人教A版2019必修第一冊高一數(shù)學(xué)同步分層訓(xùn)練 1.4.2 充要條件（導(dǎo)學(xué)案）（原卷版+解析）

親愛的同學(xué)加油，給自己實(shí)現(xiàn)夢想的一個(gè)機(jī)會！頁01.4.2充要條件導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合具體實(shí)例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．會求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件．(重點(diǎn))3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明．(難點(diǎn))【自主學(xué)習(xí)】一．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有，又有，就記作，此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為條件.二、如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果p?q，那么p與q互為條件.思考：“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？解讀：從概念的角度去理解充分條件、必要條件、充要條件①若p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．②若p?q，則p是q的充要條件．③若p?q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．④若peq\o(?,/)q，且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．⑤若peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．三．“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有，即p是s的充要條件．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】1.下列各組命題中，哪些p是充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，q：a+b+c=0(a≠0).2.已知：O的半徑為r，圓心O到是直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與O相切的充要條件.3.證明：如圖，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件為AC=BD.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】1.已知下列所給的各組，中，是的充要條件的為（

）A．，B．：兩個(gè)三角形全等，：兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等C．，D．：兩直角三角形的斜邊相等，：兩直角三角形全等2.已知實(shí)數(shù)a，b，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件3.（多選）下列選項(xiàng)中，p是q的充要條件的為（）A．B．p：，q：C．p：，q：D．p：，q：4.指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件)．(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有實(shí)根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.5.指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件)．(1)p：數(shù)a能被6整除，q：數(shù)a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有兩個(gè)角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】1.已知，．(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使是的充分條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使是的必要條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．2.求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件.3.證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.4.求有關(guān)的方程（1）有一個(gè)根大于1，有一個(gè)根小于1的充要條件.（2）“有兩個(gè)小于3的根”的充要條件。5.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件6.已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．7.已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.8.求關(guān)于x的方程ax29.已知方程x2+2k?1x+

1.4.2充要條件導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合具體實(shí)例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．會求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件．(重點(diǎn))3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明．(難點(diǎn))【自主學(xué)習(xí)】一．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有，又有，就記作，此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為條件.p?qq?pp?q充要二、如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說，如果p?q，那么p與q互為條件.充要思考：“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？(1)p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論.(2)p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論.解讀：從概念的角度去理解充分條件、必要條件、充要條件①若p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．②若p?q，則p是q的充要條件．③若p?q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．④若peq\o(?,/)q，且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．⑤若peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．三．“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有，即p是s的充要條件．p?s【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】1.下列各組命題中，哪些p是充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，q：a+b+c=0(a≠0).解:（1）因?yàn)閷蔷€互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形，所以qeq\o(?,/)p，所以p不是q的充要條件。（2）因?yàn)椤叭魀，則q”是三角形的性質(zhì)定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，它們均為真命題，既p?q，所以p是q的充要條件。（3）因?yàn)楫?dāng)xy>0時(shí)，x>0,y>0不一定成立，所以peq\o(?,/)q,所以p不是q的充要條件。（4）若，則，即；若，則，即，故，所以p是q的充要條件．2.已知：O的半徑為r，圓心O到是直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與O相切的充要條件.證明：設(shè)p:d=r，q:直線l與O相切.（1）充分性():如圖，作OP⊥l于點(diǎn)P，則OP=d.若d=r，則點(diǎn)P在O上.在直線l上任取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P)，連接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在O的外部，即直線l與O僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.所以直線l與O相切.（2）必要性():若直線l與O相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則OP⊥l.因此，d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直線l與O相切的充要條件.3.證明：如圖，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件為AC=BD.充分性:AC=BD梯形ABCD為等腰梯形.必要性:梯形ABCD為等腰梯形AC=BD【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】1.已知下列所給的各組，中，是的充要條件的為（

