人教版高中數(shù)學(xué)必修五講義

正弦定理和余弦定理

，僉大腦體操）

途作業(yè)完成情況）

，修教學(xué)目標(biāo)）

教學(xué)重點(diǎn)：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定義，公式的變形應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：公式的變形，解直角三角形的應(yīng)用邊與角之間的關(guān)系及變形，判斷三角形的形狀

途趣味引入）

，欄知識(shí)梳理）

1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的正弦的比相等，即AABC中，若

NA,NB,ZC所對(duì)的邊分別為a,b,c則

2、解三角形

一般地，我們把三角形的三個(gè)角及其分別叫做三角形的元素。已知三角形的幾

個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。

利用正弦定理可以解決以下兩類(lèi)解三角形問(wèn)題：

（1）已知三角形的任意兩角與一邊，求其他邊和角，有解；

（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角。

3、正弦定理的常見(jiàn)公式拓展：

①，一=’一=」一=2R（R為AWC的外接圓半徑）

sinAsinBsinC

（2）a=27?sinA,b=2RsinB,c=2RsinC（邊化角公式）

@sinA,sinB=—,sinC=—（角化邊公式）

2R2R2R

④a:Z7:c=sinA:sin5:sinC

-a+bb+cc+a-八

sinA4-sinBsinB+sinCsinC+sinA

a+h+c

⑥=2R

sinA+sinB+sinC

余弦定理

心①定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的

積的兩倍。

②定義式：_________________________

5、余弦定理的變形式和特例

2ab2ac2bc

②C=90oc2=/+/

③C=60o0?=a2.-ab

④C=120o/=/+從+a/y

⑤C=30c2=a~+b2-垂>ab

⑥C=45<=>c2=a2+Z?2—亞ab

6、余弦定理可以解決的兩類(lèi)三角形問(wèn)題

(1)已知三邊長(zhǎng)，求三個(gè)內(nèi)角；

(2)已知兩邊長(zhǎng)和它們的夾角，求第三邊長(zhǎng)和其他角。

金典例講練)

類(lèi)型一：已知三角形兩角及任意一邊，解三角形；已知三邊長(zhǎng)，求夾角。

例1：(2015山東濰坊一中月考)在ZVLBC中，己知a=8,N8=60,NC=75。，則6等于

()

A.4百B,475C.4A/6D.—

3

練習(xí)1：在A(yíng)4BC中，若NA=60,NB=45,8C=30,則AC=()

練習(xí)2：在A(yíng)ABC中，已知a=2,3=30,A=45°,求人

例2：在A(yíng)ABC中，若〃=6,0=l,c=2,試求A

練習(xí)3：在A(yíng)ABC中，若。=出力=l,c=2,試求8

練習(xí)4：在A(yíng)/LBC中，若a=6/=l,c=2,試求C

規(guī)律總結(jié)：己知邊求角時(shí)，需運(yùn)用正弦定理余弦定理公式及公式的變形。

類(lèi)型二：已知三角形兩邊及其中一角，解三角形；已知兩邊長(zhǎng)和它們的夾角，求第三邊長(zhǎng)

和其他角。

例3：（2014北京高考）在中，a=3,0=5,sinA=；^iJsinB=（）

15亞,

A.-B.-C.---D.1

593

練習(xí)5：（2015廣東六校聯(lián)盟第三次聯(lián)考））在A(yíng)4BC中，NA=45°,8=75°,c=2,則此三

角形的最短邊的長(zhǎng)度是

練習(xí)6：（2014廣東深圳模擬）已知A43Ca,》,c分別為內(nèi)角A,民。所對(duì)的邊，且

4

a-2,b=3,cosB=三貝ijsinA的值

例4：設(shè)白鉆。的內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為若Z?+c=2a,3sinA=5sin8,則角

0為（）

n2萬(wàn)3〃5萬(wàn)

