第六部分三角函數(shù)任意角三角比及誘導(dǎo)公式(教案)

課題任意角三角比及誘導(dǎo)公式課型復(fù)習(xí)課課時(shí)4教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)三角函數(shù)推廣的必要性，經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過(guò)程，增強(qiáng)對(duì)數(shù)的理解能力．能力目標(biāo)：理解和掌握三角函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的符號(hào)和誘導(dǎo)公式，并能初步應(yīng)用它們解決一些問(wèn)題．情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過(guò)程，提高學(xué)生的科學(xué)思維水平．A(保底)B（標(biāo)準(zhǔn)）C(培優(yōu))掌握任意角的三角函數(shù)的定義，會(huì)求角α的各三角函數(shù)值；理解并掌握三角函數(shù)在各象限的符號(hào)及終邊相同角的誘導(dǎo)公式，把三角函數(shù)理解為以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，以及單位圓的應(yīng)用。教材分析教學(xué)重點(diǎn)理解任意角的三角函數(shù)的定義教學(xué)難點(diǎn)會(huì)求任意角的三角函數(shù)值教材分析這節(jié)課是在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)．任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標(biāo)系來(lái)定義的．三角函數(shù)的定義是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念和重要概念，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，更是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵．因此，要重點(diǎn)地體會(huì)、理解和掌握三角函數(shù)的定義．在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課又進(jìn)一步研討了三角函數(shù)的定義域，函數(shù)值在各象限的符號(hào)，以及誘導(dǎo)公式，這既是對(duì)三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，也是為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容做了必要準(zhǔn)備。學(xué)情分析在初中，我們只是學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是任意角的三角函數(shù)．定義的對(duì)象從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，從四種三角函數(shù)增加到六種三角函數(shù)．定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標(biāo)系．為了便于學(xué)生體會(huì)和理解，突出定義適用于任意角，通常要把終邊出現(xiàn)在四個(gè)象限的情況都畫(huà)出來(lái)（注意表示角時(shí)不用箭頭），學(xué)習(xí)時(shí)，必須弄清并強(qiáng)調(diào)：六個(gè)比值的大小都與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無(wú)關(guān)，只與角的大小有關(guān)，即它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，符合函數(shù)的定義，從而歸納和總結(jié)出任意角的三角函數(shù)的定義．對(duì)于三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)和誘導(dǎo)公式，可放手讓學(xué)生探索、研究、討論和歸納，用以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．考點(diǎn)分析從近幾年的高考考察的方向來(lái)看，這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較多，有時(shí)候也以填空題的形式出現(xiàn)，它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考察，主要題型有三角函數(shù)求值，通過(guò)三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖可能出現(xiàn)的問(wèn)題與對(duì)策教學(xué)過(guò)程【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再?gòu)妮S的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域．5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度．6、半徑為的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是．7、弧度制與角度制的換算公式：，，．8、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為，則，，．9、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，，．10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．PvxyAOPvxyAOMT12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；．13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，，．，，．，，．，，．，．，．【典型例題】(1)設(shè)，且的終邊與角的終邊相同，則等于（）ABCD1(1)Ｄ提示:與角終邊相同的角的集合是(2)如果是第一象限角，那么恒有（）ABCD(2)Ｂ提示:利用三角函數(shù)線(3).若，則的值等于()（A）（B）（C）（D）(3)Ａ提示:用公式(4)已知扇形的半徑為10㎝，圓心角為120°，則扇形的弧長(zhǎng)為；面積為㎝,㎝2(4)提示:利用弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式,注意圓心角的單位化為弧度(5)已知．(5)提示：利用誘導(dǎo)公式［例2］若，求（1）的值；（2）的值．解（1）（2）原式［例3］若的值．解：［例4］已知．化簡(jiǎn)；若是第三象限的角，且，求的值；若，求的值．解：（1）（2）（3）【課內(nèi)練習(xí)】1．（）A．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限1．Ｄ提示；由2．