《數值計算引論》課件

THEFIRSTLESSONOFTHESCHOOLYEAR《數值計算引論》ppt課件目CONTENTS緒論數值計算的基本概念線性方程組的數值解法數值積分與微分非線性方程的數值解法最優(yōu)化問題的數值解法數值計算的軟件實現錄01緒論數值計算是計算機科學和數學的一個重要交叉領域，旨在解決各種實際問題中出現的數學模型。通過數值計算，我們可以將復雜的問題轉化為可計算的數學問題，從而為實際問題的解決提供有效的工具。數值計算在科學、工程、經濟、金融等領域中有著廣泛的應用，是現代社會不可或缺的技術手段。010203數值計算的意義數值計算的發(fā)展歷程早期的數值計算主要依賴于手工計算和簡單的機械計算器。隨著計算機技術的不斷發(fā)展，數值計算的方法和技術也得到了極大的改進和發(fā)展?，F代的數值計算已經形成了許多分支，如線性代數、微積分、數值分析、優(yōu)化方法等，這些分支的發(fā)展推動了數值計算的進步和應用。數值計算在物理學、化學、生物學等自然科學領域中有著廣泛的應用。科學計算數值計算在航空航天、機械、土木工程等領域中用于模擬和分析復雜系統的行為。工程計算數值計算在金融、經濟、管理等領域中用于建模、預測和決策支持。經濟和金融數值計算在數據挖掘、機器學習等領域中用于處理大規(guī)模數據集和分析復雜模式。數據分析數值計算的應用領域01數值計算的基本概念矩陣的特征值與特征向量的計算函數的近似計算線性方程組的求解積分與微分的數值計算最優(yōu)化問題的求解數值計算中的數學問題0103020405舍入誤差、截斷誤差、初始誤差等誤差的來源誤差的累積、誤差的放大等誤差的傳播誤差的估計、誤差的容忍度等誤差的控制提高計算精度、采用合適的算法等誤差的減小數值計算的誤差分析數值穩(wěn)定性的定義計算結果不隨輸入的小變化而發(fā)生大變化不穩(wěn)定性的表現數值結果的發(fā)散、振蕩等數值穩(wěn)定性的判定基于算法的穩(wěn)定性分析、數值實驗等提高數值穩(wěn)定性的方法改進算法、增加迭代次數等數值計算的穩(wěn)定性分析01線性方程組的數值解法高斯消元法是一種直接求解線性方程組的數值方法，通過消元過程將方程組轉化為上三角或下三角矩陣，從而求解未知數?？偨Y詞高斯消元法的基本思想是將增廣矩陣通過一系列行變換化為行階梯形矩陣，再進一步化成上三角矩陣或下三角矩陣，然后回代求解未知數。這種方法具有精度高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點，但計算量較大，適用于中小規(guī)模線性方程組的求解。詳細描述高斯消元法總結詞迭代法是一種求解線性方程組的數值方法，通過不斷迭代逼近方程的解。詳細描述迭代法的基本思想是構造一個迭代公式，通過不斷迭代更新解的近似值，最終逼近方程的解。常見的迭代方法有雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和松弛迭代法等。迭代法具有計算量較小、適用于大規(guī)模線性方程組等優(yōu)點，但收斂速度較慢，需要多次迭代才能得到滿意的結果。迭代法VS共軛梯度法是一種求解線性方程組的數值方法，結合了高斯消元法和迭代法的優(yōu)點。詳細描述共軛梯度法的基本思想是利用高斯消元法求解方程組的前幾個方程，然后使用迭代法求解剩余的方程。這種方法既具有直接法的精度和穩(wěn)定性，又具有迭代法的收斂速度快等優(yōu)點，適用于大規(guī)模線性方程組的求解。共軛梯度法的關鍵在于選擇合適的搜索方向和步長，以保證收斂速度和精度?？偨Y詞共軛梯度法01數值積分與微分數值積分定義數值積分是一種通過近似方法求解定積分的方法。它通過選擇合適的積分區(qū)間和離散點，將定積分轉化為求和的形式，從而得到近似結果。數值積分方法常見的數值積分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法、高斯法等。這些方法根據不同的離散點選擇和權重計算，具有不同的精度和適用范圍。誤差分析數值積分的誤差取決于離散點的數量、分布以及所采用的數值積分方法。通過增加離散點的數量，選擇合適的離散點分布和數值積分方法，可以減小誤差，提高近似結果的精度。數值積分的基本概念要點三復化求積公式定義復化求積公式是一種將定積分轉化為一系列簡單積分的數值積分方法。