2024學生版大二輪數(shù)學新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題二　培優(yōu)點5　極化恒等式、奔馳定理與等和線定理75

培優(yōu)點5極化恒等式、奔馳定理與等和線定理1.如圖，AB為⊙O的直徑，P是上任一點，M，N是直徑AB上關(guān)于點O對稱的兩點，且AB＝6，MN＝4，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))等于()A．13B．7C．5D．32．點O為△ABC內(nèi)一點，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ和μ的值分別為()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9) B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9) D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)3．如圖，在四邊形MNPQ中，若eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝10，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝－28，則eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))等于()A．64 B．42C．36 D．284.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[0,1] B．[0,2]C．[1,3] D．[0,4]5．(2023·佛山模擬)已知A(－1,0)，B(2,0)，若動點M滿足MB＝2MA，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值是()A．－eq\f(9,4)B．4C．12D．186.(多選)給定兩個長度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為eq\f(2π,3)，如圖所示，點C在以O為圓心的上運動，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y的取值可以是()A．1B.eq\f(5,4)C．2D.eq\f(5,2)7．(多選)(2023·六安模擬)已知O是△ABC內(nèi)一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為S△BOC，S△AOC，S△AOB，則S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內(nèi)角，以下命題正確的有()A．若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝4∶3∶2B．若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，∠AOB＝eq\f(2π,3)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC＝eq\f(9\r(3),4)C．若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則O為△ABC的垂心D．若O為△ABC的內(nèi)心，且5eq\o(OA,\s\up6(→))＋12eq\o(OB,\s\up6(→))＋13eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則∠ACB＝eq\f(π,2)8.(2023·黃岡模擬)如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB＝45°.若M為菱形ABCD內(nèi)部(含邊界)任一點，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范圍是________．9．若△ABC內(nèi)接于以O為圓心，以1為半徑的圓，且3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.則△ABC的面積為________．10.如圖，圓O是邊長為2eq\r(3)的等邊△ABC的內(nèi)切圓，其與BC