彈塑性力學(xué)基本理論及應(yīng)用-劉土光-華中科技大學(xué)研究生院教材基金資助-第四章-本構(gòu)方程

第四章本構(gòu)方程在前面的章節(jié)中，已經(jīng)建立了變形體的平衡微分方程和幾何方程，分別是從靜力學(xué)方面和從幾何學(xué)方面考察了變形體的受力和變形。但是只有這些方程還缺乏以解決變形體內(nèi)的應(yīng)力和變形問題。對于變形體，未知變量包括6個應(yīng)力分量，6個應(yīng)變分量和3個位移分量，一共有15個未知函數(shù)，而平衡方程和幾何方程一共是9個，未知函數(shù)的個數(shù)多于方程數(shù)。因此還必須研究物體的物理性質(zhì)，即應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。通常稱這種關(guān)系為變形體的本構(gòu)方程，或稱為物性方程。4.1彈性應(yīng)變能函數(shù)變形固體的平衡問題不僅需要運動微分方程、應(yīng)變—位移方程(即變形幾何方程)還需要將應(yīng)變分量和應(yīng)力張量分量聯(lián)系起來，方能給定物體的材料抵抗各種形式變形的規(guī)律。該規(guī)律的理論解釋需要對分子間力的本質(zhì)有深入的認識，該分子力力圖使固體粒子間保持—定的距離，也就是需要對固體中應(yīng)力分量和應(yīng)變分量有深入的認識。這種作用機理在非常接近穩(wěn)定狀態(tài)的氣體中己弄清楚，但對于彈性體情況，目前科學(xué)技術(shù)開展水平還不能解決這一難題。如要通過實驗探求物體內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，那么總是從一些量的測量來推理得到，在一般情況下，這些量并非應(yīng)力或應(yīng)變的分量(例如平均應(yīng)變、體積壓縮、物體外表一線元的伸長等等)．因此，在現(xiàn)時應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系主要是通過直接實驗建立。然而該關(guān)系中的某些固有的一般特性可以在理淪上加以說朋，如能量守恒定律為應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的理論研究提供了根底。1.1應(yīng)變能密度假設(shè)變形的過程是絕熱的，也就是在變形過程中系統(tǒng)沒有熱的損失，而且假設(shè)物體中任意無窮小單元改變其體積和形狀所消耗的功與其從未變形狀態(tài)到最終變形狀態(tài)的轉(zhuǎn)換方式無關(guān)。這個條件是彈性的另一種定義。換句話說，就是假設(shè)物體粒子互相作用過程中的耗散(非保守)力的作用與保守力的作用相比是可以忽略的。滿足這個假設(shè)的物體在卸載后一定回到其初始尺寸和形狀，也就是說該物體是理想彈性的。在上述條件下，使彈性體的未變形微元變形所需的功可表達為，即等于單元初始體積和6個應(yīng)變分量的某個函數(shù)的乘積。該函數(shù)稱為物體的應(yīng)變能函數(shù)或應(yīng)變能密度。它依賴于材料的物理特性，但與物體的形狀和尺寸無關(guān)。應(yīng)該注意到應(yīng)變能函數(shù)僅依賴于6個應(yīng)變分量，和剛體運動無關(guān)。另一方面，應(yīng)變分量可以用三個主應(yīng)變分量()和對于應(yīng)變主軸()的方向余弦()來表示，而且由于主軸相互正交，并且()是單位矢量的分量，所以方向余弦可表示為三個獨立角度()的函數(shù)。這樣無窮小微無變形所需要的功為(4.1-1)從方程(4.1-1)可清楚地看出，使一體積元(就是說一平行六面體)變形所消耗的功不僅依賴于主應(yīng)變分量()的大小，而且依賴于受到()作用的體元纖維的主方向(六面體各面的方向)。以上說明體元在不同方向?qū)ψ冃蔚捻憫?yīng)是不同的，當(dāng)一個物體呈現(xiàn)這種行為的性質(zhì)稱為各向異性，更完整地說，組成該物體的材料是各向異性的。它在不同方向呈現(xiàn)出不同性質(zhì)(對給定力的不同響應(yīng))。反之，如果材料在各方向的響應(yīng)都相同(對給定力)，那么稱該材料(物體)為各向同性的。對在各個方向有相同性質(zhì)的物體使一體元變形所需的功不依賴于該單元的方向性(即不依賴于確定主方向位置的角度)，因此僅僅是是主應(yīng)變()的函數(shù)。這樣，對各向同性材料，(4.1-2)從第三章知，主應(yīng)變()也可以用應(yīng)變不變量()，故(4.1-2)式也可寫為(4.1-3)對一般變形理論，方程(4.1-3)比方程(4.1-2)更適用，然而對于小位移理論，方程(4.1-2)的形式是有用的，因為()具有簡單的物理意義。由方程(4.1-3)，整個物體變形消耗的功為(4.1-4)函數(shù)以及方程(4.1-1)和(5.1-2)中的函數(shù)稱為應(yīng)變能函數(shù)，或稱應(yīng)變能密度，它表示相對于不變形狀態(tài)物體單位體積的變形能。1.2應(yīng)力分量與應(yīng)變能密度函數(shù)的關(guān)系對于處于彈性小變形的物體，即處于小應(yīng)變狀態(tài)的物體，設(shè)物體的閉合外表為，被所包圍的體積為，假設(shè)物體處于變形的平衡狀態(tài)(包括物體處于變形過程中)，可以證明所得到的應(yīng)力分量與應(yīng)變能密度函數(shù)之間的關(guān)系保持不變。設(shè)表示變形過程中外力作用于體積上的功，表示由變形所引起的體積內(nèi)能的變化或變分。如果變形是絕熱的，那么由能量守恒定律導(dǎo)出。因此有，其中是彈性變形能函數(shù)，因此有，(a)功是作用于體積的體力功，和作用于外表的面力功之和。由應(yīng)力狀態(tài)理論知，功為(b)式中和分別是在坐標方向的位移矢量和相應(yīng)于體積的體力分量。類似地，根據(jù)應(yīng)力邊界條件可得面力功為(c)根據(jù)散度定理，該面積分可轉(zhuǎn)換為體積分(d)根據(jù)變分與微分符號可以互換，并注意，那么由(a)、(b)、(c)、(d)式可得(e)因為方程(e)反映了固體變形的絕熱過程，所以由該式可得(f)在絕熱情況下，方程(f)右端的表達式就是應(yīng)變的微分，并且存在一函數(shù)，具有由以下關(guān)系所表達的性質(zhì)(4.1-5a)由該式可得(4.1-5b)函數(shù)表示由于變形(應(yīng)變)而貯存在物體單位體積內(nèi)的應(yīng)變勢能。采用工程符號上式可寫為(4.1-5c)當(dāng)物體為絕熱變形時，的變分與物體內(nèi)能密度的變分相同。滿足關(guān)系(4.1-5)的函數(shù)稱為總應(yīng)變能密度函數(shù)。應(yīng)變能密度函數(shù)的存在也可說明一個等溫(恒溫度)過程。實際上說，一個絕熱過程可以由物體內(nèi)經(jīng)歷小而迅速的振動變化來近似表示，反過來等溫過程可以由逐漸加載引起物體緩慢變形，且物體的溫度與周圍物體連續(xù)保持平衡在物體內(nèi)所引起的變化來近似表示。方程(4.1-5)極大地簡化了在彈性力學(xué)小撓廢理論中確定應(yīng)力分量的問題，因為我們只需尋找一個函數(shù)代替尋找6個未知函數(shù)()。一般說來是6個應(yīng)變分量的函數(shù)，或者是6個應(yīng)力分量的函數(shù)。如果材料是各向同性的，結(jié)果就會更簡單，因為主應(yīng)變方向與應(yīng)變能密度無關(guān)，是主應(yīng)變的函數(shù)．