概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-教（學(xué)）案32課時

./第一章隨機(jī)事件及其概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實(shí)世界中一類不確定現(xiàn)象〔隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科,20世紀(jì)以來,廣泛應(yīng)用于工業(yè)、國防、國民經(jīng)濟(jì)及工程技術(shù)等各個領(lǐng)域.本章介紹的隨機(jī)事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.[教學(xué)目的與要求]通過學(xué)習(xí),使學(xué)生理解隨機(jī)事件和樣本空間的概念；熟練掌握事件間的關(guān)系與基本運(yùn)算.理解事件頻率的概念；了解隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.知道概率的公理化定義；理解古典概型的概念；了解幾何概率；掌握概率的基本性質(zhì)〔特別是加法定理,會應(yīng)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算.理解條件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式,并會應(yīng)用這些公式進(jìn)行概率計(jì)算.理解事件獨(dú)立性的概念,會應(yīng)用事件的獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算.掌握貝努里概型及有關(guān)事件概率的計(jì)算.[教學(xué)重點(diǎn)]事件的關(guān)系與運(yùn)算；概率的公理化體系；古典概型的計(jì)算；概率的加法公式、乘法公式與全概率公式；條件概率與事件的獨(dú)立性.貝努里概型.[教學(xué)難點(diǎn)]古典概率的計(jì)算；全概公式與貝葉斯公式的應(yīng)用；[計(jì)劃課時]8[教學(xué)內(nèi)容]第一節(jié)隨機(jī)事件一.隨機(jī)現(xiàn)象從亞里士多德時代開始,哲學(xué)家們就已經(jīng)認(rèn)識到隨機(jī)性在生活中的作用,但直到20世紀(jì)初,人們才認(rèn)識到隨機(jī)現(xiàn)象亦可以通過數(shù)量化方法來進(jìn)行研究.概率論就是以數(shù)量化方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.而我們已學(xué)過的微積分等課程則是研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)科.二.隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知,初看似乎毫無規(guī)律.然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時,其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性,從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性.人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科.為了對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察,我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),并簡稱為試驗(yàn),記為.例如,觀察某射手對固定目標(biāo)進(jìn)行射擊;拋一枚硬幣三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù);記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn):1.可重復(fù)性:試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;2.可觀察性:試驗(yàn)結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的;3.不確定性:每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知.三.樣本空間盡管一個隨機(jī)試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的,但其所有可能結(jié)果是明確的,我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果稱為一個樣本點(diǎn),記為〔或；它們的全體稱為樣本空間,記為<或>.基本事件的稱謂是相對觀察目的而言它們是不可再分解的、最基本的事件,其它事件均可由它們復(fù)合而成,一般地,我們稱由基本事件復(fù)合而成的事件為復(fù)合事件.四.事件的集合表示按定義,樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果<樣本點(diǎn)>的全體,故樣本空間就是所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合,每一個樣本點(diǎn)是該集合的元素.一個事件是由具有該事件所要求的特征的那些可能結(jié)果所構(gòu)成的,所以一個事件對應(yīng)于中具有相應(yīng)特征的樣本點(diǎn)<元素>構(gòu)成的集合,它是的一個子集.于是,任何一個事件都可以用的某一子集來表示,常用字母等表示.五.事件的關(guān)系與運(yùn)算因?yàn)槭录菢颖究臻g的一個集合,故事件之間的關(guān)系與運(yùn)算可按集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來處理.六.事件的運(yùn)算規(guī)律事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算是一致的,為了方便,給出下列對照表：表1.1例題選講：例1在管理系學(xué)生中任選一名學(xué)生,令事件A表示選出的是男生,事件B表示選出的是三年級學(xué)生,事件C表示該生是運(yùn)動員.<1>敘述事件的意義;<2>在什么條件下成立?<3>什么條件下?<4>什么條件下成立?例2考察某一位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)考試中的成績,分別用A,B,C,D,P,F表示下列各事件<括號中表示成績所處的范圍>:則是兩兩不相容事件與是互為對立事件,即有均為的子事件,且有例3甲,乙,丙三人各射一次靶,記"甲中靶""乙中靶""丙中靶"則可用上述三個事件的運(yùn)算來分別表示下列各事件：<1>"甲未中靶"：<2>"甲中靶而乙未中靶"：<3>"三人中只有丙未中靶"<4>"三人中恰好有一人中靶"：<5>"三人中至少有一人中靶"<6>"三人中至少有一人未中靶"或<7>"三人中恰有兩人中靶"<8>"三人中至少兩人中靶"<9>"三人均未中靶"<10>"三人中至多一人中靶<11>"三人中至多兩人中靶"或注：用其他事件的運(yùn)算來表示一個事件,方法往往不惟一,如上例中的<6>和<11>實(shí)際上是同一事件,讀者應(yīng)學(xué)會用不同方法表達(dá)同一事件,特別在解決具體問題時,往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?例4指出下列各等式命題是否成立,并說明理由:<1>;<2>;<3>;<4>;<5>如果,則<6>如果,且,則;<7>如果,那么;<8>如果,那么例5化簡下列事件：<1><2>思考題1.設(shè)當(dāng)事件與同時發(fā)生時也發(fā)生,則<>.<A>是的子事件;<B>或<C>是的子事件;<D>是的子事件.2.設(shè)事件{甲種產(chǎn)品暢銷,乙種產(chǎn)品滯銷},則的對立事件為<>.<A>甲種產(chǎn)品滯銷,乙種產(chǎn)品暢銷;<B>甲種產(chǎn)品滯銷;<C>甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷;<D>甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.第二節(jié)隨機(jī)事件的概率對一個隨機(jī)事件,在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,它是否會發(fā)生,事先不能確定.但我們可以問,在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的可能性有多大？并希望找到一個合適的數(shù)來表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小.為此,本節(jié)首先引入頻率,它描述了事件發(fā)生的頻繁程度,進(jìn)而引出表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)概率.一.頻率及其性質(zhì)定義1若在相同條件下進(jìn)行次試驗(yàn),其中事件發(fā)生的次數(shù)為,則稱為事件發(fā)生的頻率.易見,頻率具有下述基本性質(zhì):1.2.3.設(shè)是兩兩互不相容的事件,則.二.概率的統(tǒng)計(jì)定義定義2在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),若事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)<附近擺動,則稱為事件的概率,記為.頻率的穩(wěn)定值是概率的外在表現(xiàn),并非概率的本質(zhì).據(jù)此確定某事件的概率是困難的,但當(dāng)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時,頻率會接近穩(wěn)定值,因此,在實(shí)際應(yīng)用時,往往是用試驗(yàn)次數(shù)足夠大的頻率來估計(jì)概率的大小,且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,估計(jì)的精度會越來越高.三.概率的公理化定義任何一個數(shù)學(xué)概念都是對現(xiàn)實(shí)世界的抽象,這種抽象使得其具有廣泛的適用性.概率的頻率解釋為概率提供了經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),但是不能作為一個嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義,從概率論有關(guān)問題的研究算起,經(jīng)過近三個世紀(jì)的漫長探索歷程,人們才真正完整地解決了概率的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義.1933年,前蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫,在他的"概率論的基本概念"一書中給出了現(xiàn)在已被廣泛接受的概率公理化體系,第一次將概率論建立在嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上.定義3設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是它的樣本空間,對于的每一個事件賦于一個實(shí)數(shù),記為,若滿足下列三個條件:1.非負(fù)性：對每一個事件,有;2.完備性：;3.可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件,則有則稱為事件的概率.四.概率的性質(zhì)性質(zhì)1--性質(zhì)例題選講：頻率及其性質(zhì)例1圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù),我國數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位,這個記錄保持了1000多年!以后有人不斷把它算得更精確.1873年,英國學(xué)者沈克士公布了一個的數(shù)值,它的數(shù)目在小數(shù)點(diǎn)后一共有707位之多!但幾十年后,曼徹斯特的費(fèi)林生對它產(chǎn)生了懷疑.他統(tǒng)計(jì)了的608位小數(shù),得到了下表:你能說出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎?因?yàn)槭且粋€無限不循環(huán)小數(shù),所以,理論上每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等,或它們出現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于0.1,但7出現(xiàn)的頻率過小.這就是費(fèi)林產(chǎn)生懷疑的理由.概率的統(tǒng)計(jì)定義例2檢查某工廠一批產(chǎn)品的質(zhì)量,從中分別抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件檢查,檢查結(jié)果及次品頻列入表1-21由表1看出,在抽出的n件產(chǎn)品中,次品數(shù)隨著n的不同而取不同值,從而次品頻率僅在0.05附近有微小變化.所以0.05是次品頻率的穩(wěn)定值.例3從某魚池中取100條魚,做上記號后再放入該魚池中.現(xiàn)從該池中任意捉來40條魚,發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號,問池內(nèi)大約有多少條魚?概率的性質(zhì)例4已知,求<1>;<2>;<3>;<4>.例5觀察某地區(qū)未來5天的天氣情況,記為事件:"有天不下雨",已知求下列各事件的概率:<1>天均下雨;<2>至少一天不下雨;<2>至少一天不下雨;例6某城市中發(fā)行2種報(bào)紙A,B.經(jīng)調(diào)查,在這2種報(bào)紙的訂戶中,訂閱A報(bào)的有45%,訂閱B報(bào)的有35%,同時訂閱2種報(bào)紙A,B的有10%.求只訂一種報(bào)紙的概率講解注意：思考題1.設(shè),求事件的逆事件的概率.2.設(shè)求.3.設(shè)都出現(xiàn)的概率與都不出現(xiàn)的概率相等,且,求.第三節(jié)古典概型與幾何概型引例一個紙桶中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1—10.把球攪勻,蒙上眼睛從中任取一球.因?yàn)槌槿r這些球被抽到的可能性是完全平等的,所以我們沒有理由認(rèn)為這10個球中的某一個會比另一個更容易抽得,也就是說,這10個球中的任一個被抽取的可能性均為.這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)是一類最簡單的概率模型,它曾經(jīng)是概率論發(fā)展初期主要的研究對象.一、古典概型我們稱具有下列兩個特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判?1.隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個可能的結(jié)果;2.每一個結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同..因而古典概型又稱為等可能概型.在概率論的產(chǎn)生和發(fā)展過參程中,它是最早的研究對象,且在實(shí)際中也最常用的一種概率模型.它在數(shù)學(xué)上可表述為：在古典概型的假設(shè)下,我們來推導(dǎo)事件概率的計(jì)算公式.設(shè)事件包含其樣本空間中個基本事件,即則事件發(fā)生的概率稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.這就把求古典概率的問題轉(zhuǎn)化為對基本事件的計(jì)數(shù)問題.二、計(jì)算古典概率的方法基本計(jì)數(shù)原理：1.加法原理：設(shè)完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法,第二種方式有種方法,……,第種方式有種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數(shù)為.2.乘法原理：設(shè)完成一件事有個步驟,其中第一個步驟有種方法,第二個步驟有種方法,……,第個步驟有種方法；完成該件事必須通過每一步驟才算完成,則完成這件事的方法總數(shù)為.3.排列組合方法：排列公式：<2>組合公式；<3>二項(xiàng)式公式.三、幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型.這里我們進(jìn)一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型—幾何概型.〔a設(shè)樣本空間是平面上某個區(qū)域,它的面積記為;〔b向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn),這里"隨機(jī)投擲一點(diǎn)"的含義是指該點(diǎn)落入內(nèi)任何部分區(qū)域的可能性只與區(qū)域的面積成比例,而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān).向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在區(qū)域的的事件仍記為,則概率為,其中為常數(shù),而,于是得,從而事件的概率為幾何概率注:若樣本空間為一線段或一空間立體,則向"投點(diǎn)"的相應(yīng)概率仍可用式確定,但應(yīng)理解為長度或體積.例題選講：例1一個袋子中裝有10個大小相同的球,其中3個黑球,7個白球,求從袋子中任取一球,這個球是黑球的概率;從袋子中任取兩球,剛好一個白球一個黑球的概率以及兩個球全是黑球的概率.例2將標(biāo)號為1,2,3,4的四個球隨意地排成一行,求下列各事件的概率:<1>各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的順序;<2>第1號球排在最右邊或最左邊;<3>第1號球與第2號球相鄰;<4>第1號球排在第2號球的右邊<不一定相鄰>.例3將3個球隨機(jī)放入4個杯子中,問杯子中球的個數(shù)最多為1,2,3的概率各是多少?例4將15名新生<其中有3名優(yōu)秀生>隨機(jī)地分配到三個班級中,其中一班4名,二班5名,三班6名,求:每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率;3名優(yōu)秀生被分配到一個班級的概率.例5在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?例6一個袋子中裝有個球,其中個黑球,個白球,隨意的每次從中取出一個球〔不放回,求下列各事件的概率：〔1第次取到的是黑球；〔2第次才取到黑球;〔3前次中能取到黑球.幾何概型例7某人午覺醒來,發(fā)覺表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺報(bào)時,設(shè)電臺每正點(diǎn)是報(bào)時一次,求他<她>等待時間短于10分鐘的概率.例8會面問題>甲、乙兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時就離開.如果每個人可在指定的一小時內(nèi)任意時刻到達(dá),試計(jì)算二人能夠會面的概率.思考題1.設(shè)有件產(chǎn)品,其中有件次品,現(xiàn)從中任取件,求其中有件次品的概率.第四節(jié)條件概率先由一個簡單的例子引入條件概率的概念.一、條件概率的概念在解決許多概率問題時,往往需要在有某些附加信息<條件>下求事件的概率.如在事件發(fā)生的條件下,求事件發(fā)生的條件概率,記作.定義1設(shè)是兩個事件,且,則稱<1>為在事件發(fā)生的條件下,事件的條件概率.相應(yīng)地,把稱為無條件概率.一般地,.注:1.用維恩圖表達(dá)<1>式.若事件已發(fā)生,則為使也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在中又在中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于.因已知已發(fā)生,故成為計(jì)算條件概率新的樣本空間.2.計(jì)算條件概率有兩種方法:：a>在縮減的樣本空間中求事件的概率,就得到；b>在樣本空間中,先求事件和,再按定義計(jì)算.二、乘法公式由條件概率的定義立即得到:<2>注意到,及的對稱性可得到:<3><2>和<3>式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個事件同時發(fā)生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率論中的一個基本公式.它使一個復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.定理1設(shè)是一個完備事件組,且則對任一事件,有注:全概率公式可用于計(jì)算較復(fù)雜事件的概率,公式指出:在復(fù)雜情況下直接計(jì)算不易時,可根據(jù)具體情況構(gòu)造一組完備事件,使事件發(fā)生的概率是各事件發(fā)生條件下引起事件發(fā)生的概率的總和.四、貝葉斯公式利用全概率公式,可通過綜合分析一事件發(fā)生的不同原因、情況或途徑及其可能性來求得該事件發(fā)生的概率.下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題,即,一事件已經(jīng)發(fā)生,要考察該事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性.例如,有三個放有不同數(shù)量和顏色的球的箱子,現(xiàn)從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.或問:該球取自哪號箱的可能性最大?定理2設(shè)是一完備事件組,則對任一事件,,有貝葉斯公式注:公式中,和分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.是在沒有進(jìn)一步信息<不知道事件是否發(fā)生>的情況下諸事件發(fā)生的概率.當(dāng)獲得新的信息<知道發(fā)生>,人們對諸事件發(fā)生的概率有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化.特別地,若取,并記,則,于是公式成為例題選講：條件概率例1一袋中裝有10個球,其中3個黑球,7個白球,先后兩次從袋中各取一球<不放回><1>已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;<2>已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.例2袋中有5個球,其中3個紅球2個白球.現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個.已知第一次取得紅球時,求第二次取得白球的概率.乘法公式例3一袋中裝10個球,其中3個黑球、7個白球,先后兩次從中隨意各取一球<不放回>,求兩次取到的均為黑球的概率.分析：這一概率,我們曾用古典概型方法計(jì)算過,這里我們使用乘法公式來計(jì)算.在本例中,問題本身提供了兩步完成一個試驗(yàn)的結(jié)構(gòu),這恰恰與乘法公式的形式相應(yīng),合理地利用問題本身的結(jié)構(gòu)來使用乘法公式往往是使問題得到簡化的關(guān)鍵.例4設(shè)袋中裝有只紅球,只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色然后放回,并再放入只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一,二次取到紅球且第三,四次取到白球的概率.例5設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.例6>已知,試求例7一袋中裝有10個球,其中3個黑球、7個白球,從中先后隨意各取一球〔不放回,求第二次取到的是黑球的概率.全概率公式例8人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價(jià)格的變化,往往會去分析影響股票價(jià)格的基本因素,比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),人們估計(jì),在利率下調(diào)的情況下,該支股票價(jià)格上漲的概率為80%,而在利率不變的情況下,其價(jià)格上漲的概率為40%,求該支股票將上漲的概率.例9某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱,乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱,甲廠每箱裝100個,廢品率為0.06,乙廠每箱裝120個,廢品率為0.05,求:<1>任取一箱,從中任取一個為廢品的概率；<2>若將所有產(chǎn)品開箱混放,求任取一個為廢品的概率.例10在例7中,我們將"第二次取到的球?yàn)楹谇?