新課標三維人教B版數學 平面直角坐標系中的基本公式

eq\a\vs4\al(平面直角坐標系中的基本公式)2．1.1數軸上的基本公式預習課本P65～67，預習課本P65～67，思考并完成以下問題1．數軸上的點與實數的對應法則是什么？2．數軸上的向量定義是什么？還有哪些基本概念？3．數軸上的基本公式有哪些？eq\a\vs4\al([新知初探])1．數軸(或直線坐標系)(1)數軸(直線坐標系)的定義：一條給出了原點、度量單位和正方向的直線叫做數軸，或者說在這條直線上建立了直線坐標系．(2)數軸上的點P與實數x的對應法則點P的位置原點朝正向一側原點原點朝負向一側與點P對應的實數x正數0負數實數x的大小點P到原點的距離0絕對值等于點P到原點的距離依據這個法則，實數集和數軸上的點之間建立了一一對應關系．(3)數軸上點P的坐標如果點P與實數x對應，則稱點P的坐標為x，記作P(x)．2．數軸上的向量及有關概念(1)向量的定義如果數軸上的任意一點A沿著軸的正向或負向移動到另一點B，則說點在軸上作了一次位移，點不動則說點作了零位移．位移是一個既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，簡稱為向量．(2)向量的描述向量的表示從點A到點B的向量，記作，點A叫做向量的起點，點B叫做向量的終點向量的長度線段AB的長叫做向量的長度，記作||3．數軸上的基本公式位移的和在數軸上，如果點A作一次位移到點B，接著由點B再作一次位移到點C，則位移叫做位移與位移的和，記作＝＋向量坐標運算法則對數軸上任意三點A，B，C，都具有關系AC＝AB＋BC向量坐標表示及距離公式已知數軸上兩點A(x1)，B(x2)，則AB＝x2－x1，d(A，B)＝|x2－x1|eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數軸上的向量的坐標一定是一個實數()(2)向量的坐標等于向量的長度()(3)向量與向量的長度是一樣的()(4)如果數軸上兩個向量的坐標相等，那么這兩個向量相等()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．下列各組點中A點位于B點右側的是()A．A(－3)和B(－4) B．A(3)和B(4)C．A(－3)和B(4) D．A(－4)和B(－3)答案：A3．點A，B是數軸上兩點，B點的坐標xB＝－6，且BA＝－4，那么點A的坐標為()A．－10 B．－2C．－10或－2 D．10答案：A數軸上的點與實數間的關系[典例](1)若點P(x)位于點M(－2)，N(3)之間，求x的取值范圍；(2)試確定點A(a)，B(b)的位置關系．[解](1)由題意可知，點M(－2)位于點N(3)的左側，且點P(x)位于點M(－2)，N(3)之間，所以－2<x<3.(2)確定兩點的位置關系，需要討論實數a，b的大小關系：當a>b時，點A(a)位于點B(b)的右側；當a<b時，點A(a)位于點B(b)的左側；當a＝b時，點A(a)與點B(b)重合．如何確定實數在數軸上的位置數軸上的點與實數之間是一一對應的關系，所以點的坐標的大小決定彼此的相互位置，根據數軸上點與實數的對應關系，數軸上的點自左到右對應的實數依次增大．[活學活用]1．下列各組點中，點M位于點N左側的是()A．M(－2)，N(－3) B．M(2)，N(－3)C．M(0)，N(6) D．M(0)，N(－6)解析：選CA中，－2>－3，點M(－2)位于點N(－3)右側；B中，2>－3，點M(2)位于點N(－3)的右側；C中，0<6，點M(0)位于點N(6)的左側；D中，0>－6，點M(0)位于點N(－6)的右側．2．在如圖所示的數軸上，A，B，C各點的坐標是什么？它們分別對應哪個實數？解：A點坐標為A(2)，對應實數2；B點坐標為B(－4)，對應實數－4；C點坐標為C(4.5)，對應實數4.5.數軸上的向量和基本公式[典例]已知數軸上有A，B兩點，A，B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3.(1)求向量，的坐標；(2)求所有滿足條件的點B到原點O的距離之和．[解](1)∵點A與原點O的距離為3，∴點A的坐標為3或－3.①當點A的坐標為3時，∵A，B之間的距離為1，∴點B的坐標為2或4.此時的坐標為3，的坐標為－1或1；②當點A的坐標為－3時，∵A，B之間的距離為1，∴點B的坐標為－4或－2.此時的坐標為－3，的坐標為－1或1.(2)所有滿足條件的點B到原點O的距離之和為2＋4＋4＋2＝12.數軸上的向量的計算策略(1)熟練掌握一些條件變換，如－＝.(2)通過條件變換合理分組，靈活地運用向量的運算法則進行計算．(3)熟記公式并正確地理解數學符號的含義．[活學活用]已知數軸上的三點A(－1)，B(5)，C(x)．