求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，高考也往往通過(guò)考查遞推數(shù)列來(lái)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索能力，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項(xiàng)的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問(wèn)題化為中學(xué)中所研究的等差或等比數(shù)列，下面就求遞推數(shù)列通向公式的常用方法舉例一二，供參考：一公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例一已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式？【解析】：，，，又，.反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.二歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例二已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：，，，猜測(cè)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（略）反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.跟蹤訓(xùn)練2.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有自然數(shù)，與1的等差中項(xiàng)等于與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.三累加法：利用求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）.例三已知無(wú)窮數(shù)列的的通項(xiàng)公式是，若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：,,=1+++=.反思:用累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練3.已知,,求數(shù)列通項(xiàng)公式.四累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累乘法,累乘法是求型如:的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).例四已知,,求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解析】：,,又有=1×=,當(dāng)時(shí)，滿足，.反思:用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列滿足,.則的通項(xiàng)公式是.五構(gòu)造新數(shù)列:將遞推公式（為常數(shù)，，）通過(guò)與原遞推公式恒等變成的方法叫構(gòu)造新數(shù)列.例五已知數(shù)列中,,,求的通項(xiàng)公式.【解析】:利用,求得,是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,即,反思:.構(gòu)造新數(shù)列的實(shí)質(zhì)是通過(guò)來(lái)構(gòu)造一個(gè)我們所熟知的等差或等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練5.已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=－1，代入④式，得 ⑤由≠0及⑤式，得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式：例8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ⑥將代入⑥式，得整理得。令，則，代入⑥式，得 ⑦由及⑦式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ⑧將代入⑧式，得，則等式兩邊消去，得，則得方程組，則，代入⑧式，得 ⑨由及⑨式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。六倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成的形式的方法叫倒數(shù)變換.例六已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】:將取倒數(shù)得:,,是以為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列.,.反思:倒數(shù)變換有兩個(gè)要點(diǎn)需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項(xiàng),公差或公比變化了.跟蹤訓(xùn)練6.已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.小結(jié):求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法很多,以上只是提供了幾種常見(jiàn)的方法,如果我們想在求遞推數(shù)列中游刃有余,需要在平時(shí)的練習(xí)中多觀察,多思考,還要不斷的總結(jié)經(jīng)驗(yàn)甚至教訓(xùn).參考答案:證明：由已知可得：，當(dāng)時(shí)，時(shí)，滿足上式.的通項(xiàng)公式,時(shí)為常數(shù),所以為等比數(shù)列.解:由已知可求,,,猜測(cè).(用數(shù)學(xué)歸納法證明).由已知,=.4.時(shí),,作差得:,,,,,,,,.5.6.七：利用特征根法求通項(xiàng)公式例已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：的相應(yīng)特征方程為，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程組求得從而。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式。八：利用不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)公式例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，