數(shù)學(xué)-專項15 坐標系中的面積（和實數(shù)有關(guān)）（帶答案）

專題15坐標系中的面積（和實數(shù)有關(guān)）【例題講解】如圖，在平面直角坐標系中，，，，且．(1)求a，b的值；(2)①在x軸的正半軸上存在一點M，（使的面積的面積，求出點M的坐標；②在坐標軸的其它位置是否存在點M，使的面積的面積恒成立？若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標．（1）解：∵∴，解得：，（2）①點A的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(3，0)，設(shè)M的坐標為(0，m)，根據(jù)題意，解得：m=5，所以M點坐標為(0，5).②存在.當(dāng)點M在y軸上，設(shè)M的坐標為(0，m)，根據(jù)題意得，解得m=±5，此時點M的坐標為(0，-5)(0，5).當(dāng)點M在x軸上，設(shè)M的坐標為(n，0)，根據(jù)題意得，解得n=±2.5，此時點M的坐標為(-2.5，0)(2.5，0)，綜上所述：點M的坐標為(-5，0)，(5，0)，(-2.5，0)，(2.5，0)．【綜合解答】

1．在平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，b），且a、b滿足．(1)求OA，OB長度；(2)在x軸上是否存在點C，使得三角形ABC的面積是12；若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若點P從點B出發(fā)沿著y軸運動（點P不與原點、B點重合）速度為每秒2個單位長度，連接AB、AP，當(dāng)運動的時間t為幾秒時，？并求出此時點P的坐標．【答案】(1)(2)存在；或(3)當(dāng)移動2.25秒，此時或移動4.5秒，此時時，．【分析】（1）根據(jù)非負性求出的值即可；（2）利用進行計算即可；（3），，利用進行計算即可．（1）解：∵，，∴，，解得：，∴，

∴；（2）解：存在．設(shè)則：，∴，∴或，解得：或，∴或（3）解：設(shè)，，∵，∴，∴，整理得：，解得：或，當(dāng)時：（秒），當(dāng)時：（秒）；∴當(dāng)移動2.25秒，此時或移動4.5秒，此時時，．【點睛】本題考查平面直角坐標系下的點的坐標和動點問題，根據(jù)題意準確的找出點的位置是解題的關(guān)鍵．2．如圖1，已知，點A（1，a），AH⊥x軸，垂足為H，將線段AO平移至線段BC，點B（b，0），其中點A與點B對應(yīng)、點O與點C對應(yīng)，a、b滿足．

(1)填空：①直接寫出A、B、C三點的坐標A（）、B（）、C（）；②直接寫出三角形AOH的面積．(2)如圖2，連OC，動點P從點B開始在x軸上以每秒2個單位的速度向左運動，同時點Q從點O開始在y軸上以每秒1個單位的速度向下運動．若經(jīng)過t秒，三角形AOP與三角形COQ的面積相等，試求t的值及點P的坐標．【答案】(1)①1，4；3，0；2，-4；②2(2)t＝1.2時，P(0.6，0)；t＝2時，P(-1，0)【分析】（1）①利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，可得結(jié)論；②利用三角形面積公式求解即可；（2）分兩種情形：①當(dāng)點P在線段OB上，②當(dāng)點P在BO的延長線上時，分別利用面積關(guān)系，構(gòu)建方程，可得結(jié)論．（1）解：①∵，又∵≥0，，∴a＝4，b＝3，∴A(1，4)，B(3，0)，∵B是由A平移得到的，∴A向右平移2個單位，向下平移4個單位得到B，∴點C是由點O向右平移2個單位，向下平移4個單位得到的，∴C(2，-4)．故答案為：1，4；3，0；2，-4．②．

故答案為：2．（2）解：①當(dāng)點P在線段OB上，由三角形AOP與三角形COQ的面積相等得：OP·=OQ·，∴×(3﹣2t)×4＝×2t，解得t＝1.2．此時P(0.6，0)．②當(dāng)點P在BO的延長線上時，由三角形AOP與三角形COQ的面積相等得：OP·=OQ·，×(2t-3)×4＝×2×t，解得t＝2，此時P(-1，0)，綜上所述，t＝1.2時，P(0.6，0)；t＝2時，P(-1，0)．【點睛】本題主要考查坐標與圖形變化-平移，非負數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．3．已知，點，軸，垂足為，將線段平移至線段，點，其中點A與點對應(yīng)，點與點對應(yīng)，、滿足．(1)填空：①直接寫出A、、三點的坐標______、______、______；

