數(shù)學(xué)物理方法課件：數(shù)學(xué)物理方程的其他解法

數(shù)學(xué)物理方程的其他解法7.1延拓法7.2保角變換法7.3積分方程的迭代解法7.4變分法前面幾章主要討論了求解數(shù)學(xué)物理方程的行波解、分離變量法、積分變換法和格林函數(shù)法，

它們的適用范圍比較廣。本章再介紹幾種求解數(shù)理方程的其他方法，包括延拓法、保角變換法、積分方程法和變分法等，以便于掌握不同的求解技巧和方法。

在積分變換法中，我們已經(jīng)看到，對(duì)空間變量進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，函數(shù)必須是在整個(gè)(－∞，＋∞)區(qū)間上定義的，如果函數(shù)只在［0，＋∞)上有定義，就必須對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)难油?，?－∞，0)上補(bǔ)充定義，以滿足傅里葉積分變換的要求。這種根據(jù)定解問(wèn)題的性質(zhì)補(bǔ)充拓展定義以適應(yīng)問(wèn)題的求解的方法稱為延拓法。以下我們?cè)偻ㄟ^(guò)具體實(shí)例說(shuō)明這種方法的應(yīng)用。7.1延拓法7.1.1半無(wú)界桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題

對(duì)于一個(gè)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，當(dāng)所考慮的桿的一個(gè)端點(diǎn)很遠(yuǎn)時(shí)，就可以略去這一端的影響，把這根桿看做是半無(wú)界的。對(duì)于一個(gè)半無(wú)界的桿，如果保持桿的一端溫度為零，初始時(shí)桿的溫度分布函數(shù)為j(x)，則這個(gè)桿的溫度分布的定解問(wèn)題可以表述為

(7.1)注意初始條件中的j(x)只在0<x<∞內(nèi)有意義，如果是無(wú)界一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題，我們就分別可以采用傅里葉積分變換或者格林函數(shù)法來(lái)求解，因此，我們采用所謂延拓法來(lái)解此問(wèn)題，即將初始函數(shù)延拓到－∞<x<0的區(qū)間上。這相當(dāng)于把半無(wú)界桿設(shè)想為無(wú)界桿的x≥0部分，但保持中點(diǎn)x＝0處u(0，t)＝0，因而無(wú)限長(zhǎng)桿的初始溫度分布必須是奇函數(shù)。這樣就把半無(wú)界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為溫度為零的無(wú)界問(wèn)題，即

(7.2)仿照6.4.2節(jié)含時(shí)間的格林函數(shù)解的應(yīng)用，可知無(wú)界一維無(wú)源熱傳導(dǎo)問(wèn)題的解為

(7.3)

其中

(7.4)

因此，原問(wèn)題的解為

(7.5)7.1.2有界弦的自由振動(dòng)

利用延拓法也可以解有界區(qū)域的定解問(wèn)題，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們考慮兩端固定，長(zhǎng)為l的弦的自由振動(dòng)，這個(gè)問(wèn)題的方程及定解條件為

(7.6)

將j(x)和y(x)在區(qū)間［0，l］之外延拓為周期是2l的奇函數(shù)，例如將它展成2l為周期的正弦函數(shù)jc(x)和yc(x)，它們分別滿足條件：

(7.7)

jc(x)和yc(x)在－∞<x<∞內(nèi)都有定義，而在區(qū)間0<x<l上就是j(x)和y(x)，于是我們將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為

(7.8)

根據(jù)達(dá)朗貝爾公式，它的解為

(7.9)

容易驗(yàn)證這個(gè)解滿足定解問(wèn)題(式(7.6))中的邊界條件u(0，t)＝u(l，t)＝0。

例7.1

應(yīng)用延拓法解定解問(wèn)題

(7.10)

解：首先將j(x)＝Ax(l－x)延拓成以2l為周期的奇函數(shù)，即將j(x)展成以2l為周期的正弦函數(shù)

(7.11)