(1)當|AB|＋d(B，C)＝8時，求x；(2)當AB＋CB＝0時，求x；(3)當＝時，求x；(4)當AC＝1時，驗證：AB＋BC＝AC.解：(1)由題意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝|x－5|，當|AB|＋d(B，C)＝8時，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.(2)由AB＋CB＝0，可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得x＝11.(3)由＝可知，AB＝BC，故5－(－1)＝x－5，所以x－5＝6，解得x＝11.(4)當AC＝1時，有x－(－1)＝1，解得x＝0.所以AB＋BC＝5－(－1)＋0－5＝1＝AC.數軸上兩點的距離公式的應用[典例]已知數軸上點A，B，P的坐標分別為－1,3，x.(1)當點P與點B的距離是點P與點A的距離的3倍時，求點P的坐標x；(2)若點P到點A和點B的距離都是2，求點P的坐標x，此時點P與線段AB有著怎樣的關系？(3)在線段AB上是否存在點P(x)，使得點P到點A和點B的距離都是3？若存在，求出點P的坐標x；若不存在，請說明理由．[解](1)由題意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，則3(x＋1)＝x－3①或3(x＋1)＝－(x－3)②，解①得x＝－3；解②得x＝0.所以點P的坐標為－3或0.(2)由題意知|PA|＝|PB|＝2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x＋1|＝2，,|x－3|＝2，))解得x＝1.此時點P的坐標為1，顯然此時P為線段AB的中點．(3)不存在這樣的點P(x)．因為d(A，B)＝|3＋1|＝4，要使點P在線段AB上，且d(P，A)＝d(P，B)＝3，則d(A，B)＝d(P，A)＋d(P，B)，這是不可能的．已知點A(a)，B(b)，則兩點對應向量的數量以及距離公式分別為AB＝b－a，BA＝a－b，|AB|＝|b－a|，|BA|＝|a－b|.[活學活用]已知數軸上的兩個點A(a)，B(5)，當a為何值時：(1)兩點間的距離等于5；(2)兩點間的距離小于3.解：數軸上兩點A，B之間的距離為|AB|＝|a－5|，(1)根據題意|a－5|＝5，可解得a＝0或a＝10.(2)根據題意|a－5|＜3，即－3＜a－5＜3，∴2＜a＜8.層級一學業(yè)水平達標1．若點P到原點的距離為2，點P在原點的左側，則點P的坐標為()A．2 B．－2C．±2 D．不確定解析：選B設點P的坐標為x，則|x|＝2，由點P在原點的左側，可知x＝－2.2．數軸上三點A，B，C，已知AB＝2.5，BC＝－3，若A點坐標為0，則C點坐標為()A．0.5 B．－0.5C．5.5 D．－5.5解析：選B由xB－0＝2.5得xB＝2.5，由xC－xB＝－3得xC＝－0.5.3．已知數軸上兩點A，B，若點B的坐標為3，且A，B兩點間的距離d(A，B)＝5，則點A的坐標為()A．8 B．－2C．－8 D．8或－2解析：選D記點A(x1)，B(x2)，則x2＝3，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|＝5，即|3－x1|＝5，解得x1＝－2或x1＝8.4．在數軸上從點A(－2)引一線段到B(1)，再同向延長同樣的長度到C，則點C的坐標為()A．13 B．0C．4 D．－2解析：選C如下圖所示，故C(4)為所求．5.在數軸上，已知任意三點A，B，O，下列關系中，不正確的是()A．AB＝OB－OA B．AO＋OB＋BA＝0C．AB＝AO＋OB D．AB＋AO＋BO＝0解析：選D∵OB－OA＝OB＋AO＝AO＋OB＝AB，∴AB＝OB－OA，故選項A正確；選項B、C顯然正確；AB＋AO＋BO＝2AO≠0，故選項D不正確．6．已知數軸上點A，B的坐標分別為x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，則x1的值為________．解析：|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，解得x1＝－6或x1＝4.答案：－6或47．已知數軸上一點P(x)，它到點A(－8)的距離是它到點B(－4)的距離的2倍，則x＝________.解析：由題意，得d(P，A)＝2d(P，B)，∴|－8－x|＝2|－4－x|，解得x＝0或x＝－eq\f(16,3).答案：0或－eq\f(16,3)8．在數軸上，已知點B的坐標為3，AB＝4，則點A的坐標為________；已知點N的坐標為2，|MN|＝1，則點M的坐標為________．解析：設點A坐標為x.∵AB＝3－x＝4，∴x＝－1.設M點坐標為y.