A.-B.-C.-D.—

334O

練習(xí)7：在中，2=5,C=5，5,J=30°,則。等于（）

A.5B.4C.3D.10

練習(xí)8：在a'中，已知"="+。2+兒，則角力等于（）

類(lèi)型三：判斷三角形形狀及面積

例5：（2015遼寧錦州月考）在A(yíng)ABC中a力,c分別為內(nèi)角A,3,0所對(duì)的邊，若ccosA=b,

則AABC的形狀為（）

A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D以上皆有可能

練習(xí)9：在A(yíng)ABC中，如果。25由8=》2$皿4,則413。的形狀為（）

A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形

練習(xí)10：在△ABC中，如果。25皿。=。25出4,則八43。的形狀為（）

A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形

例6：在八45。中，48=6,4。=1,5=30°,則4/13。的面積為

練習(xí)11：在A(yíng)A3C中，A=60。,AC=4,8。=26，則AABC的面積等于多少

例7：（2014?江西理）在△/回中，內(nèi)角4、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,若c?=（a—

6）2+6,則△?6。的面積是（）

A.3B.歲C.平D.3小

練習(xí)12：以4、5、6為邊長(zhǎng)的三角形一定是_______三角形.（填：銳角、直角、鈍角）

練習(xí)13：若2、3、x為三邊組成一個(gè)銳角三角形，則x的取值范圍為_(kāi)______.

規(guī)律總結(jié)：做這塊的類(lèi)型題，熟練應(yīng)用正弦定理公式變形，面積的求解時(shí)需考慮三角形本

身的角度問(wèn)題。

f修當(dāng)堂檢測(cè)）

1.在△4K7中，AB=&/力=45°,ZC=75°,則以;等于（）

A.3-^3B.小C.2D.3+^3

2.在銳角△/回中，角48所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、/?若2asin5=/6,則角4等于（）

3.已知△/力外接圓半徑是2cm,ZJ=60,’,則外邊的長(zhǎng)為_(kāi)_________.

4.在△4K7中，4=30°,(7=45°,c=近.則邊a=________?

=羋，求邊回的長(zhǎng).

5.在中，8=45°,AC=y/10,cosC

5

6.△/回的內(nèi)角A.B、C的對(duì)邊分別為a、ib、c,若a、b、c滿(mǎn)足t）=acy且c=2a,則cosB

=()

13、亞D亞

A.TB.T(

44,,43

7.在中，NABC=卞,AB=5,BC=:3,則sinN為4（）

A書(shū)B(niǎo).乎C.為叵亞

105105

于他當(dāng)堂總結(jié))

是家庭作業(yè))

基礎(chǔ)鞏固

1.在A(yíng)ABC中，若3=2A,a:b=l：y/3,則4=.

兀

2.在A(yíng)ABC中，右b=5,/3=—,tanA=2,則sinA=；a—______,

4

3.在A(yíng)ABC中，a=3,b=2^6,/B—2ZA

(1)求cosA的值；

(2)求c的值.

4.等腰三角形的周長(zhǎng)為8,底邊為2,則底角的余弦等于()

A.克B.2后C.1D.迪

433

5.在△A8C中，已知a=8,B=60,C=75°,則。等于()

A.472B.4百C.46D.—

3

6.在△ABC中，角的對(duì)邊分別為仇c,已知A=工,。=g”=1,則。=()

3

A.1B.2C.D.百

7.在■中，A-\-C=2Bfa+c=8,ac=15,求匕

能力提升

8.在△ABC中，角48,C所對(duì)的邊分別為a,。,c,若￡<cosA,則△43。為()

b

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

9.在銳角三角形中，a,dc分別是內(nèi)角A,氏。的對(duì)邊，設(shè)8=2A,則2的取值范圍是

a

()

A.(-2,2)B.(O,2)C.(1,2)D.(V2,V3)

10.在△ABC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,0,c若asinBcosC+csinBcosA='。，

2

且a>/?,則NB=()

兀7i2乃5萬(wàn)

A.—B.—C.—D.—

6336

11.設(shè)a,6,c分別是△A8C中NA,ZB,NC所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線(xiàn)xsin4+ay+c=0與

公一》《113+5皿。=0的位置關(guān)系是()

A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直

12.在△48，中，AB=3,比=限,AC=4,則”1邊上的高為()

A.乎B.平C.|D.3V5

13.在△/!勿中，Z5=60°,B=ac,則這個(gè)三角形是()

A.不等邊三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

7

14.設(shè)△力比的內(nèi)角力、B、。所對(duì)的邊分別為a、b、c,且a+c=6,b=2,cosB=《

y

(1)求a、c的值:

(2)求sin(4一4的值.

