數(shù)學-專題11 平行四邊形中的動點問題全攻略（帶答案）

專題11平行四邊形中動點問題全攻略例1．如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，點A恰好落在BC邊上的點G處．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．則AF長度為_____．【答案】【詳解】解：如圖，過點B作BM⊥AD于點M，過點F作FH⊥BC于點H，過點E作EN⊥CB延長線于點N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，F(xiàn)M=BH，∵AB=6，5BE=AE，∴AE=5，BE=，由折疊的性質(zhì)可知：GE=AE=5，GF=AF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，∴FH=BM=6，在Rt△GEN中，根據(jù)勾股定理，得

，∴，解得GN=±7（負值舍去），∴GN=7，設(shè)MF=BH=x,則GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，在Rt△GFH中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得x=，∴AF=AM+FM=6+=．∴AF長度為．故答案為：．例2.如圖，在平行四邊形中，．點M是邊的中點，點N是邊上的一個動點．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長度的最小值為（

）A．5 B．7 C． D．【答案】A【詳解】解：如圖：連接，作，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴且，∴，∴；∵M是中點，∴，∴，∴；∵折疊，∴，∴當三點共線時，的長度最小，∴此時，故選：A．例3．如圖，菱形ABCD的邊長為8，∠BAD＝60°，點E是邊AB上一動點，點F是對角線AC上一動點，則EF+BF的最小值為（）A．8 B．4 C．4 D．4【答案】C【詳解】如圖，連接交于，過作于，交于，四邊形是菱形，是對角線，點是點關(guān)于的對稱點，點E是邊AB上一動點，點F是對角線AC上一動點，，當點與點重合，點與點重合時，取得最小值，最小值為的長，

菱形ABCD的邊長為8，∠BAD＝60°，，，．取得最小值為:．故答案為：C．例4．如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動點，那么的最小值等于______．【答案】3【詳解】解：如圖，過作交的延長線于點，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，

∴當三點共線時，線段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案為：3．例5.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，點H、G分別是邊DC、BC上的動點，其中點H不與點C重合，連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF，則EF的最小值為______．【答案】【詳解】如圖，連接AG，因為點E為AH的中點，點F為GH的中點，所以EF=，故EF的最小值，只有當AG取得最小值時，才能成立，AG的最小值為垂線段AG，過點A作AM⊥BC，垂足為M，因為，，所以BM=2，AM=，

故EF的最小值為=故答案為：．【變式訓(xùn)練1】如圖，菱形ABCD的對角線，面積為24，△ABE是等邊三角形，若點P在對角線AC上移動，則的最小值為（

）A．4 B．4 C．2 D．6【答案】C【詳解】解：如圖，連接BD交AC于O，連接PB．∵S菱形ABCD=?AC?BD，∴24=×12×BD，∴BD=4，∵OA=AC=6，OB=BD=2，AC⊥BD，∴AB=，∵AC與BD互相垂直平分，∴PD=PB，PE+PD=PE+PB，∵PE+PB≥BE，∴當E、P、B共線時，PE+PD的值最小，最小值為BE的長，∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=2，

∴PD+PE的最小值為2，故選：C．【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形中，，，為上兩點，且，則四邊形周長的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【詳解】解：如圖，作交AD于M，作M關(guān)于BC的對稱點，連接，，∴，在矩形ABCD中，，∴四邊形APQM為平行四邊形，∴，∵，，∴，若使其周長最小，即最小，即：即為所求，∵，，∴，，∴在中，，故最小值為：．故選B．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平行四邊形中，，，，點、分別是邊、上的動點．連接、，點為的中點，點為的中點，連接，則

的最大值與最小值的差為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：連接，如圖：點為的中點，點為的中點，是的中位線，，當最小時，最小，當最大時，最大，當時，最小，此時也最小，如圖：，，是等腰直角三角形，，，最小為；當與重合時，最大，此時也最大，過作于，如圖：

同上可得是等腰直角三角形，，，，，最大為；的最大值與最小值的差為，故選：B．【變式訓(xùn)練4】如圖，在中，，線段繞點B旋轉(zhuǎn)到，連接，E為的中點，連接，設(shè)的最大值為m，最小值為n，則（

）A．3.6 B．4.8 C．5 D．6【答案】D【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出．如圖，取的中點F，連接．∵，∴，∴是等邊三角形．∵E、F分別是的中點，∴．如圖，當在上方時，

