新課標(biāo)三維人教A版數(shù)學(xué) 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

eq\a\vs4\al(直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式)3．3.1&3.3.2兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離預(yù)習(xí)課本P102～105，預(yù)習(xí)課本P102～105，思考并完成以下問題1．怎樣求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)？2．怎樣通過兩條直線的交點(diǎn)個數(shù)判斷兩條直線的位置關(guān)系？3．兩點(diǎn)間距離公式是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)AA(a，b)直線ll：Ax＋By＋C＝0點(diǎn)A在直線l上Aa＋Bb＋C＝0直線l1與l2的交點(diǎn)是A方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b))(2)兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行2．兩點(diǎn)間距離公式(1)公式：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)文字?jǐn)⑹觯浩矫鎯?nèi)兩點(diǎn)的距離等于這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差與縱坐標(biāo)之差的平方和的算術(shù)平方根．[點(diǎn)睛](1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)．(2)當(dāng)直線P1P2平行于x軸時，|P1P2|＝|x2－x1|.當(dāng)直線P1P2平行于y軸時，|P1P2|＝|y2－y1|.當(dāng)點(diǎn)P1，P2中有一個是原點(diǎn)時，|P1P2|＝eq\r(x2＋y2).eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)過P1(0，a)，P2(0，b)的兩點(diǎn)間的距離為a－b()(2)不論m取何值，x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交()答案：(1)×(2)×2．已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，則a的值為()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5解析：選C∵|AB|＝eq\r(a＋22＋3＋12)＝5，∴a＝－5或a＝1.3．兩直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在y軸上，那么k的值為________．解析：在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝eq\f(k,3)，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(k,3)))代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.答案：±6兩條直線的交點(diǎn)問題[典例]求過直線2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交點(diǎn)，且斜率為3的直線方程．[解]法一：(點(diǎn)斜式法)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，又所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.法二：(分離參數(shù)法)設(shè)所求直線為l，因?yàn)閘過已知兩直線的交點(diǎn)，因此l的方程可設(shè)為2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ為常數(shù))，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0①，又直線l的斜率為3，所以－eq\f(λ＋2,λ－1)＝3，解得λ＝eq\f(1,4)，將λ＝eq\f(1,4)代入①，整理得3x－y＋3＝0.求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程，一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可用過兩條直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再根據(jù)其他條件求出待定系數(shù)，寫出直線方程．[活學(xué)活用]三條直線ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一點(diǎn)，求a的值．解：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝14，,2x－3y＝14，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4，－2)．由題意知點(diǎn)(4，－2)在直線ax＋2y＋7＝0上，將(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－eq\f(3,4).兩點(diǎn)間距離公式[典例](1)已知點(diǎn)A(－3,4)，B(2，eq\r(3))，在x軸上找一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知點(diǎn)M(x，－4)與點(diǎn)N(2,3)間的距離為7eq\r(2)，求x的值．[解](1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0)，則有|PA|＝eq\r(x＋32＋0－42)＝eq\r(x2＋6x＋25)，|PB|＝eq\r(x－22＋0－\r(3)2)＝eq\r(x2－4x＋7).由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－eq\f(9,5).故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，0)).|PA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)＋3))2＋0－42)＝eq\f(2\r(109),5).(2)由|MN|＝7eq\r(2)，得|MN|＝eq\r(x－22＋－4－32)＝7eq\r(2)，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值為9或－5.若已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求兩點(diǎn)間的距離，可直接應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).若已知兩點(diǎn)間的距離，求點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)未知數(shù)，逆用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，從而解決問題．[活學(xué)活用]已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求證：△ABC是等腰三角形．證明：∵|AB|＝eq\r(－4＋22＋－3＋12)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(0＋22＋－5＋12)＝2eq\r(5)，|BC|＝eq\r(0＋42＋－5＋32)＝2eq\r(5)，∴|AC|＝|BC|.又∵點(diǎn)A，B，C不共線，∴△ABC是等腰三角形.直線恒過定點(diǎn)問題[典例]求證：不論λ為何實(shí)數(shù)，直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒過一定點(diǎn)．