相似三角形的判定和性質(zhì)-2023年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微

考向5.6相似三角形的判定和性質(zhì)

【知識(shí)要點(diǎn)】

1、相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。

說明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在

對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)動(dòng)。

2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k,叫做相似比(或叫做相似系數(shù))。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)

相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

說明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定

理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。

4、三角形相似的判定定理：

(1)判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么

就兩個(gè)三角形相似。可簡(jiǎn)單說成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

(2)判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并

且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形

相似。

(3)判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那

么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

(4)直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直

角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

說明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，

也可以用它們來判定兩個(gè)三角形的相似。

第一：頂角(或底角)相等的兩個(gè)等腰三角形相似。

第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。

第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上

的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形.相似。

5、相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形性質(zhì)I：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比

都等于相似比。

(2)相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

說明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。

(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

說明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。

6、介紹有特點(diǎn)的兩個(gè)三角形

(1)共邊三角形指有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做共邊三角形。

(2)共角三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做共角三

(3)公邊共角有一個(gè)公共角，而且還有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做公邊共角三角形。

說明：具有公邊共角的兩個(gè)三角形相似，則公邊的平方等于疊在一條直線上的兩邊的乘

積：如圖4—7若△ACDs/XABC,貝ijAC2=AD?AB

3

1.(2020?河北?中考真題)如圖1和圖2,在AABC中，AB=AC,BC=8,tanC=：.點(diǎn)

4

K在AC邊上，點(diǎn)M,N分別在A8,BC上，且AM=CN=2.點(diǎn)尸從點(diǎn)M出發(fā)沿折線

MB-BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止;而點(diǎn)。在AC邊上隨尸移動(dòng)，且始終保持4PQ=/B.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在8c上時(shí)，求點(diǎn)尸與點(diǎn)A的最短距離；

(2)若點(diǎn)尸在MB上，且尸。將AABC的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求的長(zhǎng)；

(3)設(shè)點(diǎn)尸移動(dòng)的路程為X,當(dāng)04XM3及34x49時(shí)，分別求點(diǎn)尸到直線AC的距離(用

含x的式子表示)；

(4)在點(diǎn)尸處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角ZAPQ掃描AAPQ區(qū)域(含邊界)，掃描器隨點(diǎn)

P從M到8再到N共用時(shí)36秒.若AK==,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長(zhǎng).

4■-

解：(1)當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)，PA，BCH寸PA最小,

；AB=AC,△ABC為等腰三角形，

BC3

.?PAmin=tanC--y-=-x4=3;

(2)過A點(diǎn)向BC邊作垂線，交BC于點(diǎn)E,

SF=S四邊彩BPQC,

?/ZAPQ=NB,

；.PQ〃BC,

.,.△APQ^AABC,

,AP=AQ=PQ

AP丫

S8\BC~AB)

當(dāng)興二*時(shí)，產(chǎn)=AP

~AB

?一尸一2

*

BC

AE=---tanC=3,

2

根據(jù)勾股定理可得AB=5,

.APMP+22

'?詬一-5_-3

4

解得MP=y;

(3)當(dāng)0WxW3時(shí)，P在BM上運(yùn)動(dòng),

P到AC的距離:d=PQsinC,

3

由(2)可知sinC二g,

3

.\d=-PQ,

VAP=x+2,

.APx+2PQ

>?——,

AB5BC

.?.PQ=^1^x8,

.,d=￡12x8x3=24x+481

552525

當(dāng)3WxW9時(shí),P在BN上運(yùn)動(dòng)，

BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x,

3333

d=CPsinC=-(11-x)=--x+—,

555

—x+—(0<x<3)

2525v7

綜上d=

333/々

--x+—(3<x<9)

9

(4)AM=2<AQ=一，

4

91

移動(dòng)的速度Y2

①?gòu)腝平移到K,耗時(shí)：4廠=1秒,

4

②P在BC上時(shí)，K與Q重合時(shí)

9II

CQ=CK=57

~4

VZAPQ+ZQPC=ZB+ZBAP,ZAPQ=NB

：.ZQPC=ZBAP,

又

.".△ABP^APCQ,

設(shè)BP=y,CP=8-y,

ABBP_2_=上

~PCCQ

整理得y2-8y=,

9

(y-4)2=—,

解得y尸I",Y2=y>

3'=io秒,

24

...點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長(zhǎng)36-（22-10）-1=23秒.

