七年級數(shù)學(xué)下冊第23課 一元一次不等式的解法（教師版）

第23課一元一次不等式的解法目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．理解一元一次不等式的概念；2.會解一元一次不等式．知識精講知識精講知識點(diǎn)01一元一次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個一元一次不等式．注意：(1)一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項式或多項式)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1．(2)一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：相同點(diǎn)：二者都是只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，“左邊”和“右邊”都是整式．不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號“＜”或“＞”連接，不等號有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號“＝”連接，等號沒有方向．知識點(diǎn)02一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)化為（或）的形式（其中）；(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.注意：（1）在解一元一次不等式時，每個步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問題靈活運(yùn)用．（2）解不等式應(yīng)注意：①去分母時，每一項都要乘同一個數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項；②移項時不要忘記變號；③去括號時，若括號前面是負(fù)號，括號里的每一項都要變號；④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向要改變．3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限多個解，它對以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助．注意：在用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：（1）邊界：有等號的是實心圓點(diǎn)，無等號的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左．能力拓展能力拓展考法01一元一次不等式的概念【典例1】下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？為什么？（1）（2）（3）（4）（5）【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義判斷．【答案與解析】解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因為：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次項不是1次，（4）不等式左邊含有兩個未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．【點(diǎn)睛】一元一次不等式的定義主要由三部分組成：①不等式的左右兩邊分母不含未知數(shù)；②不等式中只含一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1，三個條件缺一不可．考法02解一元一次不等式【典例2】解不等式：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】先用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分母變?yōu)檎麛?shù)，再去分母，在去分母時注意分?jǐn)?shù)線兼有括號的作用．【答案與解析】解：將分母變?yōu)檎麛?shù)，得：去分母，得：去括號，合并同類項，得：系數(shù)化1，得：這個不等式的解集表示在數(shù)軸上，如下圖：【點(diǎn)睛】在不等式的兩邊同乘以(或除以)負(fù)數(shù)時，必須改變不等號的方向．【即學(xué)即練】解不等式：【答案】解：去括號，得移項、合并同類項得：系數(shù)化1，得故原不等式的解集是【典例3】m為何值時，關(guān)于x的方程：的解大于1？【分析】從概念出發(fā)，解出方程（用m表示x），然后解不等式．【答案與解析】解：x-12m+2=6x-15m+35x=3m-1由解得m＞2【點(diǎn)睛】此題亦可用x表示m，然后根據(jù)x的范圍運(yùn)用不等式基本性質(zhì)推導(dǎo)出m的范圍．【即學(xué)即練】已知關(guān)于方程的解是非負(fù)數(shù)，是正整數(shù)，則．【答案】1或2【典例4】已知關(guān)于的方程組的解滿足，求的取值范圍．【分析】先解出方程組再解不等式．【答案與解析】解：由，解得：∵∴解得∴的取值范圍為【點(diǎn)睛】有時根據(jù)具體問題，可以不必解出的具體值．考法03解含字母的一元一次不等式【典例5】解關(guān)于x的不等式：(1-m)x>m-1【分析】由此不等式的結(jié)構(gòu)，這里只需將未知數(shù)的系數(shù)化1即可，兩邊同時除以（1-m），但由不等式的基本性質(zhì)我們知，若不等式兩邊同時除以一個負(fù)數(shù)，原不等號的方向得改變，這里1-m的符號我們不知道，故需分類討論．【答案與解析】解：當(dāng)1-m＞0即m＜1時，原不等式的解集為：x＞-1；當(dāng)1-m＜0即m＞1時，原不等式的解集為：x＜-1；當(dāng)1-m=0即m=1時，沒有數(shù)能使得不等式成立，故原不等式無解．【點(diǎn)睛】不難發(fā)現(xiàn)，我們可以總結(jié)概括，如下：若ax＞b（a≠0），當(dāng)時，不等式的解集是；當(dāng)時，不等式的解集是．【即學(xué)即練】解關(guān)于x的不等式m（x-2）＞x-2.