這一事件分解為兩種情況下發(fā)生,那里利用全概率公式算得"第二次取到的球?yàn)楹谇?的概率.現(xiàn)在的問題是,假設(shè)我們已經(jīng)觀察到"第二次取到的球?yàn)楹谇?,但我們不知道是在第一次取到的球?yàn)楹谇虻那闆r下第二次取的是黑球的可能性大,還是在第一次取到的球?yàn)榘浊虻那闆r下第二次取到的是黑球的可能性大,現(xiàn)求"第一次取到的是黑球"這種"情況"發(fā)生的概率.例11對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時,產(chǎn)品的合格率為98%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時,其合格率為55%.每天早上機(jī)器開動時,機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時,機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?例12設(shè)某批產(chǎn)品中,甲,乙,丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%,各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%,2%,5%,現(xiàn)從中任取一件,<1>求取到的是次品的概率;<2>經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品,求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.例13根據(jù)以上的臨床記錄,某種診斷癌癥的是眼睛有如下的效果:若以表示事件"試驗(yàn)反應(yīng)為陽性",以表示事件"被診斷者患有癌癥",則有現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查,設(shè)備試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005,即,試求思考題1.設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8,活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物,它能活到25歲以上的概率是多少?第五節(jié)事件的獨(dú)立性一、兩個事件的獨(dú)立性定義若兩事件,滿足<1>則稱,獨(dú)立,或稱,相互獨(dú)立.注:當(dāng),時,,相互獨(dú)立與,互不相容不能同時成立.但與既相互獨(dú)立又互不相容<自證>.定理1設(shè),是兩事件,且,若,相互獨(dú)立,則.反之亦然.定理2設(shè)事件,相互獨(dú)立,則下列各對事件也相互獨(dú)立:與,與,與.二、有限個事件的獨(dú)立性定義：為三個事件,若滿足等式則稱事件相互獨(dú)立.對個事件的獨(dú)立性,可類似寫出其定義:定義設(shè)是個事件,若其中任意兩個事件之間均相互獨(dú)立,則稱兩兩獨(dú)立.三、相互獨(dú)立性的性質(zhì)性質(zhì)1若事件相互獨(dú)立,則其中任意個事件也相互獨(dú)立;由獨(dú)立性定義可直接推出.性質(zhì)2若個事件相互獨(dú)立,則將中任意個事件換成它們的對立事件,所得的個事件仍相互獨(dú)立;對時,定理2已作證明,一般情況可利用數(shù)學(xué)歸納法證之,此處略.性質(zhì)3設(shè)是個隨機(jī)事件,則相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立.即相互獨(dú)立性是比兩兩獨(dú)立性更強(qiáng)的性質(zhì),四、伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果:事件發(fā)生<記為>或事件不發(fā)生<記為>,則稱這樣的試驗(yàn)為伯努利<Bermourlli>試驗(yàn).設(shè)將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次,稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為重伯努利試驗(yàn),或簡稱為伯努利概型.注:重伯努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型,在實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用.其特點(diǎn)是:事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為,且不受其他各次試驗(yàn)中是否發(fā)生的影響.定理3〔伯努利定理設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為則在重貝努里試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率為推論設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為則在重貝努里試驗(yàn)中,事件在第次試驗(yàn)中的才首次發(fā)生的概率為注意到"事件第次試驗(yàn)才首次發(fā)生"等價(jià)于在前次試驗(yàn)組成的重伯努利試驗(yàn)中"事件在前次試驗(yàn)中均不發(fā)生而第次試驗(yàn)中事件發(fā)生",再由伯努利定理即推得.例題選講：兩個事件的獨(dú)立性例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記{抽到},{抽到的牌是黑色的},問事件、是否獨(dú)立?注：從例1可見,判斷事件的獨(dú)立性,可利用定義或通過計(jì)算條件概率來判斷.但在實(shí)際應(yīng)用中,常根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.相互獨(dú)立性的性質(zhì)例2已知甲、乙兩袋中分別裝有編號為1,2,3,4的四個球.今從甲、乙兩袋中各取出一球,設(shè){從甲袋中取出的是偶數(shù)號球},{從乙袋中取出的是奇數(shù)號球},{從兩袋中取出的都是偶數(shù)號球或都是奇數(shù)號球},試證兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.例3加工某一零件共需經(jīng)過四道工序,設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別是2%,3%,5%,3%,假定各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率.例4如圖是一個串并聯(lián)電路系統(tǒng).都是電路中的元件.它們下方的數(shù)字是它們各自正常工作的概率.求電路系統(tǒng)的可靠性.例5甲,乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,每局甲勝的概率為p,p≥1/2.問對甲而言,采用三局二勝制有利,還是采用五局三勝制有利.設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.例6某種小數(shù)移栽后的成活率為90%,一居民小區(qū)移栽了20棵,求能成活18的概率.伯努利概型例7一條自動生產(chǎn)線上的產(chǎn)品,次品率為4%,求解以下兩個問題:<1>從中任取10件,求至少有兩件次品的概率;<2>一次取1件,無放回地抽取,求當(dāng)取到第二件次品時,之前已取到8件正品的概率.例8一個醫(yī)生知道某種疾病患者自然痊愈率為0.25,為試驗(yàn)一種新藥是否有效,把它給10個病人服用,且規(guī)定若10個病人中至少有四個治好則認(rèn)為這種藥有效,反之則認(rèn)為無效.求〔1雖然新藥有效,且把痊愈率提高到0.35,但通過實(shí)驗(yàn)卻被否定的概率.〔2新藥完全無效,但通過實(shí)驗(yàn)卻被認(rèn)為有效的概率.例9一個袋中裝有10個球,其中3個黑球,7個白球,每次從中隨意取出一球,取后放回.〔1如果共取10次,求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.〔2如果未取到黑球就一直去下去,直到取到黑球?yàn)橹?求恰好要取3次黑球的概率.例10一輛飛機(jī)場的交通車載有25名乘客途經(jīng)9個站,每位乘客都等可能在這9站中任意一站下車〔且不受其他乘客下車與否的影響,交通車只在有乘客下車時才停車,求交通車在第站停車的概率以及在第站不停車的條件下第站的概率,并判斷"第站停車"與"第站停車"兩個事件是否獨(dú)立.例11某型號高炮,每門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為0.6,現(xiàn)若干門炮同時各射一發(fā),<1>問:欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機(jī)至少需配置幾門炮?<2>現(xiàn)有3門炮,欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機(jī),問:每門炮的命中率應(yīng)提高到多少?思考題：1.某工人一天出廢品的概率為0.2,求在4天中:<1>都不出廢品的概率;<2>至少有一天出廢品的概率;<3>僅有一天出廢品的概率;<4>最多有一天出廢品的概率;<5>第一天出廢品,其余各天不出廢品的概率.第二章隨機(jī)變量及其分布在隨機(jī)試驗(yàn)中,人們除對某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外,往往還關(guān)心某個與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果相聯(lián)系的變量.由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果,因而被稱為隨機(jī)變量.與普通的變量不同,對于隨機(jī)變量,人們無法事先預(yù)知其確切取值,但可以研究其取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的分布.[教學(xué)目的與要求]通過學(xué)習(xí),使學(xué)生了解隨機(jī)變量的概念；理解分布函數(shù)的概念和性質(zhì)；掌握離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法；理解分布律與概率密度的概念和性質(zhì).熟練掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布；會利用概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率.會求簡單的隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布；[教學(xué)重點(diǎn)]離散型隨機(jī)變量的分布律與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的概念和性質(zhì)；二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布；隨機(jī)變量的函數(shù)的分布.[教學(xué)難點(diǎn)]連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布；[計(jì)劃課時]7[教學(xué)內(nèi)容]第一節(jié)隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量概念的引入為全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對應(yīng)起來.1.在有些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.2.在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示之.二、隨機(jī)變量的定義定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,稱定義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較:<1>都是實(shí)值函數(shù),但前者在試驗(yàn)前只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)先肯定它將取哪個值;<2>試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率,故前者取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.