7 5 1 三角形內(nèi)角和定理教案 北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

5三角形內(nèi)角和定理第1課時(shí)三角形內(nèi)角和定理1．經(jīng)歷探索證明三角形內(nèi)角和定理的過(guò)程，初次學(xué)習(xí)添加輔助線的方法，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)證明的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生探索知識(shí)的興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性．2．能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理的知識(shí)，解決有關(guān)求角的問(wèn)題．重點(diǎn)：探索證明三角形內(nèi)角和定理的不同方法，利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算或證明．難點(diǎn)：應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，正確引入輔助線．一、導(dǎo)入新課師：“三角形內(nèi)角和是180°”一定是個(gè)真命題嗎？你是怎樣知道的？生：是真命題．可以從度量、折紙、拼角得到的．師：任何實(shí)驗(yàn)都會(huì)有誤差，即使全班同學(xué)都各自剪出了不同形狀的三角形，但也不能就此說(shuō)明所有的三角形都具有這一共性．那么怎樣才能說(shuō)明“三角形內(nèi)角和是180°”的真實(shí)性呢？這就需要證明，由哪些公理、定理、定義可以得到三角形內(nèi)角的和為180°？這就是我們本節(jié)所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．二、探究新知探究1動(dòng)手操作、探索解法：生：每個(gè)學(xué)生畫出一個(gè)三角形，并將它的內(nèi)角剪下，分小組做拼角實(shí)驗(yàn)．通過(guò)小組合作交流，討論有幾種拼合方法？師：組織學(xué)生開(kāi)展小組競(jìng)賽，指派小組代表展示拼圖，并說(shuō)出理由．鼓勵(lì)學(xué)生各抒己見(jiàn)，并傾聽(tīng)他人的方法．師生共同歸納：可以拼一個(gè)角用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”來(lái)說(shuō)理，也可以拼兩個(gè)角、三個(gè)角用“平角定義”說(shuō)明．師：引導(dǎo)學(xué)生合理添加輔助線，為書寫證明過(guò)程做好鋪墊．指導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證、證明過(guò)程，抽兩人黑板演示，給予點(diǎn)評(píng)，并規(guī)范證明格式．已知：如圖所示，△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：作BC的延長(zhǎng)線CD，過(guò)點(diǎn)C作射線CE∥BA.∵CE∥BA，∴∠B＝∠ECD(兩直線平行，同位角相等)，∠A＝∠ACE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代換)．注意：應(yīng)指出輔助線通常畫為虛線，并在證明前交代說(shuō)明．添加輔助線不是盲目的，而是證明需要引用某個(gè)定義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時(shí)就需要添加輔助線創(chuàng)造條件，以達(dá)到證明的目的．探究2師：還有其他證明方法嗎？師生共同總結(jié)“拼三個(gè)角”的特點(diǎn)：把角“拼”到一起，讓頂點(diǎn)重合、兩條邊形成一條直線，以便利用平角定義．師：在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，可以把三個(gè)角集中到三角形的某一個(gè)頂點(diǎn)嗎？引導(dǎo)學(xué)生敘述證明過(guò)程．已知：如圖所示，△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：過(guò)A點(diǎn)作DE∥BC.∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代換)．師：那么是否可以把三個(gè)角集中到三角形的一邊上呢？集中在內(nèi)部任意一點(diǎn)上呢？外部呢？生：思考后，講解自己的思考過(guò)程和解法．三、新知?dú)w納三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.四、典例剖析例1在一個(gè)三角形中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．可以有一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角B．可以有兩個(gè)銳角C．可以有一個(gè)銳角和一個(gè)直角D．可以有兩個(gè)鈍角思路分析：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)鈍角，那么該三角形的內(nèi)角和將大于180°，故D錯(cuò)誤．答案：D例2如圖，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)．思路分析：由已知∠B，∠C求出∠BAC，再由角平分線的定義求出∠BAD，再由△ABD的內(nèi)角和等于180°，求出∠ADB.解：在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°(三角形內(nèi)角和定理)．∵∠B＝38°，∠C＝62°(已知)，∴∠BAC＝180°－38°－62°＝80°(等式的性質(zhì))．∵AD平分∠BAC(已知)，∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)×80°＝40°(角平分線的定義)．在△ADB中，∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°(三角形內(nèi)角和定理)．∵∠B＝38°(已知)，∠BAD＝40°(已證)，∴∠ADB＝180°－38°－40°＝102°(等式的性質(zhì))．例3如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF交于點(diǎn)I.求證：∠BIC＝90°＋eq\f(1,2)∠A.思路分析：欲證明∠BIC與∠A之間的關(guān)系，但它們之間的關(guān)系不直接，∠BIC與∠IBC，∠ICB在同一個(gè)三角形中，故有∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)，而∠A與∠ABC，∠ACB在同一個(gè)三角形中，故有∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)，又因?yàn)锽E，CF是角平分線，于是∠IBC與∠ABC有關(guān)系：∠IBC＝eq\f(1,2)∠ABC.同理，∠ICB＝eq\f(1,2)∠ACB，從而可以通過(guò)中間量∠ABC，∠ACB或∠IBC，∠ICB找到∠BIC與∠A之間的關(guān)系．證明：∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A(等式的性質(zhì))．∵BE，CF分別平分∠ABC和∠ACB(已知)，∴∠EBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠FCB＝eq\f(1,2)∠ACB(角平分線定義)．在△BIC中，∠BIC＋∠EBC＋∠FCB＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BIC＝180°－(∠EBC＋FCB)(等式的性質(zhì))．∴∠BIC＝180°－eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°＋eq\f(1,2)∠A(等量代換)．五、反饋訓(xùn)練完成《作業(yè)與單元評(píng)估》隨堂演練．六、課堂小測(cè)1．如果三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2∶3∶4，則它是(A)A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．鈍角或直角三角形2．任何一個(gè)三角形的三個(gè)角中至少有(B)A．一個(gè)銳角 B．兩個(gè)銳角C．一個(gè)直角 D．一個(gè)鈍角3．三角形中最大的內(nèi)角一定是(D)A．鈍角B．直角C．大于60°的角D．大于或等于60°的角4．已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠ACB，CD是高．求證：∠BCD＝eq\f(1,2)∠A.證明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∠B＝∠ACB(已知)，∴∠B＝eq\f(180°－∠A,2)＝90°－eq\f(1,2)∠A(等式的性質(zhì))．∵CD是△ABC的高(已知)，∴∠BDC＝90°(高的定義)．∵∠BDC＋∠B＋∠BCD＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BCD＝180°－∠BDC－∠B＝180°－90°－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(1,2)∠A