數(shù)學(xué)-易錯(cuò)點(diǎn)04 三角形（解析版）

易錯(cuò)點(diǎn)04三角形線段、角、相交線與平行線三角形及其性質(zhì)全等三角形等腰三角形直角三角形相似三角形解直角三角形易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析01三角形的概念以及三角形的角平分線，中線，高線的特征與區(qū)別。對三角形中“三線”位置掌握不好，導(dǎo)致出錯(cuò)三角形的角平分線、中線都在三角形內(nèi)部，而三角形的高不一定在三角形內(nèi)部.銳角三角形的高在三角形的內(nèi)部；直角三角形的兩條高與直角邊重合，斜邊上的高在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的兩條高在三角形外部。（2022春?市中區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，CD是AB邊上的中線，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周長的差是（）

A．3cm B．6cm C．12cm D．無法確定【答案】C【思路點(diǎn)撥】本題答案有誤，根據(jù)三角形的中線的概念得到AD＝DB，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：∵CD是AB邊上的中線，∴AD＝DB，∴△ACD的周長﹣△BCD的周長＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm），故選：B．【考點(diǎn)解讀】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式訓(xùn)練01】（2021秋?白堿灘區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A．AD B．BE C．BF D．CG【思路點(diǎn)撥】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．根據(jù)三角形的高線的定義解答．【規(guī)范解答】解：由圖可知，△ABC中，BC邊上的高為AD，故選：A．【考點(diǎn)解讀】本題考查了三角形的高線的定義，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識圖并熟記高線的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練02】（2022春?無錫期中）已知AD為△ABC的中線，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周長為27cm，則△ABD的周長為30cm．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的中線的概念得到BD＝CD，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，

∵△ACD的周長為27cm，∴AC+CD+AD＝27cm，∴CD+AD＝BD+AD＝18cm，∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝30（cm），故答案為：30．【考點(diǎn)解讀】本題考查的是三角形的中線，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式訓(xùn)練03】（2022春?徐州期中）如圖，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分線，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）若△BCF與△BAF的周長差為3，AB＝7，AC＝4，則BC＝10．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的高的概念得到ADB＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABD，根據(jù)角平分線的定義求出∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形的中線的概念得到AF＝FC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝65°，∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，∵CE是△ACB的角平分線，∠ACB＝50°，∴∠ECB＝∠ACB＝25°，∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；（2）∵F是AC中點(diǎn)，

∴AF＝FC，∵△BCF與△BAF的周長差為3，∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，∴BC﹣AB＝3，∵AB＝7，∴BC＝10，故答案為：10．【考點(diǎn)解讀】本題考查的是三角形的三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高；三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析02三角形三邊之間的不等關(guān)系，注意其中的“任何兩邊”。求最短距離的方法要具有技巧性。（2022春?常州期中）已知△ABC的兩條邊a，b的長分別為1.5和7.5，則第三邊c的正整數(shù)值是．【答案】7【思路點(diǎn)撥】答案不全面，沒有考慮到‘任何兩邊’，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的范圍，根據(jù)題意解答即可．【規(guī)范解答】解：∵△ABC的兩條邊a，b的長分別為1.5和7.5，∴7.5﹣1.5＜c＜7.5+1.5，即6＜c＜9，∴c的正整數(shù)值是7或8，故答案為：7或8．

【考點(diǎn)解讀】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋?泉州期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，過點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，連接AG，則AG長的最小值是2﹣2．【思路點(diǎn)撥】連接AC與EF相交于O，判斷出點(diǎn)O是正方形的中心，連接OB，取OB中點(diǎn)M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題即可．【規(guī)范解答】解：如圖，連接AC與EF相交于O，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，AE＝CF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OA＝OC，∴點(diǎn)O是正方形的中心，連接OB，取OB中點(diǎn)M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，過點(diǎn)M作MH⊥AB于H．則MH＝BH＝2，AH＝6，

由勾股定理可得MA＝＝2，MG＝OB＝2，∵AG≥AM﹣MG＝2﹣2，當(dāng)A，M，G三點(diǎn)共線時(shí)，AG最小＝2﹣2．故答案為：2﹣2．【考點(diǎn)解讀】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出AM，MG的值．【變式訓(xùn)練02】（2022秋?南康區(qū)期中）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長，（1）填入“＞、＜或＝”號：a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．（2）化簡：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【思路點(diǎn)撥】（1）利用三邊關(guān)系直接寫出答案即可；（2）根據(jù)（1）的判斷去掉絕對值符號后合并同類項(xiàng)即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0，故答案為：＜，＜，＞；（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a＝a﹣b+c．【考點(diǎn)解讀】考查了三角形三邊關(guān)系，絕對值的性質(zhì)，整式的加減，關(guān)鍵是得到a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．【變式訓(xùn)練03】（2021秋?云浮期末）若△ABC的三邊長分別為m﹣2，2m+1，8．（1）求m的取值范圍；（2）若△ABC的三邊均為整數(shù)，求△ABC的周長．【思路點(diǎn)撥】（1）直接利用三角形三邊關(guān)系得出不等式組求出答案；（2）利用m的取值范圍得出m的值，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，解得：3＜m＜5；