三、引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.由此可見,隨機(jī)事件這個概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個更廣的概念內(nèi).也可以說,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則以動態(tài)的觀點(diǎn)來研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后,對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量因其取值方式不同,通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量.今后,我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.例題選講：例1在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時,若規(guī)定出現(xiàn)正面時拋擲者贏1元錢,出現(xiàn)反面時輸1元錢,則其樣本空間為{正面,反面},記贏錢數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間的實(shí)值函數(shù)定義為例2在將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面、反面出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中,其樣本空間記每次試驗(yàn)出現(xiàn)正面的總次數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間上的函數(shù)定義為易見,使取值為的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為故類似地,有例3在測試燈泡壽命的試驗(yàn)中,每一個燈泡的實(shí)際使用壽命可能是中任何一個實(shí)數(shù),若用表示燈泡的壽命〔小時,則是定義在樣本空間上的函數(shù),即,是隨機(jī)變量.思考題：.一報(bào)童賣報(bào),每份0.15元,其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào),并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù),試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為,稱為的概率分布或分布律,也稱概率函數(shù).常用表格形式來表示的概率分布:二、常用離散分布退化分布兩點(diǎn)分布個點(diǎn)上的均勻分布二項(xiàng)分布幾何分布超幾何分布泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一.實(shí)際問題中許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布.三、二項(xiàng)分布的泊松近似定理1<泊松定理>在重伯努利試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為<注意這與試驗(yàn)的次數(shù)有關(guān)>,如果時,<為常數(shù)>,則對任意給定的,有.例題選講：離散型隨機(jī)變量及其概率分布例1某籃球運(yùn)動員投中籃圈的概率是0.9,求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)的概率分布.例2設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為:.確定常數(shù).二項(xiàng)分布例3已知100個產(chǎn)品中有5個次品,現(xiàn)從中有放回地取3次,每次任取1個,求在所取的3個中恰有2個次品的概率.例4某人進(jìn)行射擊,每次射擊的命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.例5有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一由4人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺;其二由3人共同維護(hù)80臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.幾何分布例6某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊,直到命中為止,已知他每發(fā)命中的概率是,求所需射擊發(fā)數(shù)的概率分布.泊松分布例7某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)的泊松分布,求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.二項(xiàng)分布的泊松近似例8某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品300件.根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01.問現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)廢品數(shù)大于5的概率是多少?例9一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件?例10自1875年至1955年中的某63年間,上海市夏季<5—9月>共發(fā)生大暴雨180次,試建立上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.思考題1.某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2,求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.2.一汽車沿一街道行駛,需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口,每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù),求的概率分布.第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)要描述一個隨機(jī)變量時,不僅要說明它能夠取哪些值,而且還要指出它取這些值的概率.只有這樣,才能真正完整地刻畫一個隨機(jī)變量,為此,我們引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念.一.隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè)是一個隨機(jī)變量,稱為的分布函數(shù).有時記作或.分布函數(shù)的性質(zhì)：1.單調(diào)非減.若,則；2.3.右連續(xù)性.即二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為則的分布函數(shù)為.例題選講：隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點(diǎn),記為落點(diǎn)的位置<數(shù)軸上的坐標(biāo)>,求隨機(jī)變量的分布函數(shù).例2判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例3設(shè)求.例4具有離散均勻分布,即求的分布函數(shù).例5設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求的概率分布.思考題1．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為,求的的分布函數(shù).第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義如果對隨機(jī)變量的分布函數(shù),存在非負(fù)可積函數(shù),使得對于任意實(shí)數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱為的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).關(guān)于概率密度的說明：1.對一個連續(xù)型隨機(jī)變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù),同時,還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率:；2.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0；3.若在點(diǎn)處連續(xù),則<1>二、常用連續(xù)型分布均勻分布定義若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則稱在區(qū)間上服從均勻分布,記為.指數(shù)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布.簡記為正態(tài)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為其中和都是常數(shù),則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.記為注:正態(tài)分布是概率中最重要的連續(xù)型分布,19世紀(jì)前葉由高斯加以推廣,又稱高斯分布.一般來說,一個隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響,而其中每一個因素都不起主導(dǎo)作用〔作用微小,則它服從正態(tài)分布.這是正態(tài)分布在實(shí)踐中得以廣泛應(yīng)用的原因.例如,產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo),元件的尺寸,某地區(qū)成年男子的身高、體重,測量誤差,射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差,信號噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等,都服從或近似服從正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)時稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,此時,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：〔1表中給出了時的數(shù)值,當(dāng)時,利用正態(tài)分布的對稱性,易見有〔2若則〔3若,則故的分布函數(shù)例題選講：連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例1設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù).例2設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求<1>概率;<2>X的密度函數(shù).常用連續(xù)型分布均勻分布例4某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45等時刻有汽車到達(dá)此站,如果乘客到達(dá)此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.指數(shù)分布例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其平均壽命為1000小時,求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.正態(tài)分布例6設(shè),求例7設(shè)某項(xiàng)競賽成績〔65,100,若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎,問獲獎分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？