常熟理工學(xué)院《高等數(shù)學(xué)(a)》(下)期末復(fù)習(xí)題

虞山學(xué)院《高等數(shù)學(xué)（A）》（下）期末復(fù)習(xí)題

一、選擇題

1.設(shè)向重M={3,2,1},B={2,g,Z},已知,J.B,則Z=(I))

A.2B.生C.二D.-竺

3333

2.設(shè)向量1(2,一3,6),則與Z同向的單位向量為(D).

A.(2,-3,6)B.--(2,-3,6)C.±1(2,-3,6)D.

77

1(2,-3,6)

3.a-3i—j—2k,b-i+2j—k,則42=(B).

A.2B.3C.4

D.5

4.當(dāng)攵二()時(shí)，向量3={k,1,-1}與向量b={1,2,3)垂直o(B)

A.0B.1C.2D.

3

5.向量d="T2/在5=/3,0,4)上的投影為(A)

A.uB.8C.1D.0

52

6.設(shè)a=/2,lL，b={0,0,1/,則?石)二(C)

A.NB.工C.arccos顯D.n-arccos^

2366

7.設(shè)向量5={4,-3,4},B={2,2,1},則(余)二(C)

7t

A.arcsin—；=B.0C.arccos—；=D.

V41V417

8.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（l,31）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（D）

A.(1,3,1)B.(-1,3,-1)C.(-1,-3,1)D.(-1,3,1)

9?直線k化成點(diǎn)向式方程為（B）

Ax—5_y+1_z+1Bx+5_y+8_z

3-2-1,3-2-T

px-5y+2z-1口x+5y-3z+2

321321

10.設(shè)向量。與方={2,-1,2}平行,ab=-18,則〉=(C)

A.{-4,-2,4)B.{-4,2,4}C.{-4,2,-4}D.

（4-2,4）

11.直線一=二4與平面2x-4y+3z=2的位置關(guān)系是（D）

A.平行B.重合C.垂直D,斜交

12.卬平面內(nèi)拋物線y一繞）,軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程是

(D)

222

A.y=x+zB.y+z=x~C.x2=y]y2+z2D.

z=0z=0

y=x2+z2

13.平面過％軸，則（A

A.B.B=O,C^OC.B^O,C=OD.

14.平面2z+3y=0是（C)

A.與x軸平行但無公共點(diǎn)的平面B.與yOz平面

平行的平面

C.通過x軸的平面D.與x軸垂

直的平面

15.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1,-2,3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

是（B）

A.(1,~2,一3)B.(―1,2,-3)C.(-1,-2,一3)

D.(1,-2,-3)

16.平面(B)

A.平行于.平面B.平行于y軸C.垂直于于由D.

垂直于X軸

17.f(x,y)=,=+sinx的定義域?yàn)?/p>

(D)

A.{(x,y)||x|<l,及|<1}B.{(x,y)||x|<l,y<l}C.{(x,y)||x|<l)

D.{(x,y)|x2+y2<1}

18.函數(shù)”石土尸…的定義域是(,?

A.{(x,y)|l<x2+y2<4}B.{(x,y)|l<x2+y2<4}

C.{(x,y)|l<x2+y2<4}D.{(x,y)|l<x2+y2<4}

19./(x,y)=ln(孫2)+Ji—x-y的定乂域是(D).

A.{(x,y)|x+yWl}B.{(x,y)|0<x+y〈l}

C.{(%,y)10<%,x+y<1}D.{(x,y)|0<x,0。<1}

2。設(shè)/(x,y)=ln(x-西-,其中

x>y>09貝U/(x+y,x-y)=(A)

A.21n(五一J7)B,ln(x-y)C.—(lnx-lny)D.

21no-y)

21.設(shè)/(孫,x-y)=/+V,貝！J/(x,y)=(B)

A.x+2yB.2x+y2c.2x+2yD.x2-2y

22.設(shè)函數(shù)2=/(2)=』，則下列各式中正確的是(C)

x+y

A.f(x,-)=f(x,y)B.f(x+y,x-y)^f(x,y)

X

C.f(y,x)=f(x,y)D,f(x,-y)=f(x,y)

23.二元函數(shù)—）=了十，a,”?“在點(diǎn)（°，°）處（C）

0,(x,y)=(0,0)

A.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在B.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在

C.不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在D.不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在

24.函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（Xo,yo）處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)連續(xù)的

（D）.

