2023-2024學(xué)年蘇教版高一下學(xué)期數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底測(cè)試卷(含解析)

-2024學(xué)年蘇教版高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底測(cè)試卷一、單選題1．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，2．已知集合，則（

）A． B．C． D．3．杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形六個(gè)元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊(yùn).已知某紙扇的扇環(huán)如圖所示，經(jīng)測(cè)量，上、下兩條弧分別是半徑為30和10的兩個(gè)同心圓上的弧（長(zhǎng)度單位為cm），側(cè)邊兩條線段的延長(zhǎng)線交于同心圓的圓心，且圓心角為，則扇面（扇環(huán)）的面積是（

）A． B．C． D．4．已知定義在上的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的，均有.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)圖象的大致形狀是（

）A．

B．

C．

D．

6．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則等于（

）A． B．0 C． D．7．函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．10．設(shè)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，已知函數(shù)，（）．下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是C．若方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則D．若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則11．已知函數(shù)，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)是定義域上的奇函數(shù) D．函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱三、填空題13．已知，則．14．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是.15．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則的最小值為．16．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，則的取值范圍是．四、解答題17．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)畫出函數(shù)的圖象，并寫出的單調(diào)區(qū)間；(2)求出的解析式.18．定義在上的冪函數(shù).(1)求的解析式；(2)已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)根，且，求的取值范圍.19．如圖①，筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖②，一個(gè)筒車按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水下則為負(fù)數(shù)），與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系是.(1)盛水筒旋轉(zhuǎn)一周需要多少秒？盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)多少秒就可以達(dá)到最高點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，判斷盛水筒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（處于向上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、處于向下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)），并說(shuō)明理由.20．對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“倒戈函數(shù)”.(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“倒戈函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)若為定義在上的“倒戈函數(shù)”，求函數(shù)在的最小值.21．某城市2024年1月1日的空氣質(zhì)量指數(shù)（簡(jiǎn)稱AQI）與時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系滿足如圖連續(xù)曲線，并測(cè)得當(dāng)天AQI的取大值為106.當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分；當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖象的一部分.根據(jù)規(guī)定，空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的值大于或等于101時(shí)，空氣就屬于污染狀態(tài).(1)求函數(shù)的解析式；(2)該城市2024年1月1日這一天哪個(gè)時(shí)間段的空氣屬于污染狀態(tài)？并說(shuō)明理由.22．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍.得到函數(shù)的圖象.(1)求的解析式；(2)若是奇函數(shù)，求的值；(3)求在上的最小值與最大值.參考答案：1．C【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.【詳解】命題“，”的否定是”，”.故選：C.2．D【分析】根據(jù)數(shù)軸，直接求兩個(gè)集合的交集.【詳解】如圖，只有當(dāng)時(shí)，集合有交集，此時(shí).故選：D3．A【分析】利用扇形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樯?、下兩條弧分別在半徑為30和10的圓上，圓心角為，由扇形面積公式，所以兩個(gè)扇形的面積分別為，所以扇面的面積為.故選：A.4．C【分析】由題意得在上單調(diào)遞減，由不等式即可求解.【詳解】解：令，得；再令，得，故為上的奇函數(shù)，設(shè)，且，則，得，即，所以，得，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，得，即，解得：，故選：C5．A【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及特殊點(diǎn)即可判斷.【詳解】由題意，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，且當(dāng)從左邊趨于0時(shí)，趨于，當(dāng)從右邊趨于0時(shí)，趨于1.故選：A.6．B【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的表達(dá)式為，即可利用對(duì)稱性求解一個(gè)周期內(nèi)的值，進(jìn)而利用周期性求解即可.【詳解】由的圖象可知，，，故，又且，則可得出，故.又根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可知，，，所以，所以,故選：B7．A【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)定義域與特殊值應(yīng)用排除法得到答案.【詳解】由圖象可知，的定義域?yàn)椋瑢?duì)于C，D選項(xiàng)，，定義域?yàn)椋懦鼵，D；對(duì)于B選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，排除B，對(duì)于A，的定義域?yàn)?，且其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確.故選：A.8．C【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到不等式組，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】由，解得，的單調(diào)增區(qū)間為.在上單調(diào)遞增，，.由，解得，的單調(diào)減區(qū)間為，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，，.綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C9．BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式性質(zhì)判斷A；舉例說(shuō)明判斷BCD.【詳解】由及在R上單調(diào)遞增，可得，A正確；取，滿足，而，B錯(cuò)誤；由，知是否是非負(fù)數(shù)不確定，當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)意義，C錯(cuò)誤；取，滿足，而，D錯(cuò)誤.故選：BCD10．BC【分析】作出的圖象，結(jié)合圖象判斷奇偶性，由函數(shù)定義求的值域，由與的圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求的取值范圍.