已知，且是第二象限角，則應(yīng)滿足的條件是()A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．Ｃ提示：由可得．3．已知的值是（）A．B．Ｃ．２Ｄ．－２3．Ａ提示：4．設(shè)是第三象限角，且是（）A．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限4．Ｂ提示：由設(shè)是第三象限角知是第二、四象限角，再由可得5．函數(shù)滿足．5．提示：6．若角和的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，且，則角的集合是；6．提示：由對(duì)稱性知，角的終邊與的終邊相同7．已知．7．提示：將分子１寫(xiě)成然后用弦化切可得8．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，試判斷角所在的象限，并求的值．解：由題意，得故角是第二或第三象限角．當(dāng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，9．已知：是三角形的內(nèi)角，若的值．解；由解得或所以所以10．已知關(guān)于x的方程4x2－2(m+1)x+m=0的兩個(gè)根恰好是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的余弦，求實(shí)數(shù)m的值．解：設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為α、β，則可得α+β=，∴cosα=sinβ∵方程4x2－2(m+1)x+m=0中，Δ=4（m+1)2－4·4m=4(m－1)2≥0∴當(dāng)m∈R，方程恒有兩實(shí)根.又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβcosβ=∴由以上兩式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=()2解得m=±當(dāng)m=時(shí)，cosα+cosβ=＞0，cosα·cosβ=＞0，滿足題意，當(dāng)m=－時(shí)，cosα+cosβ=＜0，這與α、β是銳角矛盾，應(yīng)舍去.綜上，m=A組1．若的終邊所在象限是 （）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限1．Ｄ提示：可得2．y=的值域是 （） A．{1,－1} B．{－1,1,3} C．{－1,3} D．{1,3}2．Ｃ提示：討論角ｘ在四個(gè)象限的情況 3．若f(cosx)=cos2x，則f(sin15°)的值等于 （）A． B．－ C．－ D．3．Ｃ提示：4．計(jì)算．4．提示：利用誘導(dǎo)公式5．已知角的終邊上一點(diǎn)Ｐ與點(diǎn)Ａ關(guān)于ｙ軸對(duì)稱，角的終邊上一點(diǎn)Ｑ與點(diǎn)Ａ關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么的值等于．5．０提示：由題設(shè)條件求出點(diǎn)Ｐ、點(diǎn)Ｑ的坐標(biāo)，從而依正弦函數(shù)的定義求、6．已知，求的值．解：sin（3π＋θ）＝－sinθ，∴sinθ＝－原式＝＝＝＝327．如果角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，），試寫(xiě)出角α的集合A，并求集合A中最大的負(fù)角和絕對(duì)值最小的角.解：在0°到360°范圍內(nèi)，由幾何方法可求得α=60°.∴A={α|α=60°+k·360°，k∈Z}其中最大的負(fù)角為－300°（當(dāng)k=－1時(shí)）絕對(duì)值最小的角為60°（當(dāng)k=0時(shí)）8．已知是方程的兩個(gè)根中較小的根，求的值．解：由題意知：，解得，故 當(dāng)時(shí)，原方程為，解之得故，所以當(dāng)時(shí)，原方程為，解之得故，所以B組1．已知點(diǎn)在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）1．D提示：由。2．如果滿足條件，則是（）Ａ．第二象限的角Ｂ．第二或第四象限的角Ｃ．第四象限的角Ｄ．第一或第三象限的角2．Ａ提示：可得．3．等于（）A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos23．Ｄ提示：及可得4．已知：．4．提示；由是第四象限角，所以5．在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，角和的終邊為OA和OB，OA過(guò)點(diǎn)M，OA與OB關(guān)于直線對(duì)稱，則角的的集合是；5．提示；OB過(guò)點(diǎn)，的終邊為OB6．已知是方程的兩個(gè)根，求和的值．解：是方程的兩個(gè)根解得7．若k∈Z，求證：＝－1．證明：【法一】若k為偶數(shù)，則左端＝＝－1，若k為奇數(shù)，則左端＝＝－18．已知一扇形的周長(zhǎng)為c(c＞0)，當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)為何值時(shí)，它有最大面積？并求出面積的最大值．解：設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，面積為S∵c=2R+l，∴R=(l＜c)則S=Rl=×·l=(cl－l2)=－(l2－cl)=－(l－)2+∴當(dāng)l=時(shí)，Smax=答：當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)為時(shí)，扇形有最大面積，扇形面積的最大值是.初中我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值為函數(shù)值，并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)．這節(jié)課，我們研究當(dāng)α是一個(gè)任意角時(shí)的三角函數(shù)的定義1.由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)可以看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，如sina＝，不論α取任何實(shí)數(shù)，恒有意義，所以sina的定義域?yàn)椋粒痢蔙｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域．2.根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x，y，r在不同象限內(nèi)的符號(hào)，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個(gè)象限的符號(hào)．對(duì)于定義，思考如下問(wèn)題：1.當(dāng)角α確定后，比值與P點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？為什么？2.利用坐標(biāo)法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關(guān)系？3.任意