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，一次函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題

關(guān)鍵.

經(jīng)典變式練

一、單選題

1.（2021.福建廈門?三模）如圖，已知ABCs△4CO,則下列哪條線段與AO的比等于相

似比（).

D

A.BDB.BCC.ACD.AB

2.（2021?廣東惠州?三模）己知△ABCs△短砂，相似比為2:1,則，ABC與一。EF的面積

比為（）

A.4:1B.2:1C.1:2D.1:4

3.（2021.海南省直轄縣級(jí)單位.一模）能判定ABC與VAEU相似的條件是（)

ABACABA'B'

A.Bn.---且NA="

~^CAC~fijC

ABABAC

C.——S.ZB=ZA"D.月.ZB=ZB

AC

4.（202「浙江杭州?三模）如圖，在448。中，/。=90。,。是8<7邊上一點(diǎn)，乙4￡^=3/a4。,

BD=2,DC=\,則AB的值為（）

C.2+6D.719

5.（2021?四川成都?一模）如圖，在△ABC外取一點(diǎn)。，連接OA,OB,OC,并取它們的中

點(diǎn)分別為。，E,F,得△DEF,則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

①△48。與^DEF位彳以

②△48（：與4￡>￡7;'周長(zhǎng)比為2：1

③aABC與A。所面積比為4：1

④△48。與^OE尸是相似圖形

■二----，■/-?/

°''、、」/:/

尸、、、、」’

C

A.1B.2C.3D.4

6.（2021?四川成都?一模）如圖,在平行四邊形A3CD中，點(diǎn)E是邊49上的中點(diǎn)，EC交對(duì)

pp

角線8。于點(diǎn)兒則7廠等于（）

FC

AEr）

6C

A』B—C.ID.-

3232

7.（2021?山東淄博?二模）如圖將兩個(gè)含30。角的直角三角板拼接在一起，點(diǎn)E為的

中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)尸，貝U條的值是（）.

Cr

B

A.巫B一C.￡D.3

3332

8.（2021?四川南充?一模）如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形A5CQ中，ZB=30°,過點(diǎn)A作

于點(diǎn)E,若現(xiàn)將△ABE沿直線AE翻折至AAFE的位置,設(shè)A尸與CO交于點(diǎn)G,貝=等

CG

于（）

秦_____

BECF

A.B.3C.yD.如

2222

9.（202卜吉林長(zhǎng)春?二模）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板OEf測(cè)量樹的高度AB,

他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊。尸保持水平，并且邊DE與點(diǎn)8在同一直線上.已知紙板

的兩條直角邊。E=30cm,EF=15cm,測(cè)得邊。尸離地面的高度AC=1.6m,CD=10m,則

樹高AB長(zhǎng)為（）

A.21.6mB.6.6mC.20.6mD.7.6m

10.（2021?廣東?桂林華僑初級(jí)中學(xué)二模）如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=3,D,E分

別在AB.AC上，將△ADE沿OE翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，若A為CE的中點(diǎn)，則折痕

A.-B.3C.2D.1

2

11.（2021.福建?邵武市教師進(jìn)修學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，在aABC中，4C=3,BC=6,D為

8C邊上的一點(diǎn)，且N8AC=NAZ）C若△AOC的面積為①則△ABC的面積為（）

75

A.4。B.—ciC.—aD.2a

22

12.（2021?浙江?溫州繡山中學(xué)三模）如圖，4）是△A3C的一條中線，G是△45C的重心,

過點(diǎn)G作EF〃BC,交A3,4c于點(diǎn)E,F.若3C=6,則EG的長(zhǎng)為（）

A

E

G

BD

A.2B.3C.3.5D.4

二、填空題

13.（2021?安徽.合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，AE,8。交于點(diǎn)C,AB//DE,若AC=4,

BC=2,DC=l,則EC=一

14.（2021?廣西柳州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，P,。分別為AB,AC的中點(diǎn).若S^APQ=1,

則SBH^PBCQ=___.