例8將一溫度調(diào)節(jié)器放置在內(nèi),調(diào)節(jié)器整定在℃,液體的溫度〔以℃計(jì)是一個隨機(jī)變量,且<1>若℃,求小于89℃的概率；<2>若要求保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99,問至少為多少？例9某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收300名職工,其中正式工280人,臨時工20人;報(bào)考的人數(shù)是1657人,考試滿分是400分.考試后得知,考試總平均成績,即分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,問他能否被錄取?能否被聘為正式工?例10在電源電壓不超過200伏,在200~240伏和超過240伏三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布<220,25>,試求：<1>該電子元件損壞的概率;<2>該電子元件損壞時,電源電壓在200~240伏的概率.思考題1.已知,求<1><2>;<3><4>2.某種型號電池的壽命近似服從正態(tài)分布,已知其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均為92.36%,為使其壽命在和之間的概率不小于0.9,至少為多少?第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、隨機(jī)變量的函數(shù)定義如果存在一個函數(shù),使得隨機(jī)變量滿足,則稱隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù).注:在微積分中,我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時,主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征,例如:導(dǎo)數(shù)、積分等.而在概率論中,我們主要研究是隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征,即由自變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性出發(fā)研究因變量的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律.一般地,對任意區(qū)間,令,則注:隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系確定,為從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為易見,的函數(shù)顯然還是離散型隨機(jī)變量.如何由的概率分布出發(fā)導(dǎo)出的概率分布?其一般方法是：先根據(jù)自變量的可能取值確定因變量的所有可能取值,然后對的每一個可能取值確定相應(yīng)的從而求得的概率分布.三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量,但我們主要討論連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形,此時我們不僅希望求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù),而且還希望求出其概率密度函數(shù).設(shè)已知的分布函數(shù)或概率密度函數(shù),則隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)可按如下方法求得:其中而常?？捎傻姆植己瘮?shù)來表達(dá)或用其概率密度函數(shù)的積分來表達(dá):進(jìn)而可通過的分布函數(shù),求出的密度函數(shù).定理1設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,又設(shè)處處可導(dǎo)且恒有<或恒有>,則是一個連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為其中是的反函數(shù),且例題選講：離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1設(shè)隨機(jī)變量具有以下的分布律,試求的分布律連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2對一圓片直徑進(jìn)行測量,其值在[5,6]上均勻分布,求圓片面積的概率分布密度.例3設(shè),求的概率密度.例4設(shè),求的密度函數(shù).例5已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從上的均勻分布.例6也服從正態(tài)分布.例7設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布,求的概率密度.例8<對數(shù)正態(tài)分布>隨機(jī)變量稱為服從參數(shù)為的對數(shù)正態(tài)分布,如果服從正態(tài)分布.試求對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù).注：在實(shí)際中,通常用對數(shù)正態(tài)分布來描述價(jià)格的分布,特別是在金融市場的理論研究中,如著名的期權(quán)定價(jià)公式〔Black—Scholes公式,以及許多實(shí)證研究都用對數(shù)正態(tài)分布來描述金融資產(chǎn)的價(jià)格.設(shè)某種資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格為,考慮單期投資問題,到期時該資產(chǎn)的價(jià)格為一個隨機(jī)變量,記作,設(shè)投資于該資產(chǎn)的連續(xù)復(fù)合收益率為,則有從而注意到為當(dāng)前價(jià)格,是已知常數(shù),因而假設(shè)價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布實(shí)際上等價(jià)于假設(shè)連續(xù)復(fù)合收益率服從正態(tài)分布.例9設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).思考題1.設(shè)X的分布列為求:<1>2X的分布列;<2>的分布列.2.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度.第三章多維隨機(jī)變量及其分布在實(shí)際應(yīng)用中,有些隨機(jī)現(xiàn)象需要同時用兩個或兩個以上的隨機(jī)變量來描述.例如,研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況時,就要同時抽查兒童的身高、體重,這里,和是定義在同一個樣本空間{某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童}上的兩個隨機(jī)變量.又如,考察某次射擊中彈著點(diǎn)的位置時,就要同時考察彈著點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).在這種情況下,我們不但要研究多個隨機(jī)變量各自的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,而且還要研究它們之間的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系,因而還需考察它們的聯(lián)合取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,即多為隨機(jī)變量的分布.由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的困難,故我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.[教學(xué)目的與要求]通過學(xué)習(xí),使學(xué)生了解隨機(jī)向量〔多維隨機(jī)變量的概念；了解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律、聯(lián)合分布密度的概念和性質(zhì),并會計(jì)算有關(guān)事件的概率.掌握二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系.理解隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念,并會應(yīng)用隨機(jī)變量的獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算.會求簡單的二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布.[教學(xué)重點(diǎn)]二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系與計(jì)算；隨機(jī)變量的獨(dú)立性.[教學(xué)難點(diǎn)]條件分布；二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布；[計(jì)劃課時]5[教學(xué)內(nèi)容]第一節(jié)多維隨機(jī)變量的分布一、二維隨機(jī)變量定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,為樣本點(diǎn),而是定義在上的兩個隨機(jī)變量,稱為定義在上的二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2設(shè)是二維隨機(jī)變量,對任意實(shí)數(shù),二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):〔1且對任意固定的對任意固定的<2>關(guān)于和均為單調(diào)非減函數(shù),即對任意固定的當(dāng)對任意固定的當(dāng)<3>關(guān)于和均為右連續(xù),即三、二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義3若二維隨機(jī)變量只取有限個或可數(shù)個值,則稱為二維離散型隨機(jī)變量.結(jié)論：為二維離散型隨機(jī)變量當(dāng)且僅當(dāng)均為離散型隨機(jī)變量.若二維離散型隨機(jī)變量所有可能的取值為則稱為二維離散型隨機(jī)變量的概率分布<分布律>,或的聯(lián)合概率分布<分布律>.與一維情形類似,有時也將聯(lián)合概率分布用表格形式來表示,并稱為聯(lián)合概率分布表:注：對離散型隨機(jī)變量而言,聯(lián)合概率分布不僅比聯(lián)合分布函數(shù)更加直觀,而且能夠更加方便地確定取值于任何區(qū)域上的概率,即,特別地,由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義設(shè)為二維隨機(jī)變量,為其分布函數(shù),若存在一個非負(fù)可積的二元函數(shù),使對任意實(shí)數(shù),有則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,為的概率密度<密度函數(shù)>,或的聯(lián)合概率密度<聯(lián)合密度函數(shù)>.概率密度函數(shù)的性質(zhì):<3>設(shè)是平面上的區(qū)域,點(diǎn)落入內(nèi)的概率為特別地,邊緣分布函數(shù)上式表明:是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其密度函數(shù)為:同理,是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其密度函數(shù)為:,分別稱和為關(guān)于和的邊緣密度函數(shù).<4>若在點(diǎn)連續(xù),則有進(jìn)一步,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義,可推得:當(dāng)很小時,有即,落在區(qū)間上的概率近似等于五、二維均勻分布設(shè)是平面上的有界區(qū)域,其面積為.若二維隨機(jī)變量具有概率密度函數(shù)則稱在上服從均勻分布.六、二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量具有概率密度其中均為常數(shù),且,則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.