高一公式配例專題復習(優(yōu))集最均

高一數(shù)學公式方法對位復習（1）集合,函數(shù)零點，最值，均值不等式集合（一）知識復習1．集合的基本概念(1)我們把研究對象統(tǒng)稱為________，把一些元素組成的總體叫做________．(2)集合中元素的三個特性：______，______，_______.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用數(shù)集的符號數(shù)集正整數(shù)集自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復數(shù)集符號3.元素與集合、集合與集合之間的關系(1)元素與集合之間存在兩種關系：如果a是集合A中的元素，就說a________集合A，記作________；如果a不是集合A中的元素，就說a________集合A，記作________．(2)集合與集合之間的關系：表示關系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同__________?A＝B子集A中任意一個元素均為B中的元素________或________真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集?A，B(B≠)4．兩個集合A與B之間的運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示若全集為U，則集合A的補集記為________Venn圖表示(陰影部分)意義5.集合的運算(1)①A∩B________A； ②A∩B________B；③A∩A＝________； ④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A.(3)①?U(?UA)＝________；②?UU＝________；③?U＝________；④A∩(?UA)＝____________；⑤A∪(?UA)＝____________；⑥?U(A∩B)＝(?UA)________(?UB)；⑦?U(A∪B)＝(?UA)________(?UB)．(4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B；②A∩B＝A∪B?____________.(5)記有限集合A，B的元素個數(shù)為card(A)，card(B)，則：card(A∪B)＝____________________________；（二）鞏固理解元素與集合的關系:,.2，兩個公式.3，包含關系4，集合的子集個數(shù)共有個；真子集有–1個；非空子集有–1個；非空的真子集有–2個.類型一集合的概念及其運算例1（1）已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x｜,y},且A=B,則x+y=（2）集合M={x｜y=x2,x∈R},N={y｜y=x2+1,x∈R},求M∩N”；（3）已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一個不是空集，求a類型二集合間的關系例2.已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}.(1)若BA，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求實數(shù)m(3)若AB，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求實數(shù)m的取值范圍.練習：（1）集合，且，則的范圍是（2）集合若，則實數(shù)的值是（3）已知集合為實數(shù)。（1）若是空集，求的取值范圍；（2）若是單元素集，求的取值范圍；（3）若中至多只有一個元素，求的取值范圍；類型三Venn圖及其應用例3（1）設M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集為：M－P＝{x|x∈M，且xP}，則M－(M－P)等于()A．P B．M∩PC．M∪P D．M（2）某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛兵乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為______________類型四和集合有關的創(chuàng)新試題例4：設S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y＝f(x)滿足；(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)對任意x1，x2∈S，當x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)．那么稱這兩個集合“保序同構”．現(xiàn)給出以下3對集合：①A＝N，B＝N*；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R.其中，“保序同構”的集合對的是________．(寫出所有“保序同構”的集合對的序號)（三）鞏固訓練1.設常數(shù)a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，則a的取值范圍為()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)2.設全集U是實數(shù)集R，M＝{x|x>2}，N＝{x|1<x<3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{x|2<x<3}B．{x|x<3}C．{x|1<x≤2}D．{x|x≤2}3.對一切恒成立，求a的取植范圍，4.已知集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|2x≤1}，則A∪B＝______.5.設集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(1－x)>1))，N＝{x|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤2}，則N∩(?RM)＝______________.6.設S為復數(shù)集C的非空子集，若對任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集，下列命題：集合S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位，規(guī)定i的平分等于—1}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0∈S；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足STC的任意集合T也是封閉集.其中的真命題是________.(寫出所有真命題的序號)7.．記關于x的不等式eq\f(x－a,x＋1)＜0的解集為P，不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤1的解集為Q.(1)若a＝3，求P；(2)若QP，求正數(shù)a的取值范圍.8．已知全集U＝R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(6,x＋1)≥1))，集合B＝{x|x2－2x－m＜0}.(1)當m＝3時，求A∩(?UB)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求m的值.9.已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\f(1,2)x2－x＋\f(5,2)，0≤x≤3)).(1)若A∩B＝?，求a的取值范圍；(2)當a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值時，求(?RA)∩B.（二）二次函數(shù)，二次方程，二次不等式（一）知識復習1.絕對值不等式解法：不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集為;不等式的解集為2．一元二次不等式：（1）解法（分有無字母）（2）二次不等式恒成立（3）非二次不等式恒成立3.二次函數(shù)1.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)＝(a≠0)；(2)頂點式：f(x)＝(a≠0)；(3)零點式：f(x)＝(a≠0).2.