（2）因?yàn)椤鰽BC的三邊均為整數(shù)，且3＜m＜5，所以m＝4．所以，△ABC的周長為：（m﹣2）+（2m+1）+8＝3m+7＝3×4+7＝19．【考點(diǎn)解讀】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，正確得出不等式組是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析03三角形的內(nèi)角和，三角形的分類與三角形內(nèi)外角性質(zhì)，特別關(guān)注外角性質(zhì)中的“不相鄰”。n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°，而并非為n·180°對三角形外角的性質(zhì)理解不透徹而出現(xiàn)錯(cuò)誤，在應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)時(shí)，不可忽略了“不相鄰”這個(gè)條件。（2021秋?黃石期末）如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP與外角∠ACD的平分線CP交于點(diǎn)P，連接AP，若∠BPC＝46°，則∠CAP＝°．【答案】80°【思路點(diǎn)撥】答案有誤，延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，由角平分線的定義可得∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，從而可得PF＝PM，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，由三角形的內(nèi)角和性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如圖所示：

設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝46°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°，∴∠CAF＝88°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝44°．故答案為：44．【考點(diǎn)解讀】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋?前郭縣期末）（問題背景）∠MON＝90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．

（問題思考）（1）如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，∠AEB＝135°．（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D．①若∠BAO＝70°，則∠D＝45°．②隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)，∠D的大小會變嗎？如果不會，求∠D的度數(shù)；如果會，請說明理由；（問題拓展）（3）在圖②的基礎(chǔ)上，如果∠MON＝α，其余條件不變，隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)（如圖③），∠D＝．（用含α的代數(shù)式表示）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；②由①的思路可得結(jié)論；（3）在②的基礎(chǔ)上，將90°換成α即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；故答案為：135°；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝70°，∴∠ABO＝20°，∠ABN＝160°，

∵BC是∠ABN的平分線，∴∠OBD＝∠CBN＝×160°＝80°，∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝35°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣80°﹣35°﹣20°＝45°，故答案為：45；②∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD＝x，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2x，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2x，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+x，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+x﹣x＝45°；（3）設(shè)∠BAD＝x，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2x，∵∠AOB＝α，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝α+2x，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝+x，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝+x﹣x＝；故答案為：．【考點(diǎn)解讀】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練02】（2022春?宜興市校級月考）如圖，在△ABC中，在AB上存在一點(diǎn)D，使得∠ACD＝∠B，角平分線AE交CD于點(diǎn)F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點(diǎn)M，若∠M＝35°，則∠CFE＝55°．【思路點(diǎn)撥】由平角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求∠EAN＝90°，由外角的性質(zhì)可求解．【規(guī)范解答】證明：∵C、A、G三點(diǎn)共線AE、AN為角平分線，∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠M+∠CEF＝90°，∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M+∠CFE＝90°．∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．故答案為：55°．【考點(diǎn)解讀】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，余角的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2022春?太倉市校級月考）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于點(diǎn)D．∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點(diǎn)G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，則∠DFB的度數(shù)是60度．【思路點(diǎn)撥】由題意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，設(shè)∠CAE＝∠BAE＝x，設(shè)∠C＝y(tǒng)，∠ABC＝3y，想辦法用含x和y的代數(shù)式表示∠ABF和∠DBF即可解決問題．

【規(guī)范解答】解：如圖：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，設(shè)∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y(tǒng)，∠ABC＝3y，由外角的性質(zhì)得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，∴x+20＝x+y，解得y＝40°，∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠DFB＝60°．故答案為：60．【考點(diǎn)解讀】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析04全等形，全等三角形及其性質(zhì)，三角形全等判定。著重學(xué)會論證三角形全等。用“≌”表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)放在對應(yīng)位置，但用語言描述的兩個(gè)三角形全等卻不需要，不要形成固定思維.解決這類問題要考慮各種對應(yīng)情況，避免出現(xiàn)考慮不全面，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.