因此容易求出傅里葉系數(shù)

(7.12)

于是

(7.14)

將式(7.13)和(7.14)代入到式(7.9)中，得

(7.15)

可以驗(yàn)證這個(gè)解與用分離變量法得到的結(jié)果完全一致。

電學(xué)、光學(xué)、流體力學(xué)和彈性力學(xué)中的很多實(shí)際問(wèn)題，都可以歸結(jié)為求解平面場(chǎng)的拉普拉斯方程或泊松方程的邊值問(wèn)題，而這些邊值問(wèn)題中的邊界形狀通常十分復(fù)雜，我們可以設(shè)法先將它轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單形狀邊界的邊值問(wèn)題，然后求解。本節(jié)所介紹的保角變換法就是按照這種思路求解問(wèn)題的有效方法。7.2保角變換法7.2.1單葉解析函數(shù)與保角變換的定義

首先我們介紹單葉解析函數(shù)的概念。從幾何概念上來(lái)說(shuō)，復(fù)變函數(shù)w＝f(z)是將z平面上的點(diǎn)集D對(duì)應(yīng)到w平面上的點(diǎn)集G的變換(或映射)，但是我們感興趣的只是z與w構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的變換(或映射)。

對(duì)于單值解析函數(shù)w＝f(z)，按照其定義，對(duì)于每個(gè)z只有一個(gè)w與它對(duì)應(yīng)，反之不一定成立(例如單值解析函數(shù)w＝z2就是一例)。若要構(gòu)成雙向單值解析函數(shù)，則z與w構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。換句話說(shuō)，要從變換w＝u＋iv＝f(z)中解出(至少在理論上)x和y作為u和v的單值函數(shù)。根據(jù)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，允許上面這樣做的條件是該變換的雅可比行列式不等于零，即

(7.16)

另一方面，由于w＝f(z)是解析函數(shù)，所以u(píng)和v必須滿足柯西-黎曼條件。因此條件(7.16)可改寫成

(7.17)

于是，可以得到以下定理：

定理1若f(z)是D上的單值解析函數(shù)，且f'(z)≠0(z∈D)，則變換w＝f(z)在區(qū)域D上構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的變換(或映射)，并稱該變換為D域上的單葉變換，函數(shù)w＝f(z)為D域上的單葉解析函數(shù)。

下面我們進(jìn)一步來(lái)研究這種單葉變換的特點(diǎn)。圖7.1中，設(shè)z平面上的原像曲線C經(jīng)單葉變換w＝f(z)變成w平面上的變像曲線G；在C上的無(wú)窮小弦長(zhǎng)為Dz，則在Dz上的變像為Dw，分別記為

(7.18)

圖7.1原像曲線與變像曲線示意于是

(7.19)

顯然

(7.20)

和

(7.21)

(7.22)

(7.23)

由于f'(z)≠0，所以模|f'(z)|及輻角argf'(z)均存在，且跟Dz趨于零的方式無(wú)關(guān)。因此，由等式(7.22)和(7.23)得到單葉解析函數(shù)w＝f(z)變換(或映射)的特點(diǎn)如下：

1)伸縮率不變

在變換下，任何過(guò)w0(＝f(z0))的變像曲線在w0處的無(wú)窮小弦長(zhǎng)，與其過(guò)點(diǎn)z0的原像曲線在z0處的無(wú)窮小弦長(zhǎng)之比的極限，不管曲線的方向如何，都等于|f'(z0)|。換句話說(shuō)，一切過(guò)z0點(diǎn)的曲線的無(wú)窮小弦長(zhǎng)都被放大(或縮小)了|f'(z0)|倍，可知無(wú)窮小面積就被放大(或縮小)了|f'(z0)|2倍。這正是高等數(shù)學(xué)中定義的面積變換因子雅可比行列式

