高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計題型歸納與講解01-線性回歸方程

1/16高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計題型歸納與講解專題1線性回歸方程例1．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某地觀測人員根據(jù)如表的觀測數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程，則當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫56次時，該地當(dāng)時的氣溫預(yù)報值為（次數(shù)分鐘）20304050602527.52932.536A．B．C．D．【解析】解：由題意，得，，則；當(dāng)時，．故選：．例2．已知下列說法：①對于線性回歸方程，變量增加一個單位時，平均增加5個單位；②在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)越接近于1，則模型回歸效果越好；③兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1；④互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件；⑤演繹推理是從特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段論”．其中說法錯誤的個數(shù)為A．1B．2C．3D．4【解析】解：①對于線性回歸方程，變量增加一個單位時，平均減少5個單位，故①不正確；②在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)越接近于1，則模型回歸效果越好，故②正確；③兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近1，故③不正確；④互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，所以④正確；⑤演繹推理是從一般到特殊的推理，它的一般模式是“三段論”．所以⑤不正確；故選：．例3．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為45678.27.86.65.4A．B．C．D．【解析】解：，，則樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)為，代入，得，則．故選：．例4．我國技術(shù)研發(fā)試驗在年進(jìn)行，分為關(guān)鍵技術(shù)試驗、技術(shù)方案驗證和系統(tǒng)驗證三個階段實(shí)施．2020年初以來，技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計了近5個月來手機(jī)的實(shí)際銷量，如表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號12345銷量部5096185227若與線性相關(guān)，且求得線性回歸方程為，則下列說法正確的是A．B．與正相關(guān)C．與的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)D．12月份該手機(jī)商城的手機(jī)銷量約為365部【解析】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得，，于是，，即，故正確；由回歸方程中的系數(shù)大于0，可知與正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)，故正確，錯誤；12月份時，，部，故錯誤．故選：．例5．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：012335.57已求得關(guān)于與的線性回歸方程，則的值為0.5．【解析】解：，，這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是，關(guān)于與的線性回歸方程，，解得，的值為0.5．故答案為：0.5．例6．邢臺市物價部門對市區(qū)的天一城、北國商城、恒大城、家樂園、中北世紀(jì)城5家商場的某件商品在7月15號一天銷售量及其價格進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價格8.591111.5銷售量12675已知銷售量與價格之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是，且，則其中的10．【解析】解：依題意，代入回歸直線方程得①，根據(jù)題意②，解①②組成的方程組得，故答案為：10．例7．已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)：用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為1，則16．【解析】解：由題意，，設(shè)樣本點(diǎn)的中心為，又線性回歸方程為，則，．故答案為：16．例8．垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化、減量化處理．某市為調(diào)査產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)，，2，，，其中和分別表示第個縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計算得，，，，．（1）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；（2）求關(guān)于的線性回歸方程；（3）某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機(jī)器，如表是以往兩款垃圾處理機(jī)器的使用年限（整年）統(tǒng)計表：使用年限臺數(shù)款式1年2年3年4年5年甲款520151050乙款152010550某環(huán)保機(jī)構(gòu)若考慮購買其中一款垃圾處理器，以使用年限的頻率估計概率．根據(jù)以往經(jīng)驗估計，該機(jī)構(gòu)選擇購買哪一款垃圾處理機(jī)器，才能使用更長久？參考公式：相關(guān)系數(shù)．對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，，2，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．【解析】解：（1）由題意知相關(guān)系數(shù)，因為與的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合．（2）由題意可得，，，所以．（3）以頻率估計概率，購買一臺甲款垃圾處理機(jī)器節(jié)約政府支持的垃圾處理費(fèi)用（單位：萬元）的分布列為0501000.10.40.30.2（萬元）購買一臺乙款垃圾處理機(jī)器節(jié)約政府支持的垃圾處理費(fèi)用（單位：萬元）的分布列為：20701200.30.40.20.1（萬元）因為，所以該縣城選擇購買一臺甲款垃圾處理機(jī)器更劃算．例9．近年來，高鐵的發(fā)展逐漸改變了人們的出行方式，我國年高鐵運(yùn)營里程的數(shù)據(jù)如表所示．年份20152016201720182019年份代碼12345高鐵運(yùn)營里程（萬千米）1.92.22.52.93.5（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅱ）每一年與前一年的高鐵運(yùn)營里程之差即為該年新增的里程，若用年每年新增里程的頻率代替之后每年新增相應(yīng)里程的概率，求2023年中國高鐵運(yùn)營里程大于或等于5萬千米的概率．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【解析】解：（Ⅰ），，，，，．關(guān)于的線性回歸方程為：．（Ⅱ）設(shè)每年新增高鐵運(yùn)營里程為萬千米，由條件知的分布列為：0.30.40.6若2023年中國高鐵運(yùn)營里程小于5萬平方千米，則年每年新增的高鐵運(yùn)營里程有三種情況：，，，相應(yīng)的概率為．年中國高鐵運(yùn)營里程大于或等于5萬千米的概率為．例10．