判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4種方法，不存在“SSA”的判定方法.（2022春?海陵區(qū)期末）如圖，在正方形方格中，各正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，請你找出方格中所有與△ABC全等，且以A為頂點(diǎn)的格點(diǎn)三角形．這樣的三角形共有個(gè)（△ABC除外）．【答案】4【思路點(diǎn)撥】答案有誤，答案不全面，根據(jù)全等三角形的判定定理SSS畫出和△ABC全等的三角形，再得出答案即可．【規(guī)范解答】解：如圖1所示：方格中所有與△ABC全等，且以A為頂點(diǎn)的格點(diǎn)三角形有△FAO，△HOA，△EAD，△AEF，△ACH，共5個(gè)，故答案為：5．【考點(diǎn)解讀】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．【變式訓(xùn)練01】（2022秋?聊城月考）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPE與△CQP是否全等？請說明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．【思路點(diǎn)撥】（1）經(jīng)過1秒后，可得BP＝CQ＝3厘米，則PC＝8﹣3＝5厘米，可證明△BPE≌△CQP；（2）由△BPE與△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP＝CP或BP＝CQ，或可求得BP的長，可求得P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由CQ＝BE或CQ＝BP可求得Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，可求得其速度．【規(guī)范解答】解：（1）△BPE與△CQP全等，理由如下：當(dāng)運(yùn)動(dòng)1秒后，則BP＝CQ＝3厘米，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，∵E為AB中點(diǎn)，且AB＝10厘米∴BE＝5厘米，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中∴△BPE≌△CQP（SAS）；（2）∵△BPE與△CQP全等，∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，當(dāng)△BEP≌△CQP時(shí)，則BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則3t＝8﹣3t，解得t＝，∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的速度＝5÷＝（厘米/秒），

當(dāng)△BEP≌△CPQ時(shí)，由（1）可知t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3厘米，∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），即當(dāng)Q點(diǎn)每秒運(yùn)動(dòng)厘米或3厘米時(shí)△BEP≌△CQP．【考點(diǎn)解讀】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL【變式訓(xùn)練02】（2020秋?江陰市月考）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過30秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的BC邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中BP、CQ和BD、PC邊的長，根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形全等；②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程＝速度×?xí)r間公式，先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P，Q第一次相遇，由題意列出x＝x+2×10，可得x＝30，所以點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了30×1m/s＝30cm．可得點(diǎn)P、點(diǎn)Q在BC邊上相遇，進(jìn)而可以解決問題．

【規(guī)范解答】解：（1）①△BPD與△CQP全等，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，∵AB＝10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝5cm，又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，∴PC＝6﹣1＝5cm，∴PC＝BD．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD與△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，而∠B＝∠C，∴△BPD與△CQP全等時(shí)，只能是△BPD≌△CPQ，∴BP＝CP＝3，BD＝CQ＝5，∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝BP÷1＝3÷1＝3（秒），∴vQ＝CQ÷t＝5÷3＝（cm/s），∴當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等；（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P，Q第一次相遇，由題意得：x＝x+2×10，解得x＝30，∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了30×1m/s＝30（cm）．∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在BC邊上相遇，∴經(jīng)過30秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊BC上相遇．

故答案為：30，BC．【考點(diǎn)解讀】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，路程、速度與時(shí)間的關(guān)系，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2022?杭州模擬）如圖，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列條件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的判定解決此題．【規(guī)范解答】解：①由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加AB＝AE，那么AB＝AE，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推斷出△ABC≌△AED，故①符合題意．②由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．添加BC＝ED，△ABC與△AED不一定全等，故②不符合題意．③由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠C＝∠D，那么∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推斷出△ABC≌△AED，故③符合題意．④由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠B＝∠E，那么∠B＝∠E，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推斷出△ABC≌△AED，故④符合題意．綜上：符合題意的有①③④，共3個(gè)．故選：C．【考點(diǎn)解讀】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析05兩個(gè)角相等和平行經(jīng)常是相似的基本構(gòu)成要素，以及相似三角形對應(yīng)高之比等于相似比，對應(yīng)線段成比例，面積之比等于相似比的平方。

相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS這4種。（2022秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，記S△ADE＝16，S△EFC＝4，則S平行四邊形DBFE＝（）A．9 B．12 C．16 D．20【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤，證明△AED∽△ECF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出＝，再證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠A＝∠CEF，∴△AED∽△ECF，∴＝（）2，∵S△ADE＝16，S△EFC＝4，∴＝2，∴＝，

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝36，∴S平行四邊形DBFE＝36﹣16﹣4＝16，故選：C．【考點(diǎn)解讀】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022?江都區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若tan∠DEC＝，則矩形DEFG面積的最大值＝．【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)F作FM⊥AC，垂足為M，根據(jù)已知可得＝，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可證一線三等角模型相似三角形△FME∽△ECD，從而可得＝＝，然后設(shè)ME＝3x，F(xiàn)M＝4x，DC＝3y，EC＝4y，利用勾股定理可得FE＝5x，DE＝5y，再在Rt△AFM中，利用銳角三角函數(shù)的定義表示出AM＝4x，從而根據(jù)AC＝4，可得y＝1﹣x，最后根據(jù)矩形的面積公式進(jìn)行計(jì)算可得矩形DEFG的面積＝﹣x2+25x，從而利用二次函數(shù)的最值進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)F作FM⊥AC，垂足為M，∴∠FMA＝∠FME＝90°，