的值。

2)旋轉(zhuǎn)角的大小及方向不變

一切過(guò)z0點(diǎn)的曲線，經(jīng)變換后其切線朝同一方向旋轉(zhuǎn)同一角度argf'(z)。因此，很容易推論：曲線的夾角在變換下必須保持大小和方向兩者都不變，如圖7.2所示。

定義這種具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的解析函數(shù)w＝f(z)的變換為保角變換。若在z0點(diǎn)具有上述兩個(gè)特性，則稱w＝f(z)在z0點(diǎn)處是保角的；若在D域內(nèi)的每一點(diǎn)都是保角的，則稱w＝f(z)是D域上的保角變換(第一類保角變換)。如果是具有伸縮率不變、保持夾角的絕對(duì)值不變而轉(zhuǎn)向相反的變換，如w＝z*就是一例，稱為第二類保角變換。

圖7.2旋轉(zhuǎn)角變換不變示意

由于單葉解析函數(shù)w＝f(z)的變換也具有上述兩個(gè)特性，因此可以推論，在區(qū)域D上的單葉解析函數(shù)w＝f(z)所作的變換一定是第一類保角變換。

分式線性變換是最常用的保角變換之一，其形式為

(7.24)

式中，a，b，c，d是復(fù)常數(shù)。一般要求

(7.25)否則w的分子與分母成比例，結(jié)果w成了與z無(wú)關(guān)的一個(gè)常數(shù)，因而整個(gè)z平面就被變換(或映射)成w平面內(nèi)的同一點(diǎn)，這是我們不希望的。所以今后我們限于討論ad－bc≠0的情形。

在式(7.24)中，若c≠0，則

(7.26)

式中，

(7.27)

若c＝0，則

w＝f(z)＝Az＋B

(7.28)

式中，A＝a/d，B＝b/d。

由此可見(jiàn)，分式線性變換是平移變換、線性變換和倒數(shù)變換這三種基本保角變換的復(fù)合，所以它應(yīng)保持這三個(gè)基本變換的共同特性。

(1)保角性。

(2)保圓性。

(3)保對(duì)稱性。

(4)保交比性。

特性(4)的用處是很大的。若已知擴(kuò)大z平面上三個(gè)不同點(diǎn)z1、z2、z3以及其像點(diǎn)w1、w2、w3，則根據(jù)特性(4)這個(gè)線性變換就可以被唯一地確定。7.2.2拉普拉斯方程的解

保角變換之所以受人重視，主要是因?yàn)槔绽狗匠痰慕庠诮?jīng)過(guò)一個(gè)保角變換后仍然是拉普拉斯方程的解，即：

定理3在單葉解析函數(shù)的變換(保角變換)下，拉普拉斯方程式仍然變?yōu)槔绽狗匠獭?/p>

證明設(shè)w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一單葉解析函數(shù)，且j(x，y)滿足拉普拉斯方程

(7.29)

在變換w＝f(z)下，j(x，y)變成u與v的一個(gè)函數(shù)，于是

(7.30)

及

(7.31)再對(duì)式(7.30)與式(7.31)求導(dǎo)，得

和

的表達(dá)式，然后將它們相加，有

(7.32)

由于w＝u＋iv是解析函數(shù)，所以其實(shí)部u與虛部v分別滿足拉普拉斯方程，且滿足柯西黎曼條件，此外，再利用導(dǎo)數(shù)f'(z)的表達(dá)式，于是得

(7.33)

因?yàn)閣＝f(z)是單葉解析函數(shù)，所以f'(z)≠0，則

(7.34)

即j(x，y)在變換成j(u，v)后，仍然滿足拉普拉斯方程。

同理可證，在單葉解析函數(shù)w＝f(z)變換下，泊松方程

(7.35)

仍然變?yōu)椴此煞匠?/p>

(7.36)

式中

(7.37)

由上式可知，在保角變換下，泊松方程中的電荷密度從r(x，y)變?yōu)閞*(u，v)|f'(z)|－2，這是因?yàn)樽儞Q后的面積微元被放大(或縮小)了|f'(z)|2倍；另一方面，根據(jù)電荷守恒定律，總電量不受變換影響，于是電荷密度才有上述變化。