二次函數(shù)的圖象與性質(1)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸、頂點坐標、開口方向、值域、單調性分別是：①對稱軸：x＝；②頂點坐標：；③開口方向：a＞0時，開口，a＜0時，開口；④值域：a＞0時，y∈，a＜0時，y∈；⑤單調性：a＞0時，f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；a＜0時，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是____________.(2)二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者之間的關系二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點(圖象與x軸交點的橫坐標)是相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的.3.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的或二次函數(shù)的處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.4.一元二次方程根的討論(即二次函數(shù)零點的分布)設x1，x2是實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩實根，則x1，x2的分布范圍與系數(shù)之間的關系如表所示.根的分布(m＜n＜p且m，n，p均為常數(shù))圖象滿足的條件x1＜x2＜m①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<m，,f（m）>0.))m＜x1＜x2②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>m，,f（m）>0.))x1＜m＜x2③f(m)<0m＜x1＜x2＜n④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,m<－\f(b,2a)<n，,f（m）>0，,f（n）>0.))m＜x1＜n＜x2＜p⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）>0，,f（n）<0，,f（p）>0.))m<x1＝x2<n⑥eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,m<－\f(b,2a)<n.))只有一根在區(qū)間(m，n)內⑦f(m)·f(n)<0⑧f(m)＝0(f(n)＝0)時，需檢驗方程f(x)＝0的另一根是否在(m，n)內基礎訓練：1.函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的條件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝12)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－a))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋6)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6≤a≤3))的最大值為()A．9 B.eq\f(9,2) C．3 D.eq\f(3\r(2),2)3.設abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()4.若函數(shù)y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是.5.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關于x的不等式f(x)－c＜0的解集為(m，m＋6)，則實數(shù)c的值為________.類型一求二次函數(shù)的解析式例1.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式.練習：已知y＝f(x)是二次函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－x))對x∈R恒成立，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝49，方程f(x)＝0的兩實根之差的絕對值等于7.求此二次函數(shù)的解析式.類型二二次函數(shù)的圖象例2.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的圖象是下圖中的()練習.在同一坐標系中，函數(shù)y＝ax2＋bx與y＝ax＋b(ab≠0)的圖象只可能是()類型三二次函數(shù)的最值例3（1）已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值g(a).（2）設函數(shù)f(x)＝x2－2x－1在區(qū)間[t，t＋1]上有最小值g(t)，求g(t)的解析式.類型四二次方程根的分布例4.已知關于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內，另一根在區(qū)間(1，2)內，求m的取值范圍；(2).類型五二次不等式及其恒成立例5.1．關于的不等式的解集是，則等于（）A-24B24C14D-142.若，則關于x的不等式的解是（）A或B或CD3.不等式的解集是（）ABCD4（1）求函數(shù)的值域。（2）的最值(5)（i）對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍(ii)不等式在區(qū)間[2,3]恒成立時，則的取值范圍是（）對位練習：（1）方程，（1），求a的范圍。（2）.求a的范圍（3）有一正一負根，求a的范圍。求a的范圍（二）鞏固訓練1.若函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函數(shù)，則在區(qū)間(－∞，0]上f(x)是()A．增函數(shù)B．減函數(shù)C．常數(shù)D．可能是增函數(shù)，也可能是常數(shù)2.如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對任意的實數(shù)x，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，那么()A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)3．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[0，2]C．(－∞，2] D．[1，2]4.函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[－2，＋∞)時是增函數(shù)，當x∈(－∞，－2]時是減函數(shù)，則f(1)等于()A．－3 B．13 C．7 D．55.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＋x，x＞0，,－x2＋bx＋c，x≤0，))若f(0)＝－2f(－1)＝1，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點個數(shù)為(A．1 B．2 C．3 D．6.在二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c中，a，b，c成等比數(shù)列，且f(0)＝－1，則()A．f(x)有最大值－eq\f(3,4) B．f(x)有最小值eq\f(3,4)C．f(x)有最小值－eq\f(3,4) D．f(x)有最大值eq\f(3,4)7．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.8.設a為常數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3.若f(x＋a)在[0，∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是______________.的取值范圍是___________10.f(x)＝－x2＋ax＋eq\f(1,2)－eq\f(a,4)在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，求a的值.11.