∴∠MFE＝∠FEM＝90°，∵∠C＝90°，tan∠DEC＝，∴＝，∵四邊形EFGD是矩形，∴∠FED＝90°，∴∠FEM+∠DEC＝90°，∴∠MFE＝∠DEC，∵∠C＝∠FME＝90°，∴△FME∽△ECD，∴＝＝，設(shè)ME＝3x，F(xiàn)M＝4x，DC＝3y，EC＝4y，∴EF＝＝＝5x，DE＝＝＝5y，∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，∴∠A＝∠B＝45°，∴AM＝＝4x，∵AM+ME+EC＝4，∴4x+3x+4y＝4，∴y＝1﹣x，∴矩形DEFG的面積＝EF?DE＝5x?5y＝25x（1﹣x）＝﹣x2+25x，∴當(dāng)x＝時(shí)，矩形DEFG的面積最大值為：，故答案為：．

【考點(diǎn)解讀】本題考查了二次函數(shù)的最值，等腰直角三角形，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練02】（2021?無錫）如圖，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC與BD相交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABE∽△ACB；（2）若AD＝4，BC＝6，求線段DE的長度．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠DBC，從而可得＝，進(jìn)而可得＝，然后再利用等弧所對的圓周角相等可得∠ACB＝∠ABD，即可解答；（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，從而證明△ADE∽△CBE，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)可得＝＝，然后設(shè)AE＝2a，CE＝3a，從而利用（1）的結(jié)論可得AB2＝AC?AE，列出關(guān)于a的方程，進(jìn)行計(jì)算即可求出a的值，最后根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠ADE＝∠DAE，從而可得AE＝DE，即可解答．【規(guī)范解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴＝，∴∠ACB＝∠ABD，∵∠BAE＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB；（2）解：∵＝，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，

∴△ADE∽△CBE，∴＝＝＝，∴設(shè)AE＝2a，CE＝3a，∴AC＝AE+CE＝5a，∵△ABE∽△ACB，∴＝，∴AB2＝AC?AE，∴16＝2a?5a，∴a＝或a＝﹣（舍去），∴AE＝2a＝，∵＝，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE＝，∴線段DE的長度為．【考點(diǎn)解讀】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2022?鎮(zhèn)江一模）如圖，BC是⊙O的直徑，CE是⊙O的弦，EG切⊙O于點(diǎn)E，交射線CB的延長線于點(diǎn)G．點(diǎn)A在直線CE上，∠ABG＝2∠ACG．（1）用尺規(guī)作出點(diǎn)A（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接AB，直線AB與GE相交于點(diǎn)F，，GB＝6．①求⊙O的半徑；②連接CF，CF平分∠ACG嗎？為什么？

【思路點(diǎn)撥】（1）以B為圓心BC為半徑作弧，交直線CE于點(diǎn)A，點(diǎn)A即為所求；（2）①在Rt△GFB中，勾股定理求得FB，證明△GFB∽△GEO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，即可求得r；②連接CF，BE，OE，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)D，由①中數(shù)據(jù)勾股定理求得EC，設(shè)F到AC距離為a，到GC的距離為b，根據(jù)等面積法求得的值，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證明CF不平分∠ACG．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，以B為圓心BC為半徑作弧，交直線CE于點(diǎn)A，點(diǎn)A即為所求，（2）如圖，連接OE，∵EG是⊙O的切線，∴OE⊥GE，∵AB＝BC，∴∠ABG＝2∠ACG，∵OE＝OC，∴∠EOG＝2∠ECO，∴OE∥FB，∴BF⊥FG，在Rt△GFB中，GF＝4，GB＝6，∴FB＝2，∴△△GFB∽△GEO，∴FB：OE＝GB：GO，設(shè)半徑為r，