15.在△ABC中，如果A=6(),c=4,a=判斷三角形解的情況.

16.已知圓內(nèi)接四邊形四切的邊長(zhǎng)分別為46=2,BC=6,3％=4,求四邊形/比力的面

積.

17.在aABC中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為c已知cosA=—,sin8二百cosC

3

⑴求tanC的值；

(2)若。二五，求△ABC的面積.

TT

18.在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且c=2,C=y

(1)若△ABC的面積為小，求“、人的值；

(2)若sinB=2siM,求△ABC的面積.

正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

愈大腦體操）

途作業(yè)完成情況）

，修教學(xué)目標(biāo)）

教學(xué)重點(diǎn)：掌握正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，高度，距離，角度的準(zhǔn)確判斷

教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造三角形，利用正、余弦定理進(jìn)行解相關(guān)的邊長(zhǎng)、角度。

集賤趣味引入）

，修知識(shí)梳理）

1、與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題有關(guān)的名詞、術(shù)語(yǔ)

①鉛直平面：與的平面

②坡角：坡面與水平面的夾角

③坡比：坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比

④仰角：在同一鉛直平面內(nèi)，視線(xiàn)在水平線(xiàn)時(shí)與水平線(xiàn)的夾角

⑤俯角：在同一鉛直平面內(nèi)，視線(xiàn)在水平線(xiàn)時(shí)與水平線(xiàn)的夾角

⑥視角：從某點(diǎn)看物體的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的兩條視線(xiàn)的

⑦方向角：從指定方向線(xiàn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的（指定方向線(xiàn)是指正北或正南方向,

方向角小于90。

⑧方位角：從正北方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角

2、解三角形應(yīng)用問(wèn)題步驟

（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知和所求，尤其是要理解應(yīng)用題中的相關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；

（2）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，即將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)

問(wèn)題；

（3）分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)運(yùn)用正弦定理或余弦定理

正確求解；

（4）檢驗(yàn)求得的解是否具有實(shí)際意義，并對(duì)所求的解進(jìn)行取舍。

典例講練）

類(lèi)型一：測(cè)量距離、高度問(wèn)題

例1.（2015山東濰坊月考）為了測(cè)量某湖泊的兩側(cè)A,6間的距離，給出下列數(shù)據(jù)，其中不

能唯一確定A8兩點(diǎn)間的距離的是（）

A.角和邊〃B.角和邊aC.邊a,b和角CD.邊和角A

練習(xí)1.在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30。、60。,則塔高為（）

A.當(dāng)B.4。^^mC.200yBmD.200m

練習(xí)2：要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45。，在。

點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30。，并測(cè)得水平面上的/BC￡>=120。，CZ）=40m,則電視塔的高度

為（）

A.10\/2mB.20mC.2O\/3mD.40m

例2：一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120。的方向航行，已知河水流速為2km/h,

則經(jīng)過(guò)小h,該船實(shí)際航程為.

練習(xí)3：在燈塔上面相距50m的兩點(diǎn)A、B,測(cè)得海內(nèi)一出事漁船的俯角分別為45。和60。，

試計(jì)算該漁船離燈塔的距離.

練習(xí)4：兩船同時(shí)從A港出發(fā)，甲船以每小時(shí)20nmile的速度向北偏東80。的方向航行，乙

船以每小時(shí)⑵mile的速度向北偏西40。方向航行，一小時(shí)后，兩船相距nmile.

規(guī)律總結(jié)：求距離、高度時(shí)，牢牢抓住各已知邊及角，理解名詞、術(shù)語(yǔ)的應(yīng)用。

類(lèi)型二：測(cè)量角度問(wèn)題、三角形綜合題

例3：在某測(cè)量中，A在B的北偏東55。，則B在人的（）

A.北偏西35。B.北偏東55。C.北偏東35。D.南偏西55。

練習(xí)5：已知兩座燈塔A和6與海洋觀(guān)察站C的距離相等，燈塔A在觀(guān)察站。的北偏東

40，燈塔B在觀(guān)察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔8的()