A.必要而非充分條件B.充分而非必要條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

不存在存在，既不是0,也不

不存在

27.lim1\A).

+y

D.不存在

28.lim

(x，y)f(o,o)

A.-2c.不存在

29.設(shè)f（x,y）=^，則￡氏丫）在（0,0）點(diǎn)處一階偏導(dǎo)數(shù)（B）.

A.不存在B.存在C.可能存在也可能不存在D.以上都不

對(duì)

30.設(shè)/（孫,x-y）=/+y2,貝［J/［（x,y）+/\,（x,y）=（A）

A.2+2yB.2-2yC.2x+2yD.2x-2y

31.設(shè)/(x,y)=ln(x+2),則/；(1,O)=(A)

3x

A-BlC.iD.o

32

32.設(shè)z;=x2y+e'v,則另，i2)=(B)

A.1+eB.i+e2C.1+2/D.

l+2e

33.設(shè)小=cos(x2y)，則@=二（B）.

Sy

A.-sin(x2y)B.-x2sin(x2y)C.sin(x2y)D.x2sin(x2y)

34.設(shè)Z=g2y),則3=(A)

OX

A.Ixyf'^y]B.yf'^y)C.x2f\x2y]D.

xyf'^y)

35.設(shè)/(x,y)=M，+一號(hào)，則八(0,1)=(A)

元+y

A.2B.-2C.-

36.設(shè)則f(3,2)二(B

A.59B.56C.58D.55

37.設(shè)z=*,則dz=

(B)

A.exydxB.exy(ydx+xdy)C.ydx+xdyD.

exy(dx+dy)

?z二

38.設(shè)z=e,vsinx,則

dx8y~

(D)

A.一e’cosxB.ey+eysinxc.-eysinxD.eycosx

39.設(shè)則dz=

(C)

A.—dx+—dyB?idx+^dyC.-dx+-dy

yx*y

D.xdx+ydy

40.f(x,y)^2-x2-y2的極值點(diǎn)是

(C)

A.(1,—1)B.(1,1)C.(0,0)D.

(0,2)

22

41.函數(shù)z=2x+y彳)處沿方向/724}的「向?qū)?shù)等于(c)

A.VsB.-VsC.2V5D.-2V5

42.函數(shù)〃=x2+y2+z.3孫在點(diǎn)/(LU)處沿11,2,2}方向的方向?qū)?shù)雪M為

dl

(A)

A.IB.IC.I(1,2,2}D.{-1,4,2)

43./(%,y,z)=-Jx2+y2+z2,則梯度graced,1,-3)為(C).

A.—專；B.{1,2,-2}；C.'卡，卡,—卡卜D.0

44.下列命題錯(cuò)誤的是（B）

A.偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的必要條件B.偏導(dǎo)數(shù)存在是連續(xù)

的充分條件

C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件D.連續(xù)是可微的必要

條件

45.右人（%,）0）=0,力（%,凡）=0,則/（x,y）在（工0，%）處有（D）

A.連續(xù)；B.可微；

C.（x0,y。）為極值點(diǎn)；D.（x0,y。）可能是極值點(diǎn)，

也可能不是極值點(diǎn)

46.設(shè)函數(shù)z=/（x,y）在點(diǎn)（尤°，%）處可微，且于;5,%）=。，fy（x0,為）=0，

￡"（%，為）＞°，/"（%,%）＞0,則函數(shù)f（x,y）在Gw。）處（B）.