注：二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,且都不依賴于參數(shù),亦即對給定的,不同的對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布都是相同的,因此僅由關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布,一般來說不能確定二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的例題選講：二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為<1>試確定常數(shù)<2>求事件的概率.二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布例2設(shè)隨機(jī)變量在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取一個值,另一個隨機(jī)變量在1~中等可能地取一整數(shù)值,試求的分布律.例3把一枚均勻硬幣拋擲三次,設(shè)為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù),而為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,求的概率分布及關(guān)于的邊緣分布.例4設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為YX010.30.10.110.050.2020.200.05求及二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例5的概率分布由表3—1B給出,求表3—1B0200.10.2010.20.050.120.1500.1例6一整數(shù)等可能地在十值中取一個值.設(shè)是能整除的正整數(shù)的個數(shù),是能整除的素?cái)?shù)的個數(shù)〔注意1不是素?cái)?shù).試寫出和的聯(lián)合分布律.并求分布律.例7<1>求分布函數(shù)<2>求概率例8設(shè)的概率密度是求<1>的值;<2>兩個邊緣密度.二維均勻分布例9設(shè)隨機(jī)變量和具有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度.例10設(shè)服從單位圓域上的均勻分布,求X和Y的邊緣概率密度.二維正態(tài)分布例11設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度試求關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù).思考題1.將兩封信隨意地投入3個郵筒,設(shè),分別表示投入第1,2號郵筒中信的數(shù)目,求和的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布.2.設(shè)向量的密度函數(shù)的密度函數(shù)為求<1>參數(shù)的值；〔2的邊緣密度.第二節(jié)條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、條件分布的概念設(shè)是一個隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為若另外有一事件已經(jīng)發(fā)生,并且的發(fā)生可能會對事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響,則對任一給定的實(shí)數(shù),記稱為在發(fā)生的條件下,的條件分布函數(shù).二、隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)是隨機(jī)變量所生成的事件:,且,則有.一般地,由于隨機(jī)變量之間存在相互聯(lián)系,因而一個隨機(jī)變量的取值可能會影響另一個隨機(jī)變量的取值統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.在何種情況下,隨機(jī)變量之間沒有上述影響,而具有所謂的"獨(dú)立性",我們引入如下定義.定義設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為,邊緣分布函數(shù)為,,若對任意實(shí)數(shù),有即則稱隨機(jī)變量和相互獨(dú)立.關(guān)于隨機(jī)變量的獨(dú)立性,有下列兩個定理.定理1隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充要條件是所生成的任何事件與生成的任何事件獨(dú)立,即,對任意實(shí)數(shù)集,有定理2如隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,則對任意函數(shù)均有相互獨(dú)立.三、離散型隨機(jī)變量的條件分布與獨(dú)立性設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,其概率分布為由條件概率公式,當(dāng),有稱其為在條件下隨機(jī)變量的條件概率分布.對離散型隨機(jī)變量,其獨(dú)立性的定義等價(jià)于:若對的所有可能取值有即則稱和相互獨(dú)立.四、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性定義設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,邊緣概率密度為,則對一切使的,定義在的條件下的條件概率密度為.對一切使的,定義在的條件下的條件密度函數(shù)為.注:關(guān)于定義表達(dá)式內(nèi)涵的解釋.以為例.在上式左邊乘以,右邊乘以即得換句話說,對很小的和,表示已知取值于和之間的條件下,取值于和之間的條件概率.對二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其獨(dú)立性的定義等價(jià)于:若對任意的,有幾乎處處成立,則稱相互獨(dú)立.注:這里"幾乎處處成立"的含義是:在平面上除去面積為0的集合外,處處成立.例題選講：條件分布的概念例1設(shè)服從上的均勻分布,求在已知的條件下的條件分布函數(shù).隨機(jī)變量的獨(dú)立性例2設(shè)與的聯(lián)合概率分布為YX0200.10.2010.30.050.120.1500.1<1>求時,的條件概率分布以及時,的條件概率分布;<2>判斷與是否相互獨(dú)立?例3設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處.YX1/81/81/61例4一射手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為,射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止.以表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行射擊次數(shù),以表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求和的聯(lián)合分布及條件分布.連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性例5設(shè)的概率密度為;問和是否獨(dú)立?例6設(shè)服從單位圓上的均勻分布,概率密度為求例7設(shè)<1>求和.<2>證明與相互獨(dú)立的充要條件是.例8甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達(dá)的時間不超過5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少?例9設(shè)數(shù)在區(qū)間均勻分布,當(dāng)觀察到時,數(shù)在區(qū)間上等可能隨機(jī)地取值.求的概率密度.例10設(shè)店主在每日開門營業(yè)時,放在柜臺上的貨物量為,當(dāng)日銷售量為假定一天中不再上柜臺上補(bǔ)充貨物,于是.根據(jù)歷史資料,的概率密度函數(shù)為即服從直角三角形區(qū)域上的均勻分布,見圖3—2A.求<1>給定條件下,的條件分布.<2>假定某日開門時,件,求這天顧客買走件的概率.如果件呢?例11設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為<1>求與的邊際概率密度,并判斷與是否相互獨(dú)立;<2>求在的條件下,的條件概率密度;<3>求概率思考題1.設(shè)的分布律如下YX12311/61/91/1821/3問為何值時,與相互獨(dú)立.2.設(shè)的概率密度是求3.設(shè),試判斷與是否相互獨(dú)立.第三節(jié)多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布在實(shí)際應(yīng)用中,有些隨機(jī)變量往往是兩個或兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù).例如,考慮全國年齡在40歲以上的人群,用和分別表示一個人的年齡和體重,表示這個人的血壓,并且已知與,的函數(shù)關(guān)系式,現(xiàn)希望通過的分布來確定的分布.此類問題就是我們將要討論的兩個隨機(jī)向量函數(shù)的分布問題.在本節(jié)中,我們重點(diǎn)討論兩種特殊的函數(shù)關(guān)系:<i>;<ii>和,其中與相互獨(dú)立.注：應(yīng)指出的是,將兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題推廣到個隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題只是表述和計(jì)算的繁雜程度的提高,并沒有本質(zhì)性的差異.一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,是一個二元函數(shù),則作為的函數(shù)是一個隨機(jī)變量,如果的概率分布為設(shè)的所有可能取值為,則的概率分布為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率密度函數(shù)為,令為一個二元函數(shù),則是的函數(shù).可用類似于求一元隨機(jī)變量函數(shù)分布的方法來求的分布.a>求分布函數(shù)其中,b>求其概率密度函數(shù),對幾乎所有z,有定理1設(shè)是具有密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)向量.<1>設(shè)是到自身的一一映射,即存在定義在該變換的值域上的逆變換:<2>假設(shè)變換和它的逆都是連續(xù)的;<3>假設(shè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù);<4>假設(shè)逆變換的雅可比行列式,即對于在變換的值域中的是不為0的.則具有聯(lián)合密度定理2設(shè)相互獨(dú)立,且則仍然服從正態(tài)分布,且更一般地,可以證明：有限個相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,即有定理3若且它們相互獨(dú)立,則對任意不全為零的常數(shù),有.三、及的分布設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其分布函數(shù)分別為和,由于不大于z等價(jià)于和都不大于z,故有類似地,可得的分布函數(shù)例題選講：離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例1設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下表YX0120.20.150.10.320.100.10.05求二維隨機(jī)變量的函數(shù)Z的分布:例2設(shè)和相互獨(dú)立,求的分布.例3<若和相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明服從參數(shù)為的泊松分布.連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例4設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且同服從上的均勻分布,試求的分布函數(shù)與密度函數(shù).例5設(shè)的密度函數(shù)為令試用表示和的聯(lián)合密度函數(shù).和的分布：設(shè)和的聯(lián)合密度為,求的密度.卷積公式:當(dāng)和獨(dú)立時,設(shè)關(guān)于的邊緣密度分別為則上述兩式化為以上兩個公式稱為卷積公式.