[證明]法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直線l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直線l2：x＝－3，故l1與l2的交點(diǎn)為P(－3,3)．將點(diǎn)P(－3,3)代入方程左邊，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，∴點(diǎn)(－3,3)在直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．∴直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒過定點(diǎn)(－3,3)．法二：(分離參數(shù)法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.則直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通過直線2x＋y＋3＝0與x－y＋6＝0的交點(diǎn)．由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－y＋6＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3.))∴直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒過定點(diǎn)(－3,3)．解決過定點(diǎn)問題常用的三種方法：(1)特殊值法，給方程中的參數(shù)取兩個特殊值，可得關(guān)于x，y的兩個方程，從中解出的x，y的值即為所求定點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)斜式法，將含參數(shù)的直線方程寫成點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(diǎn)(x0，y0)．(3)分離參數(shù)法，將含參數(shù)的直線方程整理為過交點(diǎn)的直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，則該方程表示的直線必過直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)，而此交點(diǎn)就是定點(diǎn)．比較這三種方法可知，方法一計(jì)算較煩瑣，方法二變形較困難，方法三最簡便因而也最常用．[活學(xué)活用]已知直線λ：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)若使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．解：(1)證明：直線l的方程可化為y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，所以不論a取何值，直線l恒過定點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，又點(diǎn)A在第一象限，所以不論a取何值，直線l恒過第一象限．(2)令x＝0，y＝eq\f(3－a,5)，由題意，eq\f(3－a,5)≤0，解得a≥3.所以a的取值范圍為[3，＋∞).對稱問題題點(diǎn)一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱1．過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程．解：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.題點(diǎn)二：點(diǎn)關(guān)于線對稱2．點(diǎn)P(－3,4)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是()A．(－2,1) B．(－2,5)C．(2，－5) D．(4，－3)解析：選B設(shè)對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－3,2)＋\f(b＋4,2)－2＝0，,\f(b－4,a＋3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝5，))即Q(－2,5)．題點(diǎn)三：線關(guān)于點(diǎn)對稱3．與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱的直線方程是()A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0解析：選D由平面幾何知識易知所求直線與已知直線2x＋3y－6＝0平行，則可設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋C＝0.在直線2x＋3y－6＝0上任取一點(diǎn)(3,0)，關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱點(diǎn)為(－1，－2)，則點(diǎn)(－1，－2)必在所求直線上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.∴所求直線方程為2x＋3y＋8＝0.題點(diǎn)四：線關(guān)于線對稱4．求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l：2x－3y＋1＝0的對稱直線m′的方程．解：在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′必在直線m′上．設(shè)對稱點(diǎn)為M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0.))得N(4,3)．又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.題點(diǎn)五：距離和(差)最值問題5．已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點(diǎn)A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA|＋|PB|最??；(2)在直線l上求一點(diǎn)P，使||PB|－|PA||最大．解：(1)設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A′(m，n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8，))故A′(－2,8)．因?yàn)镻為直線l上的一點(diǎn)，則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A′三點(diǎn)共線時，|PA|＋|PB|取得最小值，為|A′B|，點(diǎn)P即是直線A′B與直線l的交點(diǎn)，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,3)．(2)A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點(diǎn)，則||PB|－|PA||≤|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時，||PB|－|PA||取得最大值，為|AB|，點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn)，又直線AB的方程為y＝x－2，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,x－2y＋8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝10，))故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,10)．有關(guān)對稱問題的兩種主要類型(1)中心對稱：①點(diǎn)P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決．