A.必有極值，可能是極大，也可能是極小B,可能有極

值，也可能無極值

C.必有極大值D.必有極小

值一

47.二元函數(shù)z=（i一%）2+（1一方的極值點(diǎn)是（D）

A.（o,o）；B.（o,i）；C.（i,o）；D.（1,1）

48.設(shè)/（x,y）是連續(xù)函數(shù)，交換二次積分「叫[；/（苞加（。＞0）的積分次序的

結(jié)果為(A)

A.Jy)dx

C.J：時(shí)；/(x,y)公D.J加J：/(x,y)dx

JXf(%y)dy二(D)

49.交換二次積分順序后,

A-J；時(shí)'；f（Xy）dxJ；時(shí)；吃丫心

c廣I-xrI

cJ。時(shí)0股y）dxD.J；d)j(「f(x,y)dx

設(shè)/（x,y）在。：/+丁24],”o連續(xù),則JJf(x,y)db=(C)

D

B

A.^~dO^f(rcos0,rsinO)rdr-J:時(shí)尸/(“力

C.J(，可)/(rcosJ,rsin0)rdrD?J：到%/(龍，y)力

50.設(shè)廣（x,p）為連續(xù)函數(shù)，則積分￡可,/（蒼〉）辦+可父換積

分次序?yàn)椋–）

A.￡'dyJ：f(x,y)dx+J：dyf(x,y)dxB.I：dyJ：f(x，y)dx+J；dyj；、f(x,y)dx

C￡dyT'f(x，y)dxD-（dyj：f（x，y）dx

51.設(shè)。由x=O,y=l,y=x圍成，則Jjf(x,y)dxdy=(D)

D

A?JHf"y}dxBJj"(x,y)dy

C?J：時(shí))(乂DJ)可；/(x，y)dx

52.設(shè)I)：/+y24I,則=(C).

D

A.KB.1C.0

D.2n

53.設(shè)D：X?+y2KL則JJeTx2+y2)dxdy=(B).

D

A.TC(1-e)B.n(l--)C.7c(e-1)D.7l(lH—)

e

54.若區(qū)域。為x2+y2<l,則二重積分JJ于（x,y）dxdy化為累次積分為

D

(B)

A.j'F(r,0)drB.匚呵》（心6）公

￡.

C.J\de\QF(r,O}drD.其中

F(r,6)=/(rcos^,rsin0)r

55.設(shè)Df+yvif是D上的連續(xù)函數(shù),則JJ/(舊+V)dxdy—(A).

D

A.27ujrf(r)drB.4nj'rf(r)drC.27i^f(r2)drD.4TC￡rf(r)dr

56.設(shè)積分區(qū)域O={(x,y)，+y24go,"。},則"而=(D)o

D

A.21B.7cC.—D.

2

71

~4

57.設(shè)￡)是矩形域0<%《巴，-IWyW1,則JJxcos(2xy)dxdy的值為(D).

4D

A.oB.-1C.1D.1

242

58.設(shè)。是由所確定的平面區(qū)域，則a二

D

(B)

A.7tB.3萬C.4nD.15%

59.設(shè)Q是平面z=l與旋轉(zhuǎn)拋物面/+>2=z所圍區(qū)域，則川獸仁化為

QX+y+1

三次積分等于()

A.廣可一廣可二“龍

J0Joj+廠Jr2J0Jr1+廠J。

C.Vde\'^dr\\dzX).Vde\\^dr\'dz

J0J。]+廠Jr2J-siJr-]+廠J。

60.設(shè)/=川血「，其中。為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=l所圍成的閉區(qū)域,

Q

貝|」/=()

2X

A.J；公J。2辦J；'xdzB.￡tZz￡dy^xdx

.I-x._

pir-ri-x-2y2y

C.￡^y￡2dxj。xdzD.￡c/z￡'xdy

61.設(shè)/其中。={（尤,乂2,）卜2+丁2+22<1*20},經(jīng)球坐標(biāo)變換后，I=

)

2兀元]

A.￡dej，題/廠"sin夕cosB.『de[d(p^r2sin(pdr

2萬開]

C.『dej加]r3sin9cos劭*D.IdOpd夕，，sin°cosRr

62.。為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=l所圍成的閉區(qū)域，則仙2如fydz=

C

().