15.（2021?江蘇鹽城.一模）如圖，的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),

△ABC的面積是16,則^BEO的面積為.

16.（2021.江蘇泰州.一模）如圖，點(diǎn)E是口ABCD的邊BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE交AD

于F,交對(duì)角線BD于G,若DF=2AF,那么EF：FG：GC=.

17.（2021.江蘇常州?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。）中，四邊形0A8C是矩形，其中

點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，B（4,2）.尸是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，OP=OC,過點(diǎn)尸的直線

/分別與y軸、邊8c交于點(diǎn)。、點(diǎn)E,連接AE.當(dāng)PQD與AABE相似時(shí)，則CE的長(zhǎng)為

18.（2021?山東臨沂?一模）在菱形A8C。中，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE交3。于點(diǎn)F,若

EC=2BE,肝=2,則AE的值是

19.（2021?上海普陀?一模）如圖，△A8C為等邊三角形，點(diǎn)Z）、E分別在邊BC、AC上，NADE

=60。，如果8。：￡>C=1：2,AD=2,那么QE的長(zhǎng)等于.

20.（2021?遼寧?建昌縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）如圖，在ABC中，AC=4,BC=8,分別以點(diǎn)

A,8為圓心，等長(zhǎng)為半徑作弧，交AB,BC,AC于點(diǎn)。，E,F,再以點(diǎn)尸為圓心，OE長(zhǎng)

為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)G,連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H.則8”長(zhǎng)

21.（2021?遼寧?建昌縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）如圖，在矩形A8CD中，AB=3,AD=4,E是

BC邊上一點(diǎn)，將，ABE沿著直線AE折疊，得到AFE,當(dāng)點(diǎn)尸落到矩形的對(duì)角線上時(shí)，線

段BE的長(zhǎng)為

22.（2021?河北?石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）如圖，AED^2ABC,其中N1=NB,則A￡>：

23.（2021?河南?二模）如圖，在：ABC中，已知AB=4,ADA.BC,垂足為D.BD=2CD.若

E是的中點(diǎn)，則EC=.

24.（2021?重慶一中三模）如圖，在.MC中，AB=8,5C=10,點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)

E是A3邊上一點(diǎn)，連接ED,將.OE3沿DE翻折，得到,DEP,連接PC,PB,PA.若。尸

經(jīng)過4c的中點(diǎn)/，且PC=2,則△4￡尸的面積為.

25.（2021?河南.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形A8CO中，AB=4,AO=10.直角尺的直角頂點(diǎn)P

在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A、。不重合），一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C,另一直角邊AB交于點(diǎn)E.

⑴求證：RtAA￡P(guān)sRtADPC；

⑵當(dāng)NCP￡>=30。時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P,使AOPC的周長(zhǎng)等于AA￡P(guān)周長(zhǎng)的2倍？若存在，求出。尸的長(zhǎng)；

26.（2021?遼寧?建昌縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）如圖，已知，在」.ABC中，。為AB上一點(diǎn)，CO

平分/ACB,以。為圓心，08長(zhǎng)為半徑作0。，。。與2C相切于點(diǎn)2,交CO于點(diǎn)。，延

長(zhǎng)CO交。。于點(diǎn)E,連接8D,BE.

（1）求證：AC是。。的切線.

（2）若tan/BOE=2,BC=6,求。。的半徑.

27.（2021?廣東?廣州市八一實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，在中，點(diǎn)C、。在AB上，PC=PD

=CD,NA=NBPD,求證：zAPCsMBPD.