A.北偏東40B.北偏西10,C.南偏東10。D.南偏西10。

練習(xí)6：某觀(guān)察站C與兩燈塔AB的距離分別為300米和500米,測(cè)得燈塔A在觀(guān)察站C北

偏東30。處，燈塔5在觀(guān)察站。南偏東30,處，則兩燈塔A,5間距離為()

A.400米B.500米C.800米D.700米

例4：在A(yíng)ABC中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為仇c若A48C的面積為S,且

2s=(a+b)2—。2,則tanC=()

34八43

A.-B.-C.---D.---

4334

練習(xí)7：在A(yíng)45C中，三個(gè)內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為若AA5C的面積為S,且

7C

2S=(^a+by-c2,則tan,=()

A.2B.3C.一2D.-3

練習(xí)8：在A(yíng)A5C中，三個(gè)內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為若AA3C的面積為S,且

2S=(a+bf-c2,則tai？7=()

A.3B.4C.5D.6

電當(dāng)堂檢測(cè))

1.'在某測(cè)量中，A在8的北偏東45。,則2在A(yíng)的()

A.北偏西35°B.北偏東55。C.北偏東35。D.南偏西45°

2.在某測(cè)量中，A在B的南偏西45°,則8在A(yíng)的()

A.北偏西35。B.北偏東45。C.北偏東35。D.南偏西45。

3.在100m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30。、60°,則塔高

為()

A.竽加B.20MmC.—GmD.400m

4.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°,在D點(diǎn)測(cè)

得塔頂4的仰角是30°,并測(cè)得水平面上的NBCZ）=120。，CC=60m,則電視塔的高度為

A.10>/2mB.20mC.2MmD.60m

5.如果在測(cè)量中，某渠道斜坡的坡度為京設(shè)a為坡角，那么cos?。等于（）

341616

A.B.C.D.

552525

6.已知兩座燈塔A和B與海洋觀(guān)察站C的距離相等，燈塔A在觀(guān)察站C的北偏東30。，燈

塔B在觀(guān)察站C的南偏東70。，則燈塔A在燈塔8的（）

A.北偏東20。B.北偏西20。C.南偏東20。D.南偏西20。

金當(dāng)堂總結(jié)）

，修家庭作業(yè)）

基礎(chǔ)鞏固

1.某人向正東走xKm,向右轉(zhuǎn)150°,然后朝旋轉(zhuǎn)后的方向走3km后，他離最開(kāi)始的出發(fā)

點(diǎn)的距離恰好為gkm,那么x的值為

2.兩座燈塔A和8與海洋觀(guān)察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀(guān)察站C的北偏東20°,

燈塔B在觀(guān)察站C的南偏東40。，則燈塔4與燈塔B的距離為（）

A.akmB.y[3akmC.y[2akm

D.2akm

3.有一長(zhǎng)為10m的斜坡，它的傾斜角是75。，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯拢ㄟ^(guò)加長(zhǎng)坡

面的方法將它的傾斜角改為30°,則坡底要延伸（）

A.5mB.10mC.10啦m

D.l（）V3m

4.江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45。和30。，而且兩

條船與炮臺(tái)底部連線(xiàn)成30。角，則兩條船相距（）

A.l（）V3mB.lOfr^mC.2MmD.30m

5.如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A(yíng)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC

的距離為50m,/4CB=45。，/CAB=105。后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為（）

A.5O\/2mB.50V5mC.25啦mD.生裂

m

6.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點(diǎn)A處望見(jiàn)燈塔S在船的北偏東30。方向上，

15min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)燈塔在船的北偏東65。方向上，則船在點(diǎn)B時(shí)與燈塔S的距離是

km.（精確到0.1km）

7.如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15。，與燈塔S相距20nmiIe,

隨后貨輪按北偏西30。的方向航行30min后，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度

為（）

A.20（也+觀(guān)）nmile/hB.20（加一觀(guān)）nmile/hC.20（加+?。﹏mile/hD.20（^6—

■\/3）nmile/h

能力提升

8.某海島周?chē)?8nmile有暗礁，一輪船由西向東航行，初測(cè)此島在北偏東60。方向，航行

30nmile后測(cè)得此島在東北方向，若不改變航向，則此船觸礁的危險(xiǎn)（填“有”或

“無(wú)”）.

