專題4.5指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（六個混淆易錯點）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題4.5指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（六個混淆易錯點）易錯點1當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時，沒考慮符號的正負(fù)1．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，得，則，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.2．把代數(shù)式中的移到根號內(nèi)，那么這個代數(shù)式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出的取值范圍，然后確定的正負(fù)情況，再將移入根號內(nèi)即可.【詳解】，即，，.故選：A.3．（多選）若，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】ABC【分析】應(yīng)用根式的運算即可.【詳解】，則，解得．故選：ABC4．（多選）若，化簡的結(jié)果可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】將分式方程化為整式方程，結(jié)合解一元二次不等式求得x的范圍，根據(jù)根式的化簡可得答案.【詳解】由題意知，即，即，故或，則，故選：AC5．若代數(shù)式有意義，則．【答案】8【分析】利用二次根式下被開方數(shù)非負(fù)，求得的范圍，然后再利用公式進(jìn)行根式的化簡求值.【詳解】因為有意義，所以，解得，故．故答案為：86．已知，化簡：．【答案】．【分析】首先根據(jù)判斷出，從而結(jié)合完全平方公式即可化簡原式.【詳解】因為，所以，所以，.易錯點2當(dāng)?shù)讛?shù)未知時，沒分類討論7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】令,則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，的對稱軸為，由題意，當(dāng)時，表示開口向下的拋物線，對稱軸為，在上單調(diào)遞減，不符合題意，綜上，.故選：A.8．“”是“函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過第三象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】當(dāng)時求出，結(jié)合指數(shù)函數(shù)得到圖象經(jīng)過第一、三、四象限，若圖象經(jīng)過第三象限，求出取值范圍，求出，進(jìn)一步解得的范圍.【詳解】當(dāng)時，，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象特征可知的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以充分性成立；若的圖象經(jīng)過第三象限，易知時不成立，所以，且，解得，所以必要性成立.故選：C.9．函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，列不等式組，再由在上恒成立，求出的取值范圍即可.【詳解】設(shè)，則，因為開口向上，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，解得，又在上恒成立，所以，所以，綜上可得，.故選：C10．已知函數(shù)，若對，都有，則的取值范圍為【答案】【分析】由題意將問題轉(zhuǎn)化為在上，再分和兩種情況，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，在上遞增，因為對，都有，所以，所以，所以，解得；當(dāng)時，在上遞減，因為對，都有，所以，所以，所以，解得；綜上，或，即的取值范圍為，故答案為：.11．已知函數(shù)（，且）在上的最大值比最小值大2．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求證：為奇函數(shù)的充要條件是．【答案】(1)2；(2)證明見解析.【分析】（1）對參數(shù)分類討論分別求出最大值和最小值，然后代入求出的值即可；（2）先將代入證明奇函數(shù)得到充分性，再由奇函數(shù)求出得到必要性即可.【詳解】（1）當(dāng)時，此時單調(diào)遞增，，此時有，解得或（舍）；當(dāng)時，此時單調(diào)遞減，，此時有，方程無解，所以的值為2；（2）由（1）知先證充分性：當(dāng)時，，所以，所以此時為奇函數(shù)；再證必要性：因為為奇函數(shù)，且的定義域為，所以，即，所以，綜上可知為奇函數(shù)的充要條件是．12．已知函數(shù)（）．(1)求的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式列出函數(shù)有意義時滿足的不等式，即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)的奇偶性；結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）要使此函數(shù)有意義，則有，即，解得或，故此函數(shù)的定義域為．（2）由（1）可得的定義域關(guān)于原點對稱，∵，∴為奇函數(shù)．，設(shè)，，則函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上均單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故在，上單調(diào)遞增．故當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間．易錯點3使用換元法,使變量范圍擴(kuò)大致誤13．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】，設(shè)，，計算得到答案.【詳解】，設(shè)，則，故函數(shù)的值域為.故選：C14．函數(shù)的值域為．【答案】【分析】首先利用基本不等式求出的取值范圍，令，則，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，令，則，對于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，且，，所以函數(shù)，的值域為，則函數(shù)的值域為.故答案為：15．已知函數(shù)，則的值域是.【答案】【分析】令，先求出的范圍，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】令，則，則，可得，已知單調(diào)遞減，所以，則的值域為.故答案為：.16．函數(shù)的定義域為，值域為．【答案】【分析】由分母不為零可解得函數(shù)定義域，由函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)值域.【詳解】由，解得，故函數(shù)定義域為．因為，又，則在單調(diào)遞減，所以，即值域為．故答案為：；.17．已知函數(shù).(1)若，求的值域；(2)若，存在實數(shù)，，當(dāng)?shù)亩x域為時，的值域為，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先得到解析式，令結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；（2）首先可得在上單調(diào)遞增，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的實數(shù)解，令，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的實數(shù)解，根據(jù)一元二次方程根的分布得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）若則，令，令，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，所以當(dāng)時，所以的值域為；（2）因為，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)?shù)亩x域為時，的值域為，即，即在上有兩個不同的實數(shù)解，即在上有兩個不同的實數(shù)解，令，所以在上有兩個不同的實數(shù)解，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.18．設(shè)函數(shù)，且，．(1)求的解析式；(2)當(dāng)時，求的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列方程組直接求解；（2）利用復(fù)合函數(shù)的值域求解方法即可求解.【詳解】（1）由得所以即解得：．所以的解析式為：（2）由（1）知.設(shè)，因為，所以.令，所以當(dāng)時，，則，故的值域為．易錯點4解對數(shù)型不等式時，忽略真數(shù)大于019．已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域可得，將代入，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性運算求解.【詳解】令，解得，可知的定義域為，可得，解得，關(guān)于不等式，即，整理得，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，結(jié)合，解得，所以不等式的解集為.故選：D.20．