一、單選題

1.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）在同一時(shí)刻，物體的高度與它在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)成正比.在某

一時(shí)刻，有人測(cè)得一高為1.8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m,某一高樓的影長(zhǎng)為60m,那么這幢高樓

的高度是（）

A.18mB.20mC.30mD.36m

2.（2021.甘肅蘭州.中考真題）如圖，小明探究課本“綜合與實(shí)踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)

內(nèi)容：當(dāng)測(cè)試距離為5m時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“E”字高度為72.7mm,當(dāng)測(cè)試距離為3m

時(shí)，最大的“E”字高度為（)mm

A.4.36B.29.08C.43.62D.121.17

3.（2021?四川綿陽(yáng)?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB//DC,AC1BC,

CD=AD=5,AC=6,將四邊形A8CO向左平移機(jī)個(gè)單位后，點(diǎn)8恰好和原點(diǎn)。重合，則

m的值是（）

4.（2021.四川綿陽(yáng)?中考真題）如圖，在△48中，AD=6,BC=5,AC2=AB（AB+BC）,

K.DABDC4,若AO=3AP,點(diǎn)。是線段A8上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值是（）

A.在B.四C.且D.-

2225

5.（2021?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，在二A8C中，ZABC=90°,ZC=30°,以點(diǎn)A為圓

心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧交AC于點(diǎn)O,連接80,再分別以點(diǎn)B,。為圓心，大于;物的

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線4P交BC于點(diǎn)E,連接OE,則下列結(jié)論中不走碩的

是（）

A

D

A.BE=DEB.DE垂直平分線段AC

D.BD?=BCBE

AnA/71

6.（2021?四川巴中?中考真題）如圖，—ABC中，點(diǎn)。、E分別在AB、AC上，且==—

DBEC2

下列結(jié)論正確的是（）

A.DE-8c=1：2

B.ADE與A8C的面積比為1：3

C.-AOE與一ABC的周長(zhǎng)比為1：2

D.DE//BC

7.（2021?山東濱州?中考真題）在銳角A3C中，分別以AB和AC為斜邊向A3C的外側(cè)作

等腰Rf和等腰RrACW,點(diǎn)D、E、尸分別為邊AB、AC、8C的中點(diǎn)，連接AW、MF、

FE、FN.根據(jù)題意小明同學(xué)畫出草圖（如圖所示），并得出下列結(jié)論：①M(fèi)D=FE,

②ZDMF=ZEFN,③FM工FN,@5AC￡f=Sra?f￡,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

8.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，菱形ABC。的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)），=&和尸區(qū)的

圖象上，若/8CD=60。，則少的值為（）

自

A.GB.-C.......-D.—

333

9.（2021?遼寧錦州?中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于。。，AB為。。的直徑，。為。。上一

點(diǎn)（位于A8下方），CD交AB于點(diǎn)、E,若/8OC=45。，BC=6垃，CE=2DE,則CE的長(zhǎng)

為（）

A.2瓜B.472C.3不D.4g

10.（2021?遼寧盤錦?中考真題）“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從末望水岸,

入徑四寸，問井深幾何？''這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題，它的

題意可以由示意圖獲得.設(shè)井深為工尺，所列方程正確的是（）

50.450.4-15-55—0.4

A.----=——B.-=——C.----=——D.-=------

5+x5x5x+50.4x0.4

11.（2021?山東濱州?中考真題）如圖，在中，NBQ4=45。，點(diǎn)。為邊A3上一點(diǎn),

o

且3c=2AC.如果函數(shù)y=^（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)8和點(diǎn)C,那么用下列坐標(biāo)表示的點(diǎn),

A.(-2019,674)B.(-2020,675)

C.(2021,-669)D.(2022,-670)

12.（2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）如圖①，在矩形ABC。中，H為邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)

M從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AH-HC-CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停

止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是Icm/s,若點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為小），的

面積為S（cn?）,已知S與r之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是（）

②在運(yùn)動(dòng)過程中，使得為等腰三角形的點(diǎn)M一共有3個(gè).

③當(dāng)0<f46時(shí)，S=—t2.

4

④當(dāng)f=9+右時(shí)，ADH^,ABM.

