2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）甲卷含答案

2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，則A．，2，3， B．，2， C．， D．，2，2．設(shè)，則A． B．1 C． D．23．若實數(shù)，滿足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．4．等差數(shù)列的前項和為，若，A． B． C．1 D．5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是A． B． C． D．6．已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為、，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率是A．4 B．3 C．2 D．7．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為A． B． C． D．8．函數(shù)的區(qū)間，的圖像大致為A．B． C． D．9．已知，則A． B． C． D．10．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．611．已知、是兩個平面，、是兩條直線，．下列四個命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④12．在中，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)在，上的最大值是14．已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比．15．已知，，則．16．曲線與在上有兩個不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式．18．（12分）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的估級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率．設(shè)為升級改造后抽取的件產(chǎn)品的優(yōu)級品率．如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到的距離．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，證明：當(dāng)時，恒成立．21．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線與交于，證明：軸．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）直線為參數(shù)），若與交于、兩點(diǎn)，，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．實數(shù)，滿足．（1）證明：；（2）證明：．

2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，則A．，2，3， B．，2， C．， D．，2，【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，則，2，3，．故選：．2．設(shè)，則A． B．1 C． D．2解法一：，則．故選：．解法二：3．若實數(shù)，滿足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．【解析】：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示：將約束條件兩兩聯(lián)立可得3個交點(diǎn)：，，，由得，則可看作直線在軸上的截距，經(jīng)檢驗可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)，時，最小，代入目標(biāo)函數(shù)可得：．故選：．4．等差數(shù)列的前項和為，若，A． B． C．1 D．解法一：，則，解得．故選：．解法二：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，.解法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D解法四：【構(gòu)造法】：設(shè)的公差為，利用結(jié)論是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，，則，所以.故選：D解法五：根據(jù)題意，故選：D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是A． B． C． D．【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有種可能，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的情況有種可能，故．故選：．6．已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為、，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率是A．4 B．3 C．2 D．解法一：因為雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為、，且經(jīng)過點(diǎn)，所以，，，則雙曲線的離心率．故選：．解法二：點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以是通徑的一半即則即，則雙曲線的離心率．故選：．解法三：雙曲線的離心率解法四：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上設(shè)雙曲線方程為，則，則，所以7．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為A． B． C． D．【解析】：因為，所以，曲線在處的切線斜率，故曲線在處的切線方程為，即，則其與坐標(biāo)軸圍成的面積．故選：．8．函數(shù)的區(qū)間，的圖像大致為A． B． C． D．解法一：，則，故為偶函數(shù)，故錯誤；（1），故錯誤，正確．故選：．解法二：函數(shù)為偶函數(shù)。且當(dāng)時，，因此只有選項符合題意9．已知，則A． B． C． D．解法一：，則，所以，故．故選：．解法二：設(shè)，則，即，因此由得，即，故，即，故選：．10．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．6【解析】：直線，即，所以直線恒過點(diǎn)，圓，即，圓心為，半徑，當(dāng)最小時，點(diǎn)到直線的距離應(yīng)最大，即時，最小，此時，．故選：．11．已知、是兩個平面，、是兩條直線，．下列四個命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④【解析】：①若，因為，，則，若，因為，，則，若不在也不在內(nèi)，因為，，，所以且，故①正確；②若，則與，不一定垂直，也有可能相交，故②錯誤；③過直線分別作平面，與，分別相交于直線，直線，因為，過直線的平面與平面相交于直線，所以，同理可得，所以，因為，，則，因為，，則，又因為，則，故③正確；④與和所成的角相等，則和不一定垂直，故④錯誤；綜上只有①③正確．故選：．12．在中，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．解法一：因為，，所以由正弦定理可得，，由余弦定理可得：，即，，所以，因為為三角形內(nèi)角，則（賀雷穎添加）．故選：．解法二：不妨設(shè)，根據(jù)題意得，根據(jù)余弦定理，由得，即，所以，由正弦定理有，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)在，上的最大值是2【解析】：，，，，，所以當(dāng)，時，取得最大值，．故答案為：2．14．已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比．【解析】：因為甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比．故答案為：．15．已知，，則64．解法一：因為，所以，而，故，解得．故答案為：64．解法二：根據(jù)題意有，設(shè)，則，解得，所以，所以，所以.16．曲線與在上有兩個不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．【解析】：令，則，令，則，因為，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因為，（1），時，，若使得有兩個不同零點(diǎn)，則的范圍為．故答案為：．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式．解法一：（1）因為，所以，兩式相減可得：，即，所以等比數(shù)列的公比，又因為，所以，；（2）因為，所以．解法二：（1）因為,故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得.18．（12分）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的估級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率．設(shè)為升級改造后抽取的件產(chǎn)品的優(yōu)級品率．如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030零假設(shè)：根據(jù)的獨(dú)立性檢驗，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異，，有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異；零假設(shè)：根據(jù)的獨(dú)立性檢驗，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異，，沒有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異．（2）由題意得，，所以，故有優(yōu)化提升．19．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到的距離．【解答】：（1）證明：由題意得：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，，，，，因為，所以，即，又，所以平面，因為，，，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因為，所以，，，故點(diǎn)到平面的距離為．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，證明：當(dāng)時，恒成立．【解析】：（1），則，，若，，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；若時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）證明：因為，所以當(dāng)時，，令，則，令，則在上遞增，（1），所以在上遞增，（1），故在上遞增，（1），所以當(dāng)時，恒成立．21．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線與交于，證明：軸．【解析】：（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸，則，，由勾股定理可知，，故，解得，，故橢圓的方程為；解法一：（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以， 故，即軸.解法二：（2）證明：設(shè)，，，，，則，即①，又由可得，②，結(jié)合①②可得，，，，，，，則直線的方程為，軸，直線與交于，則，故，故軸．解法三：（2）根據(jù)題意,有,設(shè)，，，，，則即

又由

代入點(diǎn)坐標(biāo)可得

因此,設(shè),則直線的橫截距為

因此,命題得證.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）直線為參數(shù)），若與交于、兩點(diǎn)，，求的值．【解析】：（1