(2)軸對稱：①點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點(diǎn)A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決．層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．直線x＋2y－2＝0與直線2x＋y－3＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(4,1) B．(1,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))解析：選C由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,2x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(1,3).))即直線x＋2y－2＝0與直線2x＋y－3＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))).2．過點(diǎn)A(4，a)和點(diǎn)B(5，b)的直線與y＝x＋m平行，則|AB|的值為()A．6 B.eq\r(2)C．2 D．不能確定解析：選B由kAB＝1，得eq\f(b－a,1)＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝eq\r(5－42＋b－a2)＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2).3．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直線()A．恒過定點(diǎn)(－2,3)B．恒過定點(diǎn)(2,3)C．恒過點(diǎn)(－2,3)和點(diǎn)(2,3)D．都是平行直線解析：選A(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化為－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))4．已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1，y)的對稱點(diǎn)為(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是()A．2 B．4C．5 D.eq\r(17)解析：選D根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到eq\f(x－2,2)＝1且eq\f(5－3,2)＝y(tǒng)，解得x＝4，y＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,1)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離d＝eq\r(4－02＋1－02)＝eq\r(17).5．到A(1,3)，B(－5,1)的距離相等的動點(diǎn)P滿足的方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0解析：選B設(shè)P(x，y)，則eq\r(x－12＋y－32)＝eq\r(x＋52＋y－12)，即3x＋y＋4＝0.6．點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x＋y＝1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是________．解析：設(shè)對稱點(diǎn)坐標(biāo)是(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－5,a－2)·－1＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b＋5,2)＝1.))解得a＝－4，b＝－1，即所求對稱點(diǎn)坐標(biāo)是(－4，－1)．答案：(－4，－1)7．經(jīng)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0垂直的直線l的方程為________．解析：由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).))又所求直線與直線3x＋y－1＝0垂直，故k＝eq\f(1,3)，∴直線方程為y＋eq\f(7,5)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))，即5x－15y－18＝0.答案：5x－15y－18＝08．在直線x－y＋4＝0上求一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)M(－2，－4)，N(4,6)的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，a＋4)，由題意可知|PM|＝|PN|，即eq\r(a＋22＋a＋4＋42)＝eq\r(a－42＋a＋4－62)，解得a＝－eq\f(3,2)，故P點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))9．光線從A(－4，－2)點(diǎn)射出，到直線y＝x上的B點(diǎn)后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上C點(diǎn)，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點(diǎn)D(－1,6)，求BC所在的直線方程．解：作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)為A′，D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D′，則易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C.故BC所在的直線方程為eq\f(y－6,6＋4)＝eq\f(x－1,1＋2)，即10x－3y＋8＝0.10．已知兩條直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試分別確定m，n的值，滿足下列條件：(1)l1與l2相交于一點(diǎn)P(m,1)；(2)l1∥l2且l1過點(diǎn)(3，－1)；(3)l1⊥l2且l1在y軸上的截距為－1.解：(1)把P(m,1)的坐標(biāo)分別代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0,2m＋m－1＝0，解得m＝eq\f(1,3)，n＝－eq\f(73,9).(2)顯然m≠0.∵l1∥l2且l1過點(diǎn)(3，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,8)＝－\f(2,m)，,3m－8＋n＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝－4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝20.))(3)由l1⊥l2且l1在y軸上的截距為－1.當(dāng)m＝0時，l1的方程為8y＋n＝0，l2的方程為2x－1＝0.∴－8＋n＝0，解得n＝8.∴m＝0，n＝8.而m≠0時，直線l1與l2不垂直．綜上可知，m＝0，n＝8.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．直線l：x＋2y－1＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱的直線l′的方程為()A．2x－y－5＝0 B．x＋2y－3＝0C．x＋2y＋3＝0 D．2x－y－1＝0解析：選C由題意得l′∥l，故設(shè)l′：x＋2y＋c＝0，在l上取點(diǎn)A(1,0)，則點(diǎn)A(1,0)關(guān)于點(diǎn)(1，－1)的對稱點(diǎn)是A′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c＝0，即c＝3，故直線l′的方程為x＋2y＋3＝0，故選C.2．