則2：r＝6：（6+r），解得r＝3；②CF不平分∠ACG，理由如下：連接CF，BE，OE，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)D，∵GF＝4，GB＝6，OE＝3，F(xiàn)B＝2，∴AB＝BC＝6，∴AF＝AB﹣FB＝4，∵OE∥FB，∴△GFB∽△GEO，∴EF：GF＝OB：BG＝3：6，∴EF＝GF＝2在Rt△EFB中，BE＝2，在Rt△EBC中，EC＝2，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AC＝2AE＝4，設(shè)F到AC距離為a，到GC的距離為b，∴S△AFC：S△BFC＝AC?a：（BC?b）＝AF?CD：（FB?CD），∴＝＝＝≠1，若CF平分∠ACG，則a＝b，∴CF不平分∠ACG．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析06等腰（等邊）三角形的定義以及等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算與證明問題，這里需注意分類討論思想的滲入。但不可忽略三角形存在的條件，即任意兩邊之和大于第三邊.對出現(xiàn)的情況需要逐一驗(yàn)證，確定取舍。

（2020秋?鹽城校級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD是△ABC的角平分線．若在邊AC上截取CE＝CB，連接DE，則圖中等腰三角形共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【思路點(diǎn)撥】答案有誤，遺漏情況，根據(jù)已知條件分別求出圖中三角形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判定即可找出圖中的等腰三角形．【規(guī)范解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，

∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴圖中的等腰三角形有5個(gè)．故選：D．【考點(diǎn)解讀】此題考查了等腰三角形的判定，用到的知識點(diǎn)是等腰三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形的角平分線定義等，解題時(shí)要找出所有的等腰三角形，不要遺漏．【變式訓(xùn)練01】（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EM∥BC分別交AB，AC于M，N，則△AMN的周長為6．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)BE、CE是角平分線和MN∥BC可以得出MB＝ME，NE＝NC，繼而可以得出△AMN的周長＝AB+AC，從而可以得出答案．【規(guī)范解答】解：∵BE，CE分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC，∴MB＝ME，NC＝NE，

∵AB＝AC＝3，∴△AMN的周長＝AM+ME+NE+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝3+3＝6．故答案為：6．【考點(diǎn)解讀】本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定，是一道綜合題，能夠推出MB＝ME，NE＝NC是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練02】（2018秋?吳江區(qū)校級月考）（1）如圖①，在△ABC中，BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作ED∥BC．指出圖中的等腰三角形，并說明理由．（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC．證明：EF＝BE+CF．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，可得∠EBD＝∠EDB，進(jìn)而得出△BDE是等腰三角形．（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠CBO＝∠ABO，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BOE＝∠CBO，等量代換可得∠ABO＝∠BOE，根據(jù)等角對等邊可得BE＝OE，同理可得CF＝OF，然后根據(jù)EF＝EO+OF等量代換即可得證．【規(guī)范解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，ED∥BC，∴∠EBD＝∠CBD，∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE，即△BDE是等腰三角形．（2）∵OB平分∠ABC，∵EF∥BC，

∴∠BOE＝∠CBO，∴∠ABO＝∠BOE，∴BE＝OE，同理可得CF＝OF，∵EF＝EO+OF，∴EF＝BE+CF．【考點(diǎn)解讀】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義的綜合運(yùn)用，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2020?亭湖區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠MOA1＝30°，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4…△AnBnBn+1都是等邊三角形，點(diǎn)A1，A2，A3…An在軸上，點(diǎn)B1，B2，B3…Bn+1在OM上，A1B2∥A2B3∥A3B4…AnBn+1∥y軸，，則第n個(gè)等邊△AnBnBn+1的面積是．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得前幾個(gè)等邊三角形的面積，進(jìn)而可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵A1B2∥y軸，∴∠OA1B1＝90°，∵∠MOA1＝30°，，∴A1B2＝2，∴S＝A1B22?sin60°＝4×＝，∵∠OA2B2＝90°﹣60°＝30°，∴OB2＝A2B2＝B2B3，A1A2＝OA1＝2，∴OA2＝4，A2B3＝4，∴S△＝A2B32?sin60°＝16×＝4，同理：OA3＝8，A2B3＝8，

∴S△＝A3B42?sin60°＝64×＝42，…，∴第n個(gè)等邊△AnBnBn+1的面積是：4n﹣1，故答案為：4n﹣1．【考點(diǎn)解讀】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)圖形求出面積得到規(guī)律是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析07運(yùn)用勾股定理及其逆定理計(jì)算線段的長，證明線段的數(shù)量關(guān)系，解決與面積有關(guān)的問題以及簡單的實(shí)際問題。在題目中沒有明確哪個(gè)角為直角時(shí)，常需要分類討論，不可漏解。在利用勾股定理計(jì)算時(shí)，誤認(rèn)為第三邊為斜邊，其實(shí)第三邊可能是斜邊，也可能是直角邊。（2021秋?常州期末）下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，5， D．1，，【答案】A【思路點(diǎn)撥】答案有誤，沒有應(yīng)用勾股定理公式解決問題。如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，最長邊所對的角為直角．由此判定即可．【規(guī)范解答】解：A、∵52+42≠62，∴三條線段不能組成直角三角形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵52+72≠122，∴三條線段不能組成直角三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵32+（）2≠52，∴三條線段不能組成直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵12+（）2＝（）2，∴三條線段能組成直角三角形，故D選項(xiàng)正確；故選：D．【考點(diǎn)解讀】