9.甲船在A(yíng)處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60。的8處，乙船正以anmile/h的速度向北行駛.已知甲

船的速度是小anmile/h,問(wèn)甲船應(yīng)沿著方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？

10.在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng).據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市0（如圖所示）的東偏

南6（cose=*）方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45。方向移動(dòng).臺(tái)風(fēng)侵

襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增大.問(wèn)幾小時(shí)后該城

市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？

11.在地面上某處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫槌鹩纱颂幭蛩?0m,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0,再向

塔走lS\3m,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?仇試求角。的度數(shù).

12.碧波萬(wàn)頃的大海上，“藍(lán)天號(hào)”漁輪在A(yíng)處進(jìn)行海上作業(yè)，“白云號(hào)”貨輪在“藍(lán)天

號(hào)”正南方向距"藍(lán)天號(hào)"20nmile的B處.現(xiàn)在"白云號(hào)"以每小時(shí)10nmile的速度向正

北方向行駛，而“藍(lán)天號(hào)”同時(shí)以每小時(shí)8nmile的速度由4處向南偏西60。方向行駛，經(jīng)

過(guò)多少小時(shí)后，“藍(lán)天號(hào)”和“白云號(hào)”兩船相距最近.

13.如圖所示，表示海中一小島周?chē)?.8nmile內(nèi)有暗礁，一船從4由西向東航行望見(jiàn)此島

在北75。東.船行8nmile后，望見(jiàn)這島在北60。東，如果該船不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有沒(méi)

有觸礁的危險(xiǎn).

AJt+北

A8c。東

數(shù)列的概念

，僉大腦體操）

途作業(yè)完成情況）

途教學(xué)目標(biāo)）

教學(xué)重點(diǎn)：掌握數(shù)列的概念與表示方法，通項(xiàng)公式的求解，數(shù)列的單調(diào)性、最值求解

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列的單調(diào)性及最值的求解，通項(xiàng)公式的判定

手⑥趣味引入）

G知識(shí)梳理）

1.數(shù)列：按照一定的次序排列起來(lái)的數(shù)；

項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)，首項(xiàng)：排在的數(shù)；一般形式寫(xiě)成4,。2,…4,…簡(jiǎn)稱(chēng)為｛風(fēng)｝

這里〃是正整數(shù)。

2.數(shù)列的分類(lèi)

（1）按項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類(lèi)

Y有窮數(shù)列：的數(shù)列

I無(wú)窮數(shù)列：的數(shù)列

（2）「遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

《常數(shù)列：各項(xiàng)都相等的數(shù)列

I擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)

3.數(shù)列的表示方法

（1）__________

（2）列表法

(3)圖像法

4.數(shù)列中項(xiàng)的求解與判斷

數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)質(zhì)是數(shù)列的項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)之間的一種函數(shù)關(guān)系，只不過(guò)定義域是正整數(shù)集

N+,因此可用函數(shù)的方法來(lái)研究數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題。

5.數(shù)列的單調(diào)性

數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性是類(lèi)似的，若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則任意的

都有，此時(shí)數(shù)列的圖像呈上升趨勢(shì)；若數(shù)列｛對(duì)｝是遞減

數(shù)列，則對(duì)任意〃22,〃€乂)都有，此時(shí)數(shù)列的圖像呈下降趨勢(shì)。

6.數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)問(wèn)題

求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，一種方法是利用函數(shù)的最值，另一種方法是利用數(shù)列的單調(diào)性。

位典例講練)

類(lèi)型一：數(shù)列的通項(xiàng)公式

例1.(1)1,3,7,15,31,…

(2)5,55,555,5555,…

12345

練習(xí)1.—1一,3一,-5—,7—,—9—

49162536

練習(xí)2.1,2,1,2,1,2,...

例2.下列敘述正確的是()

A.數(shù)列1,3,5,7和數(shù)列3,1,5,7是同一個(gè)數(shù)列

B.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn)

C.數(shù)列的通項(xiàng)公式是定義域?yàn)檎麛?shù)集N+的函數(shù)

D.數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的

練習(xí)3.下面四個(gè)結(jié)論：

①數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集(或它的有限子集｛1,2,3……，〃｝)上的函數(shù);

②數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)；

③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的；

④數(shù)列通項(xiàng)的表示式是唯一的.

