|=|A8|。?△ABC是等腰直角三角形。

I22

跟蹤訓(xùn)練1解：設(shè)點(diǎn)P(尤，0),則有|B4|=J(%+3)+(0-4)=V%2+6%+25,

I22

|PB|=J(x-2)+(0-V3)=Vx2-4x+7?

由|以|=|P8|,得X2+6X+25=X2-4X+7,

解得x=-%即所求點(diǎn)P為(3，0)，

且|出匚J(6+3)―2+(0-4)2=亞善。

例2思路分析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式證明。

證明：如圖，以3c的中點(diǎn)為原點(diǎn)0,所在的直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系。

設(shè)A(0,a),B(3，0),CCb,0),D(根，0)C-b<m<b)o

22222

貝U|AB|=(-b-0)+(0-a)-a+b,

22222

\AD\-(m-0)+(0?。)-m+。,

22

\BD\-\DC\=\m+b\-\b-m\=(b+m)Cb-m)=b-m,

222

/.\AD\+\BD\-\DC\=a+b,

22

跟蹤訓(xùn)練2解：以8c所在直線(xiàn)為九軸，以線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如

圖所示。

:?正三角形A5c的邊長(zhǎng)為

0),C(f,0),A(0,*)。設(shè)P(x,y),由兩點(diǎn)間的距離公式，得

|/M|2+|PB|2+|PC|2

=N+(y-/a)2+(x+/)2+y2+(x-：)2+y

=3x2+3y2-V3aj+^-

=3N+3(y~a)2+a2>a2,

當(dāng)且僅當(dāng)尤=0,產(chǎn)遺。時(shí)，等號(hào)成立，

故所求最小值為。2,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,*)。

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.解析：因?yàn)?(1,-2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4(-1,2),所以|441=，1-1)2+(2+2)

44+16=2付故選A.

答案：A

2.解析：依題意設(shè)A(a,0),B(0,b),

1(2,-1)為線(xiàn)段PB的中點(diǎn),.：a=4,b=-2.

：.\(4,0),B(0,-2)。

/22

.：|AB|二J(4-0)+(0+2)=2V5o

答案：A

3.解析：原函數(shù)可化為y=N(x—0)2+(0—1A+N(x—2>+(0+2)2,

設(shè)P(x,0),A(0,1),B(2,-2)o

y=\PA\+\PB\0

?./是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，A,8是兩個(gè)定點(diǎn)，??.LB4|十|P8|N|AB|=，T5,

...當(dāng)P,A,8三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，ymin=，TL

答案：B

4.解析：\AB\=\AC\=y[l7,\BC\=yflS,故△ABC為等腰三角形。

答案：B

5.解析：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,0）,由d（P,A）=10得":-3）2+（0—6）2=10,

解得x=l1或尤=—5.

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一5,0）或（11,0）o

答案：（一5,0）或（11,0）

6.解析：8c的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,則BC的中線(xiàn)長(zhǎng)為。（一1—0）2+（5—11=，行。

答案：V17

7.解析：由題意得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一3,設(shè)A（x,-3）,

則.（x—0）2+（—3—0）2=5,x=±4.

又點(diǎn)A在第四象限，，x=—4（舍），（4,—3）。

8.證明：以A為原點(diǎn)，AB,AO所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如

圖。

則A(0,0),B(6,0),E(6,3),F(3,6)。

.6—02,2七=|=/

??k>BF='T

3—6

knF-kAE=-1,：.BF±AEo

2.3.3點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式。

2.掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，能應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式解決有關(guān)距離問(wèn)題。

3.通過(guò)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的探索和推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)

學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)思路分析；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用。

難點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)不同方法的思路分析。

【知識(shí)梳理】

一、自主導(dǎo)學(xué)

L點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

(1)定義：平面內(nèi)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，等于過(guò)這個(gè)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)所得垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度。

(2)圖示:

（3）公式：人第羅

點(diǎn)睛：（1）運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線(xiàn)方程必須是一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般