）A．，B．：兩個(gè)三角形全等，：兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等C．，D．：兩直角三角形的斜邊相等，：兩直角三角形全等【答案】B【詳解】對于A選項(xiàng)，，解得：或，所以，但，故為的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及判定可知，，故是的充要條件，故B正確；C選項(xiàng)，由可得或，，則為的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩直角三角形全等，則兩直角三角形的斜邊相等，但兩直角三角形的斜邊相等，但兩直角三角形不一定全等，例如：中，，斜邊，中，，則斜邊，故為的必要不充分條件．故選：B．2.已知實(shí)數(shù)a，b，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】C【詳解】為充要條件．3.（多選）下列選項(xiàng)中，p是q的充要條件的為（）A．B．p：，q：C．p：，q：D．p：，q：【答案】BD【詳解】對于A選項(xiàng)，p?q，但不一定得到，故p不是q的充要條件；對于B選項(xiàng)，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要條件；對于C選項(xiàng)，不能得到，但一定，故p不是q的充要條件；對于D選項(xiàng)，p?q，且q?p，故p是q的充要條件．4.指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件)．(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有實(shí)根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1.[解析](1)，ab＝0指其中至少有一個(gè)為零，而a2＋b2＝0指兩個(gè)都為零，因此q?p，但p?q，p是q的必要不充分條件；(2)，|x＋y|＝|x|＋|y|?(|x＋y|)2＝(|x|＋|y|)2?x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2?xy＝|xy|?xy≥0，所以p是q的充要條件；(3)，方程x2－x－m＝0有實(shí)根的充要條件是Δ＝1＋4m＞0，m＞－eq\f(1,4)，所以p?q但q?p，p是q的充分不必要條件；(4)，|x－1|＞2?x＞3或x＜－1，所以p?q但q?p，所以p是q的必要不充分條件．5.指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分又不必要條件)．(1)p：數(shù)a能被6整除，q：數(shù)a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有兩個(gè)角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.[解析](1)∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件．(2)∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件．(3)∵p不能推出q，q?p，∴p是q的必要不充分條件．(4)∵ab＝0時(shí)，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而當(dāng)ab>0時(shí)，有|ab|＝ab，即q?p.∴p是q的必要不充分條件．6.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】－2≤a≤2【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∵p是q的充分不必要條件，∴，即AB，可知或方程x2＋ax＋1＝0的兩根要在區(qū)間[1,2]內(nèi)∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】1.已知，．(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使是的充分條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使是的必要條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）∵∴要使是的充分條件，需使，即，解得，

∴存在實(shí)數(shù)，使是的充分條件．（2）要使是的必要條件，需使．當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；.當(dāng)時(shí)，，解得，要使，則有，解得，∴，

綜上得，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，是的必要條件．2.求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件.【答案】（1）a=0時(shí)適合.（2）當(dāng)a≠0時(shí)，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號的實(shí)根，則必須滿足；若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則必須滿足綜上知，若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，則a≤1；反之，若a≤1，則方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，因此，關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是a≤13.證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.【詳解】充分性：若，則關(guān)于的方程有一正一負(fù)根，證明如下：當(dāng)時(shí)，，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)兩根分別為，，則，所以方程有一正一負(fù)根，故充分性成立，必要性：若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，證明如下：設(shè)方程一正一負(fù)根分別為，，則，所以，所以若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，故必要性成立，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.②③，并注意到，得．④將④代入③，得⑤即由②③消去得到⑤．而⑤滿足①，因此的充要條件是．4.求有關(guān)的方程（1）有一個(gè)根大于1，有一個(gè)根小于1的充要條件.（2）“有兩個(gè)小于3的根”的充要條件?！敬鸢浮浚?）設(shè)方程兩個(gè)根分別為，不妨設(shè)，則問題等價(jià)于：。（2）設(shè)方程兩個(gè)根分別為，不妨設(shè)，則問題等價(jià)于：5.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件【答案】（1）（充分性)由韋達(dá)定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4設(shè)f(x)=x2+ax+b，則f(x)的圖象是開口向上的拋物線又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0即有4+b>2a>－(4+b)又|b|＜44+b>02|a|＜4+b(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內(nèi)或無實(shí)根∵α，β是方程f(x)=0的實(shí)根，∴α，β同在(－2，2）內(nèi)，即|α|＜2且|β|＜26.已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．【證明】①充分性：因?yàn)閍＋b＝1，所以b＝1-a,所以a3=a3+1?3a+3a②必要性：因?yàn)閍3+b3所以a2?ab+b2a+b?1所以a+b?1=0，即a+b綜上可知，當(dāng)ab≠0時(shí)，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件．7.已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.【證明】法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因?yàn)閤>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條