②直接寫出三角形的面積______．(2)如圖，若點在線段上，證明：．(3)如圖，連，動點從點開始在軸上以每秒個單位的速度向左運動，同時點從點開始在軸上以每秒個單位的速度向下運動．若經(jīng)過秒，三角形與三角形的面積相等，試求的值及點的坐標．【答案】(1)①，，；②2(2)見解析(3)時，；時，．【分析】（1）①利用非負數(shù)的性質(zhì)求出，的值，可得結(jié)論．②利用三角形面積公式求解即可．（2）連接，根據(jù)的面積的面積的面積，構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：①當(dāng)點在線段上，②當(dāng)點在的延長線上時，分別利用面積關(guān)系，構(gòu)建方程，可得結(jié)論．（1）解：①，又，，，，，，，，點A與點對應(yīng)，點與點對應(yīng)，點的橫坐標為，縱坐標為，，故答案為：1，4；3，0；2，．②的面積，故答案為：2．（2）證明：如圖，連接．

的面積的面積的面積，，．（3）解：①當(dāng)點在線段上，，解得．此時．當(dāng)點在的延長線上時，，解得，此時，綜上所述，時，；時，．【點睛】本題考查坐標與圖形變化平移，非負數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．4．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，其中，滿足(1)填空：，；(2)如果在第三象限內(nèi)有一點，請用含的式子表示三角形的面積

(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，在軸上有一點，使得三角形的面積與三角形的面積相等，請求出點的坐標．【答案】(1)-1，3(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)絕對值和平方的非負性，即可得出答案；（2）過點M作MN⊥x軸于點N，MN為M點縱坐標的絕對值，也是三角形的高，根據(jù)三角形面積公式即可得出答案；（3）設(shè)BM與y軸的交點為Q點，先用待定系數(shù)法求出BM的解析式，再求出Q點坐標，根據(jù)P點所在的位置分類討論，分為P點在Q點下方或P點在Q點上方兩種情況，設(shè)出P點坐標，通過代入，即可求出P點坐標．（1）∵，，，∴且，∴，，故答案為：-1，3；（2）過點M作MN⊥x軸于點N，∵，，∴AB=3-(-1)=4∵位于第三象限∴

∴故答案為：；（3）當(dāng)時，，設(shè)BM與y軸的交點為Q點，BM的解析式為，將和代入得：，解得，∴BM的解析式為，當(dāng)x=0時，，∴,設(shè)，當(dāng)P點位于Q點下方時，如圖所示，∴解得，∴；當(dāng)P點位于Q點上方時，如圖所示，解得，

∴；綜上所述，或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)中的幾何問題，包括已知點表示三角形面積，以及已知三角形面積找出點的坐標，分類討論思想和靈活運用函數(shù)知識和幾何知識是本題的關(guān)鍵．5．如圖，C為x軸正半軸上一動點，，，且a，b滿足，．(1)求△ABO的面積；(2)求點O到AB的距離；(3)如圖2，若，軸于點C，點M從點P出發(fā)，在射線PA上運動，同時另一動點N從點B出發(fā)向點A運動，到點A時兩點停止運動，M，N的速度分別為2個單位長度/秒，3個單位長度/秒，當(dāng)時，求運動的時間t的值．【答案】(1)(2)(3)秒或秒【分析】（1）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，從而得到OA，OB的長，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）如圖，過點O作OG⊥AB于G，利用面積法進行求解即可；（3）設(shè)運動時間為t秒，則PM＝2t，BN＝3t，然后分別用t表示出兩個三角形的面積，結(jié)合題目所給條件列出方程求解即可．

(1)∵，，∴，∴a＝6，b＝－8，∴點，點，∴，OB＝8，∴；(2)解：如圖，過點O作OG⊥AB于G，∵，∴，∴點O到AB的距離為；(3)解：設(shè)運動時間為t秒，則PM＝2t，BN＝3t，其中，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，，

∵，答：運動時間為秒或秒．【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形，三角形面積，解絕對值方程等等，正確理解題意求出a、b是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，已知點A（0，a），點B（b，0），其中a，b滿足，點C（m，n）在第一象限，已知m的算術(shù)平方根是2，64的立方根為n．(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；(2)求出△ABC的面積；(3)如圖2，延長BC交y軸于D點，求點D的坐標；(4)如圖3，過點C作CEAB交y軸于E點，求E點的坐標．【答案】(1)A（0，2），B（8，0），C（4，4）(2)12(3)點D（0，8）(4)點E（0，5）【分析】（1）由非負性和平方根的定義可求解；（2）由面積和差關(guān)系可求解；（3）由等腰三角形的性質(zhì)可求解；（4）由三角形的面積關(guān)系可求解．