B.24C.1

6

63.設(shè)積分區(qū)域D：(x2+y2<l,y>0},則張沁=

D

(B)

A.2兀B.—C.zr

2

D.上

4

64.設(shè)/(x,y)連續(xù)，且/(x,^)=+jj/(w,v)dudv,其中。是由y=O,y=，,x=l所

圍區(qū)域，則/(x,y)=(C)

A.xyB.2xyC.xy+lD.

xy+1

65.設(shè)L是y2=2x從(0,0)至U(2,2)的一段弧，則「泌=(C)

A.-B.--C.-(5V5-i)

333

D.，亞

3

66.設(shè)L是y2=4x從(0,0)到(1,2)的一段弧，則(B)

A.+dxB.[:yjl+^dyC.[:xjl+指dxD.j^l+4y2dy

67.設(shè)L是從點(diǎn)A(1,O)到點(diǎn)B([2)的直線段,則曲線積分

Jjx+y)ds=(B)o

A.V2B.2V2C.2D.

0

68.直線段AB上的曲線積分和直線段朋上的曲線積分有關(guān)系

(B)

A.JfABf(x,y)ds=-[JBA/(x,丁燦B.JfABf[x,yJB)Ads=ff(x,y)ds

C.9+1Jx,y)ds=0D.J/(x,y)ds=J*(-羽-桃

69.設(shè)L是從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2』)的直線段，則12泌=(A)

A.VsB.如C.Vlo

2

D.叵

2

70.設(shè)L表示橢圓/+/=],方向逆時(shí)針，則fjx+y2)小(D)

A.mbB,—mb2C.a+b2D.0

71.右曲線積分Jj，-3力公+3_$畝2y)dy與路徑無關(guān)，則常數(shù)a=(B)o

A.--B.-3C.-D.3

33

72.設(shè)L從點(diǎn)A(l,l)到點(diǎn)3(1,0)的直線段，則下列等式正確的是

(D)

AJ”s=-gB.「xdy=1C.Jxdx-1D."=.g

73.設(shè)/=§呂dx+^^dy,,因?yàn)?=/=1一寸,所以(B)

Jcx+yx'+ydydx(x2+y2)2

A.對(duì)任意閉曲線a/=o;B.

在曲線C不圍住原點(diǎn)時(shí)，/=o；

C.當(dāng)閉曲線。圍住原點(diǎn)時(shí)，/=o；D.

以上結(jié)論都不成立

74.已知曲線積分”(x,y)(ydx+xdy)與積分路徑無關(guān)，則F(x,y)必滿足條件

(C)

A.xFy=yFxB.xFv+yFx=0C.xFx=yFyD.

xFx+yFy=0

75.級(jí)數(shù)￡(—i)"jp>0)的斂散情況是(A)o

Mnp

A.〃>i時(shí)絕對(duì)收斂，時(shí)條件收斂B.p<i時(shí)絕對(duì)收斂,P>\

時(shí)條件收斂

C.PKI時(shí)發(fā)散，P〉1時(shí)收斂D.對(duì)任何p〉o,級(jí)數(shù)

絕對(duì)收斂

61

76.級(jí)數(shù)7

?+i

（B）

A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.

斂散性不確定

77.下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（C)

00001

A1c.￡(-i)"D

A?”而B.Yn=\~rn.

78.設(shè)級(jí)數(shù)”I）喘金為常數(shù)），則該級(jí)數(shù)（D）.

A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂

D.斂散性與〃有關(guān)

79.級(jí)數(shù)￡4+4)(A).

Zfnn

A.發(fā)散B.條件收斂c.絕對(duì)收

斂D.收斂

80.下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（D)

32001

U+iB.Z；C.2MD.y(—+

ft100gn

81.下列級(jí)數(shù)中僅有（C）是發(fā)散的

§n

A.t-B.C.力4D.

42〃3T￡1+"

n=i,

2一叫

82.下列級(jí)數(shù)中收斂級(jí)數(shù)是（A)

A85+2”_001

A.EB.y—L-

〃=13"勺2〃-1

83.設(shè)%是非零常數(shù),則落空（B)

〃=0，I+〃

A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.

