第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

考綱導(dǎo)讀

（一）函數(shù)

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射的概念,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值堀

2.理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據(jù)不同的要求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū?/p>

示簡(jiǎn)單的函數(shù)。

3.了解分段函數(shù)，能用分段函數(shù)來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

4.理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)討論和證明一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的單調(diào)性：理解函數(shù)奇偶性的含義，會(huì)

判斷簡(jiǎn)單的函數(shù)奇偶性。

5.理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義，并能求出一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的最大（小）值°

6.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。

（二）指數(shù)函數(shù)

1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景。

2.理解有理指數(shù)幕的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)慕的意義，掌握幕的運(yùn)算。

3.理解指數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)求與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題。

4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。

（三）對(duì)數(shù)函數(shù)

1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將?般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù);

了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用。

2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：會(huì)求與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題c

3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)是??類重要的函數(shù)模型°

4.了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（）。

（四）哥函數(shù)

1,了解基函數(shù)的概念。

2.結(jié)合函數(shù)的圖像，了解它們的變化情況。

（五）函數(shù)與方程

1.了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。

2.理解并掌握連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法。能利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)判別函

數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)c

（六）函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)的增長(zhǎng)特征。知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等

不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。

2.了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函

數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。

3.能利用給定的函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

「定義域一區(qū)間「——元二次函數(shù)

定

對(duì)應(yīng)法則一元二次不等式

義

值域指

根式一分?jǐn)?shù)指數(shù)

數(shù)

映函

數(shù)指數(shù)方程

射L指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)一

對(duì)數(shù)方程

函

奇偶性

數(shù)

對(duì)數(shù)的性質(zhì)

性

單調(diào)性

質(zhì)

積、商、耗與

周期性根的對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)

反對(duì)數(shù)恒等式

互為反函數(shù)的對(duì)

函

函數(shù)圖像關(guān)系數(shù)和不等式

數(shù)函

數(shù)常用對(duì)數(shù)

自然對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

高考導(dǎo)航

根據(jù)考試大綱的要求，結(jié)合2009年高考的命題情況，我們可以預(yù)測(cè)2010年集合部分在

選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點(diǎn)有以下兩個(gè)方面：一是集合的運(yùn)算、集合的

有關(guān)述語(yǔ)和符號(hào)、集合的簡(jiǎn)單應(yīng)用等作基礎(chǔ)性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；

二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識(shí)為載體，以集合的語(yǔ)言和符號(hào)為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡(jiǎn)

易邏輯知識(shí)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn)

函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全過(guò)程，

包括解決幾何問(wèn)題.在近幾年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函

數(shù)試題，而且?？汲Ｐ?以基本函數(shù)為模型的應(yīng)用題和綜合題是高考命題的新趨勢(shì).

考試熱點(diǎn)：①考查函數(shù)的表示法、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)和函數(shù)的圖

象.②函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是相互關(guān)聯(lián)的概念，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象分析，建立相應(yīng)

的函數(shù)模型并用來(lái)解決問(wèn)題，是考試的熱點(diǎn).③考查運(yùn)用函數(shù)的思想來(lái)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和

解決問(wèn)題，滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的基本數(shù)學(xué)思想.

第1課時(shí)函數(shù)及其表示

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一、映射

1.映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系力對(duì)于集合A中的元素，在

集合B中都有元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做到的映射，記

作

2.象與原象：如果尤A-B是一個(gè)A到B的映射，那么和A中的元素a對(duì)應(yīng)的叫做

象，叫做原象。

二、函數(shù)

1.定義：設(shè)A、B是,FA-B是從A到B的一個(gè)映射，則映射r：A-*B叫做A到B

的，記作.

2.函數(shù)的三要素為、、,兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)分別相同時(shí)，二者才

能稱為同一函數(shù)。

3.函數(shù)的表示法有、、。

典型例題

例1.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是().

A.y=1,y=2B.y-Jx-1+1,y-4x2-1

x

C.y=x,y=V?D.y=|x|,y=(7x)2

解：C

變式訓(xùn)練1：下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是()

A.y=—B.y=(77)'C.y=lglO"D.y=2%*

x

解：C

例2.給出下列兩個(gè)條件：(1)f(4+l)=x+24;(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.