例6設(shè)和是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.它們都服從分布,其概率密度為例7設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為如果各周的需要量相互獨(dú)立,求兩周需要量的概率密度函數(shù).例8設(shè)與相互獨(dú)立,且均在區(qū)間上服從均勻分布,求的密度函數(shù).例9設(shè)相互獨(dú)立且分別服從參數(shù)為的分布<分別記成的概率密度分別為試證明服從參數(shù)為的分布.商的分布：設(shè)二維隨機(jī)向量的密度函數(shù)為,求的密度函數(shù).例10在一簡單電路中,兩電阻和串聯(lián)連接,設(shè)相互獨(dú)立,它們的概率密度均為求總電阻的概率密度.例11設(shè)X與Y相互獨(dú)立,它們都服從參數(shù)為的指數(shù)分布.求的密度函數(shù).積的分布：設(shè)具有密度函數(shù),則的概率密度為例12設(shè)二維隨機(jī)向量在矩形上服從均勻分布,試求邊長為和的矩形面積的密度函數(shù).例13設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立,且有相同的幾何分布:,求的分布.例14設(shè)系統(tǒng)由兩個相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成,聯(lián)接方式分別為串聯(lián)、并聯(lián)、備用〔當(dāng)系統(tǒng)損壞時,系統(tǒng)開始工作,如圖3—3—6所示.設(shè)的壽命分別為,已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出壽命的概率密度.思考題1.已知的分布律為01200.100.250.1510.150.200.15求:〔1〔2〔3〔4分布律.2.若和獨(dú)立,具有共同的概率密度求的概率密度.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù),從中知道隨機(jī)變量的分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.但在許多實(shí)際問題中,人們并不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況,而只要知道它的某些數(shù)字特征即可.例如,在評價(jià)某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時,通常只要知道該地區(qū)糧食的平均產(chǎn)量;又如,在評價(jià)一批棉花的質(zhì)量時,既要注意纖維的平均長度,又要注意纖維長度與平均長度之間的偏離程度,平均長度較大,偏離程度小,則質(zhì)量就較好.等等實(shí)際上,描述隨機(jī)變量的平均值和偏離程度的某些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要的意義,它們能更直接、更簡潔更清晰和更實(shí)用地反映出隨機(jī)變量的本質(zhì).本章將要討論的隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征包括:數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)、矩.[教學(xué)目的與要求]通過學(xué)習(xí),使學(xué)生理解數(shù)學(xué)期望、方差的概念,掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算；會計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.熟記二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差.了解協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念并掌握它的性質(zhì)與計(jì)算.了解矩的概念.[教學(xué)重點(diǎn)]數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)和計(jì)算.[教學(xué)難點(diǎn)]相關(guān)系數(shù)[計(jì)劃課時]5[教學(xué)內(nèi)容]第一節(jié)數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望平均值是日常生活中最常用的一個數(shù)字特征,它對評判事物、作出決策等具有重要作用.定義設(shè)是離散型隨機(jī)變量的概率分布為如果絕對收斂,則定義的數(shù)學(xué)期望<又稱均值>為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為,如果絕對收斂,定義的數(shù)學(xué)期望為三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)是一隨機(jī)變量,為一實(shí)函數(shù),則也是一隨機(jī)變量,理論上,雖然可通過的分布求出的分布,再按定義求出的數(shù)學(xué)期望.但這種求法一般比較復(fù)雜.下面不加證明地引入有關(guān)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理.定理1設(shè)是一個隨機(jī)變量,,且存在,則〔1若為離散型隨機(jī)變量,其概率分布為則的數(shù)學(xué)期望為〔2若為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為,則的數(shù)學(xué)期望為注:<i>定理的重要性在于:求時,不必知道的分布,只需知道的分布即可.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來很大方便;<ii>上述定理可推廣到二維以上的情形,即定理2設(shè)是二維隨機(jī)向量,,且存在,則〔1若為離散型隨機(jī)向量,其概率分布為則的數(shù)學(xué)期望為〔2若為連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率密度為則的數(shù)學(xué)期望為四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)是常數(shù),則2．若是常數(shù),則3.4.設(shè)獨(dú)立,則;注:<i>由不一定能推出獨(dú)立,例如,在例10中,已計(jì)算得,但,顯故與不獨(dú)立<ii>這個性質(zhì)可推廣到有限個隨機(jī)變量之和的情形.例題選講：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1甲,乙兩人進(jìn)行打靶,所得分?jǐn)?shù)分別記為,它們的分布律分別為試評定他們的成績的好壞.例2某種產(chǎn)品的每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)的泊松分布,若規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過1個為一等品,價(jià)值10元;疵點(diǎn)數(shù)大于1個不多于4個為二等品,價(jià)值8元;疵點(diǎn)數(shù)超過4個為廢品.求<1>產(chǎn)品的廢品率;<2>產(chǎn)品價(jià)值的平均值.例3按規(guī)定,某車站每天8:00~9:00和9:00~10:00之間都恰有一輛客車到站,但到站的時刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時間相互獨(dú)立.其規(guī)律為8:00~9:00到站時間9:00~10:00到站時間8:109:108:309:308:509:50概率1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例4已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù),求例5某商店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式.記使用壽命為<以年計(jì)>,規(guī)定:設(shè)壽命服從指數(shù)分布,概率密度為試求該商店一臺電器收費(fèi)的數(shù)學(xué)期望.例6設(shè)隨機(jī)變量且求a與b的值,并求分布函數(shù).例7有2個相互獨(dú)立工作的電子裝置,它們的壽命服從統(tǒng)一指數(shù)分布,其概率密度為,若將這2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī),求整機(jī)壽命<以小時計(jì)>的數(shù)學(xué)期望.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例8設(shè)的聯(lián)合概率分布為,求YX01231301/83/803/8001/8例9設(shè)隨機(jī)變量X在上服從均勻分布,求及例10設(shè)隨機(jī)變量的概率密度求數(shù)學(xué)期望例11設(shè)某商店經(jīng)營一種商品,每周的進(jìn)貨量X和顧客對該種商品的需求量Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,均服從[10,20]上的均勻分布.此商店每售出一個單位的商品可獲利1000元,若需求量超過進(jìn)貨量,可從其他商店調(diào)劑供應(yīng),此時售出的每單位商品僅獲利500元.求此商店經(jīng)銷這種商品每周獲利的期望.例12設(shè)均存在,證明.例13若求數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例14一民航送各車載有20位旅客自機(jī)場開出,旅客有10個車站可以下車.如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù),求E<X><設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立>.思考題1.設(shè)甲、乙兩人玩必分勝負(fù)的賭博游戲,假定游戲的規(guī)則不公正,以致兩人獲勝的概率不等,甲為,乙為,.為了補(bǔ)償乙的不利地位,另行規(guī)定兩人下的賭注不相等,甲為,乙為,.現(xiàn)在的問題是:究竟應(yīng)比大多少,才能做到公正?2.某種新藥在400名病人中進(jìn)行臨床試驗(yàn)有一半人服用,一班人未服,經(jīng)過5天后,有210人痊愈,其中190人是服了新藥的.試用概率統(tǒng)計(jì)方法說明新藥的療效.3.把數(shù)字任意地排成一列,如果數(shù)字恰好出現(xiàn)在第個位置上,則稱為一個巧合,求巧合個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.第二節(jié)方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是對隨機(jī)變量取值水平的綜合評價(jià),而隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性是判斷隨機(jī)現(xiàn)象性質(zhì)的另一個十分重要的指標(biāo).一、方差的定義定義1設(shè)是一個隨機(jī)變量,若存在,則稱它為的方差,記為方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差,它與具有相同的度量單位,在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用.方差刻劃了隨機(jī)變量的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離程度,它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性.從方差的定義易見:<1>若的取值比較集中,則方差較小;<2>若的取值比較分散,則方差較大;<3>若方差,則隨機(jī)變量以概率1取常數(shù)值,此時也就不是隨機(jī)變量了.二、方差的計(jì)算若是離散型隨機(jī)變量,且其概率分布為則若是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其概率密度為則利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),易得計(jì)算方差的一個簡化公式:.三、方差的性質(zhì)1.設(shè)常數(shù),則;2.