已知平面上兩點(diǎn)A(x，eq\r(2)－x)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，則|AB|的最小值為()A．3 B.eq\f(1,3)C．2 D.eq\f(1,2)解析：選D∵|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))2＋\r(2)－x2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3\r(2),4)))2＋\f(1,4))≥eq\f(1,2)當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3\r(2),4)時等號成立，∴|AB|min＝eq\f(1,2).3．無論k為何值，直線(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為()A．(1,3) B．(－1,3)C．(3,1) D．(3，－1)解析：選D直線方程可化為(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直線過直線2x＋y－5＝0和直線x－y－4＝0的交點(diǎn)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))因此所求定點(diǎn)為(3，－1)．故選D.4．已知點(diǎn)A(3，－1)，B(5，－2)，點(diǎn)P在直線x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，則P點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(1，－1) B．(－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5))) D．(－2,2)解析：選C點(diǎn)A(3，－1)關(guān)于直線x＋y＝0的對稱點(diǎn)為A′(1，－3)，直線A′B的方程為y＝eq\f(1,4)x－eq\f(13,4)，與x＋y＝0聯(lián)立方程組并解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(13,5)，,y＝－\f(13,5)，))所以點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5))).5．若兩直線(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0與x軸圍成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：當(dāng)直線(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0及x軸兩兩不平行，且不共點(diǎn)時，必圍成三角形．當(dāng)m＝－2時，(m＋2)x－y－m＝0與x軸平行；當(dāng)m＝－3時，(m＋2)x－y－m＝0與x＋y＝0平行；當(dāng)m＝0時，三條直線都過原點(diǎn)，所以m的取值范圍為{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}．答案：{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}6．若直線l：y＝kx－eq\r(3)與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則k的取值范圍是________．解析：法一：由題意知直線l過定點(diǎn)P(0，－eq\r(3))，直線2x＋3y－6＝0與x，y軸的交點(diǎn)分別為A(3,0)，B(0,2)，如圖所示，要使兩直線的交點(diǎn)在第一象限，則直線l在直線AP與BP之間，而kAP＝eq\f(－\r(3)－0,0－3)＝eq\f(\r(3),3)，∴k>eq\f(\r(3),3).法二：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\r(3)，,2x＋3y－6＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(3)＋6,3k＋2)，,y＝\f(6k－2\r(3),3k＋2).))由題意知x＝eq\f(3\r(3)＋6,3k＋2)>0且y＝eq\f(6k－2\r(3),3k＋2)>0.由eq\f(3\r(3)＋6,3k＋2)>0可得3k＋2>0，∴6k－2eq\r(3)>0，解得k>eq\f(\r(3),3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))7．已知△ABC的一個頂點(diǎn)A(2，－4)，且∠B，∠C的角平分線所在直線的方程依次是x＋y－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三邊所在直線的方程．解：如圖，BE，CF分別為∠B，∠C的角平分線，由角平分線的性質(zhì)，知點(diǎn)A關(guān)于直線BE，CF的對稱點(diǎn)A′，A″均在直線BC上．∵直線BE的方程為x＋y－2＝0，∴A′(6,0)．∵直線CF的方程為x－3y－6＝0，∴A″eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(4,5))).∴直線A′A″的方程是y＝eq\f(0－\f(4,5),6－\f(2,5))(x－6)，即x＋7y－6＝0，這也是BC所在直線的方程．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋7y－6＝0，,x＋y－2＝0，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(2,3)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋7y－6＝0，,x－3y－6＝0，))得C(6,0)，∴AB所在直線的方程是7x＋y－10＝0，AC所在直線方程是x－y－6＝0.8．已知兩直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(0<a<2)與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成四邊形．當(dāng)a為何值時，圍成的四邊形面積取最小值？并求最小值．解：兩直線l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2·(y－2)，都過點(diǎn)(2,2)，如圖：設(shè)兩直線l1，l2的交點(diǎn)為C，且它們的斜率分別為k1和k2，則k1＝eq\f(a,2)∈(0,1)，k2＝－eq\f(2,a2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).∵直線l1與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2－a)，直線l2與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2＋a2,0)．∴SOACB＝S△OAC＋S△OCB＝eq\f(1,2)(2－a)·2＋eq\f(1,2)·(2＋a2)·2＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4).∴當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，四邊形OACB的面積最小，其值為eq\f(15,4).3．3.3&3.3.4點(diǎn)到直線的距離、兩平行線間的距離預(yù)習(xí)課本P106～109，思考并完成以下問題1．點(diǎn)到直線的距離公式是什么？2．兩條平行直線間的距離公式是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])點(diǎn)到直線的距離與兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長度公式點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線y＝b(b≠0)的距離d＝y(tǒng)0－b()(2)點(diǎn)P(x0，y0)到與y軸平行的直線x＝a(a≠0)的距離d＝|x0－a|()(3)兩直線x＋y＝m與x＋y＝2n的距離為eq\f(|m－2n|,\r(2))()答案：(1)×(2)√(3)√2．