⑤當(dāng)9</<9+3/時(shí)，S=-3t+9+3y/3.

A.①③④B.①③⑤C.①②④D.③@(§)

二、填空題

13.（2021?山東青島?中考真題）已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為3,E為CD上一點(diǎn),連接AE并

延長(zhǎng)，交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作短GLAF,交AF于點(diǎn)H,交5尸于點(diǎn)G,N為EF

S1

的中點(diǎn)，M為BD上一動(dòng)點(diǎn),分別連接"C,MN.若督塵=五,則MV+MC的最小值為

,△FCE4

14.（2021?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,對(duì)角線8。的垂直

平分線EF交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)尸，則線段跳■的長(zhǎng)為一.

15.（2021?甘肅蘭州?中考真題）如圖，在矩形ABCO中，AB=1,AD=3.①以點(diǎn)A為圓

心，以不大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊A￡?,A8于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,F為圓

心，以大于;長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線AP分別交8￡>,8c于點(diǎn)O,Q;

②分別以點(diǎn)C,。為圓心，以大于gc。長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M,N,作直線MN交

AP于點(diǎn)G,則OG長(zhǎng)為.

16.（2021?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，一個(gè)由8個(gè)正方形組成的“C”型模板恰好完全放入

一個(gè)矩形框內(nèi)，模板四周的直角頂點(diǎn)用，N,O,P,。都在矩形ABCZ）的邊上，若8個(gè)

小正方形的面積均為1,則邊A3的長(zhǎng)為.

17.（2021.山東日照?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形。48c的邊OC、

分別在x軸和丫軸上，0A=10,點(diǎn)。是邊AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，將△04）沿直線

。。折疊后得到△04,若反比例函數(shù)廣￡（讓0）的圖象經(jīng)過4點(diǎn)，則上的值為

18.（2021-江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，點(diǎn)E分別在△ABC的邊AC,A3上，△ADE<^△48C,

MN分別是OE,BC的中點(diǎn)，若瑞專，則守=一

19.（2021?遼寧鞍山?中考真題）如圖，在正方形A8CQ中，對(duì)角線AC,30相交于點(diǎn)O,F

是線段。。上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)/不與點(diǎn)O,。重合），連接CF,過點(diǎn)尸作FGJ_CF分別交AC,

AB于點(diǎn)從G,連接CG交8。于點(diǎn)M,作OE//CD交CG于點(diǎn)E,EF交AC于點(diǎn)、N.有下

列結(jié)論：①當(dāng)BG=8M時(shí)，AG=&BG;②絲■=空；③當(dāng)GM=〃/時(shí)，CF2=CNBC；

0MOC

@CN2=BM2+DF2.其中正確的是（填序號(hào)即可）.

20.（2021.遼寧鞍山?中考真題）如圖，43c的頂點(diǎn)8在反比例函數(shù)丫=々8>0）的圖象上,

X

頂點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，A3//X軸,AB,8c分別交y軸于點(diǎn)D,E.若生=筆=。，s.=13,

CEAD2

則左=.

21.（2021?遼寧錦“'卜I?中考真題）如圖，NMON=30。,點(diǎn)4在射線?！鄙?，過點(diǎn)A/作A汨/，OM

交射線ON于點(diǎn)B/,將△A/OB/沿48/折疊得到△A*2B/,點(diǎn)上落在射線OM上；過點(diǎn)上

作交射線ON于點(diǎn)比，將△40歷沿上星折疊得到△A2A3歷，點(diǎn)4落在射線OM

上；…按此作法進(jìn)行下去，在NMON內(nèi)部作射線。機(jī)分別與4B/,A2B2,A3B3,AnBn

交于點(diǎn)、Pi,交Ps>...Pn,又分別與48/,A3B2,A4B3,An+iBn,交于點(diǎn)Q,Q,。3,…，

Qn.若點(diǎn)B為線段A/B/的中點(diǎn)，。4/=右，則四邊形的面積為

（用含有〃的式子表示）.