已知eq\f(1,3)≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a).求g(a)的函數(shù)表達式.12.已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋2t＋1，x∈[－1，2].(1)求函數(shù)f(x)的最小值g(t)；(2)若f(x)≥－1恒成立，求t的取值范（三）均值不等式（基本不等式及其應用）（一）知識復習1．如果a＞0，b＞0，那么叫做這兩個正數(shù)的算術平均數(shù)．2．如果a＞0，b＞0，那么叫做這兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)．3．重要不等式：a，b∈R，則a2＋b2≥(當且僅當a＝b時取等號)．4．基本不等式：a＞0，b＞0，則，當且僅當a＝b時等號成立，即兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．5．求最小值：a>0，b>0，當ab為定值時，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.6．求最大值：a＞0，b＞0，當a＋b為定值時，ab有最大值，即，亦即；或a2＋b2為定值時，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.7．拓展：若a＞0，b＞0時，eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤≤eq\f(a＋b,2)≤，當且僅當a＝b時等號成立．8.)eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥(a，b同號且不為零)(3)abeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)(4)eq\f(a2＋b2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)(二)基礎訓練1.設a，b∈R，且a＋b＝3，則2a＋2bA．6 B．4eq\r(2) C．2eq\r(2) D．2eq\r(6)2.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，則ab的最大值為()A．eq\f(1,2) B．1 C．2 D．43.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a＜b)，其全程的平均時速為v，則()A．a＜v＜eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C．eq\r(ab)＜v＜eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)4.下列函數(shù)中，最小值為4的是________．①y＝x＋eq\f(4,x)；y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))②y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0＜x＜π)；③y＝4ex＋e－x；④y＝log3x＋logx3(0＜x＜1)．5.點(m，n)在直線x＋y＝1位于第一象限內的圖象上運動，則log2m＋log2n的最大值是類型一利用基本不等式求最值例1(1)求函數(shù)y＝eq\f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)(x＞－1)的值域．(2)下列不等式一定成立的是()A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)(3)設正數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當eq\f(z,xy)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為()A．0B.eq\f(9,8)C．2D.eq\f(9,4)(4)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值．類型二利用基本不等式求有關參數(shù)范圍例2（1）若關于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，則對任意實常數(shù)k，總有()A．2∈M，0∈MB．2?M，0?MC．2∈M，0?MD．2?M，0∈M（2）已知x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2，4)D．(－4，2)(3)已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.（4）設常數(shù)a>0，若9x＋eq\f(a2,x)≥a＋1對一切正實數(shù)x成立，則a的取值范圍為________．注意：幾個常見的有關不等式恒成立的等價命題：(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.補充例題:類型三利用基本不等式解決實際問題例3.圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x(單位：元)，修建此矩形場地圍墻的總費用為(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．練習：如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬2m的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔排出，設箱體的長度為am，高度為bm，已知排出的水中該雜質的質量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60m2，問a，b各為多少m時，經沉淀后排出的水中該雜質的質量分數(shù)最小(A，．（三）點評：1．在利用基本不等式求最值時，要注意使用口訣：一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各項(必要時，還要考慮常數(shù)項)必須是正數(shù)；“二定”是指含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；“三相等”是指具備等號成立的條件，使待求式能取到最大或最小值．2．基本不等式的應用在于“定和求積，定積求和；和定積最大，積定和最小”，必要時可以通過變形(拆補)、運算(指數(shù)、對數(shù)運算等)構造“和”或者“積”為定值．3．求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)型最值問題，常通過“1”來進行轉化，但不是所有的最值都可以通過基本不等式解決，有一些看似可以通過基本不等式解決的問題，由于條件的限制，等號不能夠成立，這時就不能用基本不等式來解決，而要借助于其他求值域的方法來解決．鞏固訓練：1．若a＞1，則a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2 B．a C．3 D.eq\f(2\r(a),a－1)2．設a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，則下列各式正確的是()A．ab＜1＜eq\f(a2＋b2,2) B．ab＜1≤eq\f(a2＋b2,2)C．1＜ab＜eq\f(a2＋b2,2) D．ab≤eq\f(a2＋b2,2)≤13．函數(shù)f(x)＝eq\f(5－4x＋x2,2－x)在(－∞，2)上的最小值是()A．0 B．1 C．2 D．34．下列不等式中正確的是()A．若a，b∈R，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2B．若x，y都是正數(shù)，則lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)C．若x<0，則x＋eq\f(4,x)≥－2eq\r(x·\f(4,x))＝－4D．若x≤0，則2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝25．建造一個容積為8m3，深為A．1000元 B．1500元C．2000元 D．1200元6．若a>b>0，則代數(shù)式a2＋eq\f(1,b（a－b）)的最小值為()A．2 B．3