試分別求出f(x)的解析式.

解：(1)令t=4+1,.?.tNl,x=(t-l)2.

貝Ijf(t)=(t-l)2+2(t-D=t2-l,即f(x)=x2-l,XC[1,+oo).

(2)設(shè)f(x)uax'bx+c(aWO),

f(x+2)=a(x+2)"+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.

-4，，卜I,又f(0)=3nc=3,f(x)=x"-x+3.

[4a+2h=2(/?=-1

變式訓(xùn)練2：(1)已知f(二+1)=lgx,求f(x)；

X

(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)；

(3)已知f(x)滿足2f(x)+f(1)=3x,求f(x).

X

解：(1)令2+i=t,則x=2,

xt-\

/.f(t)=lg-^-,/.f(x)=lg—(1,+°°).

r-1x-1

(2)設(shè)f(x)=ax+b,則

3f(x+1)-2f(x-l)=3ax+3a+3b-2ax+2a_2b=ax+b+5a=2x+17,

/.a=2,b=7,故f(x)=2x+7.

(3)2f(x)+f(-)=3x,①

X

把①中的X換成!，得2f(L)+f(x)=3②

XXX

①X2-②得3f(x)=6x--,Af(x)=2X-L

XX

例3.等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a,BC=a,ZBAD=45°,作直線MN1AD交AD于M,交折線

ABCD于N,記AM=x,試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫(xiě)出函數(shù)的定義

域.

解：作BHJ_AD,H為垂足，CG1AD,G為垂足，

依題意,則有AH=g,AG=3a.

22

(1)當(dāng)M位于點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，NCAB,

由于AM=x,ZBAD=45".，MN=x.：.y=S^-x(0^x<-).

22

(2)當(dāng)M位于HG之間時(shí)，由于AM=x,AMN=-,BN=x--.

22

?c1ar,/a\~\1優(yōu),3、

..y=sAMXB=—[_x+(X--)J=—ax--(—<x<—a).

2222822

(3)當(dāng)M位于點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，由于AM=x,MN=MD=2a-x.

/?y=SABCf)-SAMi)N=+〃)一~(^a一4)。=——J(4/-4ax+x2)=—^-x2+lax<x-2〃)?

綜上：y-*—ar--

28

12c5/

——A'+2ax-------

24

x>0,

變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=1,x=0,

x<0.

-x

(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)求f(l),f(T),f[/(-l)]的值.

解：(1)分別作出f(x)在x>0,x=0,xV0段上的圖象,如圖所示,作法略.

(2)f⑴=1』,f(-1)=--=1,f[/(-1)]=f(1)=1.

-------------]

小結(jié)歸納

1.了解映射的概念，應(yīng)緊扣定義，抓住任意性和唯一性.

2.函數(shù)的解析式常用求法有：待定系數(shù)法、換元法(或湊配法)、解方程組法.使用換元法

時(shí)，要注意研究定義域的變化.

3.在簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中建立函數(shù)式，首先要選定變量，然后尋找等量關(guān)系，求得函數(shù)的解析式,

還要注意定義域.若函數(shù)在定義域的不同子集上的對(duì)應(yīng)法則不同，可用分段函數(shù)來(lái)表示.

第2課時(shí)函數(shù)的定義域和值域

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一、定義域：

1.函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式的集合.

2.常見(jiàn)的三種題型確定定義域：

①已知函數(shù)的解析式，就是.

②復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的有關(guān)定義域，就要保證內(nèi)函數(shù)g(x)的域是外函數(shù)f(x)的一

域.

③實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的定義域，就是要使得有意義的自變量的取值集合.

二、值域：

1.函數(shù)尸f(X)中，與自變量X的值_______的集合.

2.常見(jiàn)函數(shù)的值域求法，就是優(yōu)先考慮,取決于,常用的方法有:

①觀察法；②配方法；③反函數(shù)法；④不等式法；⑤單調(diào)性法；⑥數(shù)形法；⑦判別式法；⑧

有界性法；⑨換元法(又分為法和法)

例如：①形如尸」二，可采用法；②尸巨可采用法或

法;③尸@"3]2+3/'0)+°,可采用法;④尸x—J1-X,可采用法;

⑤可采用________法；⑥可采用________法等.