22.（2021.遼寧錦州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，nOABC的頂點(diǎn)A,8在第一

象限內(nèi)，頂點(diǎn)C在y軸上，經(jīng)過點(diǎn)4的反比例函數(shù)y=±（x>0）的圖象交8C于點(diǎn)D.若

X

CD=2BD,DOABC的面積為15,則&的值為.

23.（2021.四川巴中?中考真題）如圖，把邊長(zhǎng)為3的正方形OABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃。（0

＜，＜90）得到正方形ODERDE與BC交于前P,即的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)Q,交OA的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)M.若BQ：4。=3：1,則4例=.

24.（2021?廣西百色?中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC,NB=72。，/ACB的平分線

CD交AB于點(diǎn)D,則點(diǎn)O是線段AB的黃金分割點(diǎn).若AC=2,則8。=.

25.（2021.遼寧沈陽(yáng).中考真題）如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)例，N分別是邊BC,DC上的

33

點(diǎn)'BM=*C,DN=.DC.連接,,AM延長(zhǎng)4V交線段BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

AD

(1)求證：△ABMgAAND；

(2)若4)=4,則ME的長(zhǎng)是

26.(2021?青海西寧?中考真題)如圖，ABC內(nèi)接于：。，AB=AC,AO是.Q的直徑,

交8c于點(diǎn)E,過點(diǎn)、D作DF//BC,交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接30.

(1)求證：DF是。的切線;

(2)己知AC=12,A尸=15,求OF的長(zhǎng).

27.(2021?遼寧沈陽(yáng)?中考真題)如圖，是。的直徑，AO與O交于點(diǎn)A,點(diǎn)E是半

徑。4上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)O,A重合).連接交于點(diǎn)C,連接C4,CB.若C4=8,

ZABC=ND.

(1)求證：AO是：。的切線.

(2)若Afi=13,CA=CD=5,則AO的長(zhǎng)是.

B

----------------------

28.（2021.遼寧沈陽(yáng)?中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線

y=-/+bx+c與x軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），點(diǎn)8坐標(biāo)是（3,0）.拋物線與y

軸交于點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，連接尸C.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)尸的坐標(biāo).

（2）直線BC與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)。為直線8c上一動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)QAB的面積等于PC。面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

17

②在①的條件下，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)。作直線/垂直于AQ,直線y=交直

17

線/于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在直線y=：x-（上，且AG=AQ時(shí)，請(qǐng)直接寫出G尸的長(zhǎng).

囚O\

參考答案

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找出對(duì)應(yīng)邊，即可.

【詳解】

解：VABC^AACD,

.ACABBC,

..===K,

ADACCD

故選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，是解題的關(guān)鍵.

2.A

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

△ABCs^DEF.相似比為2:1

.?一ABC與..￡)所的面積比為(2:1)：!=4:1,

故選：A.

【點(diǎn)撥】考查相似三角形的性質(zhì)，理解相似三角形的面積比等于相似比的平方是關(guān)鍵.

3.C

【分析】相似三角形的判定方法：有兩對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且

夾角相等的兩個(gè)三角形相似.

【詳解】

ABAC

解：A.

7FAV

ABA'B'

B.且ZA=NC',

AC~^C

ABAC

D.，且=

A'B'A'C

均不能判斷ABC與VA6C，相似，故錯(cuò)誤;

C處——ELZB=ZAf，能判定:ABC與7KBe相似，本選項(xiàng)正確

'A'B'A(_z

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題是相似三角形的判定的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空

題形式出現(xiàn)，難度一般.

4.A

【分析】延長(zhǎng)CB到E,使得設(shè)3E=A8=a,證明AAOBS/XEDA,利用相似三

角形的性質(zhì)和勾股定理構(gòu)建方程，解方程求解.

【詳解】

解：延長(zhǎng)C3到E,使得8E=84

D

設(shè)BE=AB=a,

?；BE=BA,

：.ZE=ZBAE,

,：ZADC=ZABD+ZBAD=2ZE+NBAD=3NBAD,

:?NBAD=NE.