【答案】解:化簡，得（m-1）x＞2（m-1），

①當(dāng)m-1＞0時，x＞2；

②當(dāng)m-1＜0時，x＜2；

③當(dāng)m-1=0時，無解.【即學(xué)即練】已知x＞a的解集中最小整數(shù)為－2，則a的取值范圍是______．【答案】﹣3≤a＜﹣2．考法04逆用不等式的解集【典例6】如果關(guān)于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，那么a的取值范圍是．【分析】本題是關(guān)于x的不等式，應(yīng)先只把x看成未知數(shù)，求得x的解集，從而來求得a的值．【答案】a＜﹣1【解析】解：∵（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，∴a+1＜0，∴a＜﹣1．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等號的方向改變確定a+1＜0．【即學(xué)即練】已知不等式3x﹣a≤0的解集為x≤5，則a的值為．【答案】15.【解析】解：3x﹣a≤0，x≤，∵不等式的解集為x≤5，∴=5，解得a=15．故答案為：15．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）是一元一次不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解析】【詳解】一元一次不等式有三個特點(diǎn)：①不等式的兩邊都是整式；②只含1個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1次．由此可得（1）；（3）；（6）是一元一次不等式，故選B.2．不等式的解為（）A．

B． C． D．【答案】A【解析】【分析】去分母、移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可．【詳解】，3-x＞2x，3＞3x，x＜1，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化成1．3．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項可得不等式的解集，繼而可得答案．【詳解】解：去括號，得：3﹣3x＞2﹣4x，移項，得：﹣3x+4x＞2﹣3，合并，得：x＞﹣1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式及用數(shù)軸表示不等式的解集，正確解不等式是解題關(guān)鍵，注意“＞”向右，“＜”向左，帶等號用實心，不帶等號用空心．4．不等式的非負(fù)整數(shù)解有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的正整數(shù)即可．【詳解】解：不等式4-3x≥2x-6，整理得，5x≤10，∴x≤2；∴其非負(fù)整數(shù)解是0、1、2．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．5．已知關(guān)于x的方程2x-a=x-1的解是非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】本題首先要解這個關(guān)于x的方程，然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)，就可以得到一個關(guān)于a的不等式，最后求出a的取值范圍．【詳解】解：原方程可整理為：（2-1）x=a-1，解得：x=a-1，∵方程x的方程2x-a=x-1的解是非負(fù)數(shù)，∴a-1≥0，解得：a≥1．故選A．點(diǎn)睛：本題綜合考查了一元一次方程的解與解一元一次不等式．解關(guān)于x的不等式是本題的一個難點(diǎn)．6．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則k的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)加減消元法求解二元一次方程組，結(jié)合題意，再根據(jù)一元一次不等式的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】①②得：∴將代入②得：∵∴∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組、一元一次不等式的性質(zhì)，從而完成求解．7．小麗同學(xué)準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢購買一臺學(xué)生平板電腦，她已存有750元，并計劃從本月起每月節(jié)省30元，直到她至少存有1080元，設(shè)x個月后小麗至少有1080元，則可列計算月數(shù)的不等式為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【詳解】解：由題意可得：．故選D．8．關(guān)于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集為x＜1，那么m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜0【答案】A【解析】【分析】本題是關(guān)于x的不等式，不等式兩邊同時除以（m+1）即可求出不等式的解集，不等號發(fā)生改變，說明m+1<0，即可求出m的取值范圍．【詳解】∵不等式(m+1)x>m+1的解集為x<1，∴m+1<0，∴m<?1，故選A.【點(diǎn)睛】考查解一元一次不等式，熟練掌握不等式的3個基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9．若關(guān)于x的方程2(x+k)=x+6的解是非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（）A．