∵|MN|＝|2－y|＝1，∴y＝1或y＝3.答案：－11或39．在數軸上，討論點A(3a＋1)與點B(1－2a)的位置關系．解：當3a＋1＞1－2a，即a＞0時，點A在點B右側；當3a＋1＝1－2a，即a＝0時，點A與點B重合；當3a＋1＜1－2a，即a＜0時，點B在點A右側．10．已知M，N，P是數軸上三點，若|MN|＝5，|NP|＝2，求d(M，P)．解：因為M，N，P是數軸上三點，|MN|＝5，|NP|＝2.(1)當點P在點M，N之間時(如圖所示)．d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－2＝3.(2)當點P在點M，N之外時(如圖所示)．d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋2＝7.綜上所述：d(M，P)＝3或d(M，P)＝7.層級二應試能力達標1．在數軸上，已知A，B，C三點的坐標分別為x,2x,3－x，若使AB＋CB＞AC，則實數x的取值范圍是()A．x＞2 B．x＞1C．x＜3 D．x＜1解析：選B∵AB＋CB＞AC，∴由向量坐標公式，得(2x－x)＋[2x－(3－x)]＞(3－x)－x，解得x＞1，故選B.2.如圖所示，數軸上標出若干個點，每相鄰兩個點相距1個單位，點A，B，C，D對應的數分別是整數a，b，c，d，且d－2a＝10，那么數軸的原點應是()A．A點 B．B點C．C點 D．D點解析：選B用排除法，如原點為A，則a＝0，d＝7，d－2a＝7≠10，排除A，同樣的方法，排除C、D；當B為原點時，a＝－3，d＝4，d－2a＝4－2×(－3)＝10，滿足條件，故選B.3．數軸上點P，M，N的坐標分別為－2,8，－6，則在①MN＝NM；②MP＝－10；③PN＝－4中，正確的表示有()A.0個 B．1個C．2個 D．3個解析：選C數軸上的兩點對應的向量的數量是實數，等于終點的坐標減去起點的坐標，故MN＝NM不正確，MP＝－10，PN＝－4正確．4．設數軸上三點A，B，C，點B在A，C之間，則下列等式成立的是()A．|－|＝||－||B．|＋|＝||＋||C．|－|＝||＋||D．|＋|＝|－|解析：選C根據A，B，C三點的相對位置可知，|－|＝|＋|＝||＝||＋||，故C成立．5．已知數軸上兩點A(a)，B(5.5)，并且d(A，B)＝7.5，則a＝________，若AB＝7.5，則a＝________.解析：∵d(A，B)＝7.5，∴|5.5－a|＝7.5，解得a＝－2或a＝13.若AB＝7.5，則5.5－a＝7.5，解得a＝－2.答案：－2或13－26．在數軸上，已知A，B，C三點的坐標分別為－3,7,9，則AB＋BC＋CA＝__________，|AB|＋|BC|＋|CA|＝__________.解析：AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0；|AB|＋|BC|＋|CA|＝|7－(－3)|＋|9－7|＋|－3－9|＝24.答案：0247．數軸上A，B兩點的坐標分別為x1＝a＋b，x2＝a－b，分別求向量AB→的坐標，BA，d(A，B)，d(B，A)．解：向量的坐標AB＝x2－x1＝(a－b)－(a＋b)＝－2b，BA＝x1－x2＝(a＋b)－(a－b)＝2b或BA＝－AB＝－(－2b)＝2b.d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|＝|－2b|＝2|b|，d(B，A)＝d(A，B)＝2|b|.8．已知數軸上的點A，B，C的坐標分別為－1,3,5.(1)求AB，BA，|AB|，|BC|，|AC|；(2)若數軸上還有兩點E，F(xiàn)，且AE＝8，CF＝－4，求點E，F(xiàn)的坐標．解：(1)AB＝3－(－1)＝4；BA＝－AB＝－4；|AB|＝|3－(－1)|＝4；|BC|＝|5－3|＝2；|AC|＝|5－(－1)|＝6.(2)設E，F(xiàn)點的坐標分別為xE，xF.∵AE＝8，∴xE－(－1)＝8，得xE＝7.∵CF＝－4，∴xF－5＝－4，得xF＝1.故E，F(xiàn)兩點坐標分別為7,1.2．1.2平面直角坐標系中的基本公式預習課本P68～71，預習課本P68～71，思考并完成以下問題1．兩點間距離公式是什么？2．中點坐標公式又是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．兩點的距離公式兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)的距離表示為d(A，B)＝|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(1)當AB平行于x軸時，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|.