斂散性與A有關(guān)

84.下列級(jí)數(shù)條件收斂的是(B)

81-001

A.￡(-D"B.Z(T)"D.

n=\n=l1+〃“=iyjn

81

85.若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則下列正確的是（C,D）

n=\

oo

A.Z(?“+10*收斂B.￡（-1）2,條件收斂c.E⑷+3發(fā)散

M=1M=1n=\n

D.t2.a?收斂

n=\

86.若無窮級(jí)數(shù)￡占收斂，貝L滿足（B)

n=［幾

A.a<0B.a>0C.a<l

D.a>\

87.若級(jí)數(shù)￡〃，收斂，則級(jí)數(shù)（D)

n=ln=\

A.收斂但不絕對(duì)收斂B.絕對(duì)收斂C.發(fā)散D.斂散

性不確定

88.下列嘉級(jí)數(shù)中收斂域?yàn)椋邸?,1］的是（A).

_00

B.c.D.次

n=\

89?嘉級(jí)數(shù)"D.表的收斂域?yàn)?B)

A.(-1,i)B.(-1,i]C.[-1,i)D.[-1,1]

二、填空題

1.設(shè)]={2,0,1}石={1,2,一2},則向量M與B的夾角是

71

~i-------------------?

2.已知向量?={3-1,0},b={2-3,2},則數(shù)量積a-b=

9

3.設(shè)￡=(0,1,2)3=(一1,1,一3),小=一5

4.設(shè)直線*=當(dāng)、與平面—2y+3z+4=0垂直，則常數(shù)

a=.

5.通過點(diǎn)(4,一1,3)且平行于直線辭一=得的直線方程為

x—4z—3

2一)'+5-.

6.直線等=號(hào)=2與平面x+2y+2z=6的交點(diǎn)為(36,-28,

13).

7.點(diǎn)(0,-1,3)到平面2x-6y-z+10=0的距離為

13

亞-------------,

8.X。平面內(nèi)的拋物線z=2F+l繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面方程是

Z=2,+>2)+].

9.my平面內(nèi)曲線?一/;1繞X軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方

程為一千一用

..sinxyo

10.lim-----=乙?

yX-f2?X

11.極限?二^<=6

/xy+1-1

yfOY-

12.1o

^x'+y~

1

13.設(shè)f(x,y)=Jx?+y2,貝I/；(1,2)=—?

亞

14設(shè)

/2y

￡獲,則九(1,0)=2￡

15設(shè)

Xzaz

&=xln>，-'\ny_____________________

6

Hz

-Jzy2dx+2xydyo

17.設(shè)z=2”，則dz=2^(yin2dx+xln2dy)?

18.設(shè)函數(shù)Z=COS(*2y),則dz=___-sin(x2y)(2xydx+x2dy).

19.函數(shù)z=(sinx)y,貝(Jdz=

ycosx(sinx)v+(sinx)yln(sinx)dy.

20.設(shè)則疝==L-^(xcbc+-dy)o

gy+42.

21.設(shè)z=sin(3x—丁)，貝Udz=cos(3x1y)(2dxYy).

22.設(shè)z=ef,則dz=

ex~2y{dx-2dy).

yy}y

23.設(shè)z=x9貝！J(散分dz-yx~dx+xInxdy.

222

24.由方程x-by+z-4z=0確定的隱函數(shù)z=z(x9y)的偏導(dǎo)數(shù)

dx2-z

25-設(shè)則知。---------------------------

s

26.設(shè)z=arctan^,則魯=74鼻___________________。

xdxdy(x+y")

27.設(shè)〃=孫+上，貝二1一-vo

XX2---------

28.設(shè)函數(shù)〃=￡;則=x>T(l+yln尤)o

dxdy----------------------------------------------

29.設(shè)2=號(hào)=狽吟=――J__________o

歷7&(…戶

30.若函數(shù)/(國力=，+2xy+3y2+依+分+6在點(diǎn)(1,-1)處取得極值，

則常數(shù)。=_0_1=_4_。

31.若函數(shù)2=2/+2/+3孫+必+功在點(diǎn)(-2,3)處取得極值，則常數(shù)a,Z?

之積"=§.

32.函數(shù)z=上在點(diǎn)(0,1)處沿向量方向的方向?qū)?shù)為

V2V2

1

正

33.函數(shù)〃=8/丁_2)，+以+62在原點(diǎn)沿向量￡={2,3,1}方向的方向?qū)?shù)

為4.

