八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題12.2.4 三角形全等的判定4（AAS）（學(xué)生版）

專題12.2.4三角形全等的判定4（AAS）目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會(huì)用“AAS”條件判定兩個(gè)三角形全等；2.使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，體驗(yàn)操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.3.通過探究三角形全等的條件的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形的能力及運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生樂于探索的良好品質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01三角形全等的判定4：（AAS）知識(shí)點(diǎn)三角形全等的判定4：角角邊（AAS）文字：在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；圖形：符號(hào)：在與中，【微點(diǎn)撥】1.方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化．2.全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高也相等.【知識(shí)拓展1】角角邊判定三角形全等的條件例1．（2021?覃塘區(qū)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．【即學(xué)即練】1．（2021?句容市八年級(jí)月考）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，若添加條件，則可由AAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件，則可由SAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件，則可由ASA證明△ABC≌△DCB．【知識(shí)拓展2】利用AAS判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）例2．（2021?南關(guān)區(qū)八年級(jí)期末）如圖，是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時(shí)秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．小亮在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A到BD的距離AC＝1.5m．點(diǎn)A到地面的距離AE＝1.5m，當(dāng)他從A處擺動(dòng)到A′時(shí)，有A′B⊥AB．（1）求A'到BD的距離；（2）求A'到地面的距離．【即學(xué)即練】2.（2022?嘉定區(qū)八年級(jí)期末）如圖，兩車從路段MN的兩端同時(shí)出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時(shí)間后分別到達(dá)A，B兩地，兩車行進(jìn)的路線平行．那么A，B兩地到路段MN的距離相等嗎？為什么？【知識(shí)拓展3】利用AAS證明三角形全等（求線段的長(zhǎng)度）例3．（2022·黑龍江黑河·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點(diǎn)B，C作過點(diǎn)A的直線的垂線BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，則DE=________cm．【即學(xué)即練1】3．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室七年級(jí)期末）如圖，E是的邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，過點(diǎn)E作直線交于D，交于F，若，則的長(zhǎng)為__________．【知識(shí)拓展4】利用AAS證明三角形全等（求角的度數(shù)）例4．（2022·山東·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D在邊AC上，BC與DE交于點(diǎn)P，，，∠CDE＝∠ABD．(1)與全等嗎？為什么？(2)已知，，求的度數(shù)．【即學(xué)即練2】2．（2021?遷安市期中）如圖，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在AC上，連接BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，垂足為D，使DE＝BC，連接BE，若∠C＝∠E．（1）求證：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度數(shù)．知識(shí)拓展5】利用AAS證明三角形全等（證明類）例5．（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，BD是△ABC中AC邊上的中線，過點(diǎn)C作CE∥AB，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)為△ABC外一點(diǎn)，連接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求證：（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．即學(xué)即練5】5．（2022·浙江·瑞安市八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，平分，，垂足為點(diǎn)E，和的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）求證：．6．（2021?西城區(qū)八年級(jí)期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，∠A＝∠E，AC＝ED．（1）求證：BC＝CD；（2）連接BD，求證：∠ABD＝∠EBD．能力拓展能力拓展考法01利用AAS證明三角形全等（探究類）【典例1】（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）如圖1，已知中，，，、分別與過點(diǎn)的直線垂直，且垂足分別為E，D．(1)猜想線段AD、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)如圖2，當(dāng)過點(diǎn)C的直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的內(nèi)部，其他條件不變，如圖2所示，①線段AD、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請(qǐng)說明理由；②若，時(shí)，求的長(zhǎng)．變式1．（2022?呼蘭區(qū)八年級(jí)期中）如圖，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，連接AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度數(shù)；（2）請(qǐng)直接寫出線段BF、EF、DE三者間的數(shù)量關(guān)系．變式2．（2021?華容縣八年級(jí)期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（BP＜CP），分別過B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求證：EF＝CF﹣BE．（2）若點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論．考法02全等中的坐標(biāo)問題【典例2】（2022·黑龍江牡丹江·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A（0，2），B（﹣1，0），以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC．(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），求a+b的值．(2)求四邊形OACB的面積．(3)在（1）的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P（不與點(diǎn)C重合），使△PAB與△ABC全等？若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），則A點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．變式2.（2022·福建寧德·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角頂點(diǎn)、分別在軸、軸上，且，．(1)如圖1，當(dāng)，，點(diǎn)在第四象限時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在第四象限時(shí)，作軸于點(diǎn)，求，，之間的關(guān)系．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2021·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)期中）已知：如圖，，，要使，需添加一個(gè)條件，則添加的條件以及相應(yīng)的判定定理合適的是（）A． B． C． D．2.（2022?東臺(tái)市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8 C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°3．（2021·北京市師達(dá)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，AE⊥AB且，BC⊥CD且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積是（

）A．30 B．32 C．35 D．384．（2021·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認(rèn)為(