同理也可證明，亥姆霍茲方程

(7.38)

經(jīng)變后仍然變?yōu)楹ツ坊羝澐匠?/p>

(7.39)

但方程要比原先復(fù)雜，j前的系數(shù)有可能不是常數(shù)。

例7.2

兩塊無(wú)窮大導(dǎo)體板相交成直角，電勢(shì)為V0，求直角區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)分布解。

解：由對(duì)稱性可知，垂直于導(dǎo)體板交線的任意平面上電場(chǎng)都相同，因而可以取一個(gè)這樣的平面求解二維拉普拉斯方程

(7.40)

的邊值問(wèn)題

F|x＝0＝F|y＝0＝V0 (7.41)

利用變換

w＝z2

(7.42)

將所討論的直角形區(qū)域映射成w的上半平面，見(jiàn)圖7.3。邊值問(wèn)題成為

(7.43)

F|v＝0＝V0 (7.44)

圖7.3直角區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)分布與變換

(a)電場(chǎng)分布；(b)坐標(biāo)變換圖由對(duì)稱性可見(jiàn)，解與u無(wú)關(guān)，因而有

(7.45)

等勢(shì)面是v＝常數(shù)，而電場(chǎng)線是u＝常數(shù)。回到z平面就成為圖7.3上的實(shí)線和虛線。

例7.3

兩塊無(wú)窮大平板平放在一起，連接處絕緣。兩板的電勢(shì)分別為V1和V2，求板外的電場(chǎng)分布。

解：由圖7.4可見(jiàn)，利用分式線性變換可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為w平面上的兩無(wú)窮大平行板之間的電場(chǎng)分布。容易得到

(7.46)

回到z平面上，可以得到

(7.47)這是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的半直線(圖7.4中的實(shí)線)。電場(chǎng)線是和這一直線族垂直的曲線族，即以原點(diǎn)為中心的半圓，如圖7.4中的虛線。

圖7.4平板外電場(chǎng)分布與變換(a)電場(chǎng)分布；(b)坐標(biāo)變換圖

積分方程是研究數(shù)學(xué)其他學(xué)科和各種物理問(wèn)題的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具。它在彈性介質(zhì)理論和流體力學(xué)中應(yīng)用很廣，也常見(jiàn)于電磁場(chǎng)理論中。本節(jié)將介紹求解積分方程的理論和一般方法。

7.3積分方程的迭代解法7.3.1積分方程的幾種分類

在方程中，若未知函數(shù)在積分號(hào)下出現(xiàn)，則稱這種方程為積分方程。一般的線性積分方程可寫為如下的形式：

(7.48)

其中，h(x)和f(x)是已知函數(shù)，g(x)是未知函數(shù)，l是常數(shù)因子(經(jīng)常起一個(gè)本征值的作用)，而K(x，y)被稱為積分方程的核，也是已知函數(shù)。在式(7.48)中，若h(x)＝0，則有

(7.49)稱為第一類的弗雷德霍姆(Fredholm)方程。

若h(x)＝1，則有

(7.50)

稱為第二類的弗雷德霍姆方程。有時(shí)候，當(dāng)y>x時(shí)，K(x，y)＝0。在這種情況下，積分上限為x，即式(7.49)和式(7.50)變?yōu)?/p>

(7.51)

(7.52)

分別稱為第一類和第二類的伏特拉(Volterra)方程。

積分方程也可采用算符的形式來(lái)表示。即式(7.48)可寫為

(h－lK)g(x)＝f(x) (7.53)

其中，K為積分算符，它表示用核相乘并對(duì)y從a到b的積分。將積分方程寫成這種形式，易于與含有矩陣和微分算符的算符方程相比較。

以上各方程中，若f(x)≡0，則稱為齊次方程。7.3.2迭代解法

求解積分方程

(7.54)