k≤3 B．k＞3 C．k≥3 D．k＜3【答案】A【解析】【分析】先求出方程的解，根據(jù)題意得出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】解：2(x+k)=x+6，x=6-2k，∵關(guān)于x的方程2(x+k)=x+6的解是非負(fù)數(shù)，∴6-2k≥0，解得：k≤3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出關(guān)于k的不等式，難度適中．題組B能力提升練10．不等式＞＋2的解是__________．【答案】x＞－3【解析】【詳解】＞＋2,去分母得：去括號得：移項及合并得：系數(shù)化為1得：.故答案為x＞－3.11．若關(guān)于x，y的方程組的解使4x＋7y＞2成立，則k的取值范圍是________．【答案】k＞3【解析】【分析】將第一個方程×2－第二個方程，得到4x+7y=2k-2-2，然后代入4x+7y＞2，解關(guān)于k的一元一次不等式即可．【詳解】由①×2﹣②得：4x+7y=2k-2-2，∴2k-2-2＞2，∴2k＞6，解得：k＞3．故答案為k＞3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法．利用整體法求解是解答本題的關(guān)鍵．12．若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，則實數(shù)m的取值范圍是_______．【答案】≤m≤6【解析】【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，據(jù)此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0兩種情況分別求解．【詳解】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，①當(dāng)m﹣6＝0，即m＝6時，則x＞﹣4都能使0?x＜13恒成立；②當(dāng)m﹣6≠0，則不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改變方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集為x＞，∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，綜上所述，m的取值范圍是≤m≤6．故答案為：≤m≤6．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式的步驟和依據(jù)及不等式的基本性質(zhì)．13．若不等式（a﹣3）x＞1的解集為，則a的取值范圍是_____．【答案】．【解析】【詳解】∵(a?3)x>1的解集為x<，∴不等式兩邊同時除以(a?3)時不等號的方向改變，∴a?3<0，∴a<3.故答案為a<3.點(diǎn)睛：本題考查了不等式的性質(zhì):在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變.本題解不等號時方向改變,所以a-3小于0.14．關(guān)于x的不等式只有兩個正整數(shù)解，則a的取值范圍是_______【答案】6≤a＜9．【解析】【分析】解不等式得x≤，由于只有兩個正整數(shù)解，即1，2，故可判斷的取值范圍，求出a的取值范圍．【詳解】原不等式解得x≤，∵解集中只有兩個正整數(shù)解，則這兩個正整數(shù)解是1，2，∴2≤＜3，解得6≤a＜9．故答案為6≤a＜9．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解．正確解不等式，求出正整數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．15．若不等式的正整數(shù)解是，則的取值范圍是____．【答案】9≤a＜12【解析】【分析】解不等式3x?a≤0得x≤，其中，最大的正整數(shù)為3，故3≤＜4，從而求解．【詳解】解：解不等式3x?a≤0，得x≤，∵不等式的正整數(shù)解是1，2，3，∴3≤＜4，解得9≤a＜12．故答案為：9≤a＜12．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法．先解含字母系數(shù)的不等式，再根據(jù)正整數(shù)解的情況確定字母的取值范圍．題組C培優(yōu)拔尖練16．求不等式≤+1的非負(fù)整數(shù)解．【答案】不等式的非負(fù)整數(shù)解為0、1、2、3、4．【解析】【分析】去分母，去括號，移項，合并同類項，即可得出不等式的解集．【詳解】去分母得：5（2x+1）≤3（3x-2）+15，去括號得：10x+5≤9x-6+15，移項得：10x-9x≤-5-6+15，合并同類項得x≤4，∴不等式的非負(fù)整數(shù)解為0、1、2、3、4．【點(diǎn)睛】考查了不等式的性質(zhì)和解一元一次不等式，主要考查學(xué)生運(yùn)用不等式的性質(zhì)解一元一次不等式的能力.17．已知關(guān)于x的不等式＜7的解也是不等式－1的解，求a的取值范圍．【答案】－≤a＜0【解析】【分析】解關(guān)于x的不等式，可得其解為x；而已知關(guān)于x的不等式7的解也是不等式的解，故a＜0，所以不等式7的解是x＞7a；從而得到7a；解可得a；結(jié)合a＜0，可得答案．【詳解】關(guān)于x的不等式，解得：x．∵關(guān)于x的不等式7的解也是不等式的解，故a＜0，所以不等式7的解集是x＞7a．所以7a，解得：a．∵a＜0，∴a＜0．【點(diǎn)睛】當(dāng)題中有兩個未知字母時，應(yīng)把關(guān)于某個字母的不等式中的字母當(dāng)成已知數(shù)，求得解集，再根據(jù)解集進(jìn)行判斷，求得另一