8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計第2課時課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性

8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計

第2課時 1.針對實(shí)際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測．

2.通過對具體問題的進(jìn)一步分析，能將某些非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題并加以解決. 3.通過具體實(shí)例，了解決定系數(shù)R2的意義和作用.編號123456胸徑/cm18.120.122.224.426.028.3樹高/m18.819.221.021.022.122.1編號789101112胸徑/cm29.632.433.735.738.340.2樹高/m22.422.623.024.323.924.7

例1

經(jīng)驗表明，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程.知識點(diǎn)一：線性回歸分析解:以胸徑為橫坐標(biāo)，樹高為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖如下： 散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系.用d表示胸徑，h表示樹高，根據(jù)據(jù)最小二乘法，計算可得經(jīng)驗回歸方程為編號胸徑/cm樹高觀測值/m樹高預(yù)測值/m殘差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.2

根據(jù)經(jīng)驗回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計算出樹高的預(yù)測值(精確到0.1)以及相應(yīng)的殘差，如下表所示.以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，如圖：

觀察殘差表和殘差圖，可得殘差的絕對值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi).可見經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，可以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程由胸徑預(yù)測樹高.歸納總結(jié)

一元線性回歸模型解決問題的過程： 1.分析實(shí)際問題確定響應(yīng)變量，通過散點(diǎn)圖觀察成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，進(jìn)而選擇合適的統(tǒng)計模型； 2.通過統(tǒng)計軟件得到模型參數(shù)的估計； 3.通過經(jīng)驗回歸方程得到預(yù)測值、殘差，分析殘差圖的特點(diǎn)，確定是否需要改進(jìn)模型等； 4.根據(jù)經(jīng)驗回歸方程，可以預(yù)測結(jié)果.編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95

問題：人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗回歸方程.以世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，得下圖：散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近知識點(diǎn)二：非線性回歸分析將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，得到下圖：根據(jù)最小二乘法，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為： 從圖中可以看到，經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了散點(diǎn)的變化趨勢，請再仔細(xì)觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎

用Y表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄，t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份利用一元線性回歸模型來刻畫世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系 第一個世界紀(jì)錄所對應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗回歸直線，并且前后兩時間段中的散點(diǎn)都在經(jīng)驗回歸直線的上方，中間時間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗回歸直線的下方. 這說明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.函數(shù)y=-lnx的圖象具有類似的形狀特征.問題：你能對模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近. 注意到100m短跑的第一個世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周圍，其中c1、c2為未知參數(shù)，且c2<0.y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)編號12345678年份/t18961912192119301936195619601968x0.002.833.263.563.714.114.174.29記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95對數(shù)據(jù)進(jìn)行變化可得下表：這是一個非線性經(jīng)驗回歸函數(shù)，如何利用成對數(shù)據(jù)估計參數(shù)c1、c2令x=ln(t-1895)，則Y=c2x+c1得到散點(diǎn)圖如下：由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為：(*)上圖表明，經(jīng)驗回歸方程對于成對數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度.將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，得到下圖：將x=ln(t-1895)代入得

思考：對于通過創(chuàng)紀(jì)錄時間預(yù)報世界紀(jì)錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非?？拷诘膱D象，表明非線性經(jīng)驗回歸方程②對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗回歸方程①.(1)直接觀察法②①①②(2)殘差分析：殘差平方和越小，模型擬合效果越好.Q2明顯小于Q1，說明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程.(3)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果.由于令①和②的R2分別為0.7325和0.9983.因此經(jīng)驗回歸方程②的刻畫效果比①好.

顯然0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.在一元線性回歸模型中

R2=r2，即決定系數(shù)R2等于響應(yīng)變量與解釋變量的樣本相關(guān)系數(shù)r的平方.

R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.剔除量綱的影響1.建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟：歸納總結(jié)(1)確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應(yīng)變量；(2)由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；(3)通過變換，將非線性經(jīng)驗回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸模型；(4)按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；(5)消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；(6)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．2.在使用經(jīng)驗回歸方程進(jìn)行預(yù)測時，需注意的問題：(1)回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；(2)我們所建立的回歸方程一般都有時間性；(3)樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍； (4)不能期望回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值.事實(shí)上，它是預(yù)報變量的可取值的平均值.總結(jié)提升常見非線性模型及其線性化的方法(1)指數(shù)函數(shù)y=αeβx(α>0)β>0β<0處理方法：兩邊取自然對數(shù)，得lny=lnα+βx，令y′=lny，x′=lnx，則y′=lnα+βx′(2)冪函數(shù)y=αxβ(α>0)β>0β<0(3)對數(shù)函數(shù)y=α+βlogax0<β<1β>1-1<β<0β<-1處理方法：兩邊取自然對數(shù)，得lny=lnα+βlnx，