其中正確的是()

A.@@B.①②③C.②③D.①?@④

練習(xí)4.下面四個(gè)結(jié)論：

①數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集｛1,2,3……，〃｝）上的函數(shù);

②數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)；

③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的；

④數(shù)列通項(xiàng)的表示式是唯一的.

其中錯(cuò)誤的是（）

A.①②B.①②③C.③④D.①②③④

類(lèi)型二：數(shù)列的項(xiàng)的判斷及求解

例3.（2015廣東湛江檢測(cè)）數(shù)列｛"+2〃｝中的項(xiàng)不能是（）

A.24B.35C.42D.63

練習(xí)5.數(shù)列口+2〃｝中的項(xiàng)不能是（）

A.24B.36C.42D.61

練習(xí)6.已知如="（〃+1）,以下四個(gè)數(shù)中，哪個(gè)是數(shù)列｛?。械囊豁?xiàng)（）

A.18B.21C.25答案D.30

例4.（2015山東威海月考）在數(shù)列2,5,X,舊,4,...中，x=

練習(xí)7.在數(shù)列2,6,Mr,4,…中，x=

練習(xí)8.在數(shù)列2,S,阿…中，x=

類(lèi)型三：數(shù)列的單調(diào)性、最值性

例5.已知數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式是a.=#^（"CN+）,則數(shù)列的最大項(xiàng)是（）

A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)C.第12項(xiàng)或第13項(xiàng)D.不存在

2

練習(xí)9.數(shù)列｛4｝中，a“=-2n+13〃+24,則an的最大值為—

2（）

練習(xí)10.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=〃+3—20則%的最小值為一

n—1

例6.已知數(shù)列｛勾｝的通項(xiàng)公式是4,=干，那么這個(gè)數(shù)列是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

練習(xí)11.已知數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為例=七，則這個(gè)數(shù)列是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

電當(dāng)堂檢測(cè))

1.'數(shù)列2,0,4,06,0,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是()

n

A.1+(-1)”]

n+1?.

B.a,,=-[l+(-l)n+l]

C..=。+(-1)叫

〃+1

n

D.an=-[\+(-\)]

2.已知數(shù)列｛跖｝中,ai=L02=3,即=a〃-i+」一(〃23),則。5=()

?！ㄒ?

5513

A.^B百C.4D.5

3.已知數(shù)列｛?。凉M(mǎn)足m=x,ai=y,且a“+i=a“一a”-i(〃22),則“2007=()

A.xB.yC.y~xD.~x

4.己知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為a”=/—8〃+15,則3()

A.不是數(shù)列｛”“｝中的項(xiàng)

B.只是數(shù)列｛為｝的第2項(xiàng)

C.只是數(shù)列｛斯｝的第6項(xiàng)

D.是數(shù)列｛如｝的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)

5.已知｛如｝是遞增數(shù)列，且對(duì)任意的自然數(shù)〃(〃21),都有4,=/+加恒成立，則實(shí)數(shù)2的

取值范圍為.

當(dāng)堂總結(jié))

貨檔家庭作業(yè))

基礎(chǔ)鞏固

1.數(shù)列1,_3,5,—7,9,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()

A.一1B.a?=(-m1-2n)C.。，，=(一1)"(2〃-1)D.%=(一1)”(2〃

+1)

2.數(shù)列1,3,7,15,…的通項(xiàng)公式斯=()

A.2"B.2n+lc.2〃一1D.2"一|

3.已知數(shù)列｛斯｝中,?！?1八+2+。八，〃]=2,472=5,則%=()

A.13B.-4C.—5D.2

4.正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝中，斯+i-]+3〃，-則。4—()

-16nAc8D.|

AT*19

5.數(shù)列｛斯｝中,a\=二1，以后各項(xiàng)由公式?…S=/給出，則的+。5等于()

-25R25C以-31

A.yB16c-16D記

6.已知數(shù)列｛。〃｝滿(mǎn)足〃1=1,斯則〃5=.

7.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式如=3〃一1(〃￡N*),通過(guò)公式乩構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列｛勿｝,那

么｛兒｝的前五項(xiàng)為.

8.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式小=就可("€")，則看是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).

9.數(shù)列一1,-y,停…的一個(gè)通項(xiàng)公式為.