此題考查了勾股定理逆定理的運(yùn)用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．【變式訓(xùn)練01】（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）到目前為止，勾股定理的證明已超過400種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個(gè)直角三角形如圖擺放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，點(diǎn)F落在AC上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，斜邊AB與斜邊CD交于點(diǎn)M，連接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，則四邊形ACBD的面積為53．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，再根據(jù)四邊形ACBD的面積＝△DAC的面積+△DBC的面積，列出算式計(jì)算即可求解．【規(guī)范解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，∴四邊形ACBD的面積＝△DAC的面積+△DBC的面積＝×9×9+×5×5＝53．故答案為：53．【考點(diǎn)解讀】本題考查了勾股定理的證明，關(guān)鍵是求出DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，以及由圖形得到四邊形ACBD的面積＝△DAC的面積+△DBC的面積．【變式訓(xùn)練02】（2022秋?豐城市校級期末）某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米20元，請你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要680元．

【思路點(diǎn)撥】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即AB與BC的和，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長，地毯的長與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價(jià)即可求解．【規(guī)范解答】解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），則地毯總長為12+5＝17（m），則地毯的總面積為17×2＝34（平方米），所以鋪完這個(gè)樓道至少需要34×20＝680（元）．故答案為：680．【考點(diǎn)解讀】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2021秋?建鄴區(qū)期末）如圖①，長方體長AB為8cm，寬BC為6cm，高BF為4cm．在該長體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)G，且經(jīng)過棱EF上一點(diǎn)，畫出其最短路徑的平面圖，并標(biāo)出它的長．（2）設(shè)該長方體上底面對角線EG、FH相交于點(diǎn)O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①螞蟻從點(diǎn)B爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長為4cm；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，設(shè)BP長為acm，求螞蟻從點(diǎn)P爬行到點(diǎn)O的最短路的長（用含a的代數(shù)式表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）畫出展開圖連接AG交EF于點(diǎn)M，根據(jù)勾股定理求出AG的長即可；（2）①畫出展開圖連接OB，作ON⊥AB于點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理求出OB的值即可；②畫出展開圖連接OP，作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，根據(jù)勾股定理求出OP的值即可．【規(guī)范解答】解：（1）展開面HGFE和面ABFE如下圖，連接AG交EF于點(diǎn)M，由題意知，AB＝8cm，BG＝BF+FG＝6+4＝10（cm），

∴AG＝＝＝2（cm），即AG的長為2cm；（2）①展開面HGFE和面ABFE如下圖，連接OB，作ON⊥AB于點(diǎn)N，由題意知，ON＝4+×6＝7（cm），BN＝8＝4（cm），∴OB＝＝＝（cm），故答案為：；②展開面HGFE和面BCGF如下圖，連接OP，作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，由題意知，OQ＝+4＝8（cm），PQ＝|×6﹣a|＝|3﹣a|（cm），∴OP＝＝＝（cm），即螞蟻從點(diǎn)P爬行到點(diǎn)O的最短路的長為cm．【考點(diǎn)解讀】本題主要考查展開圖的最短路徑問題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析08特殊角的三角函數(shù)值及計(jì)算。熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值，不能搞混淆

（2022秋?離石區(qū)期末）在△ABC中，若，∠A，∠B都是銳角，則△ABC是三角形．【答案】等腰【思路點(diǎn)撥】答案有誤，直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出∠A＝60°，∠B＝60°，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：∵，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．故答案為：等邊．【考點(diǎn)解讀】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2021秋?慈利縣期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．75° C．105° D．120°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：由題意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，＝cosB，解得，∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故選：C．【考點(diǎn)解讀】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用、特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練02】（2022秋?駐馬店期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，則∠C的度數(shù)是75°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別求出∠A，∠B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，∴|sinA﹣|＝0，（cosB﹣）2＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案為：75°．【考點(diǎn)解讀】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°、45°、60°的四個(gè)三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】（2022秋?河口區(qū)校級期末）計(jì)算：（1）cos30°﹣tan60°﹣cos45°；（2）cos60°﹣2sin245°+30°﹣sin30°．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）cos30°﹣tan60°﹣cos45°＝＝．（2）＝＝＝．【考點(diǎn)解讀】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．