原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：選Dd＝eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).3．已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：選B由題意知l1，l2平行，則l1∥l2之間兩直線的距離為eq\f(|1－－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2).點(diǎn)到直線的距離公式[典例]求點(diǎn)P(3，－2)到下列直線的距離：(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.[解](1)直線y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq\f(18,5).(2)因?yàn)橹本€y＝6與y軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|－2－6|＝8.(3)因?yàn)橹本€x＝4與x軸垂直，所以點(diǎn)P到它的距離d＝|3－4|＝1.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個問題(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．(2)點(diǎn)P在直線l上時，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用．(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．[活學(xué)活用]1．若點(diǎn)P(3，a)到直線x＋eq\r(3)y－4＝0的距離為1，則a的值為()A.eq\r(3) B．－eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3)或eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)或eq\r(3)解析：選D由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|3＋\r(3)a－4|,2)＝1，解得a＝eq\r(3)或a＝－eq\f(\r(3),3).2．過點(diǎn)A(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0解析：選A當(dāng)所求直線l與線段OA垂直時，原點(diǎn)到直線的距離最大．∵kOA＝2，∴kl＝－eq\f(1,2).∴所求直線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)．即x＋2y－5＝0.兩平行線間的距離[典例]求與兩條平行直線l1：2x－3y＋4＝0與l2：2x－3y－2＝0距離相等的直線l的方程．[解]設(shè)所求直線l的方程為2x－3y＋C＝0.由直線l與兩條平行線的距離相等，得eq\f(|C－4|,\r(22＋32))＝eq\f(|C＋2|,\r(22＋32))，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直線l的方程為2x－3y＋1＝0.由兩平行直線間的距離求直線方程通常有兩種思路：(1)設(shè)出所求直線方程后，在其中一條直線上取一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；(2)直接運(yùn)用兩平行直線間的距離公式求解．[活學(xué)活用]1．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則eq\f(c＋2,a)的值為()A．－1 B．1C．0 D．－1或1解析：選D由題意，得eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，所以a＝－4，c≠－2.所以直線6x＋ay＋c＝0的方程可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0.由兩平行線間的距離公式，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(13))＝eq\f(2\r(13),13)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1))＝2，解得c＝2或－6，所以eq\f(c＋2,a)＝－1或1，故選D.2．若直線m被平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2eq\r(2)，則m的傾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正確答案的序號是______．解析：兩平行線間的距離d＝eq\f(|3－1|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，故m與l1或l2的夾角為30°.又l1，l2的傾斜角為45°，∴直線m的傾斜角為30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.答案：①⑤距離的綜合應(yīng)用[典例]已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點(diǎn)，正方形一邊所在的直線l的方程為x＋3y－5＝0，求正方形其他三邊所在直線的方程．[解]設(shè)與直線l：x＋3y－5＝0平行的邊所在的直線方程為l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0))得正方形的中心坐標(biāo)為P(－1,0)，由點(diǎn)P到兩直線l，l1的距離相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l(xiāng)1：x＋3y＋7＝0.又正方形另兩邊所在直線與l垂直，∴設(shè)另兩邊所在直線的方程分別為3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四條邊的距離相等，∴eq\f(|－3＋a|,\r(32＋－12))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3，∴另兩條邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.∴另三邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.利用點(diǎn)到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式解綜合題時，需特別注意直線方程要化為一般式，同時要注意構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，本節(jié)中距離公式的形式為一些代數(shù)問題提供了幾何背景，可構(gòu)造幾何圖形，借助幾何圖形的直觀性去解決問題．[活學(xué)活用]1．已知P，Q分別是直線3x＋4y－5＝0與6x＋8y＋5＝0上的動點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．3 B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：選B由于所給的兩條直線平行，所以|PQ|的最小值就是這兩條平行直線間的距離．由兩條平行直線間的距離公式，得d＝eq\f(|－10－5|,\r(62＋82))＝eq\f(3,2)，即|PQ|的最小值為eq\f(3,2).2．若動點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為________．解析：依題意，知l1∥l2，故點(diǎn)M所在的直線平行于l1和l2，可設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根據(jù)平行線間的距離公式，得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．