【詳解】畫出的圖象如下圖：函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，函數(shù)，∵，∴，故，即函數(shù)的值域是，B選項(xiàng)正確．由圖可知，與的圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，若方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則，C選項(xiàng)正確．若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC11．ABD【分析】A選項(xiàng)，由真數(shù)大于0得到不等式，求出定義域；B選項(xiàng)，求出函數(shù)單調(diào)性，得到值域；CD選項(xiàng)，先得到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由得到函數(shù)為偶函數(shù).【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，解得，故定義域?yàn)?，A正確；B選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，值域?yàn)?，B正確；CD選項(xiàng)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD12．ABC【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性，推得函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，；所以，，所以周期為4，又因?yàn)椋?，即為奇函?shù)，對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，周期為4，時(shí)，，所以；；；所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.13．/【分析】化簡(jiǎn)式子，結(jié)合已知條件即可求出的值.【詳解】由題意，，∴，，故答案為：.14．【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，列出滿足的條件，求解即可.【詳解】根據(jù)題意，，解得，又，則；當(dāng)，，由題可得，解得；綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.15．【分析】利用給定變換求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性列式計(jì)算即得.【詳解】將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，由，得函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，又，所以的最小值為.故答案為：16．【分析】畫出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合得，利用對(duì)稱性及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有、，進(jìn)而求目標(biāo)式的范圍.【詳解】由解析式可得函數(shù)大致圖象如下，由圖知：，則，且，，所以，又在上遞減，則.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)圖象確定解的范圍為關(guān)鍵.17．(1)圖象見(jiàn)解析；增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2)【分析】（1）先作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，結(jié)合奇函數(shù)的對(duì)稱性可得出該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）設(shè)，可得出，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，可得出函數(shù)在上的解析式，進(jìn)而可得出該函數(shù)在上的解析式.【詳解】（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象知，增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）設(shè)，則，則.因此，時(shí)，，所以函數(shù)在上的解析式為.18．(1)(2).【分析】（1）由冪函數(shù)的定義求出的值，并由定義域?qū)Φ闹颠M(jìn)行取舍，進(jìn)而得到解析式；（2）通過(guò)換元得到的解析式，確定給定方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)的取值范圍，再將用表示出即可求解作答.【詳解】（1）是冪函數(shù)，，解得或3.當(dāng)時(shí)，，與函數(shù)的定義域是矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意..（2）由（1）可得，，代入函數(shù)中，有令，作函數(shù)圖像如下：若，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，若，即時(shí)，；由于，，則，綜上所述，，作圖如下：其與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，，且，，，，即，∵和在ln2,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，.，化簡(jiǎn)得：.即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以通過(guò)分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.19．(1)旋轉(zhuǎn)一周需要60秒，出水后至少經(jīng)過(guò)20秒就可以達(dá)到最高點(diǎn)；(2)處于向下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用周期計(jì)算旋轉(zhuǎn)一周需要的時(shí)間，利用取最大值時(shí)的值得盛水筒出水后達(dá)到最高點(diǎn)的最短時(shí)間；（2）由區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，判斷盛水筒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).【詳解】（1）因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以盛水筒旋轉(zhuǎn)一周需要60秒；時(shí)，，當(dāng)，有，則，解得，又，所以時(shí)，，盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)20秒就可以達(dá)到最高點(diǎn).（2）盛水筒處于向下運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，理由如下：，當(dāng)，有，此時(shí)單調(diào)遞減，所以盛水筒處于向下運(yùn)動(dòng)的狀態(tài).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)解析式計(jì)算周期，由函數(shù)值求自變量，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的實(shí)際意義是研究函數(shù)單調(diào)性.20．(1)為“倒戈函數(shù)”；理由見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；（2）由方程在上有解，令換元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程在上有解，可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)或二次方程根的分布知識(shí)可得，然后通過(guò)分類討論求函數(shù)的最小值.【詳解】（1）為“倒戈函數(shù)”.等價(jià)于方程有解，即有解，顯然為方程的解，所以為“倒戈函數(shù)”；（2）若為定義在上的“倒戈函數(shù)”，則在上有解，即在上有解.令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，則，從而關(guān)于的方程在上有解，令，①當(dāng)時(shí)，在上有解，由，即，解得；②當(dāng)時(shí)，在上有解等價(jià)于，此不等式組無(wú)解.則所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.令，因?yàn)?，所以，則，令，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，，即時(shí)當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最小值，，即時(shí)，即時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)中的新定義問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠充分理解“倒戈函數(shù)”的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解.21．(1)(2)這一天在這個(gè)時(shí)間段的空氣，空氣屬于污染狀態(tài)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)圖象結(jié)合二次函數(shù)運(yùn)算求解；（2）由（1）可得的解析式，分類討論解不等式即可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由圖像可得：二次函數(shù)開(kāi)口