易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析09解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用。坡度是指坡面的垂直高度h和水平寬度l的比值，而并非度數(shù)。仰角和俯角是指視線與水平線的夾角，而非視線與鉛垂線的夾角。只有在直角三角形中才能解直角三角形，沒有直角三角形時(shí)需要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形求解。（2022?鄭州二模）如圖是簡化的冬奧會跳臺滑雪的雪道示意圖，AB為助滑道，BC為著陸坡，著陸坡傾角為α，A點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差為h，A點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差為120m，著陸坡BC長度為（）A． B． C．（120﹣h）sinα D．（120﹣h）cosα【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤，過點(diǎn)A作AG⊥CD，交DC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AG，垂足為F，可得四邊形BFGE矩形，從而得FG＝BE，然后在Rt△BEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)A作AG⊥CD，交DC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AG，垂足為F，則四邊形BFGE矩形，

∴FG＝BE，∵AG＝120m，AF＝h，∴FG＝BE＝（120﹣h）m，在Rt△BEC中，BC＝＝m，故選：A．【考點(diǎn)解讀】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022?江陰市校級一模）圖1是一款折疊式跑步機(jī)，其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2（忽略跑步機(jī)的厚度）．該跑步機(jī)由支桿AB（點(diǎn)A固定），底座AD和滑動(dòng)桿EF組成．支桿AB可繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)E在滑槽AC上滑動(dòng)．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收納時(shí)，滑動(dòng)端點(diǎn)E向右滑至點(diǎn)C，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合；打開時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)C向左滑動(dòng)，若滑動(dòng)桿EF與AD夾角的正切值為2，則察看點(diǎn)F處的儀表盤視角為最佳．（1）BE＝65cm；（2）當(dāng)滑動(dòng)端點(diǎn)E與點(diǎn)A的距離EA＝（13+2）或（13﹣2）cm時(shí)，察看儀表盤視角最佳．【思路點(diǎn)撥】（1）利用線段的和差定義求解即可；（2）分∠BAE是銳角或鈍角，分別畫出圖形求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）由題意BE＝AC﹣AB＝125﹣60＝65（cm）．故答案為：65．（2）如圖2﹣1中，當(dāng)∠BAE是銳角時(shí)，過點(diǎn)B作BT⊥AE于點(diǎn)T．

在Rt△BTE中，BE＝65cm，tan∠BET＝＝2，∴ET＝13（cm），BT＝26（cm），在Rt△ABT中，AT＝＝＝2（cm），∴AE＝AT+ET＝（13+2）cm．如圖2﹣2中，當(dāng)∠BAE是鈍角時(shí)，過點(diǎn)B作BT⊥AE于點(diǎn)T．同法可得，ET＝13，AT＝2，∴AE＝TE﹣AT＝（13﹣2）cm，綜上所述，AE的長為（13+2）cm或（13﹣2）cm．【考點(diǎn)解讀】考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．【變式訓(xùn)練02】（2021?荊州）如圖1是一臺手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)動(dòng)，測量知BC＝8cm，AB＝16cm．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時(shí)，點(diǎn)C到AE的距離為6.3cm．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，≈1.73）

【思路點(diǎn)撥】通過作垂線構(gòu)造直角三角形，在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，從而解決問題．【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)B、C分別作AE的垂線，垂足分別為M、N，過點(diǎn)C作CD⊥BM，垂足為D，在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，∴BM＝sin60°?AB＝×16＝8（cm），∠ABM＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，又∵BC＝8，∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），即點(diǎn)C到AE的距離約為6.3cm，故答案為：6.3．【考點(diǎn)解讀】本題考查解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練03】

（2022?亭湖區(qū)校級一模）鹽城海棠公園為引導(dǎo)游客觀光游覽公園的盤點(diǎn)，在主要路口設(shè)置了導(dǎo)覽指示牌，我校“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)小組想要測量此指示牌的高度，他們繪制了該指示牌支架側(cè)面的截面圖如圖所示，并測得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四邊形DEFG為矩形，且DE＝5cm．請幫助該小組求出指示牌最高點(diǎn)A到地面EF的距離（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75?≈0.26，tan75°≈3.73，≈1：414）．【思路點(diǎn)撥】通過過點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，交直線DG于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥DG于點(diǎn)N，BP⊥AH于點(diǎn)P，構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形分別求出AP、PM的長即可求出指示牌最高點(diǎn)A到地面EF的距離．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，交直線DG于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥DG于點(diǎn)N，BP⊥AH于點(diǎn)P，則四邊形BNMP和四邊形DEHM均為矩形，如圖所示：∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，∴BP∥DG，∴∠CBP＝∠BCD＝75°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin45°＝，