(2)當AB平行于y軸時，d(A，B)＝|AB|＝|y2－y1|.(3)當B點是原點時，d(A，B)＝|AB|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).2．中點坐標公式已知平面直角坐標系中的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，點M(x，y)是線段AB的中點，則x＝eq\f(x1＋x2,2)，y＝eq\f(y1＋y2,2).eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)A，B兩點的距離與A，B的順序無關()(2)中點坐標公式中兩點位置沒有先后順序()答案：(1)√(2)√2．設A(3,4)，在x軸上有一點P(x,0)，使得|PA|＝5，則x等于()A．0 B．6C．0或6 D．0或－6答案：C3．點P(2，－1)關于點M(3,4)的對稱點Q的坐標為()A．(1,5) B．(4,9)C．(5,3) D．(9,4)答案：B兩點的距離公式[典例](1)已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，則△ABC的周長為()A．4eq\r(2) B．8eq\r(2)C．12eq\r(2) D．16eq\r(2)(2)若A(－5,6)，B(a，－2)兩點的距離為10，則a＝__________.[解析](1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴|AB|＝eq\r(－3－42＋2－12)＝eq\r(50)＝5eq\r(2)，|BC|＝eq\r([0－－3]2＋5－22)＝eq\r(18)＝3eq\r(2)，|AC＝eq\r(0－42＋5－12)＝eq\r(32)＝4eq\r(2).∴△ABC的周長為|AB|＋|BC|＋|AC|＝5eq\r(2)＋3eq\r(2)＋4eq\r(2)＝12eq\r(2).(2)∵|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(－5－a2＋6＋22)＝10，∴a＝1或－11.[答案](1)C(2)1或－11兩點的距離公式應用的兩種形式(1)求到某點的距離滿足某些條件的點P(x，y)的坐標時，需要根據已知條件列出關于x，y的方程或方程組，解之即可．(2)利用兩點的距離公式可以判斷三角形的形狀，從三邊長入手，根據邊長相等判斷是等腰或等邊三角形，根據勾股定理判斷是直角三角形．還可以根據兩個距離之和等于第三個距離判斷三點共線．[活學活用]已知點A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．解：由已知設所求點P的坐標為(x,0)，于是有|PA|＝d(P，A)＝eq\r(x＋12＋0－22)＝eq\r(x2＋2x＋5)，|PB|＝d(P，B)＝eq\r(x－22＋0－\r(7)2)＝eq\r(x2－4x＋11)，由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求點為P(1,0)，且|PA|＝d(P，A)＝eq\r(1＋12＋0－22)＝2eq\r(2).中點公式的應用[典例](1)已知三點A(x,5)，B(－2，y)，C(1,1)，且點C是線段AB的中點，求x，y的值；(2)求點M(4,3)關于點N(5，－3)的對稱點．[解](1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,2)＝1，,\f(5＋y,2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3.))(2)設所求點的坐標為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,2)＝5，,\f(y＋3,2)＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－9，))故所求對稱點的坐標為(6，－9)．盤點中點公式解決問題的類型(1)中點公式常用于求線段的中點、三角形的中線長、平行四邊形的對角線交點等，解決這類問題的關鍵是根據幾何概念，提煉出點之間的“中點關系”，從而根據中點公式解決．(2)因為兩點關于其中點對稱，所以利用中點公式可以解決中心對稱問題．[活學活用]已知?ABCD的兩個頂點坐標分別為A(4,2)，B(5,7)，對角線的交點為E(－3,4)，求另外兩個頂點C，D的坐標．解：設C(x1，y1)，D(x2，y2)，∵E為AC的中點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＝\f(x1＋4,2)，,4＝\f(y1＋2,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－10，,y1＝6.))