于是由方程(4.1-5)，主應(yīng)力為,,主應(yīng)力和主應(yīng)變不受介質(zhì)質(zhì)點旋轉(zhuǎn)的影響，即使位移是大的，但只要應(yīng)變與1相比是小的，方程(4.1-5)也是正確的。4.2線彈性變形體的廣義虎克定律不同材料具有不同的拉伸曲線的，但是它們也有一些共同的規(guī)律，一般說來，當(dāng)變形較小時，即應(yīng)力小于彈性比例極限時，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系是線彈性的，因而是可以恢復(fù)的。當(dāng)卸除外載荷后，物體可以完全恢復(fù)到變形前的初始狀態(tài)，在物體內(nèi)沒有任何剩余變形和剩余應(yīng)力。這時應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系可以用虎克定律表示，即，稱為彈性模量。另外，在線彈性范圍內(nèi)，當(dāng)試件在軸向()拉伸或壓縮過程中，其橫截面的側(cè)向()也相應(yīng)地在縮小或增大，根據(jù)試驗知，側(cè)向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之間存在如下關(guān)系：對于三維應(yīng)力狀態(tài)，依據(jù)前述應(yīng)力張量與應(yīng)變張量的對稱性，因此描述一點的應(yīng)力狀態(tài)一共有6個應(yīng)力分量和6個應(yīng)變分量。當(dāng)材料處在線彈性階段時，應(yīng)力與應(yīng)變之間仍存在線性關(guān)系，所以對于均勻的理想彈性體，應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系可寫為(4.2-1)其中為彈性系數(shù)。由材料的均勻性可知，系數(shù)與坐標無關(guān)。式(4.1-1)建立了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，稱為廣義虎克(Hooke,R)定律或彈性本構(gòu)關(guān)系。在式(4.2-1)中，系數(shù)一共有36個。一般情況下，系數(shù)不是常數(shù)，除依賴溫度外，還依賴于物體中的位置，通常是隨著溫度的增高而減小。實際上，方程(4.2-1)不是定律，僅是對小應(yīng)變正確的一種近似，因為任何連續(xù)函數(shù)在變量的足夠小的范圍內(nèi)是近似線性的。對于物體內(nèi)給定溫度和位置，方程(4.2-1)中的系數(shù)是代表材料特性的常數(shù)。2.1各向異性材料對于各向異性材料這36個常數(shù)也并不是獨立的。由方程()4.2-1)和(4.1-5b)可知(4.2-2)將(4.2-2)式分別進行微分，那么得(4.2-3)這些方程說明，即彈性系數(shù)是對稱的，因此只有21個不同的系數(shù)。也即對于各向異性彈性材料有21個彈性系數(shù)。由此可知，一般各向異性材料的應(yīng)變能函數(shù)為(4.2-4)2.2對稱性材料在某些結(jié)構(gòu)材料中，可能存在著特殊的對稱性，如在坐標變換中中彈性系數(shù)可能保持變換，這種變換稱為相對于平面的反射。這種變換的方向余弦由表3.2知，分別為(4.2-5)將方程(4.2-5)代入方程(2.3-4)和(3.3-5)，并注意到可得(4.2-6)和(4.2-7)因此在方程(4.2-4)的變換下，方程(4.2-1)的第一個方程給出，(4.2-8)將方程(4.2-6)和(4.2-7)代入方程(4.2-8)可得(4.2-9)比擬方程(4.2-1)的第一式和方程(4.4-9)得出條件，因此必然。類似地考慮，發(fā)現(xiàn)因此，如果一種材料的彈性性質(zhì)對于()平面反射(即該物體有一彈性對稱面)是不變的，那么該材料獨立的的彈性系數(shù)共有13個，其矩陣形式為(4.2-10)如果材料有兩個互相垂直的彈性對稱平面，可以證明，那么矩陣(4.2-9)可簡化為(4.2-11)矩陣(4.2-11)中僅有9個獨立的彈性常數(shù)，因此，方程(4.2-1)得到進一步簡化。2.3各向同性正交異性材料對某些特殊性質(zhì)的材料，其系數(shù)可以用楊氏模量、剪切模量和泊松比3類工程系數(shù)來表示。如，平面是各向同性材料的特性可用5個系數(shù)描述，而在與該平面垂直的方向那么呈各向異性。換句話說，在繞對稱軸旋轉(zhuǎn)任何角度時，其彈性系數(shù)保持不變。因此，橫觀各向同性材料有如下特征的彈性系數(shù)矩陣(4.2-12)其中。按工程表示法，(4.2-13a),(4.2-13b)此處。由確定系數(shù)。剩下的工程(彈性)系數(shù)與4個系數(shù)()有如下關(guān)系，(4.2-13c)2.3各向同性材料如果材料在三個方向力學(xué)性質(zhì)是相同的，那么稱為各向同性材料，例如金屬材料即屬于此類材料。此時彈性系數(shù)只有2個，即，但獨立的彈性系數(shù)只有2個。因此，在(4.2-11)式中，應(yīng)有，，，各系數(shù)分別為，，這樣，(4.2-1)式廣義虎克定律簡化為(4.2-14a)式(4.2-14c)式還可寫為(4.2-14b)通常也將廣義虎克定律寫為(4.2-14c)如果引入拉梅(Lamé,G)常數(shù)，那么廣義虎克定律還可寫為(4.2-14d)其中，與工程材料常數(shù)之間有如下關(guān)系在平面應(yīng)力情況下，因，(4.2-14a，b)可分別簡化為(4.2-15a)(4.2-15b)對于平面應(yīng)變問題，由于，于是從(4.2-14a，b)可得(4.2-16a)(4.2-16b)2.4參數(shù)的物理意義、體積變形與體積模量式(4.2-14a，b)可用張量形式分別寫為(4.2-17a)和(4.2-17b)令(4.2-18)那么廣義虎克定律又可寫為(4.2-19)其中分別為應(yīng)力偏量和應(yīng)變偏量，，稱為體積模量。從式(4.2-19)可以看出，物體的變形可分為兩局部：一局部是各向相等的正應(yīng)力(靜水壓力)引起的相對體積變形；一局部是應(yīng)力偏張量作用引起的物體幾何形狀的變化。并可認為前一種變形不包括物體形狀的改變(即畸變)而后一種變形那么不包括體積的變化，從而可以將變形分解為兩局部。這種分解在塑性理論中很有用處。如果令變形體中的微小六面體單元的原始體積為，即，那么變形后的體積為上式中略去高階微量后，那么可得或由此可見，為變形前后單位體積的相對體積變化，稱為體積應(yīng)變或相對體積變形。顯然，對于體積不可壓縮材料有。由廣義虎克定律，有當(dāng)時,那么記(4.2-20)稱為體積模量，又稱彈性體積膨脹系數(shù)。如將代入(4.2-19)式，那么得(4.2-19)式的第一式。4.3屈服函數(shù)與應(yīng)力空間對了簡單拉伸問題，屈服應(yīng)力可由試驗確定，并用簡單應(yīng)力狀態(tài)的強度計算。然而工程中的實際結(jié)構(gòu)不僅受力狀態(tài)十分復(fù)雜，其應(yīng)力狀態(tài)也多屬二向或三向應(yīng)力狀態(tài)，統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，由于彈塑性分界面不再如同簡單應(yīng)力狀態(tài)那樣有明顯的分界面而使問題變得比擬復(fù)雜。同時塑性變形規(guī)律確實定也不能由實驗予以確定。這是因為，一方面，當(dāng)材料內(nèi)任一點的主應(yīng)力有兩個或三個不為零時，它們之間的相互比值(組合)就會有無限多，要按每一種比值來進行實驗是不可能的；另一方面．目前要實現(xiàn)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的各種實驗，在技術(shù)和設(shè)備上也都是因難的。