式再用公式。

（2）當(dāng)點(diǎn)P0在直線(xiàn)/上時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為零，公式仍然適用。

二、小試牛刀

1.判斷對(duì)錯(cuò)：點(diǎn)P（X0,州）到直線(xiàn)>=丘+匕的距離為第整。（）

2.點(diǎn)（1,-1）到直線(xiàn)x-y+l=0的距離是（）

A.iB.三C.運(yùn)D.史

2222

3.你能說(shuō)出代數(shù)式叵產(chǎn)的幾何意義嗎？

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、情境導(dǎo)學(xué)

在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館，現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路。請(qǐng)同學(xué)們幫助設(shè)

計(jì)一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長(zhǎng)度最短？

思考1：最容易想到的方法是什么？

反思：這種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？

我們知道，向量是解決距離、角度問(wèn)題的有力工具。能否用向量方法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離？

如圖，點(diǎn)P到直線(xiàn)I的距離，就是向量所的模，設(shè)M（K,y）是直線(xiàn)/上的任意一點(diǎn)，n是

與直線(xiàn)/的方向向量垂直的單位向量，則的是由在上九的投影向量，|而|=|麗?訃

思考2：如何利用直線(xiàn)I的方程得到與的方向向量垂直的單位向量n?

圖2.3-6

思考3：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，通

過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過(guò)向量運(yùn)算求出結(jié)果，簡(jiǎn)化了

運(yùn)算，除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？

二、典例解析

例1求點(diǎn)P(3,-2)到下列直線(xiàn)的距離:

(1)y=%+(；(2)y=6；(3)x=4.

應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題

(1)直線(xiàn)方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式。

(2)點(diǎn)P在直線(xiàn)/上時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為0,公式仍然適用。

(3)直線(xiàn)方程Ax+3y+C=0中，A=0或8=0公式也成立，但由于直線(xiàn)是特殊直線(xiàn)(與

坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解。

跟蹤訓(xùn)練1已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離

相等,

求直線(xiàn)/的方程。

點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程時(shí)，首先考慮斜率不存在是否滿(mǎn)足題意。

延伸探究若將本題改為“已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2),點(diǎn)A(2,3),B(-4,5)在/的

同側(cè)且到該直線(xiàn)I的距離相等“，則所求I的方程為。

易錯(cuò)點(diǎn)——因?qū)π甭实那闆r考慮不全面而致錯(cuò)

案例求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,5),且與原點(diǎn)距離等于3的直線(xiàn)/的方程。

點(diǎn)睛：在根據(jù)距離確定直線(xiàn)方程時(shí)，易忽略直線(xiàn)斜率不存在的情況，避免這種錯(cuò)誤的方法

是當(dāng)用點(diǎn)斜式或斜截式表示直線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設(shè)條件，然

后再求解。

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.點(diǎn)(1,-1)到直線(xiàn)y=l的距離是()

A.企B.亨C.3D.2

2.已知點(diǎn)A(-3,-4),B(6,3)到直線(xiàn)/：ax+y+1=0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于

()

C.［或［D.-或g

3.直線(xiàn)3x-4y-27=0上到點(diǎn)P(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是。

4.已知AABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(-1,3),B(一3,0),C(1,2),求AABC的面積S。

5.已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)兩點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離相等，求

直線(xiàn)/的方程。

課堂小結(jié)

1?點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即是點(diǎn)與直線(xiàn)上點(diǎn)連線(xiàn)的距離的最小值，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，

解題時(shí)要注意把直線(xiàn)方程化為一般式。

2.利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求直線(xiàn)的方程，有時(shí)需結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合，使問(wèn)題更清

晰。

參考答案:

知識(shí)梳理

二、小試牛刀

1.答案：X

2.答案：C

解析：由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得+”=乎。

V22

3.提示：該代數(shù)式可表示平面內(nèi)點(diǎn)(a,b)到直線(xiàn)VIr+y+l=O的距離。

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

思考1：思路①。定義法，其步驟為：①求/的垂線(xiàn)/的方程②解方程組，③得交點(diǎn)Q

PQ

的坐標(biāo)④求|PQ|的長(zhǎng)