的一個(gè)直接方法就是迭代法，我們首先取近似

g0(x)≈f(x) (7.55)

作為零級(jí)近似將此式代入方程(7.54)右邊的積分中，便得到第一級(jí)近似

(7.56)再將一級(jí)近似代入式(7.54)的右邊，便得到二級(jí)近似

(7.57)

重復(fù)迭代，得級(jí)數(shù)

(7.58)

其中，

(7.59)

被稱為諾依曼級(jí)數(shù)或積分方程的諾依曼解。

可以證明，如果核K(x，y)和f(x)在區(qū)間a≤x，y≤b上連續(xù)，對(duì)于足夠小的l，該級(jí)數(shù)解將收斂。

例7.4

求解描述粒子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程

(7.60)

其中，j(r)表示粒子的波函數(shù)，第一項(xiàng)表示粒子的動(dòng)能，h為約克普朗克常數(shù)，V(r)表示作用勢(shì)，E表示系統(tǒng)的總能量，它可表示為

(7.61)

解：方程又可寫為

(7.62)

此方程具有邊界條件

(7.63)此式第一項(xiàng)表示入射粒子的平面波，第二項(xiàng)表示入射粒子與V(r)的作用而散射的粒子的球面波。

(k為波矢量，|k|＝k)。于是，由格林函數(shù)法知亥姆霍茲方程(7.63)的格林函數(shù)為

(7.64)

這樣，我們可以將散射問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榉e分方程

(7.65)其中第一項(xiàng)是用來(lái)調(diào)整解使之滿足邊界條件的補(bǔ)充修正函數(shù)。解可以寫為諾依曼級(jí)數(shù)式(7.59)。由式(7.59)的第一級(jí)迭代，即取j0(r)＝eik·r，我們可以得到一個(gè)非常重要的結(jié)果，被稱做玻恩(Born)近似，即

(7.66)

記作

(7.67)

繼續(xù)迭代得

(7.68)

于是解可表示為級(jí)數(shù)

j(r)＝j(luò)0(r)＋j1(r)＋j2(r)＋… (7.69)

這個(gè)級(jí)數(shù)解當(dāng)V(r)較小時(shí)，便能很快收斂。

7.4.1泛函和泛函的極值

1.泛函的定義

先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。設(shè)C為在區(qū)間［a，b］上滿足條件

y(a)＝c，y(b)＝d

(7.70)7.4變分法的一切可微函數(shù)y(x)的集合。每一個(gè)這樣的函數(shù)都對(duì)應(yīng)著xy平面上由P1(a，c)到P2(b，d)的一根光滑曲線y＝y(tǒng)(x)，如圖7.5所示。用L表示這樣的一根曲線的弧長(zhǎng)。顯然，弧長(zhǎng)L的數(shù)值取決于P1到P2之間曲線的形狀，也就是取決于函數(shù)y(x)的形式。于是，我們說(shuō)L是y(x)的泛函，并記為

L＝L［y(x)］ (7.71)

泛函的概念是函數(shù)概念的推廣，函數(shù)是“數(shù)”與“數(shù)”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而“泛函”則是“函數(shù)”與“函數(shù)”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖7.5P1到P2的曲線弧長(zhǎng)

以上述的弧長(zhǎng)計(jì)算為例。根據(jù)數(shù)學(xué)分析的公式，可得曲線y＝y(tǒng)(x)的弧長(zhǎng)L是

(7.72)

上式右邊是一個(gè)定積分，說(shuō)明L不是x的函數(shù)，而是一個(gè)“數(shù)”，但是它的數(shù)值不是一成不變的，而取決于函數(shù)y(x)的形式。給定一個(gè)y(x)，由式(7.72)中的積分可得L的一個(gè)值，所以L是y(x)的泛函。

一般來(lái)說(shuō)，泛函(7.71)常常用如下形式的積分表示：

(7.73)