因此，關(guān)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下屈服條件及塑性本構(gòu)關(guān)系確實定．就只能在一定的實驗根底上，通過一些假設(shè)和推理確定。3.１.均壓試驗布里奇曼(Bridgman，P.W)曾對金屬材料大量的均壓實驗，發(fā)現(xiàn)在大氣壓下，彈簧鋼體積縮小2.2%，鎳縮小1.8%，而構(gòu)造疏松的堿性材料，體積改變很大，如鍶在15000個大氣壓Ｆ，體積改變約等于原來1/3。但對于大多數(shù)金屬材料，在平均壓力下體積改變很小，并得到如下關(guān)系式(4.3-1)式中分別為壓力強度、體積應(yīng)變、體積模量和派生模量。實驗說明，在壓力到達15000個大氣壓的水平時，(4.3-1)式都適用；當(dāng)壓力值等于金屬材料的屈服極限時，用(4.3-1)式計算的體積應(yīng)變與用彈性規(guī)律(4.3-2)算得的值僅相差，且越小，式(4.3-1)和(4.3-2)的差異越小。因此，在工程實用范圍內(nèi)，可以認為(4.3-2)式是正確的?；蛘哒f，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，平均應(yīng)力可取(4.3-3)試驗說明，即使在塑性變形范圍內(nèi)，體積改變也是可逆的，即仍是彈性的。因此(4.3-3)式稱為體積彈性定律。將物體的總應(yīng)變分解為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變，即由于體積變形是彈性的，因此由上式可知即塑性體積應(yīng)變?yōu)榱恪Ｔ趯嶋H應(yīng)用中，由于塑性應(yīng)變往往比彈性應(yīng)變大得多，因此為了簡化計算，當(dāng)結(jié)構(gòu)材料進入塑性變形階段后，常常假定材料是不可壓縮的。根據(jù)廣義虎克定律有在上式中，因為，那么可得(4.3-4)上式是忽略彈性應(yīng)變效應(yīng)的一種簡化假定，但這一假定可使求解大大簡化。由以上可知，布里奇曼的均壓試驗說明材料的屈服應(yīng)力與壓力強度無關(guān)。由此可得出結(jié)論：金屬材料屈服與平均應(yīng)力無關(guān)，即金屬材料屈服與體積改變無關(guān)，只決定于形狀改變(剪切應(yīng)變)。由于材料的塑性行為與彈性行為不同，因此，在塑性力學(xué)中，要將應(yīng)力和應(yīng)變張量分解為它們的球張量和偏張量，其中僅偏張量才與金屬的塑性行為密切相關(guān)。注意，上述結(jié)論僅對各向同性材料而言，對于各向異性材料，在各向等壓下不僅要產(chǎn)生體積變形，而且還要產(chǎn)生形狀改變，因此情況要比各向同性材料復(fù)雜得多。另外，由于各向等拉試驗難以實現(xiàn)，至今尚缺乏這方面的資料，所以將布里奇曼試驗所得結(jié)論用于各向等拉是一種假設(shè)。3.2初始屈服函數(shù)由材料的簡單拉伸(或壓縮)實驗的應(yīng)力應(yīng)變曲線可知，當(dāng)應(yīng)力到達后，那么材料由彈性狀態(tài)進入塑性狀態(tài)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再服從虎克定律。因此，是材料由彈性過渡到塑性的條件。這便是單向應(yīng)力狀態(tài)的初始屈服條件，是判斷材料是否進入塑性狀態(tài)的準那么。由上述概念可建立一般情況下屈服條件的定義：屈服條件：在載荷作用下，物體內(nèi)某一點開始產(chǎn)生塑性變形時，應(yīng)力所必須滿足的條件。一般情況下，工程中的結(jié)構(gòu)材料是處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，如果復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件均要如同簡單拉伸那樣通過試驗決定，那么各種復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)情況是不相同的，其試驗次數(shù)將是非?？捎^的。對于理論分析而言，那么要求給出屈服條件的解析式。即在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下建立一個統(tǒng)一的關(guān)系來表達這個準那么，即對各種材料和在不同的應(yīng)力狀態(tài)下怎樣用一個公共的函數(shù)形式來表達。通常屈服條件與所考慮的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，即與應(yīng)力空間的6個應(yīng)力分量有關(guān)，且是這些應(yīng)力分量的函數(shù)，假定這個公共的函數(shù)存在，那么稱之為“屈服函數(shù)〞，即為(4.3-5)由于材料初始屈服時，它仍處于彈性狀態(tài)，應(yīng)力相應(yīng)變有唯一關(guān)系，因此稱(4.3-5)式為初始屈服函數(shù)。式(4.3-5)表示在一個以6個應(yīng)力分量矢量的6維應(yīng)力空間內(nèi)的超曲面?？臻g內(nèi)的任一點都代表一個確定的應(yīng)力狀態(tài)。是這個應(yīng)力空間內(nèi)的一個曲面，因此稱為超曲面。該曲面上的任一點都表示一個屈服應(yīng)力狀態(tài)，所以又稱為初始屈服面。如簡單拉伸時，屈服應(yīng)力應(yīng)在6維應(yīng)力空間中屈服面內(nèi)的一個點，其坐標為()。對于各向同性材料，坐標方向的變換對屈服條件沒有影響，故可用主應(yīng)力來表示屈服函數(shù)，或用應(yīng)力不變量表示，即(4.3-5)式改寫為(4.3-6)由前面可知，平均應(yīng)力(靜水壓力)不影響屈服，因此屈服條件也可以用應(yīng)力偏量或應(yīng)力偏量不變量來表示，即(4.3-7)需要注意的是，由于應(yīng)力偏量不變量中恒為正值。而當(dāng)應(yīng)力變號時，也隨之變號，故屈服函數(shù)必是的偶函數(shù)。因此，(4.3-7)式中的第二式必須改寫為(4.3-8)3.3屈服面的特征由(4.3-6)式知，屈服函數(shù)可以用主應(yīng)力表示，因此可以在主應(yīng)力空間內(nèi)進行討論。主應(yīng)力空間是一個3維空間，在這個空間內(nèi)可以給出屈服函數(shù)的幾何圖形，從而有助于對屈服面的認識。某一點應(yīng)力狀態(tài)，可用應(yīng)力空間一點來表示如圖4.1。為該點的應(yīng)力矢量?？紤]過坐標原點與三個坐標軸成等傾斜的直線(等傾斜面法線)，其方向余弦為都相等，由，可知在圖4.1中的應(yīng)力矢量可分解為沿等斜面法線及平行于等傾斜面的兩個分矢量和，即假設(shè)，該點的應(yīng)力狀態(tài)為靜水壓力，那么必沿方向。因此，在直線上的任意一點的應(yīng)力狀態(tài)均為：，即應(yīng)力狀態(tài)為靜水壓力，即對應(yīng)于一個球形應(yīng)力狀態(tài)。對于一般應(yīng)力狀態(tài)，將其分解為靜水壓力及應(yīng)力偏量狀態(tài)時，分矢量代表靜水壓力局部，而代表應(yīng)力偏量局部，也就是確定材料是否屈服的有關(guān)局部。由解析幾何知，任一與正交的平面的方程為圖4.1應(yīng)力狀態(tài)矢量圖式中為沿線方向從坐標原點至該平面耐距離。顯然，當(dāng)時，此平的方程為該平面為過坐標原點，并與坐標軸成等傾斜面，稱該平面為平面。如有任一應(yīng)力狀態(tài)，那么在上的投影為，稱為靜水應(yīng)力分量，共值為而與而相垂直，即平行于平面的分量為應(yīng)力偏量分量，其值為如考慮在過點面平行于的線上任一點的應(yīng)力狀念，那么在平面上的投影必與在該面上的投影相同，僅靜水壓力分量不同。即過點平行于的線上所有的點都有相同的應(yīng)力偏量分量。由于一點的塑性屈服只取決于應(yīng)力偏量狀態(tài)，而與靜水應(yīng)力無關(guān)。因此，屈服函數(shù)必定是平面上的一條封閉曲線。稱為屈服曲線。對于整個應(yīng)力空間來說，這條曲線并不隨的大小而變化。于是，在主應(yīng)力空間內(nèi)，屈服面是以等傾線為軸線，以平面上的屈服曲線為截面形狀，與坐標軸成等傾斜的一個柱體的外表。屈服曲線在平面內(nèi)有以下重要性質(zhì)：(1)屈服曲線是將坐標原點包圍在內(nèi)的一條封閉曲線。因為坐標原點是—個無應(yīng)力狀態(tài)，材料不能在無應(yīng)力狀態(tài)下屈服，所以屈服曲線必定不過坐標原點。另一方面，初始屈服面內(nèi)是彈性應(yīng)力狀態(tài)，所以屈服曲線必定是封閉的，否那么將出現(xiàn)在某些應(yīng)力狀態(tài)下材料不屈服的情況，這是不可能的。(2)屈服曲線與任一從坐標原點出發(fā)的向徑必相交一次．是僅相交一次。在只討論初始屈服的條件下．材料既然在一種應(yīng)力狀態(tài)下己經(jīng)到達屈服，就不可能又在與同一應(yīng)力狀態(tài)差假設(shè)干倍數(shù)的另一應(yīng)力狀態(tài)再到達屈服。初始屈服只有一次。(3)屈服曲線對三個應(yīng)力主軸的正負方向均為對稱。由于應(yīng)力偏量對主應(yīng)力坐標軸具有對稱牲和不計鮑辛格爾效應(yīng)，因此對應(yīng)力主軸的兩側(cè)及其正負方向均是對稱的。(4)屈服曲線相對于坐標原點為外凸曲線，屈服面為外凸曲面。屈服面的外凸性是屈服函數(shù)的重要特性，將在下面予以證明。3.4杜拉克(Drucker)公設(shè)為了證明上述屈服條件的外凸牲及其相關(guān)特性，需引進材料穩(wěn)定性假設(shè)。對于圖4.2(a)所示強化材料，如果應(yīng)力增量，那么產(chǎn)生應(yīng)變增量，那末應(yīng)力增量在應(yīng)變增量上所做功為，具有這種特性的材料稱為穩(wěn)定的。如果當(dāng)時(圖4.2b)，或時(圖4.2c)，均有，稱這類材料為不穩(wěn)定的。對于處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的穩(wěn)定材料，假設(shè)材料從某個彈性應(yīng)力狀態(tài)開始加載，在到達加載應(yīng)力后，再增加應(yīng)力，它將引起一個新的塑牲應(yīng)變圖4.2穩(wěn)定材料與不穩(wěn)定材料增量，在這樣一個變形過程中，應(yīng)力做了功，且以下關(guān)系式必然成立(4.3-9)如果現(xiàn)在將應(yīng)力重新降回到，彈性應(yīng)變將恢復(fù)，彈性應(yīng)變能披釋放，由于塑性應(yīng)變能局部那么是不可逆的，因此在這樣一個應(yīng)力循環(huán)過程中，所作的功恒大于零，也即消耗了功。這個功是消耗于塑性變形的，叫做塑性功(參看圖4.3)，可表示如下：(4.3-10)不等式(4.3-9)、(4.3-10)分別表示：圖4.3加載與卸載圖4.3加載與卸載(1)在加載過程中，應(yīng)力增量對于附加應(yīng)變所做功恒為正。(2)在加載與御載的整個循環(huán)過程中，所完成的凈功恒不為非負。上面的第一條為穩(wěn)定材料的定義，而第二條并未對彈塑性材料的材料性質(zhì)予以限制，因此對理想彈塑性材料和彈塑性強化材料都適用。對于強化材料，當(dāng)應(yīng)力超過初始屈服面后，應(yīng)力繼續(xù)增加時，屈服面將隨應(yīng)力變化過程按一定規(guī)律變化，形成一系列屈服面，相對于初始屈服面稱這些屈服面為后繼屈服面，有時也稱為繼生屈服面或加載面(如圖4.4所示)。如果物體中某點的應(yīng)力狀態(tài)相應(yīng)于應(yīng)力空間中的點(見圖4.4)，然合再加載，應(yīng)力點的移動軌跡為，再由卸載至。由于階段為彈性加載過程，段為彈性規(guī)律的卸載過程，所以塑性應(yīng)變增量只在段產(chǎn)生。于是(4.3-10)式可寫為在應(yīng)力循環(huán)中，塑牲應(yīng)變的變化是一無窮小量。當(dāng)，可近似得(4.3-11)不等式(4.3-9)、(4.3-11)可認為是應(yīng)變強化的數(shù)學(xué)表達式。如果將塑性應(yīng)變與應(yīng)力空間重合在一起(圖4.5)，那么不等式(4.3-9)可解圖4.4初始屈服面與后繼屈服面圖4.5外凸屈服面釋為與的數(shù)量積(如圖4.5)，即于是一定有這表示與之間的夾角必為銳角。另一方面，同樣的情況，因為可使的模大于的模，及或于是必有即矢量與互成銳角。由于是任意的，而與屈服面的外法線方向一致，圖4.6內(nèi)內(nèi)凹屈服面因此所有的應(yīng)力點均應(yīng)在垂直于的平面的一側(cè)，即屈服面必為外凸的曲面。對于凹的屈服面(圖4.6)，將會得出與互成鈍角，因此與圖4.5矛盾。3.5伊留辛(Il′yushin)公設(shè)如果將上述討論置于應(yīng)變空間中(圖4.7a)，伊留辛于1961年提出了一個假設(shè)：彈塑性材料的微元體在應(yīng)變空間的任一應(yīng)變循環(huán)中所做功均為非負，即(4.3-12)成立，且僅當(dāng)此過程為彈性循環(huán)時取等號。伊留辛公設(shè)比杜拉克公設(shè)應(yīng)用更廣，圖4.7伊留辛公設(shè)描述且對軟化材料應(yīng)用更方便。對于圖4.7(b)所示一維情形，當(dāng)材料進入塑性狀態(tài)以后，不管是強化還是軟化材料，彈性卸載過程中的塑性應(yīng)變具有不可逆性，所引起的全部應(yīng)變能皆是非負，為圖4.7(b)中的陰影局部，即式(4.3-12)成立。由此可見，杜拉克公設(shè)(4.3-12)式討論的是圖4.7(b)中的12341局部，而伊留辛公設(shè)(4.3-11)式討論的是123451局部。因此有伊留辛公設(shè)所得的非負功大于杜拉克公設(shè)所得的非負功。4.4常用(初始)屈服條件兩個多世紀以來，人們都在對材料的屈服條件進行不懈的研究，直至現(xiàn)在也還在研究中。經(jīng)大量實驗驗證，符合工程應(yīng)用的金屬材料特性，應(yīng)用又較方便的常用屈服條件有屈雷斯加(Tresda)屈服條件和米塞斯(Mises)屈服條件。4.1屈雷斯加屈服條件屈雷斯加屈服條件又稱為最大剪應(yīng)力屈服條件，是屈雷斯加于1868年根據(jù)金屬擠壓流過小孔的實驗提出的一個屈服條件。這個條件認為當(dāng)韌性金屬的最大剪應(yīng)力到達一定數(shù)值時材料便開始屈服。即屈雷斯加屈服條件要求預(yù)先知道最大與最小主應(yīng)力。設(shè)，那么(4.4-1)對于簡單拉伸，當(dāng)(簡單拉伸時材料的屈服應(yīng)力)，，由(4.4-1)式可得(4.4-2)或?qū)憺閷τ诩兗羟闆r，，將它代入(4.4-1)式，得由此可見，根據(jù)簡單拉伸試驗和純剪切可知，屈雷斯加屈服條件中的值為簡單拉伸屈服應(yīng)力的1/2。在一般情況下，不按大小次序排列，那么以下表示最大剪應(yīng)力的六個條件中的任一個成立時，材料就開始屈服上式通?？蓪憺?4.4-3)圖4.8初始屈服條件圖4.9屈雷斯加二維屈服曲線式(4.4-3)即為屈雷斯加屈服條件的數(shù)學(xué)表達式。在主應(yīng)力空間，它為如圖4.8所示的一個與坐標軸成等傾斜的各邊長相等的正六棱柱體，稱為屈雷斯加六棱柱體。對于二維應(yīng)力狀態(tài)()，那么有(4.4-4)式(4.4-4)在平面內(nèi)組成如圖4.9所示的六邊形，稱為屈雷斯加屈服六邊形。在應(yīng)力空間討論屈服條件時，對于二維應(yīng)力狀態(tài)那么退化為一個平面，稱為主平面。顯然，對于確定的應(yīng)力狀態(tài)()，在主應(yīng)力平面內(nèi)是一個確定的應(yīng)力點，當(dāng)物體中某一點的應(yīng)力狀態(tài)處在屈服六邊形內(nèi)部時，表示物體在該處的材料尚處于彈性狀態(tài)；如果物體中某一點的應(yīng)力狀態(tài)到達屈服六邊形上的任一點，意味著物體在該處的材料開始進入塑性狀態(tài)。對于理想彈塑性材料，應(yīng)力點不可能處在屈服六邊形以外，而對于彈塑性強化材料開始屈服后的情況，需作專門討論，可參閱有關(guān)著作。因此，這里所討論的屈服條件為初始屈服條件，其屈服六棱柱體和屈服六邊形分別為初始屈服面和初始屈服曲線。4.2米塞斯屈服條件對于各向同性材料，根據(jù)廣義虎克定律，物體總的變形能可由式(4.2-4)得(4.4-5)又根據(jù)物體的變形可分解為體積變化和形狀變化兩局部，因此應(yīng)變能也可分解為體積改變能密度和形狀改變能密度，即引起體積變化的是平均正應(yīng)力，與之相應(yīng)的平均應(yīng)變，因而(4.4-6)引起形狀改變的是應(yīng)力偏量和相應(yīng)的應(yīng)變偏量，注意到廣義虎克定律，可以將形狀改變能密度，即畸變能密度采用主應(yīng)力表示為(4.4-7)米塞斯屈服條件又稱為畸變能屈服條件，或形狀改變比能屈服條件。該屈服條件認為，當(dāng)構(gòu)件中某一點的應(yīng)力狀態(tài)所對應(yīng)的畸變能到達一定值時，該點便屈服。因此由畸變能公式(4.2-6)可得(4.4-8)其中為表征材料屈服特征的參數(shù)。當(dāng)以主應(yīng)力表示，式(4.4-8)可寫為(4.4-9)材料屈服特征參數(shù)，如同屈雷斯加屈服條件那樣，可由簡單拉伸試驗確定。此時，，。將這些值代入(4.4-9)式有(4.4-10)對于純剪狀態(tài)，那么恒等于純剪應(yīng)力狀態(tài)屈服時的最大剪應(yīng)力，即，它可由薄壁圓管受扭作用試驗得到。根據(jù)畸變能條件，式(4.4-10)說明，純剪切屈服應(yīng)力是簡單拉伸屈服應(yīng)力的倍。對于二維應(yīng)力狀態(tài)，畸變能條件為(4.4-11)也可寫為(4.4-12)式(4.4-12)在坐標平面內(nèi)為如圖4.10的一個橢圓。如同前面所述那樣，當(dāng)應(yīng)力點處于屈服橢圓以內(nèi)，也即當(dāng)時，或屈服函數(shù)，那么物體中的材料處于彈性狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力點處在屈服曲線上的任一點，此時，或，那么材料進入塑性狀態(tài)。式(4.4-8)是米塞斯屈服條件的一般表達式。由式(4.4-9)可以看出，米塞斯屈服條件在三維主應(yīng)力空間為與坐標軸成等傾斜的圓柱體，稱該圓柱體為米塞斯圓柱體。進一步可證明，米塞斯圓柱體外接于屈雷斯加六棱柱體。圖4.10米塞斯二維屈服曲線以上兩種屈服條件各有優(yōu)缺點，最大剪應(yīng)力條件是主應(yīng)力分量的線性函數(shù)，因而對于主應(yīng)力方向及主應(yīng)力間的相對值的—類問題，是比擬簡便的，而畸變能條件那么顯然復(fù)雜得多。但從理論上講最大剪應(yīng)力條件忽略了中間主應(yīng)力對屈服的影響，是其缺陷。而畸變能條件那么克服了這一缺乏。實驗證明：畸變能條件比最大剪應(yīng)力條件更接近于實驗結(jié)果。4.3二維應(yīng)力狀態(tài)的初始屈服條件前面所述二維應(yīng)力狀態(tài)是對主應(yīng)力而言，但在處理實際問題時，對于二維應(yīng)力狀態(tài)，即平面應(yīng)變狀態(tài)和平面應(yīng)力狀態(tài)，一般所設(shè)直角坐標軸不一定正好是應(yīng)力主軸，因此為了今后處理問題使用方便，必須導(dǎo)出這兩種應(yīng)力狀態(tài)在直角坐標軸下的屈雷斯加屈服條件和米賽斯屈服條件的具體表達式。1)、平面應(yīng)力狀態(tài)規(guī)定純拉伸時兩種屈服條件相重合，根據(jù)式(4.4-2)和式(4.4-8)并注意到式(4.4-10)，以及假設(shè)材料是不可壓縮，即，屈雷斯加屈服條件和米塞斯屈服條件分別為屈雷斯加屈服條件(a)米塞斯屈服條件(b)平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力特征為(c)于是(b)式可寫為該式可進一步簡化為(d)由式(c)知，是主應(yīng)力之一，而另二個主應(yīng)力為由于的關(guān)系恒成立，因此三個主應(yīng)力的大小次序只有下面三種情況：(1)。這一關(guān)系式表示如果這個不等式成立，顯然下式必成立(e)在(e)式成立的條件下，主應(yīng)力大小的順序為(f)將(f)式代入(a)式，得將上式整理后得(g)(2)。這一關(guān)系式等價于上式可寫為要使該不等式成立，顯然要求成立。那么主應(yīng)力大小的排列順為相應(yīng)的屈里雷斯加屈服條件可寫為(h)(3)。這一關(guān)系可表述為顯然，該不等式成立的條件為于是，主應(yīng)力的排列順序為相應(yīng)的屈雷斯加屈服條件為該式也可寫為(i)綜上所述，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，兩個屈服條件的具體形式如下：根據(jù)式(g)、(h)和(i)，屈雷斯加屈服條件的具體表達式為：(4.4-13)而米塞斯屈服條件，為(d)式，即(4.4-14)2)、平面應(yīng)變狀態(tài)規(guī)定純拉時兩種屈服條件重合，采用主應(yīng)力表示，那么由(a)、(b)兩式可知，兩個屈服條件為：屈雷斯加條件(j)米塞斯條件(k)由于平面應(yīng)變問題有，由廣義虎克定律可知，平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力特征為因此，三個主應(yīng)力為(l)根據(jù)上式，顯然有，將它代入(j)式，得即(m)將式(l)代入式(k)，有(n)將式(m)和式(n)寫成統(tǒng)一的形式，可得到平面應(yīng)變狀態(tài)下兩種屈服條件的具體表達式為(4.4-15)4.5后繼屈服條件5.1初始屈服條件描述了變形體內(nèi)一點開始產(chǎn)生塑性變形時該點的各應(yīng)力分量之間應(yīng)當(dāng)滿足的關(guān)系，它可用來確定初始彈性變形范圍的界限。這個界限在應(yīng)力空間中是一個包含原點的初始屈服面。由于假定結(jié)構(gòu)材料為初始各向同性和初始彈性，因此初始屈服條件只與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而與加載歷史無關(guān)。這也就限制了它不適用變形體內(nèi)這樣的一些點，即這些點處的材料屈服與否不僅與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，還與加載歷史有關(guān)。顯然，它們是變形體內(nèi)經(jīng)歷過塑性變形的那些點。變形體內(nèi)經(jīng)歷過塑性變形的點重新進入屈服時各應(yīng)力分量之間應(yīng)當(dāng)滿足的條件稱為后繼屈服條件。對于理想彈—塑性材料，不難理解，其初始屈服條件與后繼屈服條件是相同的。因此后繼屈服條件僅為強化材料所特有。本節(jié)討論強化材料的后繼屈服條件及其在應(yīng)力空間中的軌跡，即后繼屈服曲面。5.1后繼屈服函數(shù)與強化規(guī)律的一般性概念強化材料在經(jīng)歷塑性變形以后，不僅變成了各向異性，而且經(jīng)歷過塑性變形的點的屈服應(yīng)力也隨加載歷史的不同而變化。因此，對于經(jīng)歷過塑性變形而力學(xué)性態(tài)記錄史為的那些點，在卸載后重新加載時，該點的材料是否會產(chǎn)生新的屈服不僅與重新加載時的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且還依賴于力學(xué)性態(tài)記錄史。這樣，后繼屈服條件應(yīng)當(dāng)寫成(4.5-1)該式說明，對于變形體內(nèi)經(jīng)歷過塑性變形，力學(xué)性態(tài)記錄史為的點，卸載后重新加載時，只有當(dāng)重新加載的應(yīng)力水平滿足式(4.5-1)時，該點的材料才會產(chǎn)生新的屈服，否那么將處于后繼彈性狀態(tài)。式(4.5-1)給出了后繼屈服函數(shù)的一般形式，但函數(shù)的具體形式是怎樣的，即對和的具體依賴關(guān)系是怎樣的還不知道，這是強化規(guī)律所要解決的。換句話說，強化規(guī)律就是經(jīng)歷過加載和卸載的強化材料的后繼屈服函數(shù)隨和的變化規(guī)律。由于當(dāng)不變時，式(4.5-1)在應(yīng)力空間內(nèi)的軌跡是一個固定的后繼屈服曲面；當(dāng)變化時，該式那么給出一組屈服曲面族，因此，強化規(guī)律是：(1)當(dāng)給定時，描述后繼屈服曲面在應(yīng)力空間中的形狀；(2)當(dāng)變化時，描述屈服曲面在應(yīng)力空間中隨的變化規(guī)律。5.2兩個常用的近似強化想律前述已指出，強化規(guī)律描述的是屈服曲面在應(yīng)力空間中隨的變化規(guī)律。但是，現(xiàn)有資料說明，屈服曲面的真實變化規(guī)律是非常復(fù)雜的，特別是隨著塑性變形的增加，材料變形的各向異性效應(yīng)愈加顯著，其變化規(guī)律也就更加復(fù)雜。因此，為了便于推導(dǎo)和應(yīng)用，不得不對屈服面的真實變化規(guī)律進行假設(shè)干簡化假設(shè)。通過簡化假設(shè)，可得到近似的強化規(guī)律，它們可用來近似地描述屈服曲面在應(yīng)力空間中的形狀和變化。在復(fù)雜加載情況下，比擬通用的近似強化規(guī)律有兩類，一類是各向同性強化規(guī)律，另一類是隨動強化規(guī)律，下面分別予以闡述。(1)各向同性強化規(guī)律(也稱為等向強化規(guī)律)各向同性強化規(guī)律認為，在加載過程中，后繼屈服曲面在應(yīng)力空間中作形狀相似的均勻膨脹，但其中心保持不變。這個規(guī)律按下述方式求出式(4.5-1)中的后繼屈服函數(shù)對和的具體依賴關(guān)系。假定初始屈服面的方程為(4.5-2)式中，描繪了初始屈服面的形狀，決定了初始屈服曲面的大小。根據(jù)等向強化規(guī)律假設(shè)，在加載過程中，后繼屈服面在形狀上保持與式(4.5-2)給出的初始屈服面相似，中心保持不變，只是曲面的大小不同。因此描述后繼屈服曲面變化規(guī)律的函數(shù)，可通過在式(4.5-2)中的常數(shù)的前面乘以形狀相似比而獲得。假設(shè)設(shè)后繼屈服面對初始屈服面的形狀相似比為，它是力學(xué)性態(tài)記錄史的函數(shù)，那么后繼屈服面的方程為該式也可寫為(4.5-3)式中。根據(jù)等向強化規(guī)律，后繼屈服面在加載過程中均勻膨脹，因此必然是的單調(diào)增加的正函數(shù)。如果取初始屈服面為米賽斯屈服曲面，即在式(4.5-3)中取為那么在等向強化規(guī)律下，與米賽斯屈服條件相應(yīng)的后繼屈服條件為(4.5-4a)如果初始屈服面取屈雷斯加屈服條件那么與屈雷斯加屈服條件相對應(yīng)的等向強化規(guī)律的后繼屈服條件為(4.5-4b)式(4.5-4a)及式(4.5-4b)中的力學(xué)性態(tài)記錄史是與塑性變形有關(guān)的那局部應(yīng)力史的記錄，因此可用總的塑性變形比功或總的等效塑性應(yīng)變作為參數(shù)，即可表示為或(4.5-5)式中和的定義分別為(4.5-6a)和(4.5-6b)式(4.5-5)中的兩個積分表達式的積分是沿著加載路徑進行的。將式(4.5-5)中兩式代入式(4.5-3)，可以得到(4.5-7)或(4.5-8)對于米塞斯初始屈服函數(shù)的情形，式(4.5-7)和式(4.5-8)給出(4.5-9)或(4.5-10)對于屈雷斯加初始屈服函數(shù)的情況，有(4.5-11)或(4.5-12)式(4.5-9)～(4.5-12)中的函數(shù)和可由單向拉伸實驗確定。下面以式(4.5-9)和式(4.5-10)為例，具體說明如何由單向拉伸實驗確定函數(shù)和。在單向拉伸(壓縮)情況下，因為，，以及，假設(shè)體積不可壓縮，那么。因此，式(4.5-9)和式(4.5-10)可簡化為(4.5-13)函數(shù)確實定在單向拉伸情況下，式(4.5-6a)簡化為(4.5-14)圖4.11函數(shù)幾何意義圖4.12函數(shù)確實定由圖4.11可知，，即圖4.11中的平行四邊形的面積，因是微量，因此可認為平行四邊形的面積與曲邊四邊形的面積相等，所以將上式積分可得于是在幾何上就是圖4.11中曲邊四邊形的面積。由該圖中的幾何關(guān)系可得(a)式中為圖４.１２中三角形的面積。由該圖正可知為(b)由(a)、(b)式可得(4.5-15)根據(jù)單向拉伸試驗曲線，并利用(4.5-15)式，那么可確定，其步驟為如圖4.13，在單向拉伸曲線圖的軸上取個點并求出相應(yīng)的應(yīng)力值(其中)。從中分解出彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變，即圖4.13單向拉伸曲線進而可求出塑性功(3)根據(jù)(1)和(2)，可得到一組與的對應(yīng)關(guān)系如下：……這組對應(yīng)關(guān)系可用函數(shù)表示為()(c)式(c)表示，當(dāng)在塑性功為時卸載，那么重新加載時的應(yīng)力到達時，材料開始產(chǎn)生新的屈服。(4)根據(jù)式(4.5-13)中的第一式可得到下面的一組對應(yīng)關(guān)系()(d)式(c)說明：假設(shè)在塑性功為時卸載，那么重新加載時的應(yīng)力到達時，材料開始產(chǎn)生新的塑性變形。將式(c)、(d)進行比擬，井假定在單向拉伸時米賽斯屈服條件準確，那么可得到下面一組對應(yīng)值：……根據(jù)上述與值可作出如圖4.14的曲線。這條曲線確定了相對于的具體依賴關(guān)系。圖４.１４～關(guān)系曲線圖４.１5線性強化材料單向拉伸曲線對于如圖4.15所示的線性強化材料，與之間存在如下關(guān)系(4.5-16)令，那么可得到函數(shù)的形式為(4.5-17)將(4.5-17)式代入(4.5-9)式，可得利用等效應(yīng)カ，上式可寫為(4.5-18)其中(4.5-19)式(4.5-18)和式(4.5-19)是利用等向強化規(guī)律求得的線性強化材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的米賽斯后繼屈服條件。因此，對于線性強化材料，上面確定函數(shù)的過程可得到簡化。根據(jù)(4.5-16)式，由圖4.15可得將它代入(4.5-14)式，有由此式可解得將式(4.5-13)的第一式與上式比擬，得再將上式代入(4.5-9)式，那么有(4.5-20)這就是由等向強化規(guī)律得到的線性強化材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下米賽斯后繼屈服條件的另一種形式。函數(shù)確實定式(4.5-13)中的第二式表示：在單向拉伸情況下，假設(shè)經(jīng)過塑性變形后卸載，那么重新加載時的應(yīng)力到達時，材料開始產(chǎn)生新的屈服，即新的屈服應(yīng)力應(yīng)為。因此可以作出如圖4.16所示的單向拉伸實驗曲線。由拉伸曲線可得到下面一組對應(yīng)值：圖4.16單向拉伸實驗曲線圖4.17后繼屈服曲線確實定……由于和，因此可作出如圖4.17所示的后繼屈服曲線，于是由單向拉伸試驗曲線完全確定了做形式。對于線性強化材料，利用圖4.15所示的單向拉伸實驗曲線，函數(shù)確實定過程可得到簡化。即令，并注意式(4.5-15)，那么可得到函數(shù)的形式為(4.5-21)圖4.18線性強化材科的后繼屈服條件將(4.5-21)式代入(4.5-10)式，可得當(dāng)用等效應(yīng)力表示時，上式可寫為(4.5-22)式中(4.5-23)式(4.5-22)和式(4.5-23)是利用等向強化規(guī)律求得的線性強化材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的米賽斯后繼屈服條件，其后繼屈服曲線如圖4.18所示。必須注意各向同性強化規(guī)律假設(shè)加載過程中屈服面在應(yīng)力空間中均勻膨脹，中心保持不變，因此忽略了鮑氏效應(yīng)，即忽略了材料在塑性變形過程中呈現(xiàn)的各向異性。雖然各向同性強化規(guī)律完全沒有計入鮑氏效應(yīng)，但當(dāng)結(jié)構(gòu)只承受加載而沒有卸載時，或者變形不大以及應(yīng)力偏量之間的相互比例改變不大時，由它求得的結(jié)果與實驗結(jié)果仍能較好地吻合，加之在分析問題中使用簡單方便，因此是一個最為廣泛應(yīng)用的強化模型。(2)運動強化規(guī)律運動強化規(guī)律認為，在加載過程中，屈服面的形狀和大小保持不變，只是在應(yīng)力空間中作剛性移動。假定初始屈服曲面的方程仍如式(4.5-2)所示，這是一個中心在坐標原點的曲面。根據(jù)運動強化規(guī)律的假設(shè)，只要將初始屈服曲面的中心位置移動，而保持它的形狀(即保持的形式)和大小(即保持常數(shù)的大小)不變，即可獲得后繼屈服曲面。因此，后繼屈服曲面的方程可寫為(4.5-24)如果取初始屈服面為米賽斯屈服面，那么上式給出(4.5-25)式中，為初始屈服面中心在應(yīng)力空間中的位移。可以證明，是的函數(shù)，且有以下關(guān)系：(4.5-26)由式(4.5-25)、式(4.5-26)可以看出，只要確定了c，也就確定了后繼屈服面中心的位置，后繼屈服函數(shù)的形式即可完全確定。與等向強化規(guī)律的情況類似，c也可通過拉伸實驗來確定。下面討論c為常數(shù)的情況，這是最簡單的運動強化規(guī)律，稱為線性運動強化。對于線性運動強化模型，式(4.5-26)可寫成全量形式(參見4.7節(jié))：將上式代入式(4.5-25)，可得(4.5-27)上式就是線性強化規(guī)律下的米賽斯后繼屈服條件。在單向拉伸時，可簡化為或?qū)憺?4.5-28)上式說明，在簡單拉伸時，假設(shè)采用線性運動強化規(guī)律，那么當(dāng)卸載后再重新加載的應(yīng)力到達時，材料開始產(chǎn)生新的屈服。另一方面，對于線性強化材料，單向拉伸實驗曲線給出將上式與(4.5-28)式比擬，得將它代入(4.5-25)，有(4.5-29)式(4.5-29)即是由線性運動強化規(guī)律求得的線性強化材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的米賽斯后繼屈服條件。由以上的討論可見，運動強化規(guī)律與各向同性強化規(guī)律的根本區(qū)別在于運動強化規(guī)律由于假定屈服面在應(yīng)力空間中移動，從而考慮了材料在塑性變形過程中呈現(xiàn)的各向異性，計入了鮑氏效應(yīng)。當(dāng)變形較大，特別是應(yīng)力有反復(fù)變化時，各向同性強化規(guī)律求得的結(jié)果與實驗結(jié)果不符，這時應(yīng)考慮采用較為復(fù)雜的運動強化模型。5.3加載與卸載準那么材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下的加載和卸載準那么，可由其單向拉伸實驗確定。例如，對于理想彈—塑性材料，假設(shè)設(shè)為位于屈服點上的應(yīng)力水平，為施加的應(yīng)力增量，根據(jù)單向拉伸實驗曲線圖4.19(a)，其加載與卸載準那么可表示為(a)理想彈—塑性材料(b)強化材料圖4.19單向應(yīng)力狀態(tài)下的加載與卸載對于強化材料(如圖4.19b所示)，那么當(dāng)材料處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，由于產(chǎn)生塑性變形時的物理過程的復(fù)雜性及實驗資料的不充分，加載過程與卸載過程的判別變得十分復(fù)雜。下面所建立的加載與卸載準那么實際上是單向應(yīng)力狀態(tài)下加載與卸載準那么的推廣。這些準那么在加載路徑不太復(fù)雜(載荷沒有突然上下的反復(fù)變化，且加載路徑的方向沒有大改變)的情況下，已為實驗所證實，它們能夠相當(dāng)廣泛地適用于工程結(jié)構(gòu)構(gòu)加載情況。(1)理想彈—塑性材料的加載與卸載理想彈—塑性材料的后繼屈服條件與初始屈服條件是相同的，其屈服面方程可表示為：式中、分別為屈服面和材料常數(shù)，與變形歷史無關(guān)。現(xiàn)設(shè)為位于屈服面上的應(yīng)力水平，為施加的應(yīng)力增量，假設(shè)新的應(yīng)力點仍然位于屈服面上，或即使得應(yīng)力點在屈服面上自A點移至B點(圖4.20)，這一過程稱為加載；假設(shè)使應(yīng)力點從屈服面上移到屈服面內(nèi)，這一過程稱為卸載。注意到為屈服面的外法線方向，那么理想彈—塑性材料的加載與卸載準那么可表示為圖4.20理想彈-塑性材料的加載與卸載圖4.21強化材料的加戴、中性變載和卸載(4.5-30)2)強化材料的加載、中性變裁與卸載強化材料的屈服面方程為：仍設(shè)為位于屈服面上的應(yīng)力水平，為施加的應(yīng)力增量。假設(shè)使得應(yīng)力點從上移至與之無限鄰近的新的屈服面上(圖4.21)，這一過程稱為加載；假設(shè)使應(yīng)力點在屈服面上移動，這一過程稱為中性變載；假設(shè)使應(yīng)力點返回屈服面之內(nèi)，這一過程稱為卸載。這三個過程的判別準那么為(4.5-31)中性變載過程是強化材料所特有。根據(jù)上面定義，中性變載過程不產(chǎn)生新的塑性變形，但材料仍處于塑性狀態(tài)。塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的增量理論如果受力物體中某點的應(yīng)力狀態(tài)滿足屈服條件，那么該點己進入塑性階段，因此對于該點彈性本構(gòu)關(guān)系(即廣義虎克定律)就不再適用。這就需要建立塑性階段的本構(gòu)方程來描述塑性應(yīng)力和應(yīng)變之間或應(yīng)力增量和應(yīng)變增量之間的關(guān)系。在第一章已經(jīng)知道，塑性加力應(yīng)變關(guān)系的重要特點是它的非線性和不唯一性，即應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再是線性的，應(yīng)變不能由應(yīng)力唯一確定。當(dāng)外載荷變化時，應(yīng)力也要變化，在應(yīng)力空間代表一點應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力點就要移動，應(yīng)力點移動的軌跡稱為應(yīng)力路徑，這一過程稱為應(yīng)力歷史。對應(yīng)于外載荷就是加載路徑和加載歷史。在彈性階段，應(yīng)變可由應(yīng)力直接用虎克定律求出，不需了解這一應(yīng)力狀態(tài)是怎樣到達的，即不必了解其應(yīng)力歷史。在塑性階段，應(yīng)變狀態(tài)不但與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且依賴于整個的應(yīng)力歷史，或者說，應(yīng)變是應(yīng)力和應(yīng)力歷史的函數(shù)。例如由簡單拉伸曲線可知，零應(yīng)力狀態(tài)可對應(yīng)于經(jīng)過各種加載歷史而最終卸載至零而殘留的應(yīng)變狀態(tài)，這說明應(yīng)變是與應(yīng)力和應(yīng)力歷史有關(guān)。由于實際結(jié)構(gòu)材料所經(jīng)歷的變形歷史的復(fù)雜性，因此，在一般加載條件下，很難建立一個能夠包括各種變形歷史影響的全量形式的塑性應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，而只能就增量應(yīng)力與增量應(yīng)變之間建立起增量形式的塑性本構(gòu)關(guān)系，此即所謂增量理論或流動理論。由加載與卸載準那么可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)材料進入塑性狀態(tài)之后，應(yīng)力點位于屈服面上，此時材料的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系將根據(jù)加載與卸載的不同情況而服從不同的規(guī)律。假設(shè)為卸載，那么施加的應(yīng)力增量將使應(yīng)力點從屈服面上返回到屈服面內(nèi)，增量應(yīng)力與增量應(yīng)變之間仍服從虎克定律。假設(shè)為加載，那么所施加的增量應(yīng)力將使應(yīng)力點在屈服面上移動或移動到新的屈服面上，此時材料的本構(gòu)關(guān)系服從流動規(guī)律。因此，(1)塑性流動理論解決的是加載過程中應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間所服從的規(guī)律；(2)結(jié)構(gòu)材料因加載與卸載的不同而有不同的本構(gòu)關(guān)系。當(dāng)—點處應(yīng)力狀態(tài)進入塑性狀態(tài)以后，相應(yīng)的總應(yīng)變可以分為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩局部，即(4.6-1)其中彈性局部服從虎克定律，塑性局部為總應(yīng)變與彈性應(yīng)變之差，是卸載后不能恢復(fù)的殘留應(yīng)變，當(dāng)卸載發(fā)生時保持不變，而僅在繼續(xù)加載時才發(fā)生變化。有時為了方便，的初值假定為零，之后的應(yīng)變值便是與零應(yīng)變相比擬的相對值。以上說明，塑性應(yīng)變與加載路徑有關(guān)，所以，必須討論應(yīng)力的變化特征和應(yīng)變的變化特征，并且將進一步限定從考慮無窮小的變化，計算其全部加載歷史過程的增量，之后用積分或求和的方法求出總應(yīng)變。這就是塑性理論為什么具有增量特征的原因。6.1應(yīng)變增量與應(yīng)力偏增量彈塑性體內(nèi)任一點的總應(yīng)變?yōu)?4.6-1)式，當(dāng)外荷載有微小增量時，總應(yīng)變必有微小增量，為彈性應(yīng)變量與塑性應(yīng)變增量之和，從而有展開上式，即(4.6-2)由前面已經(jīng)知道：對于金屬類材料，即使在高壓下，平均正應(yīng)力使物體發(fā)生彈性體積改變，而不會產(chǎn)生塑性體積改變。僅在應(yīng)力偏量作用下，物體將產(chǎn)生畸變，而不發(fā)生體積改變。物體的畸變可分為彈性變形和塑性變形兩局部，即塑性變形僅由應(yīng)力偏量所引起。在塑性狀態(tài)，材料不可壓縮，即體積變形等于零又因上式表示平均應(yīng)變增量等于平均彈性應(yīng)變增量。于是，應(yīng)變偏量的增量為(4.6-3)在彈性階段，根據(jù)廣義虎克定律，有(4.6-4)因，等等，那么有(4.6-5)注意到，，，那么有(4.6-6)式(4.6-6)說明，在彈性階段，應(yīng)力偏量增量與應(yīng)變偏量增量成比例，其比例常數(shù)為2G。另外，平均正應(yīng)力增量和平均正應(yīng)變增量之間的關(guān)系可以用增量形式的廣義虎克定律表示為(4.6-7)由式(4.6-3)的笫一式解得，并代入式(4.6-2)中的第一式，有類似可得(4.6-8)也可將上式簡寫作(4.6-9)6.2應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間的關(guān)系增量理論基于如下假設(shè)：在塑性變形過程中的任一微小時間增量內(nèi)，瞬時應(yīng)力偏量與應(yīng)變增量成比例，即(4.6-10)在上式中的后三個分式的分母為零，那么分子必須同時為零。這說明該關(guān)系要求應(yīng)力主軸與塑性應(yīng)變增量主軸重合。上式可簡寫為(4.6-11)其中為非負的標量比例系數(shù)，且隨加載歷史不同而變化。在式(4.6-11)中，因體積變化是彈性的，即平均正應(yīng)變的塑性分量為零，所以在式(4.6-10)中，塑性應(yīng)變增量也就是塑性應(yīng)變偏量增量。并注意到物體變形的總應(yīng)變?yōu)閺椥詰?yīng)變與塑性應(yīng)變之和，因此將式(4.6-10)代入式(4.6-8)，得總應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系為(4.6-12a)該式可簡寫為(4.6-12b)式(4.6-12)稱為普朗特-勞依斯(Prandtl-Reuss)方程。該方程說明：塑性應(yīng)變增量不是取決于到達該狀態(tài)所需的應(yīng)力增量，而是依賴于該瞬時的應(yīng)力增量。這些方程僅給出了不同方向間塑性應(yīng)變增量之比的關(guān)系式，而其實際大小并不確定，這將在以后討論。由方程(4.6-12)，有(4.6-13)在以上的討論中引進了參數(shù)，但增加了一個屈服條件，僅當(dāng)應(yīng)力滿足屈服條件時才不等于零，因此可通過屈服條件予以確定。將式(4.6-13)中右邊的第一式減第二式后，并將左右兩邊平方可得類似地可獲得，及(注意等)后，可得上式的右邊可用八面體的剪應(yīng)力增量表示，而左邊與八面應(yīng)剪變表達式相似，因此它可用八面體塑性剪應(yīng)變增量表示，這樣可將上式改寫為于是得(4.6-14)如分別定義有效應(yīng)力(或稱應(yīng)力強度)和有效塑性應(yīng)變增量(或稱塑性應(yīng)變強度增量)為將式(4.6-15)和式(4.6-16)代入式(4.6-14)可得(4.6-17)這樣，依據(jù)式(4.6-17)可將式(4.6-13)寫為(4.6-18a)式