新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練 第04講 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題 高頻精講（原卷版）

第04講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高頻考點一遍過 2高頻考點一：分離變量法 2高頻考點二：分類討論法 7高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法 11高頻考點四：雙元最值法 18高頻考點五：構(gòu)造法和同構(gòu)法 20溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．③求最值.2、分類討論法如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．3、等價轉(zhuǎn)化法當(dāng)遇到型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.4、雙元最值法形如：，不等式或者的模型（或者）第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：分離變量法典型例題例題1．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，對，當(dāng)時，恒有，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)對一切，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程．(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例題4．（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.練透核心考點1．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式對任意都成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．-12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝xlnx，若對于所有都有f（x）≥ax－1，求實數(shù)a的取值范圍．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.當(dāng)時，求使不等式恒成立的最大整數(shù)的值.高頻考點二：分類討論法典型例題例題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)的圖像與直線相切于點．(1)求函數(shù)的圖像在點處的切線在x軸上的截距；(2)求與的函數(shù)關(guān)系；(3)當(dāng)為函數(shù)的零點時，若對任意，不等式恒成立．求實數(shù)的取值范圍．練透核心考點1．（2023春·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)設(shè)、是函數(shù)的圖像上相異的兩點，證明：直線的斜率大于0；(2)求實數(shù)的取值范圍，使不等式在上恒成立．2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)若是的極小值點，求a的取值范圍；(2)若，，求a的取值范圍．高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法典型例題例題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若，求的極值；(2)證明：當(dāng)時，.例題2．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知函數(shù)在處取極大值，．(1)求的值；(2)求證：．例題3．（2023秋·天津河西·高三天津市第四十二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，（1）若，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對內(nèi)任意一個，都有成立，求的取值范圍.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，．(1)若曲線在點處的切線與曲線相切，求實數(shù)a的值；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的最小整數(shù)值．2．（2023秋·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求的極值；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)，，已知和在處有相同的切線.（1）求，的解析式；（2）求在上的最小值；（3）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.高頻考點四：雙元最值法典型例題例題1．（2023春·天津和平·高二天津二十中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)對區(qū)間上任意的都有，則實數(shù)的最小值是________.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對、，使恒成立，求的取值范圍.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極大值為2．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的最小值．高頻考點五：構(gòu)造法和同構(gòu)法典型例題例題1．（2023·四川綿陽·鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若不等式在上恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題2．（2023春·河南安陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若對任意的恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B．1 C．e D．例題3．（2023春·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，若對于任意的，不等式恒成立，則的最小值為__________．例題4．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知，若對于任意的，不等式恒成立，則的最小值為________.例題5．（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若時，恒有，求的取值范圍.練透核心考點1．（2023春·安徽·高二安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（