思考2：設(shè)Pi(%-yj,P2(x2,丫2)直線(xiàn)。/%+By+C=0上的任意兩點(diǎn)，則耳耳=

Cx2一久「丫2-丫1)是直線(xiàn)I的方向向量。把+Byx+C=0,AX2+By2+C=0兩式相

減，得/(x2-xx)+B(y2-yr)=0,由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可知，向量(4B)與向

量(x2-xlty2-%＞垂直，向量以2：82(/，就是與直線(xiàn)的方向向量垂直的一個(gè)單位向

量的單位向量，我們?nèi)=(4，B),

\/A2+B2

從而麗,n=(x-x0,y-y0)(4B)CAx+By-Ax0-By0)

因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)在直線(xiàn)/上所以Ax+By+C=0代入上式，

得麗C-Ax0-By0-C)

因此展|=|兩?止

二、典例解析

3I

例1［解］(1)直線(xiàn)產(chǎn)全+；化為一般式為3x—4y+l=0,由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得

|3x3-4x(-2)+l|18

d^/32+(—4)25°

(2因?yàn)橹本€(xiàn)y=6與y軸垂直，所以點(diǎn)尸到它的距離1=|一2—6|=8.

(3)因?yàn)橹本€(xiàn)x=4與x軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d=|3—4|=l.

跟蹤訓(xùn)練1解：(方法一)當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(-l,2)的直線(xiàn)/的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)/的方程為

x=-l,

恰好A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離相等，

故x=-l滿(mǎn)足題意；

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(-L2)的直線(xiàn)/的斜率存在時(shí)，

設(shè)/的方程為y-2=Z(x+1),BPkx-y+k+2=Q,

由A(2,3)與B(-4,5)兩點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離相等，得

即九+3/5=0.

綜上所述，直線(xiàn)/的方程為x=-l或x+3y-5=0.

爺”=卓絲，解得人工，

VP+iVH+13

此時(shí)/的方程為y-2=f(x+1),

(方法二)由題意得/〃A3或/過(guò)A3的中點(diǎn)。

當(dāng)/〃A3時(shí)，設(shè)直線(xiàn)A3的斜率為左,

AB

即x+3y-5=O.

當(dāng)/過(guò)A3的中點(diǎn)(-1,4)時(shí)，直線(xiàn)/的方程為x=-l.

綜上所述，直線(xiàn)I的方程為x=-1或尤+3y-5=0.

直線(xiàn)I的斜率為ki,則kAB=ki=—=--,

-4-23

此時(shí)直線(xiàn)/的方程為廣2=3(X+1),

延伸探究解析：將本例(2)中的x=-l這一情況舍去即可，也就是要舍去兩點(diǎn)在直線(xiàn)/異

側(cè)的情況。

答案：x+3y-5=0

案例所以原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離4=粵=3.

所以15左+8=0.所以k=-\

故直線(xiàn)I的方程為-各-y+3x(-^)+5=0,

錯(cuò)解：設(shè)所求直線(xiàn)方程為＞-5=攵(x+3),

整理，得依-y+3A+5=0.

錯(cuò)因分析本題出錯(cuò)的根本原因在于思維不嚴(yán)密，求直線(xiàn)的方程時(shí)直接設(shè)為點(diǎn)斜式，沒(méi)有考

慮斜率不存在的情況。

正解：當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)方程為y-5=Z(x+3),整理，得依-y+3A+5=0.

即8x+15y-51=0.當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x=-3也滿(mǎn)足題意。故滿(mǎn)足題意的直

線(xiàn)I的方程為8x+15y-51=0或x=-3.

所以原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離4=粵=3.

Vfc2+1

所以15&+8=0.所以k----o

is

故所求直線(xiàn)方程為廣5=福(x+3),

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.解析："焉=2,故選D.答案：D

2.解析：由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得與篝=安坦，化簡(jiǎn)得|3。+3|=|64+4|,

yJa2+lva2+l

解得實(shí)數(shù)a=［或T。故選C.