∴AP＝AB?sin45°＝100×＝50（cm），在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin75°＝，∴BN＝BC?sin75°≈80×0.97＝77.6（cm），∴PM＝BN＝77.6cm，∴AH＝AP+PM+MH＝5077.6+5≈153（cm）．答：指示牌最高點(diǎn)A到地面EF的距離約為153cm．【考點(diǎn)解讀】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形，熟練通過解直角三角形求相應(yīng)未知量是解題的關(guān)鍵．一．選擇題1．（2021秋?沛縣期末）下列長度的三條線段，能組成直角三角形的是（）A．，， B．，， C．3，4，5 D．6，8，11解：A．因?yàn)?，所以不能組成直角三角形，不合題意；B．因?yàn)?，所以不能組成直角三角形，不合題意；C．因?yàn)?2+42＝52，所以能組成直角三角形，符合題意；D．因?yàn)?2+82≠112，所以不能組成直角三角形，不合題意；故選：C．2．（2021秋?泗陽縣期末）如圖，AC和BD相交于O點(diǎn)，若OA＝OD，用“SAS”證明△AOB≌△DOC還需（）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC解：A、AB＝DC，不能根據(jù)SAS證兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵在△AOB和△DOC中

，∴△AOB≌△DOC（SAS），故本選項(xiàng)正確；C、兩三角形相等的條件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能證兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、根據(jù)∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能證兩三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．3．（2022秋?離石區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，過D作BC的平行線交AC于M，若BC＝3，AC＝2，則DM＝（）A． B． C． D．解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，∵DM∥CB，∴∠MDC＝∠DCB，∴∠MDC＝∠ACD，∴MD＝MC，∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B，∠AMD＝∠ACB，∴△ADM∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DM＝，故選：B．4．（2021秋?雙灤區(qū)期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)O，則△ABO的面積與△CDO的面積的比為（）

A．1：2 B． C．1：4 D．解：設(shè)小方格的邊長為1，由圖可知，AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，且AB＝，CD＝2，∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，∴S△ABO：S△CDO＝（：2）2＝1：4，故選：C．5．（2022秋?西崗區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是（）A． B． C． D．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故選：D．二．填空題6．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，則S△ABC＝10．解：∵CD⊥AB，tanB＝，∴＝，

∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴S△ACD：S△CBD＝1：4，∵S△ACD＝2，∴S△CBD＝8，∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．故答案為：10．7．（2022?富陽區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，∠OAB＝45°，∠ABO＝60°，BD＝8．點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿著BD方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)．連接AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為Q．當(dāng)點(diǎn)Q落在AC上時(shí)，則OQ＝2+2﹣2，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)Q到直線BD的距離的最大值為2．解：過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，由題意得：AQ＝AB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝BD＝4，在Rt△OBH中，∠ABO＝60°，∴OH＝OB?sin60°＝4×＝2，BH＝OB?cos60°＝4×＝2，在Rt△AHO中，∠OAB＝45°，∴AH＝＝＝2，OA＝＝＝2，

∴AQ＝AB＝AH+BH＝2+2，∴OQ＝AQ﹣OA＝2+2﹣2，∴當(dāng)點(diǎn)Q落在AC上時(shí)，則OQ＝2+2﹣2，∵AQ＝AB，∴點(diǎn)Q的軌跡為：以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓弧上，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O，則點(diǎn)Q在圓弧終點(diǎn)的位置，連接BQ，過點(diǎn)Q作QG⊥BD，垂足為G，連接OQ，∵點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為Q，∴OQ＝OB，AQ＝AB，∠QAB＝2∠OAB＝90°，∴QB＝AB＝2+2，∠QBA＝∠AQB＝45°，∵∠OBA＝60°，∴∠OBQ＝∠OBA﹣∠QBA＝15°，∵OQ＝OB，∴∠OQB＝∠OBQ＝15°，∴∠QOG＝∠OQB+∠OBQ＝30°，設(shè)QG＝x，則OQ＝OB＝2x，∴OG＝QG＝x，∴BG＝OB+OG＝（2+）x，在Rt△QGB中，QG2+GB2＝BQ2，∴x2+[（2+）x]2＝（2+2）2，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），∴QG＝2，∴在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)Q到直線BD的距離的最大值為2．故答案為：2+2﹣2，2．

8．（2019秋?內(nèi)江期末）等腰△ABC的腰AB邊上的中線CD，把△ABC的周長分成12和15兩部分，則底邊BC長為7或11．解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，且AD＝BD．設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)，①當(dāng)AC+AD＝15，BD+BC＝12時(shí)，則x+x＝15，x+y＝12，解得x＝10，y＝7．②當(dāng)AC+AD＝12，BC+BD＝15時(shí)，則x+x＝12，x+y＝15，解得x＝8，y＝11，綜上所述，這個(gè)三角形的底邊BC的長為7或11．故答案為：7