又∵E為BD的中點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＝\f(5＋x2,2)，,4＝\f(7＋y2,2).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－11，,y2＝1.))∴C點的坐標為(－10,6)，D點的坐標為(－11,1)．坐標法的應用[典例]在△ABC中，D為BC邊上任意一點(D與B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求證：△ABC為等腰三角形．[證明]如圖，作AO⊥BC，垂足為O，以BC所在直線為x軸，以OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．設A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d，0)(b<d<c)．因為|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由兩點的距離公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.所以|AB|＝|AC|，即△ABC為等腰三角形．用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；第二步：通過代數運算，解決代數問題；第三步：把代數運算結果翻譯成幾何結論．[活學活用]已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當的直角坐標系，證明：|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.證明：如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標軸，建立直角坐標系，設B，C兩點的坐標分別為(b,0)，(0，c)．因為點M是BC的中點，故點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋b,2)，\f(0＋c,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2))).由兩點間距離公式得|BC|＝eq\r(0－b2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|AM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)－0))2)＝eq\f(1,2)eq\r(b2＋c2).所以|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.層級一學業(yè)水平達標1．已知點A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，則b等于()A．0或8 B．0或－8C．0或6 D．0或－6解析：選A由eq\r(－32＋4－b2)＝5，解得b＝0或8.2．點A(2，－3)關于坐標原點的中心對稱點是()A．(3，－2) B．(－2，－3)C．(－2,3) D．(－3,2)解析：選C設所求點的坐標為B(x，y)，則由題意知坐標原點是點A，B的中點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝0，,\f(－3＋y,2)＝0，))解得x＝－2，y＝3.故選C.3．若點P(x，y)到兩點M(2,3)，N(4,5)的距離相等，則x＋y的值為()A．5 B．6C．7 D．不確定解析：選C由兩點距離公式，得eq\r(x－22＋y－32)＝eq\r(x－42＋y－52)，兩邊平方，得x＋y＝7，故選C. 4．已知A(x,5)關于C(1，y)的對稱點是B(－2，－3)，則P(x，y)到原點的距離為()A．4 B.eq\r(13)C.eq\r(15) D.eq\r(17)解析：選D由題意知點C是線段AB的中點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝2，,2y＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))∴|OP|2＝17，∴|OP|＝eq\r(17).5．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)為頂點的三角形是()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．