已知函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用對數(shù)運算性質(zhì)及對應(yīng)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解集即可.【詳解】由題設(shè)，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：B21．已知集合，.(1)求集合；(2)已知命題：，命題：，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）將含對數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可；（2）求出，分，，討論，通過集合的包含關(guān)系列式計算即可.【詳解】（1）集合中不等式即，也即令，得，解得，即，得，故.（2）因為是的充分不必要條件，所以，又由得，即，即，當(dāng)，即時，，此時必有；當(dāng)，即時，此時必有；當(dāng)，即時，，，，即，，綜上所述：.22．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的定義域，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)求不等式的解集．【答案】(1);奇函數(shù)，證明見解析(2)【分析】（1）利用函數(shù)定義域的求法和奇偶性的定義求解即可；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1），所以，即，故定義域為.判斷為奇函數(shù)，，所以為奇函數(shù).（2）,即，且定義域為，故.所以不等式的解集為.23．已知函數(shù)

.(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明；(3)求使的x的取值范圍.【答案】(1)(2)f（x）為奇函數(shù)，證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域，即可求出函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷和證明；（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，∴的定義域為.（2）函數(shù)定義域為，關(guān)于原點對稱，又∵，∴為奇函數(shù).（3）即，當(dāng)時，由于函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，原不等式等價為，即，又的定義域為，，當(dāng)時，由于函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，原不等式等價為：，即，又的定義域為，，綜上，使的x的取值范圍為：當(dāng)時為；當(dāng)時為.24．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由對數(shù)的真數(shù)大于零，列不等式組可求得答案，（2）由，得，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）由，得．∴函數(shù)的定義域為．（2）∵，∴，即．∵函數(shù)是增函數(shù)，∴，解得．又由（1）知，∴當(dāng)時，的取值范圍是．易錯點5在研究對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性時，忽略真數(shù)大于025．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)定義域，求實數(shù)的取值范圍【詳解】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，且在區(qū)間內(nèi)恒成立，則，即，即.故選：D26．已知（且）在區(qū)間上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意可得，即可得到在區(qū)間上為增函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】函數(shù)，因為（且）在區(qū)間上為減函數(shù)，則在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且大于(等于)恒成立，為減函數(shù)，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B27．已知函數(shù)（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及真數(shù)大于0列出不等式求解即可.【詳解】令，由知，函數(shù)單調(diào)遞增，由函數(shù)（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增且，所以，解得，故選：C28．已知函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性，分類討論求解作答.【詳解】函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，因此，不符合題意，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，并且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C29．（多選）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)可能的值為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”求解后，即可依次判斷各選項是否滿足題意.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”得：在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時，，即，解得：，所以選項滿足題意，選項不滿足題意.故選：.30．若為奇函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【分析】利用奇函數(shù)的定義先求參數(shù)，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【詳解】由為奇函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，，則，滿足題意.當(dāng)時，，由解得或，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；則的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：.31．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域；(2)若函數(shù)的圖象過，求的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)增區(qū)間為，減區(qū)間為.【分析】（1）根據(jù)解析式有意義解不等式可得；（2）根據(jù)圖象過點求a，然后由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）由題可知，即，解得，所以函數(shù)的定義域.（2）由函數(shù)的圖像過，有，解得，令，則，因為為增函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在的增區(qū)間為，減區(qū)間為.易錯點6用二分法求方程的近似解因區(qū)間分得不夠而致誤32．函數(shù)有零點，用二分法求零點的近似值（精確度0.1）時，至少需要進(jìn)行（

）次函數(shù)值的計算．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】取區(qū)間的中點，利用零點的存在性定理判斷零點所在的區(qū)間，并比較區(qū)間的長度與精確度的大小，直到符合要求為止．【詳解】至少需要進(jìn)行3次函數(shù)值的計算，理由如下：，，取區(qū)間的中點，且，所以.，取區(qū)間的中點，且，所以.，取區(qū)間的中點，且，所以.因為，所以區(qū)間的中點，即為零點的近似值，即函數(shù)的零點，所以至少需進(jìn)行3次函數(shù)值的計算.故選：B.33．用二分法求方程的近似解，精確度為，則終止條件為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由“用二分法求方程的近似解”的步驟即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，用二分法求方程的近似解，若要求的精確度為，當(dāng)時，即表示滿足精度要求，可以確定近似解．故選：B34．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點，且的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：，，，，，，，要使零點的近似值精確度為，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次， B．6次，C．7次， D．7次，【答案】D【分析】根據(jù)題目條件結(jié)合二分法得到最少等分了7次，并求出近似解.【詳解】由題中數(shù)據(jù)知，零點區(qū)間變化如下：，此時區(qū)間長度小于，在區(qū)間內(nèi)取近似值，最少等分了7次，近似解取.故選：D.35．用二分法求函數(shù)的一個零點，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個零點的近似解（精確到0.1）為.（參考數(shù)據(jù)：，，，.）【答案】1.