?.*NADB=NEDA,

：.叢ADBs/\EDA,

,AD_BD

,?ED

:?AD2=ED?BD=2(2+6?)=4+2m

在RlAACD中,AC2=AD2-CD2,

在肋AACB中，AC2=AB2-BC2,

2222

：.AD-CD=AB-BC9

.??4+2〃-l2=a2-32,

解得：m=1+Ji5,42=1-(舍去)，

?"8=1+舊，

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線,

證明△

5.D

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到OE〃A8,DF//AC,EF//BC,DE=^AB,DF=^AC,

EF=；BC,根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、位似圖形的概念判斷即可.

【詳解】

解：：￡＞、E、尸分別為04、OB、0C的中點(diǎn)，

：.DE//AB,DF//AC,EF//BC,DE=^AB,DF=^AC,EF=|BC,

:AABCsADEF,相似比為2：1,

.?.△A8C與△。￡尸位似，A48C與△OE尸周長(zhǎng)比為2：1,△A8C與ADE尸面積比為4：1,

①②③④的說法都正確，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)、三角形中位線

定理是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AE。尸尸，AD=BC,求出8c=4O=2EC,再

得出答案即可.

【詳解】

解：???四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

:.AEDFSACBF,

.EDEF

"~BC~~FC'

??,點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，

：.AD^2ED,

：.BC=2ED,

.ED\EF

,,BC-2FC'

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合的思想是解

題關(guān)鍵.

7.D

spAR

【分析】設(shè)BC=x,借助三角函數(shù)表示出各線段的長(zhǎng)，通過△AFBsACFE,將笫轉(zhuǎn)化為器

即可.

【詳解】

解：在RA48C中，ZBAC=30°,

設(shè)BC=x,則AC=2r,

在RSAOC中，ZDAC=30°,

則CD=tan3>0°xAC=^-,

3

AD=2CD普,

為40的中點(diǎn):，連接CE,

.\CE=AE=^-,

3

/EAC=/ECA,

：.ZECA=ZBACf

XVZAFB=ZCFEf

：.XAFBsXCFE,

AFAB_3

**?CFCE2>/3x2，

3

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的運(yùn)用，能夠借助相似將

美轉(zhuǎn)化為空是解題的關(guān)鍵.

CrCE

8.D

【分析】首先利用R3A8E求出8E=g.根據(jù)折疊得到8F=28E=2>/L再利用

△AOGs△尸CG求出結(jié)果.

【詳解】

解：在RSABE中，NB=3O°,AB=2,

BE=G.

根據(jù)折疊性質(zhì)可得BF=2BE=26.

：.CF=2y/3-2,

'：AD//CF,

：.△kDGsXFCG.

.DGAD26+i

"CGCF-2^-2'

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形得到比例式是

解決問題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】根據(jù)△。所s4￡)C8即可求得BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求得樹高A3

【詳解】

解：依題意NEDFu/CDB,FELDE,BCLDC

NDEF=NDCB

，/\DEFS&DCB

.DEEF

'~DC~'BC

DE=30cm,EF=15cm,CD=10m,AC=1.6m,

.惟DCEF10x15.

DE30

AB=AC4-BC=1.64-5=6.6m

故選B

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意找到相似三角

形是解題的關(guān)鍵.

10.D

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE=A'E,ZAED=4VEg0。，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得

A'C=A'E,然后求出AC=3AE,再證明AADE和AA8C相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比

例列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：A4DE沿短E翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，

AE=AE,ZAED=ZAED=90°,

A為CE的中點(diǎn)，

/.A'C=A'E,

：.AC=3AE,

又,NA=NA,NC=90°,

.?.AA￡>￡^AA/?C,

AE_DE

~ACfiC

即墨彗

解得DE=\.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)

應(yīng)角相等，本題確定出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

11.A

【分析】證得△ABCAD4c后由面積比為相似比的平方即可求得AABC的面積.