2-cosx

典型例題

例1.求下列函數(shù)的定義域：

⑴y=(J+D;(2)y=/1+y/5-x2;(3)y=Jx+l-Jx-l.

yl\x\-X

解：(1)由題意得[廣除化簡(jiǎn)得

[|x|-x>0[Ix|>x

即卜*T故函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x<0且xW-1｝.

x<0

x*士后

(2)山題意可得；二；,解得

->[5<X<45'

故函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸l-石WxW石且xW土右｝.

(3)要使函數(shù)有意義，必須有

二黑即"NT,.?.x2l,故函數(shù)的定義域?yàn)閇1,+8).

x>1

變式訓(xùn)練1：求下列函數(shù)的定義域:

(1)y=JgQ-x)+gi)。.⑵丫=舟+&-4)。;(3)y=(25-、+lgcosx;

J12+x—x~

|2-x>0x<2

解：(1)由卜2+x-￡>0,得，-3<x<4,所以-3<x<2且x#l.

A-1^0"1

故所求函數(shù)的定義域?yàn)?-3,1)U(1,2).

3

x>——

4x+3>04

1

(2)由4x+3W1,得<xW——..?函數(shù)的定義域?yàn)榱頤(*E).

2

5%—4。0

4

xW一

5

-5<x<5

(3)由戶7；。,得

[cosx>02k7r--<x<2k7r+—(keZS

22

借助于數(shù)軸，解這個(gè)不等式組，得函數(shù)的定義域?yàn)椴飞?Uf凱仔,5

例2.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?,1］,求下列函數(shù)的定義域.

(1)y=f(3x);(2)y=f(-);

X

(3)y=f(x+1)+/(x-1);(4)y=f(x+a)+f(x-a).

解：⑴0W3xWl,故OWxW；,y=f(3x)的定義域?yàn)椋?,g］.

(2)仿(1)解得定義域?yàn)椋?,+8).

(3)由條件，y的定義域是f(x+；)與(x-§定義域的交集.

2

O<x+-<1-2x<-,3

列出不等式組3n3

O<x--<1工"33

3133

故y=f(x+f+/(x-5的定義域?yàn)?

(4)由條件得[°'x+a"n上<xVl—討論：

①當(dāng)即owaWl時(shí)，定義域?yàn)閇a,1-a];

[1-fl<14-tz,2

②當(dāng)即-IwaWO時(shí)，定義域?yàn)閇-a,1+a].

綜上所述：當(dāng)OWaWl時(shí)，定義域?yàn)閇a,1-a]；當(dāng)」WaWO時(shí)，定義域?yàn)閇-a,1+a].

22

變式訓(xùn)練2：若函數(shù)f(x)的定義域是[0,1],則f(x+a)?f(x-a)(0<a<l)的定義域是)

2

A.0B.[a,l-a]C.[-a,1+a]D.[0,1]

解：B

例工求下列函數(shù)的值域：

(1)y=“；(2)y=x-Vl-2x;(3)y=.

x-x+1e'+1

解：(1)方法一(配方法)

,.?y=l—~~7,而f-X+1=(X-；)2+；N],

x*-x+l244

,\o<1<4'?值域?yàn)?/p>

x2—x+1333)

方法二(判別式法)

由y=-^——,得(y-l)X2+(l-y)x+y=0.

x~-x+1

???y=l時(shí)，xe0,r.y^l.XVxGR,，必須A二(1一丫尸一4丫(yT)20.

.?.-泊小―.?.函數(shù)的值域?yàn)門(mén)).(2)方法一(單調(diào)性法)

定義域卜1x4；｝,函數(shù)y=x,y=-Jl-2x均在18,g上遞增，

故y<--Jl-2xl=l.

2V22

函數(shù)的值域?yàn)?-8,：.

方法二(換元法)

令Jl-2x=t,則t20,且*=^!^-..*.y=--(t+1)''+1W，(t20),

222

.?.yG(-8,1].