若是隨機(jī)變量,若是常數(shù),則3.設(shè)是兩個隨機(jī)向量,則特別地,若相互獨(dú)立,則注:對維:若相互獨(dú)立,則*四、條件數(shù)學(xué)期望和條件方差簡介由于隨機(jī)變量之間存在相互聯(lián)系,一個隨機(jī)變量的取值可能會對另一隨機(jī)變量的分布產(chǎn)生影響,這種影響會在數(shù)字特征上得到反映.下面要討論的是：在某個隨機(jī)變量取某值的條件下,求另一個與之相關(guān)的隨機(jī)變量的數(shù)字特征.作為簡介,我們直接給出它們的定義1.設(shè)是離散型隨機(jī)向量,其概率分布為定義2<i>稱〔絕對收斂為在條件下的條件數(shù)學(xué)期望.類似地,稱〔絕對收斂為在條件下的條件數(shù)學(xué)期望;<ii>稱〔絕對收斂為在條件下的條件方差.類似地,稱〔絕對收斂為在條件下的條件方差.2．設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)向量,是在條件下的概率密度,是在條件下的概率密度.定義3<i>稱〔絕對收斂為在條件下的條件數(shù)學(xué)期望;類似地,稱〔絕對收斂為在條件下的條件數(shù)學(xué)期望;<ii>稱〔絕對收斂為在條件下的條件方差;類似地,稱〔絕對收斂為在條件下的條件方差.例題選講:方差的計(jì)算例1設(shè)隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望方差記則的數(shù)學(xué)期望為0,方差為1.稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量.例2設(shè)隨機(jī)變量具有分布,其分布律為求例3設(shè)求例4設(shè)求例5設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布,其概率密度為其中求例6設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布,概率函數(shù)其中,求.例7設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合點(diǎn)分布在以點(diǎn)<0,1>,<1,0>,<1,1>為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布,試求隨機(jī)變量的期望與方差.方差的性質(zhì)例8設(shè)證明當(dāng)時,達(dá)到最小值.注：本例子說明了數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量X取值的集中位置,反映了X的平均值.例9<設(shè),求例10設(shè)求例11設(shè)活塞的直徑〔以cm計(jì),氣缸的直徑相互獨(dú)立,任取一只活塞,任取一只氣缸,求活塞能裝入氣缸的概率.例12隨機(jī)變量和相互獨(dú)立,證條件數(shù)學(xué)期望和條件方差簡介例13設(shè),求.思考題1.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求2.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布律為試求及的期望與方差.第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)對多維隨機(jī)變量,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差只反映了各自的平均值與偏離程度,并沒能反映隨機(jī)變量之間的關(guān)系.本節(jié)將要討論的協(xié)方差是反映隨機(jī)變量之間依賴關(guān)系的一個數(shù)字特征.一、協(xié)方差的定義定義設(shè)為二維隨機(jī)向量,若存在,則稱其為隨機(jī)變量和的協(xié)方差,記為,即按定義,若為離散型隨機(jī)向量,其概率分布為則若為連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率分布為則.此外,利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),易將協(xié)方差的計(jì)算化簡.特別地,當(dāng)與獨(dú)立時,有二、協(xié)方差的性質(zhì)1.協(xié)方差的基本性質(zhì),其中是常數(shù);為任意常數(shù);<6>若與相互獨(dú)立時,則2.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系特別地,若與相互獨(dú)立時,則.三、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)定義設(shè)為二維隨機(jī)變量,稱為隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù).有時也記為.特別地,當(dāng)時,稱與不相關(guān).相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1.2.若和相互獨(dú)立,則.3.若,則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使,而且當(dāng)時,;當(dāng)時,.注:相關(guān)系數(shù)刻畫了隨機(jī)變量Y與X之間的"線性相關(guān)"程度.的值越接近1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;的值越近于0,Y與Y的線性相關(guān)程度越弱.當(dāng)時,Y與X的變化可完全由X的線性函數(shù)給出.當(dāng)時,Y與X之間不是線性關(guān)系.4.設(shè)稱為用來近似Y的均方誤差,則有下列結(jié)論.設(shè)則使均方誤差達(dá)到最小.注:可用均方誤差e來衡量以近似表示Y的好壞程度,e值越小表示與Y的近似程度越好.且知最佳的線性近似為而其余均方誤差.從這個側(cè)面也能說明.越接近1,e越小.反之,越近于0,e就越大.Y與X的線性相關(guān)性越小.四、矩的概念定義設(shè)和為隨機(jī)變量,為正整數(shù),稱為階原點(diǎn)矩<簡稱階矩陣>;為階中心矩;為階絕對原點(diǎn)矩;為階絕對中心矩;為和的階混合矩;為和的階混合中心矩;注:由定義可見:<1>的數(shù)學(xué)期望是的一階原點(diǎn)矩;<2>的方差是的二階中心矩;<3>協(xié)方差是和的二階混合中心矩.五、協(xié)方差矩陣將二維隨機(jī)變量的四個二階中心矩排成矩陣的形式:〔對稱矩陣,稱此矩陣為的協(xié)方差矩陣.類似定義維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣.若都存在,則稱為的協(xié)方差矩陣.六、n維正態(tài)分布的概率密度七、n維正態(tài)分布的幾個重要性質(zhì)例題選講：協(xié)方差的性質(zhì)例1已知離散型隨機(jī)向量的概率分布為,求.YX0200.10.2010.30.050.120.1500.1例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求和.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)例3設(shè)<X,Y>的分布律為XY121401/41/401/4001/41/21/21/41/41/41/41易知于是不相關(guān).這表示不存在線性關(guān)系.但知不是相互獨(dú)立的.事實(shí)上,和具有關(guān)系:的值完全可由的值所確定.例4設(shè)服從上的均勻分布,判斷與是否不相關(guān),是否獨(dú)立.例5已知,且與的相關(guān)系數(shù)設(shè)求及例6設(shè)服從二維正態(tài)分布,它的概率密度為求和的相關(guān)系數(shù).注：在上一章中我們已經(jīng)得到：若服從二維正態(tài)分布,那么和相互獨(dú)立的充要條件為.現(xiàn)在知道即為與的相關(guān)系數(shù),故有下列結(jié)論:"若服從二維正態(tài)分布,則與相互獨(dú),立當(dāng)且僅當(dāng)與不相關(guān)".n維正態(tài)分布的幾個重要性質(zhì)例7設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立且,試求的概率密度.思考題1.對不同品牌的某種機(jī)械的兩項(xiàng)重要指標(biāo)評分,設(shè)為其所得分?jǐn)?shù)<百分制>.已知;現(xiàn)以服從正態(tài)分布的綜合分來決定各參評品牌的名次.<1>試求Y的分布;<2>如果對綜合分的品牌頒獎,試計(jì)算獲獎?wù)叩陌俜直?第五章大數(shù)定理與中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時會呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性.例如,大量的拋擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中,正面出現(xiàn)頻率;在大量文字資料中,字母使用頻率;工廠大量生產(chǎn)某種產(chǎn)品過程中,產(chǎn)品的廢品率等.一般地,要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求事件內(nèi)在的必然規(guī)律,就要研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的問題.在生產(chǎn)實(shí)踐中,人們還認(rèn)識到大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)、測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.這種穩(wěn)定性就是我們將要討論的大數(shù)定律的客觀背景.在這一節(jié)中,我們將介紹有關(guān)隨機(jī)變量序列的最基本的兩類極限定理大數(shù)定理和中心極限定理.[教學(xué)目的與要求]通過學(xué)習(xí),使學(xué)生了解契比雪夫不等式的定義并會利用其進(jìn)行概率估算,了解契比雪夫定理和伯努里定理.理解獨(dú)立同分布的中心極限定理和棣莫佛-拉普拉斯定理,并會利用其進(jìn)行概率近似計(jì)算.[教學(xué)重點(diǎn)]契比雪夫不等式與中心極限定理.[教學(xué)難點(diǎn)]中心極限定理[計(jì)劃課時]3[教學(xué)內(nèi)容]一、依概率收斂與微積分學(xué)中的收斂性的概念類似,在概率論中,我們要考慮隨機(jī)變量序列的收斂性.定義1設(shè)是一個隨機(jī)變量序列,為一個常數(shù),若對于任意給定的正數(shù),有則稱序列依概率收斂于,記為定理1設(shè)又設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),則.二、切比雪夫不等式定理2設(shè)隨機(jī)變量有期望和方差,則對于任給,有.上述不等式稱切比雪夫不等式.注：<i>由切比雪夫不等式可以看出,若越小,則事件的概率越大,即,隨機(jī)變量集中在期望附近的可能性越大.由此可見方差刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.<ii>當(dāng)方差已知時,切比雪夫不等式給出了與它的期望的偏差不小于的概率的估計(jì)式.如取則有故對任給的分布,只要期望和方差存在,則隨機(jī)變量取值偏離超過的概率小于0.111.三、大數(shù)定理1．切比雪夫大數(shù)定律定理3<切比雪夫大數(shù)定律>設(shè)是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,它們數(shù)學(xué)期望和方差均存在,且方差有共同的上界,即則對任意,有注:定理表明:當(dāng)很大時,隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望.2．伯努利大數(shù)定理定理4<伯努利大數(shù)定律>設(shè)是重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù),是事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則對任意的,有或.注：<i>伯努利大數(shù)定律是定理1的推論的一種特例,它表明:當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)充分大時,事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件