答案：C

3.解析：由題意知過(guò)點(diǎn)尸作直線(xiàn)3x-4y-27=0的垂線(xiàn)，

設(shè)垂足為M,則|MP|最小，

直線(xiàn)MP的方程為廣1=q(x-2),

3x-4y-27=0,%=5,

解方程組得

y-1=-(Cx-2),y=-3,

所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,-3)。

答案：(5,-3)

4.【解析】由直線(xiàn)方程的兩點(diǎn)式得直線(xiàn)8C的方程為了仄;段,

2—()1+3

即x—2y+3=0,由兩點(diǎn)間距離公式得

|BC|=7(-3-1)2+(0-2)2=275，

點(diǎn)A到8C的距離為4,即為8c邊上的高，

1-1-2x3+314

公黃泉與⑹r

所以S——\BC\-d=-x2y/5x—y[5=4,

即△ABC的面積為4.

5.解：(方法一)?.?點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等，.?.直線(xiàn)/的斜率存

在，設(shè)為鼠

又直線(xiàn)/在y軸上的截距為2,則直線(xiàn)/的方程為產(chǎn)自+2,即H-y+2=0.

由點(diǎn)A(1,1)與B(-3,1)到直線(xiàn)/的距離相等，

二直線(xiàn)I的方程是y=2或x-y+2=0.

得需=空誓，解得左=0或七1.

Vk2+1Vk2+1

(方法二)當(dāng)直線(xiàn)/過(guò)線(xiàn)段A3的中點(diǎn)時(shí)，A,8兩點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離相等。

?.?AB的中點(diǎn)是(-1,1),又直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)P(0,2),

/.直線(xiàn)I的方程是x-y+2=0.

當(dāng)直線(xiàn)/〃A3時(shí)，A,8兩點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離相等。

?.?直線(xiàn)43的斜率為0,.?.直線(xiàn)/的斜率為0,

.?.直線(xiàn)/的方程為y=2.

綜上所述，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)/的方程是x-y+2=0或y=2.

2.3.4兩條平行線(xiàn)間的距離

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解兩條平行線(xiàn)間的距離公式的推導(dǎo)

2.會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離。

3.通過(guò)兩條平行直線(xiàn)間的距離公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)

學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力。

【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：理解和掌握兩條平行線(xiàn)間的距離公式。

難點(diǎn)：應(yīng)用距離公式解決綜合問(wèn)題。

【知識(shí)梳理】

一、自主導(dǎo)學(xué)

問(wèn)題：已知兩條平行直線(xiàn)G的方程，如何求％與?2間的距離？

根據(jù)兩條平行直線(xiàn)間距離的含義，在直線(xiàn)"上取任一點(diǎn)p（&，y。），，點(diǎn)P（&，y°）到直線(xiàn)G

的距離就是直線(xiàn)"與直線(xiàn)q間的距離，這樣求兩條平行線(xiàn)間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。

兩條平行直線(xiàn)間的距離

1.定義：夾在兩平行線(xiàn)間的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)。

2.圖不：

3.求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。

二、小試牛刀

1.原點(diǎn)到直線(xiàn)x+2y—5=0的距離是（）

A.72B.小C.2D.\[5

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、情境導(dǎo)學(xué)

前面我們已經(jīng)得到了兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，關(guān)于平面上的距離問(wèn)題,

兩條直線(xiàn)間的距離也是值得研究的。

思考：立定跳遠(yuǎn)測(cè)量的什么距離？

A.兩平行線(xiàn)的距離B.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離C.點(diǎn)到點(diǎn)的距離