10.數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式是“"="2—7〃+6.

(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？

(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？

(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)？

能力提升

1L已知數(shù)列｛④｝中，〃曰，菊=2,則此數(shù)列是(

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列D.常數(shù)列

12.根據(jù)圖中的5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測(cè)第〃個(gè)圖中有個(gè)點(diǎn).

(1)(2)

13.數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足G=1,即+產(chǎn)2飆一1(〃GN*),則41000=(

B.1999C.1000

14.已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足“1=0,a?+i=："GN+),則420=(

+1

B.一小C.小

15.己知數(shù)列｛”“｝滿(mǎn)足0=-2,a?+i=2+",則的=.

16.設(shè)--那么人〃+1)—/(")=.

17.已知函數(shù)段)=信不，構(gòu)造數(shù)列即=K")(〃GN+),試判斷｛斯｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)

18.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為a?=n2—5n+4.

(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？

(2)"為何值時(shí)，如有最小值？并求出最小值.

7513

19.已知數(shù)列1,2,y2'

(1)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式??；

(2)判斷數(shù)列｛為｝的增減性.

20.(1)已知數(shù)列｛斯｝的第1項(xiàng)是1,第2項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由為=如-1+%-2(〃23)給出,寫(xiě)

出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；

(2)用上面的數(shù)列｛斯｝,通過(guò)公式4=巫構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列｛與｝,寫(xiě)出數(shù)列｛為｝的前5

如+1

項(xiàng).

21.觀(guān)察下圖，并閱讀圖形下面的文字，像這樣10條直線(xiàn)相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多的是()

2條直線(xiàn)相交3條江線(xiàn)相交4條直線(xiàn)相交

最多花1個(gè)交點(diǎn)最多有3個(gè)交點(diǎn)最多有6個(gè)交點(diǎn)

A.40個(gè)B.45個(gè)C.50個(gè)D.55個(gè)

22.對(duì)任意的06(0,1),由關(guān)系式斯+尸武斯)得到的數(shù)列滿(mǎn)足斯+i>a“("GN*),則函數(shù)y=/(x)

的圖象是()

等差數(shù)列的概念、性質(zhì)

，僉大腦體操）

途作業(yè)完成情況）

電教學(xué)目標(biāo)）

教學(xué)重點(diǎn)：掌握等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及性質(zhì)；求等差中項(xiàng)，判斷等差數(shù)列及與函數(shù)

的關(guān)系；

教學(xué)難點(diǎn)：通項(xiàng)公式的求解及等差數(shù)列的判定。

途趣味引入）

金知識(shí)梳理）

1.等差數(shù)列的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于,那

么這個(gè)數(shù)列就叫做，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的______，公差通常用字母。來(lái)

表示。用遞推關(guān)系系表示為或4-a,-=d（〃22,〃eN+）

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

若｛%｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為為，公差為d,則

3.等差中項(xiàng)

如果三個(gè)數(shù)x,Ay組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)

4.通項(xiàng)公式的變形

對(duì)任意的p,qeN+，在等差數(shù)列中，有：

!p=a,+(f>-l)d

aq-a1+(^r-l)J兩式相減，得a,,=4+(p—q)d其中p,q的關(guān)系可以為

p〈q,p>q,p=q

5.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式4=6+(〃—1”可得?！?辦+(q-d),這里q,"是常數(shù)，n

是自變量，a“是〃的函數(shù)，如果設(shè)d=a,q-1=4則。“=a〃+b與函數(shù)y=ax+b對(duì)

比，點(diǎn)在函數(shù)y=ax+Z?的圖像上。

6.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

(1)ax+an=a2+an_｛=a3+a?_2=...