其中的被積函數(shù)F(x，y，y')稱為核，對(duì)它積分得到的J值取決于函數(shù)y(x)的形式，所以J是y(x)的泛函。

2.泛函極值的必要條件

下面再來(lái)看一個(gè)例子。設(shè)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它的廣義坐標(biāo)是s(t)，相應(yīng)的廣義速度是ds(t)/dt。根據(jù)物理的要求，s(t)應(yīng)該是具有連續(xù)二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。

已知，在時(shí)刻t1和t2，廣義坐標(biāo)的值分別為s1和s2，即

s(t1)＝s1，s(t2)＝s2 (7.74)

它們可以用(t，s)圖上的兩個(gè)點(diǎn)1和2表示，如圖7.6所示，滿足條件式(7.74)的s(t)函數(shù)在(t，q)圖上通過(guò)1、2兩點(diǎn)的足夠光滑的任意曲線。在許多函數(shù)中，只有一個(gè)描述質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)情況。

我們所需要做的，正是設(shè)法從滿足條件(式(7.74))的所有函數(shù)中，把代表真實(shí)運(yùn)動(dòng)的那一個(gè)函數(shù)s(t)挑出來(lái)。換句話說(shuō)，就是要從通過(guò)1、2兩點(diǎn)的所有曲線中挑出代表真實(shí)運(yùn)動(dòng)情況的曲線。

圖7.6質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為了達(dá)到這一目的，首先設(shè)法找一個(gè)t、s(t)和

的函數(shù)

，它稱為這一系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，簡(jiǎn)稱拉氏函數(shù)。拉氏函數(shù)的具體形式取決于所研究的系統(tǒng)的性質(zhì)。對(duì)于現(xiàn)在所討論的由單個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)，拉氏函數(shù)的形式取決于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和所在空間中的勢(shì)能場(chǎng)。因?yàn)閟(t)和ds(t)/dt都是t的函數(shù)，所以拉氏函數(shù)是t的復(fù)合函數(shù)。將它對(duì)t由t1到t2積分，得到

(7.75)其中，F(xiàn)稱為所研究系統(tǒng)的作用量。

比較式(7.73)和式(7.75)可見(jiàn)，作用量F是s(t)的泛函。對(duì)于不同的s(t)，泛函F有不同的值，因而可能存在一個(gè)s(t)，和它對(duì)應(yīng)的F值比起和其他s(t)所對(duì)應(yīng)的F值而言是最小的。這就是泛函的極值問(wèn)題。質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基本規(guī)律可以表述為泛函極值問(wèn)題的形式：如果已知在t1和t2時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為s1和s2，則描述質(zhì)點(diǎn)由t1到t2的真實(shí)運(yùn)動(dòng)情況的函數(shù)s(t)，是使作用量F達(dá)到極小值s(t)。這就是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的最小作用量原理。

顯然引入泛函的概念以后，上述的最小作用量問(wèn)題就變?yōu)榍蠓汉疐的極小值問(wèn)題了。泛函的極值問(wèn)題在物理學(xué)中廣泛存在，例如光學(xué)中的費(fèi)馬原理(光線的實(shí)際路程上光程的變分為零)等都是泛函的極值問(wèn)題。

因此，下面將進(jìn)一步研究泛函的極值問(wèn)題。為了具體起見(jiàn)，在此我們討論式(7.75)中的泛函F，并求它有極小值的必要條件。

如果s＝s(t)使F有極小值，則當(dāng)s略微偏離s(t)時(shí)，F(xiàn)值將增大。所謂“略微偏離s(t)”是指形狀為

s(t)＋ds(t) (7.76)的函數(shù)。如圖7.7所示，其中，ds是整個(gè)區(qū)間［t1，t2］中都很小的具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并且滿足條件

ds(t1)＝ds(t2)＝0 (7.77)

后一個(gè)條件是為了使函數(shù)(式(7.76))也能滿足條件式(7.74)。這樣的ds(t)稱為s(t)的變分。可將式(7.75)寫為

(7.78)