)A．S△ABC>S△DEFB．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEFD．不能確定5．（2022春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線l上有三個(gè)正方形，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）A．55 B．16 C．6 D．46．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．則DE＝________．7．（2021秋?長(zhǎng)春期末）如圖，小張同學(xué)拿著老師的等腰直角三角尺，擺放在兩摞長(zhǎng)方體教具之間，∠ACB＝90°，AC＝BC，若每個(gè)長(zhǎng)方體教具高度均為6cm，則兩摞長(zhǎng)方體教具之間的距離DE的長(zhǎng)為cm．8．（2022·天津薊州·八年級(jí)期末）如圖，已知相交于點(diǎn)O，ABCD．求證．9．（2022·安徽合肥·八年級(jí)期末）如圖，在ABC和CDE中，點(diǎn)B、D、C在同一直線上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求證：ABC≌CDE．10.（2021?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點(diǎn)O，AB∥DF，AB＝DF，點(diǎn)E與點(diǎn)C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點(diǎn)O為BF的中點(diǎn)．組B能力提升練1．（2021·廣東·東莞市沙田實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD垂足分別為E、F兩點(diǎn)，則圖中全等的三角形有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)2.（2021秋?蘇州期末）如圖，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．135° D．145°3．（2022·四川南充·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，且，，，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，在中，、分別足邊、上的點(diǎn)，是的一條角平分線．再添加一個(gè)條件仍不能證明的是（）

A． B． C． D．5．（2022·廣東·深圳大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．給出下列結(jié)論：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合題意結(jié)論的序號(hào)是_____．5.（2022?南昌期中）如圖，若AB⊥BC于點(diǎn)B，AE⊥DE于點(diǎn)E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，則∠BAE的度數(shù)是．6.（2022?郫都區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）證明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)度．7．（2022?雁塔區(qū)八年級(jí)月考）如圖，AB＝AC，E在線段AC上，D在AB的延長(zhǎng)線上，且有BD＝CE，連DE交BC于F，過E作EG⊥BC于G，試判斷FG、BF、CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8．（2022·陜西榆林·七年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)E在邊上，且．(1)請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若的平分線交于點(diǎn)F，//交于點(diǎn)D，設(shè)，，求的長(zhǎng)．9．（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)D在AC上，且AD=6cm，過點(diǎn)A作射線AEAC（AE與BC在AC同側(cè)），若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AE勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PD、BD．(1)如圖①，當(dāng)PDBD時(shí)，求證：△PDA△DBC；(2)如圖②，當(dāng)PDAB于點(diǎn)F時(shí)，求此時(shí)t的值．10．（2022·遼寧錦州·八年級(jí)期中）如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)置于直線上，且過A，B兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為D，E．(1)請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并進(jìn)行證明．(2)如果將直線繞點(diǎn)C進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，（1）中的兩個(gè)三角形還全等嗎？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫出圖形并用斜線勾畫出全等的兩個(gè)三角形．題組C培優(yōu)拔尖練1.（2021?隴縣期末）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，則AD的長(zhǎng)為（）A．7 B．6 C．5 D．42．（2022·山東淄博·七年級(jí)期末）如圖，，，．下列結(jié)論中：（1）；（2）；（3）；（4）．正確的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)期中）如圖，P是∠AOB平分線上的點(diǎn)，PD⊥OB于點(diǎn)D，PC⊥OA于點(diǎn)C，則下列結(jié)論：①PC＝PD；②OD＝OC；③POC與POD的面積相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4.（2021?喀喇沁旗期末）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)F，且AB＝DE．若BD＝8cm，則AC的長(zhǎng)為．5（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)八年級(jí)期中）ABC和DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延長(zhǎng)CD、BA交于點(diǎn)E．（1）如圖1，若AB＝AC，試說明BO＝EC；（2）如圖2，∠MON為直角，它的兩邊OM、ON分別與AB、EC所在直線交于點(diǎn)M、N，如果OM＝ON，那么BM與CO是否相等？請(qǐng)說明理由．6.（2022?金東區(qū)期中）已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥BC，交直線AB于點(diǎn)G．（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC＝45°．求證：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如圖2，若∠ABC＝135°，直接寫出FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，，，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C且于D，于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①≌；②；(2)當(dāng)直線MN燒點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．8．（2021·北京市師達(dá)中學(xué)八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是等腰直角三角形，且，，頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上．(1)如圖，已知點(diǎn)，，點(diǎn)B在第四象限時(shí)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)如圖，點(diǎn)C、A分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上，BC邊交y軸于點(diǎn)D，AB邊交x軸于點(diǎn)E，若AD平分∠BAC，點(diǎn)B坐標(biāo)為．探究線段AD、OC、OD之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)回答下列問題：①點(diǎn)B到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為；②寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；③直接寫出線段AD、OC、OD之間的數(shù)量關(guān)系：．9．（2022·河南平頂山·七年級(jí)期末）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形，如下圖1．(1)已知：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．則線段DE與BD、CE的數(shù)量關(guān)系為________．(2)組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那（1）中的結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖（