易錯(cuò)點(diǎn)04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2023年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（解析版）（全國(guó)通用）

易錯(cuò)點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

易錯(cuò)分析

易錯(cuò)點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的

知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：

(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.

(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

易錯(cuò)點(diǎn)2:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值

求函數(shù)上)在阿句上的最大值和最小值的步驟

(1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值(a),.&>);

(3)將函數(shù)/(x)的各極值與/(a),/S)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最

小值。

易錯(cuò)點(diǎn)3:對(duì)“導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)”與“原函數(shù)圖象升降“關(guān)系不清楚

/'(x)>0oxe4U3U…=/(X)增區(qū)間為48和…

/'(x)<0=xeCUQU…=/(x)增區(qū)間為C。和…

xe。時(shí)尸(x)>0n/(x)在區(qū)間。上為增函數(shù)

xeOH"，(x)<On/(x)在區(qū)間。上為減函數(shù)

xe。時(shí)/(X)=0n/(x)在區(qū)間。上為常函數(shù)

討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可化歸為求解導(dǎo)函數(shù)正或負(fù)的相應(yīng)不等式問題的討論.

易錯(cuò)點(diǎn)4:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)

研究函數(shù)圖像的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)零點(diǎn)，歸根到底是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等

?用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，借助零點(diǎn)村子性定理判斷；另一方

面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決。

錯(cuò)題糾正

-x--In->0

1.對(duì)任意的玉"2€（（1，3J,當(dāng)占<馬時(shí)，2-3￡恒成立，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（）

A.艮內(nèi)）B.(3,+吟C[9,+oo)D.(…

【答案】C

寧仁>。=、「弱看-（”?眸）>0,令/J）…*nx

【詳解】依題意,

xe（l,3]

則對(duì)任意的當(dāng)為時(shí)，/區(qū)）>〃々），即有函數(shù)/（X）在。，3]上單調(diào)遞減,

7八"IfYx）=1--<0<=>tz>3x八、0

因此Vxe（l，3],3x,而（3*）M=9,則心9,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是I*+8）.

故選:C

2.若函數(shù)/3二八"旋'"，（"⑻

有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

B.加

C.（。高七』）D.（S

【答案】D

【詳解】由/+溫3=0得Q）+“（/卜=°令8⑺工

由小）二丁=°,得X=l,因此函數(shù)g（x）在（71）上單調(diào)遞增，在（L+00）

上單調(diào)遞減，且g（0）=0,當(dāng)x>0時(shí)，g（v）=7>0,則g0）=/的圖像如圖所示:

即函數(shù)g（x）的最大值為g°"",

X

t=一

令e"￡則h(t)=t2+at-a=0

由二次函數(shù)的圖像可知，二次方程的一根.必在內(nèi)，另一根或或

Z2e（-oo,0）j_

_1_11

—_ci__t,—------

當(dāng)e時(shí)，e2-e,則另一根'l-e,不滿足題意,

當(dāng)‘2=°時(shí)，。=0,則另一根:=°,不滿足題意，

02+?-0-?＜0

".一＞0

當(dāng)，2?0,0）時(shí)，由二次函數(shù)姐）=r+。"。=0的圖像可知

0＜。v—

解得e-e

0,4

則實(shí)數(shù)”的取值范圍是e-e

故選:D.

3.已知函數(shù)”"=7+c°",/'（X）是函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)，則/'（X）

的圖像大致是（）

f(x)=—x2+cosx/''(x)=-x-sinxr"八

【詳解】「4,則'''2,則函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，排除BD;

故選:C.

4.已知函數(shù)/(x)=-3(lnx)2+“x,若xe[l,e]時(shí)，y(x)在x=[

處取得最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A1aMB.S,。1C,I

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意得/(X)[⑴當(dāng)、e[l，e2]時(shí)恒成立

則-3(lnx)2+ax<agptz(x-l)<3(lnx)2

.?.當(dāng)Xe口4]時(shí)，y=a(x-1)在g(x)=3(ln圖像的下方

g(x)=丁,則g'0)=。,則aMO

故選:B.

3UnuiF

5.已知/'（X）是定義在火上的函數(shù)?x）的導(dǎo)數(shù)，且/G）-/'（x）＜°

,則下列不等式一定成立的是（）

A,e7(-2)>/(l)B./(-2)<e7(l)

C.雙I”"）D/(l)<er(2)

【答案】C

g（x）=:（x）g'（x）=

【詳解】設(shè)Le',則ex

因?yàn)?（x）-/'（x）＜。，所以g'（x）＞°,則g（x）在火上單調(diào)遞增.

/（-2）/（I）

因?yàn)?2＜1,所以g（-2）＜gO）,即e＜e,

所以ppjA錯(cuò)誤；

因?yàn)?（一2）/①的大小不能確定，所以/（-2）,e'/（l）的大小不能確定，則B錯(cuò)誤;

/⑴J（2）

因?yàn)?＜2,所以g0）＜g（2）,則ee2,所以學(xué)⑴＜/Q）,則c正確；

因?yàn)?（I）,/Q）的大小不能確定，所以八1）,不能確定，則D錯(cuò)誤.

故選:C

舉一反三

1.若直線/與曲線產(chǎn)△和/+產(chǎn)=?都相切，則/的方程為（）

A.尸2x+lB.尸2x+2C.y=2x+lD.y=^x+2

【答案】D

【詳解】設(shè)直線/在曲線y=?上的切點(diǎn)為冊(cè)'標(biāo)）則

y=」=k=~r=

函數(shù)y=4的導(dǎo)數(shù)為2或，則直線/的斜率,

設(shè)直線/的方程為y"2扃'X。），即》_2國(guó)+/=0,

由于直線，與圓"+‘'=3相切，則/西亞,

_」

兩邊平方并整理得5、；-4%-1=0,解得%=1,”。=一5（舍），

11

=

c1Ay-x~^—

則直線/的方程為x-2p+l=0,即，22.

故選:D.

2.設(shè)"0,若X”為函數(shù)/（x）="x-a）（-'）的極大值點(diǎn)，則（）

A.a〈bB.a>bQab<a1D.ab>/

【答案】D

【詳解】若則〃x）="（x-a）'為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故aj.

???/（X）有x=a和x=b兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在x="左右附近是不變號(hào)，在x=b

左右附近是變號(hào)的.依題意，x=。為函數(shù)y觴與堿y能衿壕的極大值點(diǎn)，,在

左右附近都是小于零的.

當(dāng)。<0時(shí)，由x>b,"x）40,畫出"x）的圖象如下圖所示：

由圖可知6<a,”0,故而>/.

當(dāng)〃>0時(shí)，由x>b時(shí)，/GA。，畫出/G）的圖象如下圖所示:

由圖可知萬＞",”＞0,故

綜上所述，湖＞/成立.

故選:D

3,設(shè)/（X）是函數(shù)"X）的導(dǎo)函數(shù)，將了=〃幻和y=/'（x）

的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）

【答案】D

【詳解】解析:檢驗(yàn)易知A、B、C均適合，不存在選項(xiàng)D的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)，在整個(gè)定

義域內(nèi)，不具有單調(diào)性，但y=f（x）和y=P（x）在整個(gè)定義域內(nèi)具有完全相同的走勢(shì)，不

具有這樣的函數(shù)，故選D.

、\x2-lax+2a,x?1,

/（x）=＜

4.已知aeR,設(shè)函數(shù)1x-alnx,'＞］，若關(guān)于x的不等式/⑴…。在火

上恒成立，則。的取值范圍為

A［。，1］B.@2］C.［叫D.口述］

【答案】c

【詳解】即aW0,

(］)當(dāng)0?4V1時(shí)f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2>2a-a2=a(2-a)>0

當(dāng)〃>1時(shí),/(1)=1>0

故當(dāng)“20時(shí)，/-2辦+2/0在(—,1］上恒成立；

a<-^—

若x-“InxNO在(1,+8)上恒成立，即Inx在(1，+⑼上恒成立，

x，/、lnx-1

g(x)=g(x)=-ry

令I(lǐng)nx,則(Inx),

當(dāng)x>e,函數(shù)單增當(dāng)0<x<e,函數(shù)單減，

故g(x)m",=g(e)=e,所以a?e,當(dāng)時(shí)，/-2辦+2a20在(f」］上恒成立；

綜上可知，。的取值范圍是［°河，

故選C.

5.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36%且

34/W3G,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

'2781^]F2764

B.L4,4]C,L4,3

A.?吟D.口8,27]

【答案】C

【詳解】???球的體積為36萬，所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2。，高為仙

則/=2/+/,32=2?2+(3-/Z)\

所以6〃=尸，2a2=/2_〃2

y=l-Sh=-x4a2xh^-x（I2-—）x—=-\I4

所以正四棱錐的體積3333669136^

所以X6；9I6J

當(dāng)34/42遍時(shí)，r>0,當(dāng)2指</W36時(shí)，/<0,

64

所以當(dāng)/=2遙時(shí)，正四棱錐的體積「取最大值，最大值為丁,

r=27/=81

又/=3時(shí)，4,/=3/時(shí)，4,

27

所以正四棱錐的體積『的最小值為4,

■2764

所以該正四棱錐體積的取值范圍是［彳‘丁

故選:C.

易錯(cuò)題通關(guān)

1.曲線"xe'+2x-2在》=0處的切線方程是（）

A3x+y+2=0g2x+y+2=0

Q2x-y-2=0D3x-y-2=0

【答案】D

［詳解］。=xe、+2x-2則y'=（x+l）c'+2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=-2y0=3

所以切線方程為V-（-2）=3x,即3x-y-2=0

故選:D.

2.已知/。）="'+3/+2,且八一1）=4,則實(shí)數(shù)”的值為（）

/9161310

A.3B.3C.3D.3

【答案】D

【詳解】???/Q）=&+3X2+2

./"（x）=3#+6x

??./'（T）=4

，3。-6=4>

10

/.a=—

3.

故選:D.

3.設(shè)函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，〃x）的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)/（X）

的圖象可能是（）

【答案】A

【詳解】解：由/⑴的圖象可知，當(dāng)xe（7，°）時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則/'（x）Z°

,故排除C、D;

當(dāng)xe(O,M)時(shí)/(x)先遞減、再遞增最后遞減所以所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該先小于。

,再大于0,最后小干。，故排除B；

故選:A

Jg

4,已知函數(shù)g(x)=x-lnx,若與X2G(0,3)g(x,)+A>/(X2)

恒成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A[2+In2,+00)B.[-3,+吟

D.艮+8)

【答案】D

【詳解】/"AY-6x+8=(x-2)(x-4)

當(dāng)x?0,2)時(shí),r(x)>0/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x?2,3)時(shí)」(x)<0/(》)單調(diào)遞減,

所以/(X)在(。，3)上的最大值是/Q)=4

g((x)=l--=—

XXt

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g'(x)<。，gG)單調(diào)遞減當(dāng)xe(l,3)時(shí)，g")>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)在(。，3)上的最小值是g(l)=l

若叫2W(0,3)g(xj+無恒成立則[g(x)+打min”(x)?wx,即1+左N4,

所以心3,所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是艮+8)

故選:D.

5.已知函數(shù)/(x)=-3(lnx)2+or,若x?l,e1時(shí)，/⑴在》=]

處取得最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

J/](OS[金]

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意得小了/0)當(dāng)無時(shí)恒成立

貝lj-3(lnx)2+ax<a即Q(工一l)43(lnx)2

...當(dāng)xe[l，e1時(shí)，V="l)在g(x)=3(lnx>圖像的下方

，/、—61nx

父"=丁，則g'0)=°,則a"

故選:B.

-V；?

6.已知函數(shù)/。六-內(nèi)心-/,貝懷等式/（3-*）>/（2x-5）的解集為（）

A.INB.HZ）

Q（-8,-2）U（2,+8）D（-8,-4）U（2,+8）

【答案】D

【詳解】〃x）的定義域?yàn)椋èD收），

因?yàn)?'（x）=-ln2-3x2<0,所以“X）在（-8,+8）上單調(diào)遞減

所以不等式/（3-￡）>/（2x-5）等價(jià)于3-f<2x-5,解得x<-4或x>2,

所以不等式/（34）>/（2一）的解集為（-8,~4）U（2,+8）

故選:D

7.如圖所示為某“膠囊”形組合體，由中間是底面半徑為1,高為2的圓柱，兩端是半徑

為1的半球組成，現(xiàn)欲加工成一個(gè)圓柱，使得圓柱的兩個(gè)底面的圓周落在半球的球面

上，則當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的底面半徑為（）

8V22

B.9C.3D.3

【答案】A

【詳解】設(shè)該幾何體的內(nèi)接圓柱的底面半徑為x（0＜x4D,則其高為2+27T7,

該內(nèi)接圓柱的體積為口）

____2五

令片3=°,則有2加7+2-3/=0,解得人亍

2②（2&,1

XG0,----XG----,1

當(dāng)V3J時(shí)，r（x）＞0當(dāng)I3」時(shí)r（x）＜0

2V2

X~~~---

所以當(dāng)一3時(shí)體積有最大值；

故選:A.

8.不等式Inx-丘4。恒成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是（）

—+oo

A」0,e）（-00,e]L'ej9

BcD.

【答案】D

【詳解】由題可得一X在區(qū)間（。，巾）上恒成立，

令/（力爭(zhēng)'叫則/'（'）=三（、＞°）,

當(dāng)xe（O,e）時(shí)，r（x）＞0當(dāng)X?e,+oo）時(shí)/"（x）＜0

所以/（X）的單調(diào)增區(qū)間為（“），單調(diào)減區(qū)間為&+°°）；

所以(力；

所以e.

故選:D.

9.已知函數(shù)〃x)=e)函數(shù)g(x)與/(x)的圖象關(guān)于直線,二x對(duì)稱若h(x)=g(x)-h

無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是()

化e[f-，el化+s]

A.SJB.