（1）解：∵∴2a+b-12=0，a-b+6=0，∴a=2，b=8，∴點A（0，2），點B（8，0），∵m的算術(shù)平方根是2，64的立方根為n，∴m=4，n=4，∴點C（4，4）．（2）如圖1，過點C作CF⊥OB于F，∵點A（0，2），點B（8，0），點C（4，4），∴OA=2，OB=8，CF=OF=4，∴BF=OB-OF=4，∵S△ABC=S△BCF+S梯形AOFC-S△AOB，∴．（3）過點C作CF⊥x軸，∵CF=BF=4，∠CFB=90°，∴∠CBF=∠BCF=45°，∴∠ODB=45°∴∠OBD=∠ODB，∴OD=OB=8，∴點D（0，8）．（4）如圖3，連接BE，∵CEAB，∴，∴，∴AE=3，∴點E（0，5）．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根，立方根，平行線的性質(zhì)，坐標與圖形，靈活運用以上知識是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在下面直角坐標系中，已知A（0，a）、B（b，0）、C（a，b）三點，其中a是的整數(shù)部分，b＋1的平方根是±2．（1）請求出a、b的值；（2）求出ABC的面積；（3）在第四象限中是否存在點P到兩坐標軸的距離相等且使四邊形AOPB的面積與ABC的面積相等？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

【答案】（1），;（2）;（3），．【分析】（1）根據(jù)題意求出，的值即可．（2）連接，根據(jù)，求解即可．（3）由題意可以假設(shè)，構(gòu)建方程求出即可解決問題．【詳解】解：（1）是的整數(shù)部分，的平方根是，，．（2）連接．由（1）可知，，，，．（3）設(shè)，由題意，，，，，．

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了四邊形的面積，平方根的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求三角形面積，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（a，0），B（c，c），C（0，c），且滿足（a+8）2+＝0，P點從A點出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度勻速移動，Q點從O點出發(fā)沿y軸負方向以每秒1個單位長度的速度勻速移動．（1）直接寫出點B的坐標，AO和BC位置關(guān)系是；（2）如圖（1）當(dāng)P、Q分別在線段AO，OC上時，連接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出點P的坐標；（3）在P、Q的運動過程中，當(dāng)∠CBQ＝30°時，請直接寫出∠OPQ和∠PQB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）B（﹣4，﹣4），平行；（2）P（﹣，0）；（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°【分析】（1）由二次根式和平方數(shù)的非負性即可確定a和b的值，從而確定點A，B，C的坐標，由B，C的縱坐標相同得出BC//AO；（2）表示出t秒時點P和點Q的坐標，用含t的式子表示出△PAB和△QBC的面積，列出關(guān)于t的方程，求出t即可確定P的坐標；（3）過點Q作QH//x軸，交AB與點H，由平行線的性質(zhì)即可確定∠OPQ和∠PQB的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）∵，∴a+8＝0，c+4＝0，∴a＝﹣8，c＝﹣4，∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），∴BC//AO，故答案為：平行；（2）過B點作BE⊥AO于E，設(shè)時間經(jīng)過t秒，S△PAB＝4S△QBC，則AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，CQ＝4﹣t，∴S△APB＝AP?BE＝×2t×4＝4t，S△BCQ＝CQ?BC＝（4?t）×4＝8?2t，

∵S△APB＝4S△BCQ，∴4t＝4（8﹣2t）解得，t＝，∴AP＝2t＝，∴OP＝OA﹣AP＝，∴點P的坐標為（，0）；（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．理由如下：當(dāng)點Q在點C的上方時，過Q點作QH∥AO，如圖2所示，∴∠OPQ＝∠PQH，∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH，∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ＋30°；②當(dāng)點Q在點C的下方時；過Q點作HJ∥AO如圖3所示，∴∠OPQ＝∠PQJ，∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，∴∠HQB＋∠BQP＋∠PQJ＝180°，

∴30°＋∠BQP＋∠OPQ＝180°，即∠BQP＋∠OPQ＝150°，綜上所述，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．【點睛】本題考查的是三角形的面積計算、坐標與圖形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握非負數(shù)的性質(zhì)、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．9．已知，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是(a，0)，(b，0)且．(1)求a，b的值；(2)在y軸上是否存在點C，使三角形ABC的面積是12？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．(3)已知點P是y軸正半軸上一點，且到x軸的距離為3，若點P沿x軸負半軸方向以每秒1個單位長度平移至點Q，當(dāng)運動時間t為多少秒時，四邊形ABPQ的面積S為15個平方單位？寫出此時點Q的坐標．【答案】（1）a=-4，b=2；（2）存在，點C的坐標為（0，4）或（0，-4）；（3）點P沿x軸負半軸方向以4秒平移至點Q，所以點Q的坐標為（-4，3）．【分析】（1）根據(jù)二次根式與絕對值的非負性可得a+4=0，b-2=0，解得a=-4，b=2；（2）設(shè)點C到x軸的距離為h，利用三角形的面積公式可解得h=4，要考慮點C在y軸正半軸與負半軸兩種情況；