它通過將積分區(qū)間分成若干個子區(qū)間，并在每個子區(qū)間上應用基本初等函數的積分公式，得到一系列簡單積分，進而求和得到近似結果。要點一要點二復化求積公式的應用復化求積公式適用于被積函數具有簡單初等函數形式的定積分計算。通過選擇合適的子區(qū)間和離散點，可以減小誤差，提高近似結果的精度。常見的復化求積公式包括復化梯形公式、復化辛普森公式、復化高斯公式等。誤差分析復化求積公式的誤差取決于子區(qū)間的數量、離散點的數量和分布以及所采用的簡單積分公式。通過增加子區(qū)間的數量、離散點的數量和選擇合適的離散點分布，可以減小誤差，提高近似結果的精度。要點三復化求積公式數值微分定義數值微分是一種通過近似方法求解函數導數的方法。它通過選擇合適的離散點，利用差分代替微分，從而得到函數在離散點處的導數值的近似值。數值微分方法常見的數值微分方法包括前向差分法、后向差分法、中心差分法等。這些方法根據不同的離散點選擇和差分公式，具有不同的精度和適用范圍。誤差分析數值微分的誤差取決于離散點的數量、分布以及所采用的數值微分方法。通過增加離散點的數量、選擇合適的離散點分布和數值微分方法，可以減小誤差，提高近似結果的精度。數值微分的基本概念01非線性方程的數值解法注意事項二分法對于初始區(qū)間的選擇和收斂速度較慢，可能需要多次迭代才能找到根?？偨Y詞一種簡單而有效的求解非線性方程根的迭代方法。詳細描述二分法的基本思想是將方程的根所在的區(qū)間一分為二，然后選取其中一個子區(qū)間繼續(xù)進行二分，直到滿足精度要求或達到預設的最大迭代次數。適用范圍適用于求解非線性方程在某個區(qū)間內的根，特別是當函數單調或近似單調時。二分法一種基于函數切線斜率的迭代方法，具有較高的收斂速度?？偨Y詞牛頓法的基本思想是通過不斷逼近方程的根，利用切線斜率的信息來調整迭代方向，每次迭代都沿著函數的下降方向進行。詳細描述適用于求解非線性方程的根，特別是當函數具有多個根或存在鞍點時。適用范圍牛頓法對于初始點的選擇較為敏感，如果初始點選擇不當，可能會導致迭代不收斂或收斂到非根的點。注意事項牛頓法弦截法總結詞一種結合了二分法和牛頓法的迭代方法，具有較好的穩(wěn)定性和收斂性。適用范圍適用于求解非線性方程的根，特別是當函數在根附近具有較大的曲率變化時。詳細描述弦截法的基本思想是在迭代過程中同時考慮區(qū)間二分和函數下降的方向，通過弦線（連接兩個迭代點的線段）的斜率來判斷迭代方向。注意事項弦截法需要同時考慮區(qū)間二分和函數下降方向的選擇，因此需要更多的計算量，但通常具有較好的穩(wěn)定性和收斂性。01最優(yōu)化問題的數值解法03常用方法梯度下降法、牛頓法、擬牛頓法等。01最優(yōu)化問題定義在給定約束條件下，尋找一組參數使得某個目標函數達到最小或最大值的問題。02分類分為無約束和有約束兩類問題，無約束問題通常在多維空間中尋找極值點，而有約束問題需滿足某些特定條件。最優(yōu)化問題的基本概念利用目標函數的梯度（或近似梯度）信息，沿著函數值下降最快的方向更新參數，逐步逼近極值點。基本思想優(yōu)點缺點簡單易行，適用于大規(guī)模問題；在局部搜索時收斂速度快。容易陷入局部最小值，且步長選擇對收斂速度影響較大。030201梯度下降法基本思想利用目標函數的二階導數（或近似二階導數）信息，構造一個二次逼近模型，通過迭代逐步逼近極值點。優(yōu)點在二次函數模型下具有平方收斂速度，收斂速度快；對初始點選擇不敏感。缺點計算量大，需要存儲和計算目標函數的二階導數矩陣；對于非凸函數可能找不到全局最小值。牛頓法01數值計算的軟件實現MATLAB軟件介紹01MATLAB是一種用于數值計算的高級編程語言和交互式環(huán)境。02它提供了廣泛的數學、算法開發(fā)、數據可視化、數據分析和數值計算的功能。MATLAB具有簡單易用的語法和圖形用戶界面，使得數值計算變得簡單和直觀。03數值積分和微分MATLAB提供了數值積分和微分函數，可以用于解決定積分、不定積分、微分方程等問題。優(yōu)化問題MATLAB的優(yōu)化工具箱可以用于求解各種優(yōu)化問題，如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、約束優(yōu)化等。線性代數計算MATLAB提供