(3)由y=一得，eX=3.???e、>0,即3>0,解得TVyVL

eA+11-y1-y

.?.函數(shù)的值域?yàn)閧y|T<y<l}.

變式訓(xùn)練3：求下列函數(shù)的值域：

⑴丫二上乙；(2)y=|x|y/1^7.

2x+5

解：(1)(分離常數(shù)法)y=-」+二一，???」一WO,

22(2x+5)2(2x4-5)

Ay^--.故函數(shù)的值域是｛y|y￡R,且y^--｝.

22

⑵方法一(換元法)

Vl-x2^0,令x=sina,則有y=|sinacosa|=—Isin2aI,

2

故函數(shù)值域?yàn)椋?,.

2

方法二y=|x?V^7=J_￡+U=/夕_夕+/

.??0〈yW!，即函數(shù)的值域?yàn)椤?」.

2L2_

例4.若函數(shù)f(x)uLx^-x+a的定義域和值域均為［1,b］(b>l),求a、b的值.

2

解：Vf(x)=-(x-l)2+a--.

22

???其對(duì)稱軸為x=L即［1,b］為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

Af(X)min=f(1)=a-y=l①

f(x)max=f(b)=-b2-b+a=b②

2

,_3

由①②解得"=5'

b=3.

變式訓(xùn)練4：已知函數(shù)f(x)=xJ4ax+2a+6(xGR).

(1)求函數(shù)的值域?yàn)長(zhǎng)O,+8)時(shí)的a的值;

(2)若函數(shù)的值均為非負(fù)值，求函數(shù)f(a)=2-a|a+3|的值域.

解：(1)???函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8),

A=16a"-4(2a+6)=0=>2a"-a-3=0/.a=-l或a=

2

(2)對(duì)一切x￡R,函數(shù)值均非負(fù)，.??A=8(2a2-a-3)W0nTWa<2,,??a+3>0,

2

f(a)=2~a(a+3)=-a2_3a+2=-(a+—)2+—(ae-1,—).

242_

??,二次函數(shù)f(a)在-1,日上單調(diào)遞減，(a)min=f(I),f(a)max=f(-1)=4,

???￡5)的值域?yàn)榭诎?41

_4_

小結(jié)歸納

1.求函數(shù)的定義域一般有三類問(wèn)題：一是給出解釋式(如例1),應(yīng)抓住使整個(gè)解式有意義

的自變量的集合；二是未給出解析式(如例2),就應(yīng)抓住內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域;

三是實(shí)際問(wèn)題，此時(shí)函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題有意義.

2.求函數(shù)的值域沒(méi)有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法(如直接法、單調(diào)性法、有界

性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法)外，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的不同特點(diǎn)，綜合

而靈活地選擇方法.

第3課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一、單調(diào)性

1.定義：如果函數(shù)y=F(x)對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值幾、&,

當(dāng)不、＜及時(shí)，①都有,則稱F(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，而這個(gè)區(qū)間稱函數(shù)的一

個(gè);②都有，則稱f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，而這個(gè)區(qū)間稱

函數(shù)的一個(gè).

若函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域1內(nèi)只有唯一的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，則/Xx)稱為.

2.判斷單調(diào)性的方法：

(1)定義法，其步驟為：①；②;③.

(2)導(dǎo)數(shù)法，若函數(shù).『/(*)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)，①若,則f(x)

在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；②若，則/'(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論

1.若f(x),g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)函數(shù)；

2.若/'(x)為增(減)函數(shù)，則一f(x)為；

3.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有的單調(diào)性；

4.復(fù)合函數(shù)［g(x)］是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)相同，則/?［g(x)］

為，若/'(x),g(x)的單調(diào)性相反，則/'［g(x)］為.

5.奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性，偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性.

典型例題

例1.已知函數(shù)f(x)=a*+±E(a>l),證明：函數(shù)f(x)在(-1,+8)上為增函數(shù).