【詳解】

'：ZBAC^ZADC,ZC=ZC

.".△ABC△DAC

又：4C=3,BC=6

：.AC：BC=\：2

.?.△ABC△D4C相似比為2：1

則△ABCAD4c面積比為4：1

???△D4C的面積為〃

.,.△ABC的面積為4a.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形判斷及性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，相

似三角形的對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，相似三角形的周

長(zhǎng)比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.

12.A

【分析】根據(jù)A。是中線，得到8O=;BC=3,由G為AABC的重心，可以得到與=,，

，ZJLLJJ

FGAG2

有EF〃8C,可以證明得到==不=彳，由此求解即可.

BDAD3

【詳解】

解：是中線，

BD=-BC=3,

2

：G為△A8C的重心，

?AG2

??~=—，

AD3

■:EF〃BC,

：.IXAEGSAABD,

?EGAG2

…茄一茄一針

/.EG=2BD=2,

3

故選A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定，重心的性質(zhì)，三角形的中線，解題的關(guān)鍵在于

能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

13.2

【分析】由AB〃DE,即可證得△ABCS/\ECD,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可

求得CE的長(zhǎng).

【詳解】

解：AB//DE,

:.^ABC^SECD,

,ACBC

"~CE~~CD'

AC=4,BC=2,DC=l,

4_2

??瓦=T'

解得：CE=2.

故答案為：2

【點(diǎn)撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

14.3.

【分析】利用三角形中位線定理以及相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】

VP,Q分別為48,AC的中點(diǎn)，

APQ//BC,PQ=；BC,

：.\APQ^\ABC,

2)41

Sw0=],

,,SA48C—4>

,?S四邊彩PBCQ=StiABC~S(M>Q—3,

故答案為：3.

【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握基本知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

15.4

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC,則OE是AACB的中位線，則可得出答案.

【詳解】

解：?.ZABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,

；.OA=OC,

??,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE=TBC,OE//BC,

.'.△AOE^AACB,

2

?-0E=^ec=(￡^)=1

…SMCBBC4,

1?△ABC的面積是16,

,"SAAOE=4>

**.SABEO-4.

故答案為：4.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中位線定理，熟練掌握

平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.5：4：6.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃BC,EB〃CD,然后由相似三角形的判定和性質(zhì)即

可求.

【詳解】

解：設(shè)AF=x,則DF=2x,

四邊形ABCD是平行四邊形，

；.EB〃CD,AD/7BC,AD=BC=AF+DF=3x,

.?.△AEFSDCF,ADFG^ABCG,

.EFAF\DFFG_2x_2

"FC-DF-2''BC~'GC~3x~3,

設(shè)FG=2k,則GC=3k,

VFC=FG+GC,EF=-FC,

2

AEF=-k,

2

；.EF：FG：GC=5：4：6,

故答案為5：4：6.

【點(diǎn)撥】平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)是本題的考點(diǎn)，能夠熟練掌握其性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

17.1或火+1

【分析】分兩種情形：當(dāng)尸時(shí)，/AE8=/￡>P。，證明EP=E4,求出點(diǎn)E的橫

坐標(biāo)即可解決問題.②當(dāng)aABEsPOD時(shí)，過點(diǎn)E作附于”.證明

可得EH?=PH?AH，設(shè)AH=x,貝ljPH=6-x,構(gòu)建方程求出x,即可解決問題.

【詳解】

解：①當(dāng)，ABEs,“中時(shí)，ZAEB=ZDPO,

'：BC//AP,

NEAP=NAEB,

：.ZEPA^ZEAP,

；.EP=EA,

點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為I,

：.CE^1.

②當(dāng)ABEjPOD時(shí),過點(diǎn)E作E”，必于〃.

o

VZBAE=ZEM,ZBAE+ZEAP=90t

：.ZEPA+ZEAP=90°,

???NAEP=90。，

'：EHLAP9

；?NEHP=NEHA=90。,

：?/PEH+NEPH=9U。,NPEH+/AEH=9U。,

：.NEPH=NAEH,

:?XPHES^EHA,

：?EH2=PH?AH，

設(shè)