某地區(qū)2013年至2019年居民純收入（單位：千元）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：年份2013201420152016201720182019年份代號1234567人均純收入3.94.34.65.45.82018和2019年的居民純收入（單位：千元）數(shù)據(jù)采用隨機(jī)抽樣的方式獲得，用樣本的均值來代替當(dāng)年的居民人均純收入，其數(shù)據(jù)如下：2018年抽取的居民純收入（單位：千元）數(shù)據(jù)：5.24.86.55.66.07.16.17.35.97.52019年抽取的居民純收入（單位：千元）數(shù)據(jù)：6.27.86.65.87.16.87.27.95.97.7（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅱ）當(dāng)?shù)卣疄榱颂岣呔用袷杖胨剑F(xiàn)從2018和2019年居民純收入（單位：千元）高于7.0千元的樣本中隨機(jī)選擇3人進(jìn)行座談，了解其工作行業(yè)及主要收入來源．設(shè)為選出的3人中2018年純收入高于7.0千元的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，．【解析】解：（Ⅰ）根據(jù)2018年的抽樣數(shù)據(jù)可得2018年的人均純收入為千元，根據(jù)2019年的抽樣數(shù)據(jù)可得2019年的人均純收入為千元，由所給的數(shù)據(jù)得，，，，，則，則所求關(guān)于的線性回歸方程為；（Ⅱ）由2018年和2019年的抽樣數(shù)據(jù)可知，2018年居民純收入高于7.0千元的有3人，2019年居民純收入高于7.0千元的有5人，由題意可得，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，則，，，，隨機(jī)變量的分布列為則的分布列為：0123則例11．為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實(shí)施車牌競價策略，以控制車輛數(shù)量．某地車牌競價的基本規(guī)則是：①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報價，每個人不知曉其他人的報價，也不知道參與當(dāng)期競拍的總?cè)藬?shù)；②競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車牌配額，按照競拍人的出價從高到低分配名額．某人擬參加2020年12月份的車牌競拍，他為了預(yù)測最低成交價，根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告．統(tǒng)計了最近5個月參與競拍的人數(shù)（見表）月份2020.072020.082020.092020.102020.11月份編號12345競拍人數(shù)（萬人）0.50.611.41.7（1）由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)1可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)（萬人）與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系．請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程：，并預(yù)測2020年12月份參與競拍的人數(shù)．（2）某市場調(diào)研機(jī)構(gòu)對200位擬參加2020年12月份車牌競拍人員的報價價格進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如下的一份頻數(shù)表：報價區(qū)間（萬元），，，，，，頻數(shù)206060302010（?。┣筮@200為競拍人員報價的平均數(shù)值和樣本方差（同一區(qū)間的報價可用該價格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（ⅱ）假設(shè)所有參與競價人員的報價可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由（?。┲兴蟮臉颖酒骄鶖?shù)及估值．若2020年12月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)量是3174，請你合理預(yù)測（需說明理由）競拍的最低成交價．參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，；②；③若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．④方差．【解析】解：（1）由題意得，，，，，關(guān)于的線性回歸方程為．當(dāng)時，．預(yù)測2020年12月份參與競拍的人數(shù)為2萬人．（2）依題意可得這200人報價的平均值為：．這200人報價的方差為：．年12月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)量是3174，根據(jù)競價規(guī)則，報價在最低成交價以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例為，根據(jù)假設(shè)報價可視為服從正態(tài)分布，，，，，，預(yù)測競拍的最低成交價為4.8萬元．例12．某醫(yī)療專家組為了研究新冠肺炎病毒在特定環(huán)境下一周內(nèi)隨時間變化的繁殖情況，得到如下的實(shí)驗數(shù)據(jù)：天數(shù)（天1234567繁殖個數(shù)（千個）1123446（1）由如表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與實(shí)驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5，則該實(shí)驗數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從實(shí)驗數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【解析】解：（Ⅰ）由題意，，，，，，．關(guān)于的線性回歸方程為；（Ⅱ）由題意將估計數(shù)據(jù)與實(shí)驗數(shù)據(jù)列表：天數(shù)（天1234567繁殖個數(shù)（千個）1123446估計個數(shù)（千個）3由列表和題意可知該實(shí)驗數(shù)據(jù)為“理想數(shù)據(jù)”的有5個，故的所有可能取值為1，2，3．，，．“理想數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列為：123則．例13．在線教育的發(fā)展，有利于彌補(bǔ)鄉(xiāng)村教育短板，為我國各地區(qū)教育均衡發(fā)展提供了條件年《政府工作報告》明確提出發(fā)展“互聯(lián)網(wǎng)教育”促進(jìn)優(yōu)質(zhì)資源共享．下面是年我國在線教育網(wǎng)絡(luò)使用率的統(tǒng)計表：年份20152016201720182019使用率1618.820.124.327.2其散點(diǎn)圖如圖：設(shè)日期代碼．（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅱ）根據(jù)線性回歸方程，預(yù)測2025年我國在線教育網(wǎng)絡(luò)使用率約達(dá)到多少？附：回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式：，．【解析】解：（Ⅰ）由，得5組對應(yīng)數(shù)據(jù)為，，，，，則，，求出，，所以：，，所以關(guān)于的線性回歸方程為．（Ⅱ）當(dāng)時，，此時，所以預(yù)測2025年我國在線教育網(wǎng)絡(luò)使用率約達(dá)到．例14．學(xué)校食堂統(tǒng)計了最近5天到餐廳就餐的人數(shù)（百人）與食堂向食材公司購買所需食材（原材料）的數(shù)量（袋，得到如下統(tǒng)計表：第一天第二天第三天第四天第五天就餐人數(shù)（百人）13981012原材料（袋3223182428（1）根據(jù)所給的5組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）已知購買食材的費(fèi)用（元與數(shù)量（袋的關(guān)系為，投入使用的每袋食材相應(yīng)的銷售單價為7