X+1

證明方法一任取Xi,X26(T,+8),

，

不妨設(shè)Xi<X2,則x2-Xi>0,L>1且優(yōu)>0,

:.。"一優(yōu)=優(yōu)'(。3_1)>0,XVxi+l>0,x2+l>0,

?.-2_.￡-2_(玉-2)(〉+1)-(西-2)(工+1)_3(-—西)>0

x2+1x,+1(x,+l)(x2+1)(%+l)(x2+1)

于是f(xMf(xj=…a">0,

x2+1xt+1

故函數(shù)f(x)在(-l,+8)上為增函數(shù).

方法二f(x)=a+l-—(a>l),

x+1

求導(dǎo)數(shù)得，'(x)=a*lna+--—,；a>l,當(dāng)x>-l時(shí)，axlna>0,--->0,

(x+廳(x+l);

廣(x)>0在(-1,+8)上恒成立,則f(x)在(-1,+°°)上為增函數(shù).

方法三：a>l,.??￥=］為增函數(shù)，

又y=±E=］+二，在(-1,+8)上也是增函數(shù).

x+\x+1

.?.丫=/+忙2在(-1,+00)上為增函數(shù).

X+1

變式訓(xùn)練1：討論函數(shù)f(x)=x+-(a>0)的單調(diào)性.

X

解：方法一顯然f(x)為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f(x)在(0,+8)上的單調(diào)性，

設(shè)X】>X2>0,則

f(X|)-f(X2)=(X1+—)-(X2+—)=(X1-X2),(1--^-).

王飛玉毛

當(dāng)0<X2〈Xi〈布時(shí)，-^―>1,

則f(X1)-f(x2)<0,即f(X］)Vf(X2),故f(x)在(0,4a］上是減函數(shù).

當(dāng)Xi>X2》行時(shí)，0<-^<1,則f(xi)-f(x2)>0,KPf(xi)>f(x2),

故f(x)在［后，+8)上是增函數(shù).???f(x)是奇函數(shù)，

Af(x)分別在(-8,-后］、［4a,+8)上為增函數(shù);

f(x)分別在,0)、(o,G上為減函數(shù).

方法二由r(x)=l-9=0可得x=±后

X

當(dāng)x>4a或X<-Va時(shí),f\x)>0.*.f(x)分別在(4a,+8)、(-<?,一折]上是增函數(shù).

同理0<xV0或-后<xV0忖，f\x)<0

即f(x)分別在(0,&]、[-n,0)上是減函數(shù).

例2.判斷函數(shù)f&)=-7在定義域上的單調(diào)性.

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|xWT或x》l｝,

則f(x)=7r-l,

可分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù).

f(x)=M^,"(x)=x?T的形式.當(dāng)x》l時(shí)，u(x)為增函數(shù)，J"(x)為增函數(shù).

(x)=J/-1在[1,+8)上為增函數(shù).當(dāng)xWT時(shí)，u(x)為減函數(shù)，而有為減函數(shù)，

；.f(x)=J/-1在(-8,-1]上為減函數(shù).

變式訓(xùn)練2：求函數(shù)y=log,(4x-x2)的單調(diào)區(qū)間.

解：由4X-X2>0,得函數(shù)的定義域是(0,4).令t=4x-x：'，則y=log,t.

2

Vt=4x-x2=-(x-2)2+4,??.t=4x-x2的單調(diào)減區(qū)間是[2,4),增區(qū)間是(0,2].

又y=log|t在(0,+°°)上是減函數(shù)，

2

函數(shù)y=log」(4x-x2)的單調(diào)減區(qū)間是(0,2],單調(diào)增區(qū)間是[2,4).

例3.求下列函數(shù)的最值與值域：

(1)y=4-J3+2X-U；(2)y=x+-;(3)y=+1+J(2-x『+4.

解:(1)山3+2x-x'N0得函數(shù)定義域?yàn)閇-1,3],Xt=3+2x-x2=4-(x-l)2.

/.te[0,4],/G[o,2],

從而,當(dāng)x=l時(shí),y111n=2,當(dāng)x=T或x=3時(shí)，y1ral=4.故值域?yàn)閇2,4].

(2)方法一函數(shù)y=x+±是定義域?yàn)椋鹸|x#0｝上的奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故只討論

X

x>0時(shí)，即可知xVO時(shí)的最值.