二、典例解析

例1.求證兩條平行直線(xiàn)4%+By+Q=0與+By+C2=0間的距離為＜/=辱駕

IC1-C2I

思考：兩條平行直線(xiàn)間的距離公式寫(xiě)成d=時(shí)對(duì)兩條直線(xiàn)應(yīng)有什么要求？

跟蹤訓(xùn)練1兩直線(xiàn)3x+y-3=O與6x+my+l=0平行，則它們之間的距離為（）

A.4B.邁C.旭D.還

132620

例2.已知直線(xiàn)/i：3x—2y—l=0和以3x-2y-13=0,直線(xiàn)/與一的距離分別是di,

d2,若由：龍=2：1,求直線(xiàn)/的方程。

求兩平行直線(xiàn)間距離的兩種思路

1.利用“化歸”法將兩條平行線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離。

2.接利直用兩平行線(xiàn)間的距離公式，當(dāng)直線(xiàn)/i：y^=kx+b\,b：y=依+歷，且。/歷時(shí),

\b\~b:\IG-C2I

當(dāng)直線(xiàn)/i：Ax+By+C\=0,京AX+B)，+C2=O且。印。2時(shí)，d=必須

、d+l'yl^+B2

注意兩直線(xiàn)方程中x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

跟蹤訓(xùn)練2.直線(xiàn)/i過(guò)點(diǎn)A(0,1),/2過(guò)點(diǎn)8(5,0),如果八〃/2,且/1與/2間的距離為

5,求/1,/2的方程。

例3.兩條互相平行的直線(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)A(6,2)和B(—3,-1),并且各自繞著A,B旋

轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線(xiàn)間的距離為D你能求出△的取值范圍嗎？

變式1.上述問(wèn)題中，當(dāng)d取最大值時(shí)，請(qǐng)求出兩條直線(xiàn)的方程。

距離公式綜合應(yīng)用的三種常用類(lèi)型

1最值問(wèn)題。

①利用對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題。

②利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。

③利用距離公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)配方求最值。

2求參數(shù)問(wèn)題：利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組求值。

3求方程的問(wèn)題：立足確定直線(xiàn)的幾何要素——點(diǎn)和方向，利用直線(xiàn)方程的各種形式，結(jié)

合直線(xiàn)的位置關(guān)系平行直線(xiàn)系、垂直直線(xiàn)系及過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)系，巧設(shè)直線(xiàn)方程，在此基礎(chǔ)上借

助三種距離公式求解。)

金題典例：已知正方形的中心為直線(xiàn)2x—y+2=0,x+y+l=O的交點(diǎn)，正方形一邊所在

的直線(xiàn)/的方程為x+3y—5=0,求正方形其他三邊所在直線(xiàn)的方程。

母題探究：1.求過(guò)本例中正方形中心且與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)方程。

2.本例中條件不變，你能求出正方形對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)方程嗎？

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.平行直線(xiàn)爾3x—y=0與m3x—y+?=0的距離等于()

A.1B.0C.V10D.3

2.分別過(guò)點(diǎn)A(-2,1)和點(diǎn)8(3,-5)的兩條直線(xiàn)均垂直于x軸，則這兩條直線(xiàn)間

的距離是0

3.已知兩點(diǎn)A(3,2)和8(—1,4)到直線(xiàn)mx+y+3=0的距離相等，貝Um=。

4.求與直線(xiàn)/：5元一12》+6=0平行且與直線(xiàn)/距離為3的直線(xiàn)方程。

課堂小結(jié)

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與兩條平行線(xiàn)間的距離

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離兩條平行直線(xiàn)間的距離

點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)夾在兩條平行直線(xiàn)間公垂線(xiàn)段

定義

度的長(zhǎng)度

點(diǎn)Po（九o,yo）到直線(xiàn)/：兩條平行直線(xiàn)/1：Ax+By+Cs

Ac+By+C=0的距離=0與，2：Ar+By+C2=0(。生。2)

公式

|Axo+Byo+C|

'y[A2+B2之間的距離d-giqzp

參考答案：

知識(shí)梳理

二、小試牛刀

I-5|

1.D碎=小可^=小。選D.］

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

二、典例解析

例1.分析：兩條平行直線(xiàn)間的距離，即為這兩條平行直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)上的一點(diǎn)到另一

條直線(xiàn)的距離

證明：在直線(xiàn)+By+Ci=0上任取一點(diǎn)P（%o，y。），點(diǎn)P（%o，y0）到直線(xiàn)4％