不等邊三角形 D．直角三角形解析：選B根據兩點的距離公式，|AB|＝eq\r(1－52＋5－12)＝4eq\r(2)，|AC|＝eq\r(1＋92＋5＋92)＝eq\r(296)，|BC|＝eq\r(5＋92＋1＋92)＝eq\r(296)，∴|AC|＝|BC|≠|AB|，∴△ABC為等腰三角形．6．已知A(a,6)，B(－2，b)，點P(2,3)平分線段AB，則a＋b＝________.解析：由中點公式知2＝eq\f(a－2,2)，eq\f(b＋6,2)＝3，∴a＝6，b＝0，∴a＋b＝6.答案：67．設P點在x軸上，Q點在y軸上，PQ的中點是M(－1,2)，則|PQ|等于________．解析：設P(a,0)，Q(0，b)，由中點坐標公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋0,2)＝－1，,\f(0＋b,2)＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))∴|PQ|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(20)＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)8．若x軸正半軸上的點M到原點的距離與到點(5，－3)的距離相等，則點M的坐標為________．解析：設M(x,0)(x＞0)，則x2＋02＝(x－5)2＋(0＋3)2，解得x＝eq\f(17,5)，所以點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，0)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，0))9．已知△ABC的頂點坐標為A(1,2)，B(－2，－2)，C(3,4)，求BC邊上的中線AM的長．解：由中點公式，得BC邊的中點M的坐標為eq\f(－2＋3,2)，eq\f(－2＋4,2)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).∴d(A，M)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋2－12)＝eq\r(\f(1,4)＋1)＝eq\f(\r(5),2)，即BC邊上的中線AM的長為eq\f(\r(5),2).10．已知A(6,1)，B(0，－7)，C(－2，－3)．(1)求證：△ABC是直角三角形；(2)求△ABC的外心的坐標．解：(1)證明：|AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，因為|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，所以△ABC為直角三角形，∠C＝90°.(2)因為△ABC為直角三角形，所以其外心是斜邊AB的中點，所以外心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6＋0,2)，\f(1－7,2)))，即(3，－3)．層級二應試能力達標1．已知△ABC的兩個頂點A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中點都在坐標軸上，則C點的坐標是()A．(－3，－7) B．(－3，－7)或(2，－5)C．(3，－5) D．(2，－7)或(－3，－5)解析：選D設C(x，y)，顯然AC，BC的中點不同在一條坐標軸上．若AC的中點在x軸上，BC中點在y軸上，則有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)；若AC中點在y軸上，BC中點在x軸上，則有3＋x＝0,5＋y＝0，即C(－3，－5)．2．光線從點A(－3,5)射到x軸上，經反射以后經過點B(2,10),則從A到B的光線的距離為()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)解析：選C點B(2,10)關于x軸的對稱點為B′(2，－10)，由光線的對稱性可知，從A到B的光線的距離就是線段AB′的長度，∴|AB′|＝eq\r([2－－3]2＋－10－52)＝5eq\r(10).3．已知直線上兩點A(a，b)，B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，則()A．原點一定是線段AB的中點B．A，B一定都與原點重合C．原點一定在線段AB上，但不是線段AB的中點D．原點一定在線段AB的垂直平分線上解析：選D由eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2