...當(dāng)x>0時(shí),y=x+g22氏=4,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得.當(dāng)x<0時(shí)，yW-4,

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取得.綜上函數(shù)的值域?yàn)?-8,-4]U[4,+8),無(wú)最值.

方法二任取X1,X2,且X1<X2,

因?yàn)閒⑶)-f(X2)=X1+A-(X2+1)=一―四巴丘】,

x}x2x,x2

所以當(dāng)xW-2或x》2時(shí)，f(x)遞增，當(dāng)-2Vx<0或0Vx<2時(shí)，f(x)遞減.

故x=-2時(shí)，f(x)&大他=f(-2)=-4,x=2時(shí)，f(x)岐小值=￡(2)=4,

所以所求函數(shù)的值域?yàn)?-8,-4]U[4,+8),無(wú)最大(小)值.

(3)將函數(shù)式變形為y=7(X-O)!+(O-I)2+7(-r-2):+(0+2)!,

可視為動(dòng)點(diǎn)M(x,0)與定點(diǎn)A(0,1)、B(2,-2)距離之和，連結(jié)AB,則直線AB與x軸的

交點(diǎn)(橫坐標(biāo))即為所求的最小值點(diǎn).

y?iin—|ABI—J(0-2)，+(1+2)'=VTJ>可求得X—q時(shí)，y?iin=?

顯然無(wú)最大值.故值域?yàn)閇而，+8).

變式訓(xùn)練3：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每

月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x(x>0)臺(tái)的收入函數(shù)為R(x)=3000x-20x2(單位：元)，

其成本函數(shù)為C(x)=500x+4000(單位：元)，利潤(rùn)是收入與成本之差.

(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(X)；

(2)利潤(rùn)函數(shù)P(x)與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)是否具有相同的最大值？

解：(l)P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000

(xe[1,100]且xdN,)

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)

=2480-40x(xe[1,100]且xGN).

(2)P(x)=-20(x-—)2+74125,當(dāng)x=62或63時(shí),P(x)皿=74120(元).

2

因?yàn)镸P(x)=2480-40x是減函數(shù)，所以當(dāng)x=l時(shí)，MP(x)TCX=2440(元).

因此，利潤(rùn)函數(shù)P(x)與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)不具有相同的最大值.

例4.(2009?廣西河池模擬)已知定義在區(qū)間(0,+8)上的函數(shù)f(x)滿足f(五)=f(xj-f(x2),且

當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.

(1)求f(l)的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性；

(3)若f(3)=-l,解不等式f(|x|)V-2.

解：(1)令X1=X2>O,代入得f(l)=f(X1)-f(Xi)=o,故f(1)=0.

(2)任取Xi,x2^(0,+8),且xi>x2,則上>1,由于當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<0,

￡

所以f(上)V0,即f(xi)-f(x2)<0,因此f(xi)<f(x2),

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù).

(3)由f(土)=f(xj-f3)得f(2)=f(9)-f(3),而f(3)=-l,所以f(9)=-2.

x23

由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù)，

由f(|x|)Vf(9),得|x|>9,?,?x>9或xV-9.因此不等式的解集為{x!x>9或xV-9}.

變式訓(xùn)練4：函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b￡R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-l,并且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.

（1）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；

⑵若f（4）=5,解不等式f（3m-m-2）＜3.

解：（1）設(shè)Xi,XzGR,且xVxz,

則X2_Xi＞0,/.f（X2-X1）＞1.

f（x2）-f（Xi）=f（（X2-X1）+Xi）-f（Xi）=f（X2-X1）+f（Xi）-l-f（Xi）=f（X2-Xi）-I＞o.

f（X2）＞f（XI）.

即f（x）是R上的增函數(shù).

（2）Vf（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5,

：.f（2）=3,

...原不等式可化為f（3m2-m-2）＜f（2）,

：f（x）是R上的增函數(shù)，.,.3mZ-m-2V2,

解得故解集為（-1,.

小結(jié)歸納

1.證明二個(gè)函數(shù)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)的方法有：（1）定義法.其過(guò)程是：作差——變形

—判斷符號(hào)，而最常用的變形是將和、差形式的結(jié)構(gòu)變?yōu)榉e的形式的結(jié)構(gòu)；（2）求導(dǎo)法.

