初中數(shù)學(xué)九年級下冊5 三角形的內(nèi)切圓（全國一等獎）

24.5三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓1.確定圓的條件是什么？1）圓心與半徑2.下圖中△ABC與圓O的關(guān)系？△ABC是圓O的內(nèi)接三角形；圓O是△ABC的外接圓圓心O點叫△ABC的外心知識回顧ACBO2）不在同一直線上的三點第一幼兒園門口有一塊三角形空地,經(jīng)常停了很多車，影響城市形象。為了響應(yīng)創(chuàng)建文明城市行動，市政府現(xiàn)準備在這里搭建一圓形花壇，既美化城市又能杜絕亂停亂放。要想圓形花壇面積最大且不影響交通，怎么確定花壇的中心位置。下圖是設(shè)計師的幾種設(shè)計，請同學(xué)們幫他確定一下.思考ABC思考下列問題：1．如圖，若⊙O與∠ABC的兩邊相切，那么圓心O的位置有什么特點？圓心0在∠ABC的平分線上。OMABCN三角形內(nèi)切圓的作法思考下列問題：

2．如圖2，如果⊙O與△ABC的內(nèi)角∠ABC的兩邊相切，且與內(nèi)角∠ACB的兩邊也相切，那么此⊙O的圓心在什么位置？

圓心0在∠BAC,∠ABC與∠ACB的三個角的角平分線的交點上。AO圖2ABC三角形內(nèi)切圓的作法4．你能作出幾個與一個三角形的三邊都相切的圓？內(nèi)切圓圓心能否在三角形外部?

作出三個內(nèi)角的平分線，三條內(nèi)角平分線相交于一點，這點就是符合條件的圓心，過圓心作一邊的垂線，垂線段的長是符合條件的半徑。

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3.如何確定一個與三角形三邊都相切的圓的圓心位置與半徑的長？

圓心都在三角形內(nèi)部,因為三角形的三條內(nèi)角平分線在三角形內(nèi)部,且相交只有一個交點。

試一試：分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)切圓，并說明三角形的內(nèi)心是否都在三角形內(nèi)部．作法：ABC1.作∠B、∠C的平分線

BM和CN，交點為I。I2.過點I作ID⊥BC，垂足為D。

3.以I為圓心，ID為半徑作⊙I.

⊙I就是所求的圓。MND試一試:你能畫一個與三角形各邊都相切的圓嗎?步驟：畫角平分線→定內(nèi)心→定半徑→畫圓→結(jié)論定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。CBADFEOr1.三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；性質(zhì)：CBADFEOr2.三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上；名稱圖形確定方法性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．垂心重心外心內(nèi)心交點性質(zhì)位置三條高線的交點三條角平分線的交點三邊垂直平分線的交點三條中線的交點在形內(nèi)、形外或直角頂點在形內(nèi)、形外或斜邊中點在形內(nèi)在形內(nèi)到三角形各頂點距離相等到三角形三邊距離相等把中線分成了2:1兩部分例1：如圖，在△ABC中，∠BAC=500

，點I是內(nèi)心，求∠BIC的度數(shù)。分析：

∠BIC=?

∠1+∠3=?

I為△ABC的內(nèi)心

BI是∠ABC的角平分線

CI是∠ACB的角平分線

ABCI2143ABCI2143變式2：在△ABC中，點I是內(nèi)心，∠BIC=120°，求∠BAC的度數(shù)。變式3：在△ABC中，點I是內(nèi)心，∠BAC=α，求∠BIC的度數(shù)。變式1：如圖，在△ABC中，∠BAC=500

，點I是外心，求∠BIC的度數(shù)。例2、如圖，△ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，已知BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)⊙O的半徑為r，請說明下列結(jié)論成立的理由。①∠BOC=900+∠BAC，②∠EDF=900-∠BAC，③ABCDEFO例3、如圖：點I是△ABC的內(nèi)心，AI交邊BC于點D，交△ABC外接圓于點E.求證：BE＝IE提示：欲證BE＝IE

需證∠BIE＝∠IBE把∠BIE轉(zhuǎn)化為兩圓周角之和12345ABCOabcDEr思考題：如圖:已知直角三角形的兩直角邊分別是a，b,斜邊為c則其內(nèi)切圓的半徑r為:r=a+b-c2F1.直角三角形的直角邊長分別為5cm和12cm，則它的外接圓半徑是

cm，內(nèi)切圓半徑是

cm6.522.設(shè)直角三角形的直角邊長分別為a、b，它的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是R、r，則a+b=（）A、R+rB、2（R+r）C、2RD、4rB考點：直角三角形外接半徑和內(nèi)切圓半徑的求法。Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，其內(nèi)切圓⊙I分別切BC、AC、AB于D、E、F，求證：（1）的半徑r=(a+b-c)/2；（2）BD和AE是方程2x2-2cx+ab=0的兩個根?！BICDFE課堂小結(jié)：

1.談?wù)劚竟?jié)課你學(xué)到了什么？

認識了三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)心，圓的外切三角形；掌握了作一個三角形的內(nèi)切圓的方法；理解并掌握了內(nèi)心的性質(zhì)類比思想，整體思想，從特殊到一般的思想2.本節(jié)課運用了什么數(shù)學(xué)思想？作業(yè)：1.練習(xí)1、2、3題

2.課外拓展：求等邊三角形的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R的比。CABRrOD補充練習(xí)；

已知：△ABC是⊙O外切三角形，切點為D，E，F(xiàn)。若BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。ABCEDFxxyyOzz解:設(shè)AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm則AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依題意得方程組x+y=13y+z=14x+z=9:Z=5X+y+z=18x+y=13解得知識拓展一、直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓1.直角三角形外接圓的圓心(外心)在__________，半徑為___________.abc斜邊中點斜邊的一半知識拓展3.Rt△ABC中