其中，s'＝ds/dt。用式(7.76)代替這里的s(t)，得到

(7.79)

圖7.7形狀為s(t)＋ds(t)的函數(shù)

它和式(7.78)的差是

(7.80)

如果s(t)使F有極小值，則F［s］將小于任意的F［s＋Ds］，即上述差值應(yīng)該對(duì)任意變分Ds都大于零。

式(7.80)右邊的被積函數(shù)可以對(duì)Ds和Ds'展開成級(jí)數(shù)：

(7.81)

這里明顯寫出的是對(duì)ds和ds'線性的項(xiàng)。將這種對(duì)Ds和ds'線性的項(xiàng)代入式(7.80)求積分，得到的結(jié)果稱為泛函F的變分，用dF表示，它是當(dāng)ds很小時(shí)的差值式(7.80)中的主要項(xiàng)。我們有

(7.82)

由于dF線性地依賴于ds和ds'，所以為使差值式(7.80)對(duì)任意的ds都大于零，必須要dF對(duì)任意的ds都等于零。如若不然，當(dāng)ds變號(hào)時(shí)，dF將隨之變號(hào)，因而式(7.80)不能恒大于零。因此

dF＝0 (7.83)

這就是泛函F有極值的必要條件。

式(7.82)中的ds'是廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的變分，它等于廣義坐標(biāo)的變分對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

(7.84)

因而式(7.82)中的第二項(xiàng)可以分部積分，得

(7.85)由于有條件式(7.77)，上式右邊的第一項(xiàng)為零。將第二項(xiàng)代入式(7.82)和式(7.83)可得到

(7.86)

這一式子應(yīng)對(duì)于任意的變分Ds都成立。為此必須被積函數(shù)的圓括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式等于零，故有

(7.87)

這就是泛函F有極值的必要條件，稱為歐拉方程。

以上假定泛函F只依賴于一個(gè)函數(shù)s(t)。如果泛函依賴于多個(gè)函數(shù)si(t)(i＝1，2，…，n)時(shí)，同樣有

(7.88)

(7.89)

則相應(yīng)的極值條件是

(7.90)

共有n個(gè)方程。7.4.2里茲方法

既然變分問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的歐拉方程(常微分方程或偏微分方程)，反過(guò)來(lái)說(shuō)，定解問(wèn)題里的泛定方程也就可以看做是某個(gè)變分問(wèn)題的歐拉方程，而變分問(wèn)題可以按瑞利-里茲方法求得近似解，這就是研究泛函極值問(wèn)題的直接方法。其基本要點(diǎn)是，不把泛函放在它的全部定義域來(lái)考慮，而是把它放在其定義域的一部分來(lái)考慮。具體而言，取某種完備的函數(shù)系如下：

j1(x)，j2(x)，… (7.91)嘗試以其中的前幾個(gè)來(lái)表示變分問(wèn)題dF＝0的解，即令解為

y(x)＝f(j1，j2，…，jn；c1，c2，…，cn)(7.92)

其中，c1，c2，…，cn為待定參數(shù)，把上式代入F的表達(dá)式，F(xiàn)便成了c1，c2，…，cn的n元函數(shù)，即F［y(x)］＝F(c1，c2，…，cn)，由于f的形式是事先選定了的，如可選

，故按照多元函數(shù)的極值方法令

(7.93)而求出系數(shù)c1，c2，…，cn，從而就完全確定了y(x)。但是這樣得到的y(x)并非DF＝0的嚴(yán)格解，而是近似解，若將上近似解記作yn(x)，則嚴(yán)格解應(yīng)該是

(7.94)

只是這個(gè)極限是否收斂，甚至是否收斂于嚴(yán)格解都是問(wèn)題，因此，在實(shí)際中我們通常只求解近似解。

在里茲方法中，如果函數(shù)系j1(x)，j2(x)，…選擇適當(dāng)，且測(cè)試函數(shù)f也在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，近似解與解析解逼近程度會(huì)很好；如果選擇不