其過(guò)程是：求導(dǎo)——判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)——下結(jié)論.

2.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法有：（1）觀察法；（2）圖象法（即通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察圖

象，確定單調(diào)區(qū)間）；（3）定義法；（4）求導(dǎo)法.注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間一定要在定義域內(nèi).

3.含有參量的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，可分為兩類：一類是由參數(shù)的范圍判定其單調(diào)性：一類是

給定單調(diào)性求參數(shù)范圍，其解法是由定義或?qū)?shù)法得到恒成立的不等式，結(jié)合定義域求出參

數(shù)的取值范圍.

第4課時(shí)函數(shù)的奇偶性

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.奇偶性：

①定義：如果對(duì)于函數(shù)f（*）定義域內(nèi)的任意”都有,則稱f（X）為奇函數(shù)；

若，則稱f（X）為偶函數(shù).如果函數(shù)f（x）不具有上述性質(zhì)，則f（X）不具

有,如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f（X）.

②簡(jiǎn)單性質(zhì)：

1）圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)

是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對(duì)稱.

2）函數(shù)f（x）具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于對(duì)稱.

2.與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：

①已知條件中如果出現(xiàn)/（x+a）=-/*）、或/（x+a）/（x）="?（。、〃2均為非零常

數(shù)，。＞0）,都可以得出/*）的周期為；

②）,=/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)5,0）,（。,0）中心對(duì)稱或y=/（x）的圖象關(guān)于直線

x=a,x=h軸對(duì)稱，均可以得到/（x）周期

典型例題

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1)f(x)=Jx'-l-；

(2)f(x)=log2(x+7/+T)(xSR)；

(3)f(x)=lgx-2|.

解：(1)；x2-l》0且l-x?2。，...*=±1,即f(x)的定義域是{T,1}.

Vf(1)=0,f(-l)=0,.*.f(l)=f(-l),f(-l)=-f(l),

故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(2)方法一易知f(x)的定義域?yàn)镽,

2

X'.'f(-x)=log2又x+J(-x>+l］=log2---===-log2(x+Vx+1)=-f(x),

x+\lx!+l

；.f(x)是奇函數(shù).

方法二易知f(x)的定義域?yàn)镽,

2

X,/f(-x)+f(x)=log2[-x++11+log2(x+Vjr+l)=log2l=0,BPf(-x)=-f(x),

(x)為奇函數(shù).

(3)由|x-2|>0,得xK2.

Af(x)的定義域｛x|x#2｝關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故f(x)為非奇非偶函數(shù).

變式訓(xùn)練1：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)=(x-2)

(2)f(x)Igl)

|/-2|-2

x+2

(3)f(x)0(1*1),

-x+2(x>1).

解：⑴由言》。，得定義域?yàn)閇-2,2),關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故f⑺為非奇非偶函數(shù).

(2)由得定義域?yàn)?-1,0)U(0,1).

這時(shí)f(x)Ig(l-r)Igl)

Vf(-x)=一處3=-幽>=〃bAf(x)為偶函數(shù).

(f)-x-

(3)x<-l時(shí),f(x)=x+2,-x>l,Af(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).

x>l時(shí),f(x)=-x+2,-x<-l,f(-x)=x+2=f(x).

TWxWlET寸，f(x)=0,-KxWl,f(-x)=0=f(x).

???對(duì)定義域內(nèi)的每個(gè)x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函數(shù).

例2已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y￡R時(shí)，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

(2)如果xWR-,f(x)V0,并且f(l)=-L試求f(x)在區(qū)間［-2,6］上的最值.

2

(1)證明：???函數(shù)定義域?yàn)镽,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

Vf(x+y)=f(x)+f(y),令丫=七，.?」'(())=f(x)+f(-x).令x=y=O,

二f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),

；.f(x)為奇函數(shù).

(2)解：方法一設(shè)x,yGR:*.*f(x+y)=f(x)+f(y),

Af(x+y)-f(x)=f(y).VxeR1,f(x)<0,

f(x+y)-f(x)<0,f(x+y)<f(x).