（3）先根據(jù)四邊形ABPQ的面積積S＝(6+PQ)×3＝15解得PQ=4，再求得點Q的坐標為（-4，3）．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得a+4=0，b-2=0，解得a=-4，b=2；（2）存在．設(shè)點C到x軸的距離為h，則S△ABC＝AB?h＝×6h＝12，解得h=4，所以點C的坐標為（0，4）或（0，-4）；（3）四邊形ABPQ的面積S＝(6+PQ)×3＝15，解得PQ=4．∴點P沿x軸負半軸方向以4秒平移至點Q，所以點Q的坐標為（-4，3）．10．如圖1,在平面直角坐標系中，點A(a，0)，B(0，b),且a、b滿足.(1)請直接寫出A、B兩點的坐標：點A為_______,點B為________.(2)若點P的坐標為(-2，n)，且三角形PAB的面積為7，求n的值.(3)如圖2，過點B作BC//x軸，點Q為x軸上點A左側(cè)的一動點，連結(jié)QB，BM平分∠QBA，BN平分∠CBA，當(dāng)點Q運動時，∠MBN:∠AQB的值是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出其值.【答案】(1)A(2,0)，B(0，﹣4)；(2)n=﹣1或﹣15；(3)∠MBN:∠AQB=1:2.【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負性、偶次方的非負性分別求出a、b，得到點A，B的坐標；（2）設(shè)AP與y軸交于點C，由三角形PAB的面積和高可以求得底邊BC長為3.5，得出C的坐標.

再利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式，然后把點P的橫坐﹣2代入解析式即可求得答案；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和兩直線平行，內(nèi)錯角相等，易得∠MBN:∠AQB=1:2.【詳解】解：（1）∵.∴,解得：a=2,b=﹣4∴A(2,0)，B(0，﹣4)；(2)如圖,因為P(-2,n),所以點P在直線x=﹣2上，連接AP，BP，AP交y軸于點C,設(shè)C(0,a).由圖可知△ABP可分為△ABC和△BPC，∵A(2,0),P(-2,n)∴△ABC和△BPC以BC為底邊，高都是2，∴=+=BC·2+BC·2=2BC∵=7,∴2BC=7,BC=3.5∵B(0,﹣4),C(0,a)∴BC=｜a+4｜=3.5∴a=﹣0.5或﹣7.5，即C(0,﹣0.5)或（0，﹣7.5）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,把(2,0),(0,﹣0.5)代入求解可得y=x-當(dāng)x=﹣2時，y=﹣1;把(2,0),(0,﹣7.5)代入y=kx+b求解可得y=x-當(dāng)x=﹣2時，y=﹣15;∴P(﹣2,﹣1)或P(﹣2,﹣15)

故答案為n=﹣1或﹣15.(3)如圖，∵BM平分∠ABQ∴∠1=∠2∵BN平分∠ABC∴∠ABN=∠NBC，即∠1+∠2+∠3=∠4∴∠MBN=∠2+∠3∵x軸//BC∴∠AQB=∠CBQ=∠3+∠4∴∠AQB=∠3+∠1+∠2+∠3=∠3+∠2+∠2+∠3=2（∠2+∠3）∴∠MBN:∠AQB=1:2.【點睛】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)、平移變換、三角形的面積計算，掌握坐標與圖形的關(guān)系、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（，0），B（，0），C（﹣1，2），且．(1)求的值；(2)若點M在軸上運動，使三角形COM的面積是三角形ABC面積的2倍，請求出M的坐標；(3)過點C作AB的平行線，交y軸于點D，連接BD，過A作BD的平行線AE，交直線CD于點E，再作EG⊥軸于G.動點P從D出發(fā)，沿DE→EG方向運動，速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動時間為t秒，請回答：①求P在運動過程中的坐標（用含t的式子表示出來）；

②當(dāng)6秒﹤t﹤8秒時，設(shè)∠EDP=,∠PBG=,∠DPB=,請求出之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，(2)或(3)①時，；時，②【分析】（1）根據(jù)平方和二次根式的非負性可得a+2=0，b-4=0，從而得出a和b的值；（2）表示出△COM和△ABC的面積，可得OM的長，從而得出點M的坐標；（3）①分點P在線段ED或EG上，分別得出點P的坐標；②當(dāng)6＜t＜8時，可知點P在EG上，過點P作PFED，則PFEDBG，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角