此時，如果C、E、F三點共線，則有最大值，最大值為，即；如圖，當在下方時，此時，如果C、E、F三點共線時，有最小值，最小值為，即，∴．故選D．課后訓(xùn)練1．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是邊AB上的兩個動點，F(xiàn)是邊AC上的一個動點，DE＝，則CD+EF的最小值為(

)A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3【答案】B【詳解】解：如圖，過C作AB的對稱點C1，連接CC1，交AB于N；過C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，過C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的長度即為所求最小值，

∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，∴四邊形C1DEC2是平行四邊形，∴C1D＝C2E，又∵CC1關(guān)于AB對稱，∴CD＝C1D，∴CD+EF＝C2F，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴CN＝，AN＝3，過C2作C2M⊥AB，則C2M＝C1N＝CN＝，∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，∴MN＝C1C2＝，∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，∴∠MC2E＝∠A＝30°，在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，∴EF，∴C2F．故選：B．2．如圖，中，，點、分別在邊、上，，且，若，，則的長度為_________________．

【答案】【詳解】解：如圖，連接，過點E作于M，在中，，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴，將順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，則，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，過點N作交的延長線于點G，∵，∴，

∴CG=∴∴∴故答案為．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，點F為BC上一點，點G為BE上一點，連接CG，F(xiàn)G，則CGFG的最小值為_________．【答案】【詳解】在上取一點，使，平分，，，當、、在同一直線上，且時，最小，最小值為．，，，，，．故答案為：．

4．如圖，，，，，，射線交邊于點，點為射線上一點，以，為邊作平行四邊形，連接，則最小值為______．【答案】【詳解】解：如圖，延長到，使得，連接，過點作于點．四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，點在射線上運動，當點與重合時，的值最小，在中，，，，

，．的最小值為．故答案為：．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，，是銳角，于點E，，F(xiàn)是CD的中點，連接BF，EF．若，則DE的長為______．【答案】4【詳解】解：如圖，延長BF交AD的延長線于Q，連接BE，設(shè)DE=x，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DQ∥BC，AD=BC=5，∴∠Q=∠CBF，∵DF=FC，∠DFQ=∠BFC，∴△BCF≌△QDF（AAS），∴BC=DQ，QF=BF，

∵∠EFB=90°，∴EF⊥QB，∴EQ=BE=x+5，∵CE⊥AD，BC∥AD，∴CE⊥BC，∴∠DEC=∠ECB=90°，∵CE2=EB2-BC2，∴，整理得：x2+10x-56=0，解得x=4或-14（舍棄），∴DE=4．故答案為：4．6．如圖，在平行四邊形中，，，點為射線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值是______．【答案】【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABK，由可知點K在BC上，連接EK，∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，

∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根據(jù)垂線段最短可知，當KE⊥AD時，EK的值最小，即AF的值最小，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAK＝∠AKB＝60°，∴∠AKE＝30°，∵AB＝AK＝2，∴AE＝AK＝1，∴EK＝，∴AF的最小值為．故答案為：．7．如圖，在平面直角坐標系中，D是平行四邊形ABOC內(nèi)一點，CD與x軸平行，AD與y軸平行，已知，，，，則D點的坐標為_______．【答案】（-2，8）【詳解】過點B作BE⊥y軸于E點，交AD的延長線于點F，

∵四邊形ABOC是平行四邊形，∴AC=OB，AC∥OB，∴∠OGC=∠BOE，∵AD∥y軸，∴∠DAC=∠OGC，∴∠BOE=∠DAC，在△BOE和△CAD中，，∴△BOE≌△CAD（AAS），∴OE=AD=2，BE=CD=8，∵S△ABD=6，∴AD?BF=6，∴×2×BF=6，∴BF=6，∴EF=BE-BF=2，∵∠ADB=135°，∴∠BDF=45°，∴BF=DF=6，∵DF+OE=6+2=8∴D（-2，8），故答案為：（-2，8）．

8．如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是?ABCD內(nèi)一動點，且S△PBC＝S△PAD，則PA＋PD的最小值為______．【答案】【詳解】解：如圖所示，過點P作直線，作點A關(guān)于直線l的對稱點，連接交直線l于E，交BC于F，連接，則，垂直于直線l，∴，∴當、P、D三點共線時，PA+PD有最小值，即，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AD=BC，∴，∵AB=6，∠AFB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAF=30°，∴BF=3，∴，∵S△PBC＝S△PAD，∴，∴，又∵AE+EF=AF，∴，∴，∴，∴PA+PD的最小值為，故答案為：．

9．如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．【答案】【詳解】解：如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根據(jù)垂線段最短可知，當KE⊥AD時