V14-----

34.函數(shù)z=，+y2在點(diǎn)(1,2)處沿從點(diǎn)A(1,2)到點(diǎn)B(2,2+73)

的方向的方向?qū)?shù)等于1+26_。

35.函數(shù)Z=商.'在點(diǎn)P(1,O)處沿從點(diǎn)P(1,O)到點(diǎn)Q(2,-l)的方向的方向?qū)?/p>

數(shù)等于-1

正

2x

36.梯度grad{—^~~-)—{-

x+y(x2+y2)2'(x2+y2)2

37.曲線尤=「0=2。=1在對(duì)應(yīng)于”0點(diǎn)處的切線方程為

223

38.曲面z="-2孫+3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程為

(e-4)(x—l)—2(y—2)—z=0.

39.曲面z=4一Gy?在點(diǎn)(1,1,2)處的切平面平行于平面

2x+2y+z=0.

40.交換二次積分￡dxff(x,y)dy的次序得

辦'J；/(乂y)公+Cdyj^f(x,y)dx.

22

41.改變積分J：時(shí))(內(nèi)心的次序?yàn)?/p>

I：必y)dy--------------

42.父換積分順序后，j，xJ；/(x,y)dy=L：/(x,ya。

43.交換二次積分的次序「對(duì)二f(x,y)dy=

［辦f/(x,y)dx______0

JOJarccosy

44.改變積分加的積分次序?yàn)?/p>

J；我匚/(X，y"+fdy\\于(X,y}dxO

45.父換積分次序J：時(shí):"/(x,y)dy=_￡時(shí)；'/仆,},心。

46.交換二次積分的次序得

/(x，y心?

47.父換二次積分的積分順序后，J：叱［(x,y)辦=_￡我［；/(羽了)公

48.設(shè)積分區(qū)域O：f+y244,0<y,則“5JMy=10%.

D

49.設(shè)D:+/V1,則JJydxdv=0.

D

50.設(shè)Q:04x〈l,0<y<2(l-x),貝Ujja-x)公力=__-___________.

D3

51.設(shè)平面薄片占有平面區(qū)域D,其上點(diǎn)(x,y)處的面密度〃(x,y)為

連續(xù)函數(shù)，則薄片的質(zhì)量M二__y)dxdy______。

D

52.設(shè)Q為球體f+V+z241的第一卦限部分，則J"—/f%?9：

C

53.設(shè)。為球體/+y2+z)<“2(〃>()),貝(JJJJdxd)dz=.

n

54.設(shè)Q為立體OWxWl,-IWyWl,0<z<2,則三重積分

JjJ(1+x)dxdydz-.

n

55.設(shè)Q為立體0<z<x2+/,-1<y<1,-1<x<1,則

jjjdxdydz

c

56.設(shè)Q是平面Z=1與旋轉(zhuǎn)拋物面/+y2=z所圍區(qū)域，J"/。,*"化

Q.

成三次積分為.

57.設(shè)c是由點(diǎn)。(0.0)到點(diǎn)4W的直線段，則

---------O

2-----------------------------

58.設(shè)A3為由點(diǎn)A(0,萬)到點(diǎn)8(匹0)的直線段，則］sinydx+s\nxdy=

JAB

0O

59.設(shè)L是%/平面上點(diǎn)A(O,O)到點(diǎn)8(1,2)的有向直線，方向是從A

到B,貝！JJ,(1+y)dy-4o

60.設(shè)L是從A(l,-1)沿y2=x到5(1,1)的弧段，則2M=

4

7

61.設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線，則蟲2個(gè)公+*26=

0

62.設(shè)曲面方程z=/(“)，其在⑷平面上的投影為D,則求該曲面

的面積公式為_JJa+(f；)2+(f；￥dxdyo

D

63.設(shè)P(x,y)、Q(x,y)在x”平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積

分［P(x,y)dx+Q(x,y)dy與路徑無關(guān)的一個(gè)充分必要條件是

Q；(x,y)=P；(x,y)。

64.設(shè)曲線積分J/dx+Q力,與路徑無關(guān)，則與其等價(jià)的結(jié)論為

Q；(X,y)=P；(x,y)和Pdx+Qdy=dz.