(2)若m+”=p+q=2vv,則a,“+a“=%,+4=2a,「w都是正整數(shù))

(3)若以〃，〃成等差數(shù)列，則金,4,4也成等差數(shù)列(〃都是正整數(shù))

(4)an-am+^n-m)d都是正整數(shù))

(5)若數(shù)列｛a“｝成等差數(shù)列，則a”=p〃+q(p,qeR)

(6)若數(shù)列｛q｝成等差數(shù)列，則數(shù)列｛而“+可(九力為常數(shù))仍為等差數(shù)列

(7)若｛凡｝和｛b?｝均為等差數(shù)列,則［an+bn｝也是等差數(shù)列

途典例講練)

類(lèi)型一：等差數(shù)列的判定、項(xiàng)及公差的求解、通項(xiàng)公式的求解

例1.(2015河北唐山月考)數(shù)列｛可｝是首項(xiàng)q=-1,公差4=3的等差數(shù)列，若。〃=2015,

貝ijn-

A.672B.673C.662D.663

練習(xí)L數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)q=-1,公差d=3的等差數(shù)列，若氏=2003,則〃=

A.669B.673C.662D.663

練習(xí)2.數(shù)列｛對(duì)｝是首項(xiàng)q=-1,公差d=3的等差數(shù)列，若a“=2000,則〃=

A.669B.668C.662D.663

例2.(2015山西太原段考)一個(gè)首項(xiàng)為23、公差為整數(shù)的等差數(shù)列從第7項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，

則其公差d為()

A.-2B.-3C.-4D.-6

練習(xí)3.一個(gè)首項(xiàng)為23、公差為整數(shù)的等差數(shù)列從第6項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，則其公差d為()

A.-2B.-3C.-4D.-5

練習(xí)4.等差數(shù)列｛斯｝中，句+的=10,8=7,則數(shù)列｛3｝的公差為（）

A.1B.2C.3D.4

例3.（2014浙江紹興一中期中）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=1,。,用=1-/一，其中〃€乂設(shè)

（1）求證：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列

（2）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

練習(xí)5.已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足％=4,a“=冷了（〃22）令

（1）求證：數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列

（2）求數(shù)列也｝與｛叫的通項(xiàng)公式

練習(xí)6.在等差數(shù)列｛4｝中，已知%=一1，4=2,求

例4.已知數(shù)列8,a,2,b,c是等差數(shù)列，則a,b,c的值分別為—

練習(xí)7.已知數(shù)列8,凡21,是等差數(shù)列，則“功的值分別為一

練習(xí)8.己知數(shù)列2,4,8,"c是等差數(shù)列，則a,。,c的值分別為—

類(lèi)型二：等差數(shù)列的性質(zhì)及與函數(shù)的關(guān)系

例5.等差數(shù)列｛a“｝中，己知400n+即）］4=2015,則4+4014=（）

A.2014B.2015C.2013D.2016

練習(xí)9.在等差數(shù)列｛%｝中，若。4+4+4+即）+42=120,則2%0-42的值為（）

A.24B.22C.20D.18

練習(xí)10.（2015山東青島檢測(cè)）已知等差數(shù)列｛4｝中，4oo7+4oo8=2015,q=-1,則a20I4

例6.已知數(shù)列｛%｝中，生=2013,4（）13=2且是〃的一次函數(shù)，則%015=一

練習(xí)11.若a,b,c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)/（元）=衣2一如x+c的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.1或2

練習(xí)12.已知無(wú)窮等差數(shù)列｛4｝中，首項(xiàng)4=3,公差。=一5,依次取出序號(hào)被4除余3

的項(xiàng)組成數(shù)列｛4｝

（1）求4和2

（2）求也｝的通項(xiàng)公式

（3）也｝中的第503項(xiàng)是｛叫的第幾項(xiàng)

電當(dāng)堂檢測(cè)）

L’在等差數(shù)列｛斯｝中,。1+偈=10，則。5的值為（）

A.5B.6C.8D.10

2.在數(shù)列｛卬｝中，R=2,2詼+1=2斯+1,則moi的值為（）

A.49B.50C.51D.52

3.如果等差數(shù)列｛〃〃｝中，々3+04+45=12,那么。］+〃2+…+。7=（）

A.14B.21C.28D.35

4.已知等差數(shù)列｛〃〃｝滿(mǎn)足〃1+〃2+〃3+…+〃101=0，則有（）

A.。］+。101>0B.a2+aioo<OC.s+aiooWOD.〃5］=0

5.等差數(shù)列｛〃〃｝中，〃l+〃4+〃7=39,〃2+〃5+〃8=33,則6+為+麴的值為（）

A.30B.27C.24D.21

6.等差數(shù)列｛%｝中，的=33,儂=153,則201是該數(shù)列的第（）項(xiàng)（）

A.60B.61C.62D.63