點(diǎn)P(1，－1)到直線l：3y＝2的距離是()A．3 B.eq\f(5,3)C．1 D.eq\f(\r(2),2)解析：選B點(diǎn)P(1，－1)到直線l的距離d＝eq\f(|3×－1－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3)，選B.2．已知點(diǎn)M(1,4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實(shí)數(shù)m＝()A．0 B.eq\f(3,4)C．3 D．0或eq\f(3,4)解析：選D點(diǎn)M到直線l的距離d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4)，選D.3．已知點(diǎn)A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，則△ABC的面積等于()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h.|AB|＝eq\r(3－12＋1－32)＝2eq\r(2)，AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到直線AB的距離．AB邊所在的直線方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.點(diǎn)C到直線x＋y－4＝0的距離為eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5.4．已知點(diǎn)P(1＋t,1＋3t)到直線l：y＝2x－1的距離為eq\f(\r(5),5)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(0，－2) B．(2,4)C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1)解析：選C直線l：y＝2x－1可化為2x－y－1＝0，依題意得eq\f(|21＋t－1＋3t－1|,\r(22＋－12))＝eq\f(\r(5),5)，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.當(dāng)t＝1時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4)；當(dāng)t＝－1時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－2)，故選C.5．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1，l2間的距離是()A.eq\f(4\r(2),3) B.eq\f(8\r(2),3)C．4eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：選B∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－2－3＝0，,2a－6a－2≠0，))解得a＝－1.∴l(xiāng)1的方程為x－y＋6＝0，l2的方程為－3x＋3y－2＝0，即x－y＋eq\f(2,3)＝0，∴l(xiāng)1，l2間的距離是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋－12))＝eq\f(8\r(2),3).6．若點(diǎn)(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________．解析：∵eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3，或k＝eq\f(17,3).答案：－3或eq\f(17,3)7．直線4x－3y＋5＝0與直線8x－6y＋5＝0的距離為________．解析：直線8x－6y＋5＝0化簡為4x－3y＋eq\f(5,2)＝0，則由兩平行線間的距離公式得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5－\f(5,2))),\r(42＋32))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．已知直線l與直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0間的距離相等，則直線l的方程是________．解析：由題意可設(shè)直線l的方程為2x－y＋c＝0，于是有eq\f(|c－3|,\r(22＋－12))＝eq\f(|c＋1|,\r(22＋－12))，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直線l的方程為2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝09．求過點(diǎn)P(0,2)且與點(diǎn)A(1,1)，B(－3,1)等距離的直線l的方程．解：法一：∵點(diǎn)A(1,1)與B(－3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等，∴直線l的斜率存在，設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2，則直線l的方程為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由點(diǎn)A(1,1)與B(－3,1)到直線l的距離相等，得eq\f(|k－1＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－3k－1＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝0或k＝1.∴直線l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.法二：當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時，直線l與點(diǎn)A，B的距離相等．∵AB的中點(diǎn)是(－1,1)，又直線l過點(diǎn)P(0,2)，∴直線l的方程是x－y＋2＝0；當(dāng)直線l∥AB時，直線l與點(diǎn)A，B的距離相等．∵直線AB的斜率為0，∴直線l的斜率為0，∴直線l的方程為y＝2.綜上所述，滿足條件的直線l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.10.如圖，已知直線l1：x＋y－1＝0，現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2，l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形的面積為4，求直線l2的方程．解：設(shè)l2的方程為y＝－x＋b(b>1)，則A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．∴|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b.梯形的高h(yuǎn)就是A點(diǎn)到直線l2的距離，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形的面積公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq\f(b－1,\r(2))＝4，∴b2＝9，b＝±3.又b>1，∴b＝3.從而得直線l2的方程是x＋y－3＝0.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．已知直線3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是()A．4 B.eq\f(\r(10),20)C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(7\r(10),20)解析：選D∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直線6x＋2y＋1＝0可以化為3x＋y＋