65.級(jí)數(shù)￡(.】)〃粵是條件收斂(發(fā)散，條件收斂，絕

對(duì)收斂)的。

66.幕級(jí)數(shù)之口"的收斂半徑為R=3______________。

n=03

67.幕級(jí)數(shù)少」?fàn)t的收斂半徑R=5.

?=|5yjn

68.幕級(jí)數(shù)￡工的收斂半徑為42。

69.幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為5o

念5"冊(cè)----------------------

70.￡3x2。的收斂半徑是OO

on------------------

n=l乙

71.幕級(jí)數(shù)￡二的收斂半徑為2___________________.

n=\2

72.幕級(jí)數(shù)%的收斂半徑為2

73.設(shè)幕級(jí)數(shù)*nx"的收斂半徑是4,則基級(jí)數(shù)￡anx22的收斂半

n=0n=0

徑是.

74.級(jí)數(shù)F是收斂的，其和為1__________.

“=i〃(〃+1)

75.級(jí)數(shù)￡2的和為1.

76.如果嘉級(jí)數(shù)1)"的收斂半徑是1,則級(jí)數(shù)在最大的一個(gè)

M=0

開區(qū)間(0,2)內(nèi)一定收斂。

三、解答題

1.已知A(1,1,1),3(2,2,1),C(2,L2),求與福，恁同時(shí)垂直的單位向量。

解：A6={1,1,0},AC={1,0,1),ABxAC={i,-l,-\]

2.設(shè)平面乃過點(diǎn)(2,1,0),且平行于平面3x+4y-5z+2=0,求平面力的

方程。

解：3(x-2)+4(y-l)-5z=0

3.求過點(diǎn)A(—1,0,4)且與直線四=—平行的直線方程。

112

解：二2士

112

4.設(shè)平面通過k衿，且在不、/三個(gè)軸上的截距相等，求平面

方程。

解：根據(jù)題意，所求平面為x+y+z=a，將點(diǎn)P。坐標(biāo)代入可得:

a=2

所求平面：x+y+z=2

5.求過(1,1,T)、(-2,-2,2)和(1,-1,2)三點(diǎn)的平

面方程。

解：設(shè)點(diǎn)8(-2,-2,2),C(1,T,2),AB={-3,-3,3},AC={0,-2,3}

n=ABxAC={—3,9,6}

所求平面：-3U-l)+9(j-l)+6(z+l)=0或(x-l)-3(j-l)-2(z+l)=0

6.求過點(diǎn)(3,1,一2)且通過直線—二三=:的平面方程。

解：設(shè)點(diǎn)A(3,L-2),直線方向向量7={5,2/},取直線上點(diǎn)B(4,-3,0)

礪={1,<2},n=={-8,9,22}

平面方程：—8(x—3)+9(y—l)+22(z+2)=0

7.求平行于X軸，且過點(diǎn)M(3,—l,2)及N(O,1,O)的平面方程。

解：麗={-3,2,—2},記7={1,0,0},則n=WX7={0,-2,-2)

平面方程：2(y+l)+2(z-2)=0

8.已知平面通過q(8,-3,1),鳥(4,7,2)解且垂直于平面力+5丁-72+21=0,

求此平面方程。

解：質(zhì)={<10,1},I己]={3,5,—7},則n=^x^={-75,-25,-50)=-25{3,1,2)

平面方程：3(x—8)+(y+3)+2(z—1)=0

9.求過百與平面萬：3x+2y-z-5=0垂直的直線方程，并求出直

線與平面的交點(diǎn)。

x=-1+3]

解：所求直線方程：半=丁=3或參數(shù)方程：y=2+2,

z=9-t

交點(diǎn)對(duì)應(yīng)“持交點(diǎn)坐標(biāo)：5春%=六°=胃

10.求過點(diǎn)41,—2,4)且與二平面》+2卜2=0及”+2丁+2=0都平行的直

線方程。

解：記耳={1,2,—1},%={3,2,1),T=%X4={4,T,Y}

直線方程：=9=m

11-1

11.求過點(diǎn)%(2,4,0),且與直線