《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式》學(xué)案

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級高三適用區(qū)域新課標(biāo)課時時長（分鐘）60知識點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；利用同角關(guān)系進(jìn)行化簡和求值誘導(dǎo)公式二（π＋α）；誘導(dǎo)公式三（－α）；誘導(dǎo)公式四（π－α）；誘導(dǎo)公式五（eq\f(π,2)－α）誘導(dǎo)公式六（eq\f(π,2)＋α）；誘導(dǎo)公式二的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.學(xué)習(xí)重點(diǎn)1．利用誘導(dǎo)公式求某角的三角函數(shù)值或求某三角函數(shù)式的值．2．借助誘導(dǎo)公式對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡或證明．學(xué)習(xí)難點(diǎn)靈活應(yīng)用誘導(dǎo)公式學(xué)習(xí)過程一、課堂導(dǎo)入哲學(xué)中有個命題：任何事物之間都存在著某種聯(lián)系，聯(lián)系是普遍存在的．比如蝴蝶效應(yīng)，在南美洲亞馬孫河流域的熱帶雨林中，一只蝴蝶偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后引起美國得克薩斯州的一場龍卷風(fēng)．這從一個側(cè)面說明事物的普遍聯(lián)系性．既然這樣，作為三角函數(shù)的正弦、余弦、正切函數(shù)也具有聯(lián)系嗎？它們具有怎樣的關(guān)系？這些關(guān)系又有哪些應(yīng)用呢？

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)弧度制角度制的關(guān)系任意角的三角函數(shù)的求法、三角函數(shù)符號、三角函數(shù)線三、知識講解考點(diǎn)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).考點(diǎn)2誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號；eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．考點(diǎn)3三角形中的誘導(dǎo)公式在三角形ABC中常用到以下結(jié)論：sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝coseq\f(C,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq\f(C,2).四、例題精析【例題1】【題干】已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.【解析】∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β.②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β.③由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f(3,8)，∴cosα＝±eq\f(\r(6),4).【例題2】【題干】(1)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan2π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝()A.eq\f(9,16)B．－eq\f(9,16)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)(2)設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα≠－\f(1,2)))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.【解析】(1)選B∵方程5x2－7x－6＝0的根為x1＝2，x2＝－eq\f(3,5)，由題知sinα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(3,4).∴原式＝eq\f(cosα－sinαtan2α,sinαcosα)＝－tan2α＝－eq\f(9,16).(2)∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)【例題3】【題干】在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\r(2)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個內(nèi)角．【解析】∵sinA＋cosA＝eq\r(2)，∴1＋2sinAcosA＝2，∴sin2A＝1.∵A為△ABC的內(nèi)角，∴2A＝eq\f(π,2)，∴A＝eq\f(π,4).∵eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，∴eq\r(3)coseq\f(π,4)＝eq\r(2)cosB，∴cosB＝eq\f(\r(3),2).∵0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,6).∵A＋B＋C＝π，∴C＝eq\f(7π,12).∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7π,12).五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1．α是第一象限角，tanα＝eq\f(3,4)，則sinα＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．－eq\f(3,5)2．(2013·安徽名校模擬)已知tanx＝2，則sin2x＋1＝()A．0 B.eq\f(9,5)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)3．(2013·西安模擬)已知2tanα·sinα＝3，－eq\f(π,2)＜α＜0，則sinα＝()A.eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【鞏固】4．化簡eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)＋eq\f(sinπ－α·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sinπ＋α)＝________.5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＜α＜π)).則sinα－cosα＝________.【拔高】6．若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，則tanα＝()A.eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－27．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050)°＋tan945°.8．已知關(guān)于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的兩根sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,