???x+y>x,；.f(x)在(0,+8)上是減函數(shù).又宣(x)為奇函數(shù),f(0)=0,

.,.f(X)在(-8,+8)上是減函數(shù)..?.￡(-2)為最大值，f(6)為最小值.

Vf(1),Af(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.

2

???所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.

方法二設(shè)X1<X2,且Xi,X2eR.

則f(X2-Xi)=f卜2+(-X1)]=f(x2)+f(-X1)=f(x2)-f(X1).

Vx2-Xi>0,Af(x2-xi)<0.Af(x2)-f(xi)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.

Af(-2)為最大值,f(6)為最小值.(1)

2

Af(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.

??.所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.

變式訓(xùn)練2：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x￡(-8,0)時(shí),f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.

解：???f(x)是奇函數(shù)，可得f(0)二-f(0),???f(0)=0.

當(dāng)x>0時(shí),一xVO,由已知f(一x)=xlg(2+x),，一f(x)=xlg(2+x),

即f(x)=-xlg(2+x)(x>0)..\f(x)=HIg(2"x)(x<0),

l-xlg(2+x)(x>0).

BPf(x)=-xlg(2+1x|)(xGR).

例3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x+2)=-f(x).

(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；

(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)OWxWl時(shí)，f(x)=1x,求使f(x)=-L在[0,2009]上的所有x的個(gè)

22

數(shù).

(1)證明：Vf(x+2)=-f(x),

.*.f(x+4)=-f(x+2)=-0-f(x)]=f(x),

Af(x)是以4為周期的周期函數(shù).

(2)解：當(dāng)OWxWl時(shí)，f(x)='x,

2

設(shè)TWxWO,則OW-xWl,(-x)=—(-x)-x.

22

?；f(x)是奇函數(shù)，Af(-x)=-f(x),

A-f(x)=--x,即f(x)=—x.

22

故f(x)=Lx(-lWxWl)

2

又設(shè)l<x<3,則TVx-2V1,

.?.f(x-2)=，(x-2),

2

XVf(x-2)=-f(2-x)=~f((-x)+2)=~[-f(-x)]=-f(x),

A-f(x)=-(x-2),

2

(x)(x-2)(l<x<3).

2

-x(-1<X<1)

Af(x)=2

--(x-2)(l<x<3)

2

由f(x)=-［,解得x=T.

2

Vf(x)是以4為周期的周期函數(shù).故f(x)二-'的所有x=4nT(nGZ).

2

令0W4nTW2009,則,〈nW理，

42

XVnGZ,，lWnW502(nGZ),

???在［0,2009］上共有502個(gè)x使f(x)二-L

2

變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+l,a￡R.

(1)試判斷f(x)的奇偶性；

(2)若-LwaWL,求f(x)的最小值.

22

解：⑴當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(-x)=(-x)2+1-x|+l=f(x),

此時(shí),f(x)為偶函數(shù).當(dāng)aWOf(a)=a2+l,f(-a)=a2+2|a|+l,

f(a)Wf(-a),f(a)W-f(-a),此時(shí),f(x)為非奇非偶函數(shù).

(2)當(dāng)xWa時(shí),f(x)=x2-x+a+l=(x--)2+a+—,

24

???aWL,故函數(shù)f(x)在(-8,a］上單調(diào)遞減,

2

從而函數(shù)f(x)在(-8,a］上的最小值為f(a)=a?+L

當(dāng)x2a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+—)2-a+—,

24

Va^--,故函數(shù)f(x)在［a,+8)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在［a,+8)上的

2

最小值為f(a)=a2+l.

綜上得,當(dāng)-LWa-L時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為d+L

22

小結(jié)歸納

1.奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質(zhì)，對(duì)一個(gè)函數(shù)首先應(yīng)判斷它是否具有這種性質(zhì).判

斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)首先檢驗(yàn)函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后根據(jù)奇偶性的定義判斷(或

證明)函數(shù)是否具有奇偶性.如果要證明一個(gè)函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內(nèi)找到一對(duì)

非零實(shí)數(shù)a與一a,驗(yàn)證/'(a)土/'(-a)#0.

2.時(shí)于具有奇偶性的函數(shù)的性質(zhì)的研究，我們可以重點(diǎn)研究y